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广东省深圳市龙岗区2025-2026学年九年级中考适应性考试数学试题
1．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分。下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图是轴对称图形，∴B符合题意；
C、∵此图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵此图不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．如图，所检测的4个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵|+0.9|=0.9，|-2.5|=2.5，|-0.8|=0.8，|-3.6|=3.6，
∴0.8<0.9<2.5<3.6，
∴最接近标准质量的是0.8，
故答案为：C.
【分析】先求出每个数的绝对值，再比较大小即可.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4． 2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石（新型超硬材料)，其微观结构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据题意可得，（6-2）×180°=720°，
故答案为：C.
【分析】利用多边形的内角和公式列出算式求解即可.
5．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升。甲、乙两架无人机距离地面的高度y（单位：m)与上升的时间x（单位：s)的对应关系如图所示。
下列说法正确的是（　　）
A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快
C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，
起飞时，乙的高度高于甲的高度，故选项A错误，不符合题意；
甲无人机的上升速度更快，故选项B正确，符合题意；选项C错误，不符合题意；
甲的速度大于乙的速度，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据函数图象中的信息，可以判断各个选项中说法是否正确．
6．如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点A处滚向桌边PQ，在PQ上的点B处反弹后，滚向桌边 RS上的点C，再次反弹后滚入点Q，共反弹两次。若∠ABP=62°，则∠CQR的度数为（　　）
A．62° B．38° C．32° D．28°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过B作BN∥QR，过C作CM∥QR，
∴BN∥CM∥QR，∠BCM＝∠QCM，∠ABN＝∠CBN，
∵∠ABP＝62°，∠PBN＝90°，
∴∠ABN＝90° 62°＝28°，
∴∠BCM＝∠QCM＝∠CQR＝∠ABN＝28°，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称的性质以及平行线的性质解答即可．
7．《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留。问人与舟各几何 译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3 人坐一条船，则有5人无船可坐。问共有多少人、多少条船 若设有x人，y条船，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有x人，y条船，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设有x人，y条船， 利用“ 每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐 ”列出方程组即可.
8．如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别给1至5分。观察图形，下列推断错误的是（　　）
A．甲和乙的动手操作能力都很强
B．探索学习能力不足是甲的短板
C．与甲相比，乙需要加强与他人的沟通合作能力
D．甲、乙各项评分之和相同
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：A、甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，选项说法正确，不符合题意；
B、甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，选项说法正确，不符合题意；
C、甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，选项说法正确，不符合题意；
D、乙的各项评分之和为：5＋4＋3＋4＋5＝21，甲的各项评分之和为：1＋4＋5＋4＋5＝19，因此乙的各项评分之和比甲要高，选项说法错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．
9． 为落实深圳市体育中考政策，学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心球、跳绳、篮球。小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可能性相同)，则他恰好选中跳绳项目的概率是　 　。
【答案】
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心球、跳绳、篮球．小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可能性相同），则他恰好选中跳绳项目的概率是．
故答案为：．
【分析】利用概率计算公式进行计算即可．
10．若关于x的一元二次方程 的一个根为2，则m的值为　 　。
【答案】3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程，
可得：4+2m-10=0，
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】将x=2代入方程，可得：4+2m-10=0，再求出m的值即可.
