资源简介

河北石家庄二中教育集团2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
3．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则与一定相交
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则与是异面直线
4．若向量，满足，，，则（ ）
A． B． C．13 D．52
5．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A． B． C．4 D．8
6．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足，则
B．若复数,满足，则
C．在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是
D．若，则的最大值为
10．已知的内角所对边分别为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，满足条件的三角形有且只有一个，则实数的取值范围为
C．点是所在平面内一点，若 ，则点的轨迹必过的内心
D．在中，若，则为锐角三角形
11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ）
A．正三棱柱的外接球表面积为
B．周长的最小值为
C．棱上总存在点，使得直线平面
D．为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则
三、填空题
12．已知向量，，若，则实数的值为______.
13．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________．
14．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，为线段上一点（包含端点），则的最小值为________．
四、解答题
15．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
16．如图，在中，点在线段上，满足，在线段上，且，线段与线段交于点，，，．
(1)求；
(2)求．
17．如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点．
(1)求证：平面；
(2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明；
(3)求的体积．
18．在锐角中，，，分别是角，，的对边，
(1)求角的大小；
(2)如图，为内一点，，，，连接并延长交于点
①求；
②求．
19．布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利 布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
(1)若，且，求；
(2)若，的面积为
①求；
②的外接圆上任一点为，试探究是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．D
6．D
7．B
8．C
9．AD
10．ACD
11．ACD
12．
13．
14．
15．（1）展开已知等式，得：
，
移项化简得.
设外接圆的半径为R，由正弦定理可将上式中的角化边，得：.
根据余弦定理可得，代入得.
又，故.
（2）将，，代入余弦定理得：
，即，解得.
则，
由得，
故的周长为.
16．（1）在中，由，得，
由，得，
所以.
（2）由，得，
由（1）知，，
则，
，
由（1）知，
所以.
17．（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点，
得，则四边形为平行四边形，，
而平面，平面，因此平面；
由，得四边形为平行四边形，，
而，则四边形为平行四边形，
而平面，平面，因此平面，
又平面，
则平面平面，而平面，
所以平面.
（2）；
由（1）知平面，而平面平面，平面，
所以.
（3）依题意，平面，
则
，
所以的体积为.
18．（1）因为，
所以由余弦定理可得，
由正弦定理可得,
即，所以,
由知，，所以，
因为，所以.
（2）因为，，所以为正三角形，
设正三角形的边长为，，则，
因为，，所以，，
则，.
在中，，
则中，由正弦定理可知，即
即，，解得，即.
②在中，由正弦定理可知，则，那么.
.
则.
19．（1）
又
,为正三角形,
所以，.
（2）①
，
所以，
在，，中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得，
即，
故；
②在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，，
三式相加可得：，
由，可得
，
即,
当且仅当即，又因为三角形内角和为 ，
所以 ，即为正三角形,；
设的外接圆圆心为，半径为，则，
由于为正三角形，故也是的重心，那么，
，
同理可知,那么
,

展开更多......

收起↑