11． 如图， 在△AOB 中， ∠ABO=90°， ∠A=30°， OA=4， 点B在y轴上，将△AOB绕O点顺时针方向旋转 使得点A的对应点C落在y轴正半轴上，则 点 B 的对应点D 的坐标是　 　。
【答案】（， 1)
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：由题知，
因为∠ABO＝90°，∠A＝30°，OA＝4，
所以OB＝OA＝2，AB＝OB＝2．
由旋转可知，
OC＝OA＝4，OD＝OB＝2，CD＝AB＝2且∠CDO＝∠ABO＝90°．
过点D作y轴的垂线，垂足为M，
因为S△OCD＝ CD DO＝ OC DM，
所以DM＝＝，
则OM＝，
所以点D的坐标为（， 1)．
故答案为：（， 1)．
【分析】根据图形旋转的性质进行计算即可．
12．如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度。反比例函数 的图象被撕掉了一部分，已知点M，N均在格点上，则k=　 　。
【答案】4
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n 2），
将点M，N代入反比例函数中，
得n＝2（n 2），
∴n＝4．
∴点M（1，4），
k＝4．
故答案为：4．
【分析】根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n 2），将两点代入反比例函数，可得出n＝2（n 2），进而求出M（1，4），则可得出k的值．
13． 如图， CD是△ABC的中线， CA=CD， 将△BDC沿CD折叠得到△EDC，CE与AB交于点F。若∠BDE=90°， 则tanE=　 　。
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；求正切值；三角形的中线
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于点H，
则∠BHC＝90°，
∵将△BDC沿CD折叠得到△EDC，
∴∠EDC＝∠BDC，∠E＝∠B，
∵∠EDC＋∠BDC＋∠BDE＝360°，且∠BDE＝90°，
∴2∠BDC＋90°＝360°，
∴∠BDC＝135°，
∴∠CDA＝180° ∠BDC＝45°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴CH＝DH＝AH＝AD，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝2DH，
∴BH＝2DH＋DH＝3DH＝3CH，
∴tanE＝tanB＝＝，
故答案为：．
【分析】作CH⊥AB于点H，则∠BHC＝90°，由折叠得∠EDC＝∠BDC，∠E＝∠B，因为∠BDE＝90°，所以2∠BDC＋90°＝360°，求得∠BDC＝135°，则∠CDA＝45°，因为CA＝CD，所以∠A＝∠CDA＝45°，则∠ACD＝90°，所以CH＝DH＝AD，而CD是△ABC的中线，则BD＝AD＝2DH，所以BH＝3DH＝3CH，求得tanE＝tanB＝＝，于是得到问题的答案．
14．先化简， 再求值： 其中
【答案】解：原式
∵a=3-1=2，
∴原式
【知识点】零指数幂；开立方（求立方根）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得 ，再将a的值代入计算即可.
15．深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体育场馆于一体的综合性区域。某中学数学小组在某个周末随机选取 100名游客进行满意度调查。调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共100分。数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息：
信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示 （x≥60)，将满意度分数数据分成如下四组：
第1组60≤x<70，
第2组70≤x<80，
第3组80≤x<90，
第4组90≤x≤100。
右边是满意度分数的频数
分布直方图和扇形统计图的部分信息。
信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如下表：
统计量 项目 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利
平均分 17.3 18.6 17.1 15.8 15.9
方差 2.1 0.9 1.3 1.5 5.6
结合以上信息解决下列问题：
（1）将频数分布直方图补全；
（2）这100个满意度分数的中位数位于第　 　组；
（3）据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万。请估计这8万人中满意度分数不低于 80分的人数；
【答案】（1）解：如图所示；
（2）3
（3）解：（万人)，
答：估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数为4.16万人。（4）请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量。
解：答案合理即可。
如：旅游产品平均分最低，建议优化旅游产品的质量与性价比。
交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【分析】（1）由扇形图算第2组频数＝100×36%＝36，再用总数100减前三组频数，得第4组为20，据此补全直方图；
（2）100个数据的中位数是第50、51个数据的平均数，前两组累计48个，第49～80个在第3组，故中位数在第3组；
（3）先算样本中不低于80分的频率＝（32＋20）/100＝0.52，再用总人数8万×频率，得4.16万人.
16．第二十二届中国（深圳)国际文化产业博览交易会定于2026年5月21 日至25 日在深圳国际会展中心举办。某文创商家为展会准备A、B两款“深圳城市地标”纪念徽章。已知每件A款徽章比每件B款徽章贵10元，用2000元购买的A款徽章与用1600元购买的B款徽章数量相同。
（1）求每件A 款徽章与每件B款徽章的售价分别是多少元
（2）若某公司计划花费不超过2800元，购置A、B两种徽章共60件，作为员工奖品发放，则最多可以购买A款徽章多少件
【答案】（1）解：设每件B款徽章的售价为x元，则每件A款徽章的售价为（x+10)元，
由题意得：
解得： x=40，
经检验，x=40是原方程的根，
40+10=50（元)，
答：每件A款徽章的售价为50元，每件B款徽章的售价为40元。
（2）解：设可以购买A款徽章a件，
由题意得：50a+40（60-a)≤2800，
解得： a≤40，
答：最多可以购买A款徽章40件。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每件B款徽章的售价为x元，则每件A款徽章的售价为（x+10)元，利用“ 用2000元购买的A款徽章与用1600元购买的B款徽章数量相同 ”列出方程求解即可；
（2）设可以购买A款徽章a件，利用“ 公司计划花费不超过2800元 ”列出不等式求解即可.
17．综合与实践
项目主题 测量观景台高度
数学抽象
活动准备 卷尺，测角仪。
活动过程 在观景台旁边山坡AM上的点B处安装测角仪BC，测得观景台顶端点D的仰角为45°，测角仪BC与AM的夹角∠CBM=76°， 已知AB=20米， BC=1.8米。
备注说明 ①BC与AD均垂直于地面AN； ②sin76°≈0.97， cos76°≈0.24。
任务1 求点 B 到地面AN的高度；
任务2 求观景台高度AD。
【答案】解：任务1：过点 B作BE⊥AN于点E，
在 Rt△ABE， AB=20， ∠ABE=76°，
解得： BE≈4.8，
答：点B到地面AN的高度约为4.8米。
任务2：过点C作CF⊥AD于点 F，
在 Rt△ABE中，
解得： AE≈19.4，
∵∠DCF=45°，则△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=AB≈19.4，
∴AD=AF+DF=BE+BC+DF=4.8+1.8+19.4=26，
答：观景台高度AD约为26米。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】任务1：过点B作BE⊥AN于点E，利用解直角三角形的计算方法可得 再求出BE的值即可；
任务2：过点C作CF⊥AD于点 F，先利用解直角三角形的方法求出AE的长，再结合CF=DF=AB≈19.4，最后利用线段的和差求出AD的长即可.
18．如图，在△ABC中， ∠CAB=90°， ∠C=60°，以点A为圆心， AC为半径作⊙A交BC于点 D。
（1）若BC=2，求CD的长；
（2）请利用尺规，在AB边上求作点E，使得BE=DE；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
（3）在（2）的条件下，连接DE，求证： DE与⊙A 相切。
【答案】（1）解：连接AD，
∵∠CAB=90°， ∠C=60°， BC=2，
∴AC=1，
∵AC=AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD=AC=1。
（2）解：点 E如图所示
（3）证明：连接DE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠BDE=90°-60°=30°，
由（1）可知△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE，
∴DE与⊙A相切。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AD，先证出△ACD为等边三角形， 再利用等边三角形的性质可得CD=AC=1；
（2）利用垂直平分线的作图方法作出线段BD的垂直平分线即可；
（3）连接DE，先求出∠B=∠BDE=90°-60°=30°， 再结合∠ADC=60°， 可得∠ADE=90°，即AD⊥DE，从而可证出DE与⊙A相切.
19．央视春晚的舞台上，AI武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演。数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究：
信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变。
信息2：如图1，以机器人起跳点O为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点O的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米。
请根据上述信息解决下列问题：
（1）求图1中抛物线的函数表达式；
（2）在O点正前方的水平地面上有一个正方形台阶ABCD，其中OA=5米， AB=1米。
①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶ABCD，则机器人至少需向右平移多少米
②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯EF，其中OE=2米，OF=4米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为t米，跳跃后落在台阶CD上（含点 C、D)，求t的取值范围。
【答案】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为（2， 2)，且过原点（0， 0) ，
∴设
将（0， 0)代入得：
解得：
（2）解：①设机器人向右平移m米，则
将C（6， 1)代入得：
整理得：
解得： （舍去) ；
答：机器人至少需向右平移
②设直线EF的解析式为y= kx+b，代入E（0， 2) ， F（4， 0)
得
即EF：
设起跳点的坐标为
∵起跳点从（0， 0)变为 则原抛物线的顶点（2，2)变为
∴新抛物线的解析为
当新抛物线经过点D（5，1)时，
解得： （舍去)
当新抛物线经过点C（6，1)时，
解得： （舍去)
结合图象可得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①设机器人向右平移m米，则 再将点C的坐标代入解析式求出m的值即可；
②先求出直线EF的解析式，再求出新抛物线的解析为 将点D的坐标代入解析式求出t的值，再将点C的坐标代入求出t的值，从而可得t的范围.
20．综合与探究
【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”。
【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，AC平分∠BAD，则四边形ABCD为“旋直四边形”，AC为“旋直分割线”。
【概念辨析】
（1）用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有　 　（填序号)；
（2）【问题解决】
如图1，在“旋直四边形ABCD”中， ∠ABC=∠ACD=90°， AC为“旋直分割线”。求证：
（3）【拓展应用】
如图2，四边形 ABCD 是矩形， CE⊥AC，∠EAC=∠CAD， AE与BC交于点F。
若 求 的值；
（4）如图3，在 ABCD中， AB=1， AD=4， 点E 是平面内一点，点 F是AD边上一点，若四边形 ABEF是“旋直四边形”，AE是“旋直分割线”，EF 与BC交于点 G，求CG的长。
【答案】（1）②
（2）解：方法1：
证明：过点C作CE⊥AD于点 E，
∵AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAE，
又∵∠B=∠AEC=90°， AC=AC，
∴△CAB≌△CAE，
∴BC=CE， AB=AE，
DE=AD-AE=AD-AB，
在Rt△CDE中，
方法2：
证明：延长DC交AB 延长线于点 F，
∵AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD，
又∵∠ACD=∠ACF=90°， AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴CD=CF， AD=AF，
BF=AF-AB=AD-AB，
在Rt△BCF中，
（3）解：方法1：过点 C作CH⊥AE于点 H，
∵矩形ABCD
∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC
∵∠D=∠AHC=90°，∠1=∠2，AC=AC
∴△ADC≌△AHC
∴CH=CD=AB，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=∠2，
∴AF=CF
又∵∠B=∠CHF=90°， ∠AFB=∠CFH，
∴△ABF≌△CHF，
∴BF=FH，
又∵∠3+∠FCE=90°，∠2+∠E=90°，
∴∠FCE=∠E，
∴FC=FE，
设HE=a，则BF=FH=2a， EF=FC=AF=3a， BC=5a，
方法2：延长BC交AD 延长线于点 M，
∵∠ACE=∠ACM=90°， ∠1=∠2， AC=AC，
∴△ACE≌△ACM，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD， AD=BC， AD∥BC，
∴∠EFC=∠EAM， ∠ECF=∠M，
∴△ECF∽△EMA，
设DM=a，则BF=2a，
∵∠ADC=∠CDM=90°， ∠MCD+∠ACD=∠1+∠ACD=90°，
∴∠1=∠MCD，
∴△MDC∽△CDA，
（4）解：①当AE平分∠DAB时， “旋直四边形ABEF”如图所示，
作 FM⊥BE， EN⊥AD，垂足分别为M， N。
则AN=AB=1， ∠NEA=∠BEA， FM∥AB，
∴∠FEN=∠FEM，四边形ABHF为平行四边形，又∵∠FNE=∠M=90°， EF=EF
∴△FEN≌△FEM，
∴FN=FM， ∠NFE=∠MFE
设HM=a，
则BH=AF=3a，
∴由FN=FM得3a-1=1+a，解得a=1，即AF=BH=3， CH=1，
∵∠FGH=∠NFE=∠MFE
∴FH=HG=1，
∴CG=2；
②当AE平分∠FEB时， “旋直四边形ABEF”如图所示，则∠AEB=∠AEF， AE⊥AD，记AE与BC相交于点 N，∵AD//BC，则AE⊥BC，
又∵EN=EN，
∴△ENG≌△ENB，
∴BN=GN。
综上， 或2。
第三种情况如下：
③如图，当AE平分∠DAB且EF⊥AD时， “旋直四边形ABEF”如图所示，延长AE交BC 于点 M，延长FE交BC 于点 G，作MN⊥AB 于点 N，
∵∠AFE=∠AEB=∠EGB=90°，则可证△AFE∽△AEB∽△EGB，
∴∠ABE=∠MBE，
∴BE垂直平分AM，即 BM=AB=1， △AEF≌△MEG，
则
在
由等面积法求得即
由 可得
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：根据“旋直四边形”的定义，只有②符合题意，
故答案为：②；
【分析】（1）根据“旋直四边形”的定义即可得解；
（2）过点C作CE⊥AD于点E，证△CAB≌△CAE（AAS），即可得证；
（3）过点C作CH⊥AE于点H，易证△ADC≌△AHC（AAS），可得S△CEH＝S△ABF，则HE＝BF，再证△ABF≌△CHF（AAS），可得BF＝FH，设参求解即可；
（4）分三种情况讨论，依次画出图形求解即可．
1 / 1广东省深圳市龙岗区2025-2026学年九年级中考适应性考试数学试题
1．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分。下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，所检测的4个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4． 2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石（新型超硬材料)，其微观结构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
5．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升。甲、乙两架无人机距离地面的高度y（单位：m)与上升的时间x（单位：s)的对应关系如图所示。
下列说法正确的是（　　）
A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快
C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同
6．如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点A处滚向桌边PQ，在PQ上的点B处反弹后，滚向桌边 RS上的点C，再次反弹后滚入点Q，共反弹两次。若∠ABP=62°，则∠CQR的度数为（　　）
A．62° B．38° C．32° D．28°
7．《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留。问人与舟各几何 译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3 人坐一条船，则有5人无船可坐。问共有多少人、多少条船 若设有x人，y条船，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别给1至5分。观察图形，下列推断错误的是（　　）
A．甲和乙的动手操作能力都很强
B．探索学习能力不足是甲的短板
C．与甲相比，乙需要加强与他人的沟通合作能力
D．甲、乙各项评分之和相同
9． 为落实深圳市体育中考政策，学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心球、跳绳、篮球。小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可能性相同)，则他恰好选中跳绳项目的概率是　 　。
10．若关于x的一元二次方程 的一个根为2，则m的值为　 　。
11． 如图， 在△AOB 中， ∠ABO=90°， ∠A=30°， OA=4， 点B在y轴上，将△AOB绕O点顺时针方向旋转 使得点A的对应点C落在y轴正半轴上，则 点 B 的对应点D 的坐标是　 　。
12．如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度。反比例函数 的图象被撕掉了一部分，已知点M，N均在格点上，则k=　 　。
13． 如图， CD是△ABC的中线， CA=CD， 将△BDC沿CD折叠得到△EDC，CE与AB交于点F。若∠BDE=90°， 则tanE=　 　。
14．先化简， 再求值： 其中
15．深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体育场馆于一体的综合性区域。某中学数学小组在某个周末随机选取 100名游客进行满意度调查。调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共100分。数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息：
信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示 （x≥60)，将满意度分数数据分成如下四组：
第1组60≤x<70，
第2组70≤x<80，
第3组80≤x<90，
第4组90≤x≤100。
右边是满意度分数的频数
分布直方图和扇形统计图的部分信息。
信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如下表：
统计量 项目 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利
平均分 17.3 18.6 17.1 15.8 15.9
方差 2.1 0.9 1.3 1.5 5.6
结合以上信息解决下列问题：
（1）将频数分布直方图补全；
（2）这100个满意度分数的中位数位于第　 　组；
（3）据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万。请估计这8万人中满意度分数不低于 80分的人数；
16．第二十二届中国（深圳)国际文化产业博览交易会定于2026年5月21 日至25 日在深圳国际会展中心举办。某文创商家为展会准备A、B两款“深圳城市地标”纪念徽章。已知每件A款徽章比每件B款徽章贵10元，用2000元购买的A款徽章与用1600元购买的B款徽章数量相同。
（1）求每件A 款徽章与每件B款徽章的售价分别是多少元
（2）若某公司计划花费不超过2800元，购置A、B两种徽章共60件，作为员工奖品发放，则最多可以购买A款徽章多少件
17．综合与实践
项目主题 测量观景台高度
数学抽象
活动准备 卷尺，测角仪。
活动过程 在观景台旁边山坡AM上的点B处安装测角仪BC，测得观景台顶端点D的仰角为45°，测角仪BC与AM的夹角∠CBM=76°， 已知AB=20米， BC=1.8米。
备注说明 ①BC与AD均垂直于地面AN； ②sin76°≈0.97， cos76°≈0.24。
任务1 求点 B 到地面AN的高度；
任务2 求观景台高度AD。
18．如图，在△ABC中， ∠CAB=90°， ∠C=60°，以点A为圆心， AC为半径作⊙A交BC于点 D。
（1）若BC=2，求CD的长；
（2）请利用尺规，在AB边上求作点E，使得BE=DE；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
（3）在（2）的条件下，连接DE，求证： DE与⊙A 相切。
19．央视春晚的舞台上，AI武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演。数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究：
信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变。
信息2：如图1，以机器人起跳点O为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点O的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米。
请根据上述信息解决下列问题：
（1）求图1中抛物线的函数表达式；
（2）在O点正前方的水平地面上有一个正方形台阶ABCD，其中OA=5米， AB=1米。
①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶ABCD，则机器人至少需向右平移多少米
②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯EF，其中OE=2米，OF=4米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为t米，跳跃后落在台阶CD上（含点 C、D)，求t的取值范围。
20．综合与探究
【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”。
【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，AC平分∠BAD，则四边形ABCD为“旋直四边形”，AC为“旋直分割线”。
【概念辨析】
（1）用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有　 　（填序号)；
（2）【问题解决】
如图1，在“旋直四边形ABCD”中， ∠ABC=∠ACD=90°， AC为“旋直分割线”。求证：
（3）【拓展应用】
如图2，四边形 ABCD 是矩形， CE⊥AC，∠EAC=∠CAD， AE与BC交于点F。
若 求 的值；
（4）如图3，在 ABCD中， AB=1， AD=4， 点E 是平面内一点，点 F是AD边上一点，若四边形 ABEF是“旋直四边形”，AE是“旋直分割线”，EF 与BC交于点 G，求CG的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图是轴对称图形，∴B符合题意；
C、∵此图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵此图不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵|+0.9|=0.9，|-2.5|=2.5，|-0.8|=0.8，|-3.6|=3.6，
∴0.8<0.9<2.5<3.6，
∴最接近标准质量的是0.8，
故答案为：C.
【分析】先求出每个数的绝对值，再比较大小即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据题意可得，（6-2）×180°=720°，
故答案为：C.
【分析】利用多边形的内角和公式列出算式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，
起飞时，乙的高度高于甲的高度，故选项A错误，不符合题意；
甲无人机的上升速度更快，故选项B正确，符合题意；选项C错误，不符合题意；
甲的速度大于乙的速度，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据函数图象中的信息，可以判断各个选项中说法是否正确．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过B作BN∥QR，过C作CM∥QR，
∴BN∥CM∥QR，∠BCM＝∠QCM，∠ABN＝∠CBN，
∵∠ABP＝62°，∠PBN＝90°，
∴∠ABN＝90° 62°＝28°，
∴∠BCM＝∠QCM＝∠CQR＝∠ABN＝28°，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称的性质以及平行线的性质解答即可．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有x人，y条船，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设有x人，y条船， 利用“ 每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐 ”列出方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：A、甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，选项说法正确，不符合题意；
B、甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，选项说法正确，不符合题意；
C、甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，选项说法正确，不符合题意；
D、乙的各项评分之和为：5＋4＋3＋4＋5＝21，甲的各项评分之和为：1＋4＋5＋4＋5＝19，因此乙的各项评分之和比甲要高，选项说法错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．
9．【答案】
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：学校设置了四类选考项目：耐力跑、投掷实心球、跳绳、篮球．小明同学从这四类项目中随机选一项备考（每项被选的可能性相同），则他恰好选中跳绳项目的概率是．
故答案为：．
【分析】利用概率计算公式进行计算即可．
10．【答案】3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程，
可得：4+2m-10=0，
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】将x=2代入方程，可得：4+2m-10=0，再求出m的值即可.
11．【答案】（， 1)
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：由题知，
因为∠ABO＝90°，∠A＝30°，OA＝4，
所以OB＝OA＝2，AB＝OB＝2．
由旋转可知，
OC＝OA＝4，OD＝OB＝2，CD＝AB＝2且∠CDO＝∠ABO＝90°．
过点D作y轴的垂线，垂足为M，
因为S△OCD＝ CD DO＝ OC DM，
所以DM＝＝，
则OM＝，
所以点D的坐标为（， 1)．
故答案为：（， 1)．
【分析】根据图形旋转的性质进行计算即可．
12．【答案】4
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n 2），
将点M，N代入反比例函数中，
得n＝2（n 2），
∴n＝4．
∴点M（1，4），
k＝4．
故答案为：4．
【分析】根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n 2），将两点代入反比例函数，可得出n＝2（n 2），进而求出M（1，4），则可得出k的值．
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；求正切值；三角形的中线
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于点H，
则∠BHC＝90°，
∵将△BDC沿CD折叠得到△EDC，
∴∠EDC＝∠BDC，∠E＝∠B，
∵∠EDC＋∠BDC＋∠BDE＝360°，且∠BDE＝90°，
∴2∠BDC＋90°＝360°，
∴∠BDC＝135°，
∴∠CDA＝180° ∠BDC＝45°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴CH＝DH＝AH＝AD，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝2DH，
∴BH＝2DH＋DH＝3DH＝3CH，
∴tanE＝tanB＝＝，
故答案为：．
【分析】作CH⊥AB于点H，则∠BHC＝90°，由折叠得∠EDC＝∠BDC，∠E＝∠B，因为∠BDE＝90°，所以2∠BDC＋90°＝360°，求得∠BDC＝135°，则∠CDA＝45°，因为CA＝CD，所以∠A＝∠CDA＝45°，则∠ACD＝90°，所以CH＝DH＝AD，而CD是△ABC的中线，则BD＝AD＝2DH，所以BH＝3DH＝3CH，求得tanE＝tanB＝＝，于是得到问题的答案．
14．【答案】解：原式
∵a=3-1=2，
∴原式
【知识点】零指数幂；开立方（求立方根）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得 ，再将a的值代入计算即可.
15．【答案】（1）解：如图所示；
（2）3
（3）解：（万人)，
答：估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数为4.16万人。（4）请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量。
解：答案合理即可。
如：旅游产品平均分最低，建议优化旅游产品的质量与性价比。
交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【分析】（1）由扇形图算第2组频数＝100×36%＝36，再用总数100减前三组频数，得第4组为20，据此补全直方图；
（2）100个数据的中位数是第50、51个数据的平均数，前两组累计48个，第49～80个在第3组，故中位数在第3组；
（3）先算样本中不低于80分的频率＝（32＋20）/100＝0.52，再用总人数8万×频率，得4.16万人.
16．【答案】（1）解：设每件B款徽章的售价为x元，则每件A款徽章的售价为（x+10)元，
由题意得：
解得： x=40，
经检验，x=40是原方程的根，
40+10=50（元)，
答：每件A款徽章的售价为50元，每件B款徽章的售价为40元。
（2）解：设可以购买A款徽章a件，
由题意得：50a+40（60-a)≤2800，
解得： a≤40，
答：最多可以购买A款徽章40件。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每件B款徽章的售价为x元，则每件A款徽章的售价为（x+10)元，利用“ 用2000元购买的A款徽章与用1600元购买的B款徽章数量相同 ”列出方程求解即可；
（2）设可以购买A款徽章a件，利用“ 公司计划花费不超过2800元 ”列出不等式求解即可.
17．【答案】解：任务1：过点 B作BE⊥AN于点E，
在 Rt△ABE， AB=20， ∠ABE=76°，
解得： BE≈4.8，
答：点B到地面AN的高度约为4.8米。
任务2：过点C作CF⊥AD于点 F，
在 Rt△ABE中，
解得： AE≈19.4，
∵∠DCF=45°，则△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=AB≈19.4，
∴AD=AF+DF=BE+BC+DF=4.8+1.8+19.4=26，
答：观景台高度AD约为26米。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】任务1：过点B作BE⊥AN于点E，利用解直角三角形的计算方法可得 再求出BE的值即可；
任务2：过点C作CF⊥AD于点 F，先利用解直角三角形的方法求出AE的长，再结合CF=DF=AB≈19.4，最后利用线段的和差求出AD的长即可.
18．【答案】（1）解：连接AD，
∵∠CAB=90°， ∠C=60°， BC=2，
∴AC=1，
∵AC=AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD=AC=1。
（2）解：点 E如图所示
（3）证明：连接DE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠BDE=90°-60°=30°，
由（1）可知△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE，
∴DE与⊙A相切。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AD，先证出△ACD为等边三角形， 再利用等边三角形的性质可得CD=AC=1；
（2）利用垂直平分线的作图方法作出线段BD的垂直平分线即可；
（3）连接DE，先求出∠B=∠BDE=90°-60°=30°， 再结合∠ADC=60°， 可得∠ADE=90°，即AD⊥DE，从而可证出DE与⊙A相切.
19．【答案】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为（2， 2)，且过原点（0， 0) ，
∴设
将（0， 0)代入得：
解得：
（2）解：①设机器人向右平移m米，则
将C（6， 1)代入得：
整理得：
解得： （舍去) ；
答：机器人至少需向右平移
②设直线EF的解析式为y= kx+b，代入E（0， 2) ， F（4， 0)
得
即EF：
设起跳点的坐标为
∵起跳点从（0， 0)变为 则原抛物线的顶点（2，2)变为
∴新抛物线的解析为
当新抛物线经过点D（5，1)时，
解得： （舍去)
当新抛物线经过点C（6，1)时，
解得： （舍去)
结合图象可得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①设机器人向右平移m米，则 再将点C的坐标代入解析式求出m的值即可；
②先求出直线EF的解析式，再求出新抛物线的解析为 将点D的坐标代入解析式求出t的值，再将点C的坐标代入求出t的值，从而可得t的范围.
20．【答案】（1）②
（2）解：方法1：
证明：过点C作CE⊥AD于点 E，
∵AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAE，
又∵∠B=∠AEC=90°， AC=AC，
∴△CAB≌△CAE，
∴BC=CE， AB=AE，
DE=AD-AE=AD-AB，
在Rt△CDE中，
方法2：
证明：延长DC交AB 延长线于点 F，
∵AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD，
又∵∠ACD=∠ACF=90°， AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴CD=CF， AD=AF，
BF=AF-AB=AD-AB，
在Rt△BCF中，
（3）解：方法1：过点 C作CH⊥AE于点 H，
∵矩形ABCD
∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC
∵∠D=∠AHC=90°，∠1=∠2，AC=AC
∴△ADC≌△AHC
∴CH=CD=AB，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=∠2，
∴AF=CF
又∵∠B=∠CHF=90°， ∠AFB=∠CFH，
∴△ABF≌△CHF，
∴BF=FH，
又∵∠3+∠FCE=90°，∠2+∠E=90°，
∴∠FCE=∠E，
∴FC=FE，
设HE=a，则BF=FH=2a， EF=FC=AF=3a， BC=5a，
方法2：延长BC交AD 延长线于点 M，
∵∠ACE=∠ACM=90°， ∠1=∠2， AC=AC，
∴△ACE≌△ACM，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD， AD=BC， AD∥BC，
∴∠EFC=∠EAM， ∠ECF=∠M，
∴△ECF∽△EMA，
设DM=a，则BF=2a，
∵∠ADC=∠CDM=90°， ∠MCD+∠ACD=∠1+∠ACD=90°，
∴∠1=∠MCD，
∴△MDC∽△CDA，
（4）解：①当AE平分∠DAB时， “旋直四边形ABEF”如图所示，
作 FM⊥BE， EN⊥AD，垂足分别为M， N。
则AN=AB=1， ∠NEA=∠BEA， FM∥AB，
∴∠FEN=∠FEM，四边形ABHF为平行四边形，又∵∠FNE=∠M=90°， EF=EF
∴△FEN≌△FEM，
∴FN=FM， ∠NFE=∠MFE
设HM=a，
则BH=AF=3a，
∴由FN=FM得3a-1=1+a，解得a=1，即AF=BH=3， CH=1，
∵∠FGH=∠NFE=∠MFE
∴FH=HG=1，
∴CG=2；
②当AE平分∠FEB时， “旋直四边形ABEF”如图所示，则∠AEB=∠AEF， AE⊥AD，记AE与BC相交于点 N，∵AD//BC，则AE⊥BC，
又∵EN=EN，
∴△ENG≌△ENB，
∴BN=GN。
综上， 或2。
第三种情况如下：
③如图，当AE平分∠DAB且EF⊥AD时， “旋直四边形ABEF”如图所示，延长AE交BC 于点 M，延长FE交BC 于点 G，作MN⊥AB 于点 N，
∵∠AFE=∠AEB=∠EGB=90°，则可证△AFE∽△AEB∽△EGB，
∴∠ABE=∠MBE，
∴BE垂直平分AM，即 BM=AB=1， △AEF≌△MEG，
则
在
由等面积法求得即
由 可得
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：根据“旋直四边形”的定义，只有②符合题意，
故答案为：②；
【分析】（1）根据“旋直四边形”的定义即可得解；
（2）过点C作CE⊥AD于点E，证△CAB≌△CAE（AAS），即可得证；
（3）过点C作CH⊥AE于点H，易证△ADC≌△AHC（AAS），可得S△CEH＝S△ABF，则HE＝BF，再证△ABF≌△CHF（AAS），可得BF＝FH，设参求解即可；
（4）分三种情况讨论，依次画出图形求解即可．
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