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湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C.是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义"在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形并结合各选项中的图形逐项判断即可求解．
2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，
∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可．
3．平行四边形中，，的平分线交于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得：，再结合角平分线的定义可证得，然后根据线段的和差AD=BC=BE+CE可求解．
4．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两锐角相等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
D、两锐角相等和直角对应相等，不能证明两直角三角形全等，符合题意．
故选：D．
【分析】
A、由直角三角形的概念或勾股定理可利用SAS或SSS证明两直角三角形全等；
B、由直角三角形的概念或直角三角形两锐角互余可利用AAS或ASA证明两直角三角形全等；
C、直接利用HL即可证明两直角三角形全等；
D、由于全等的判定离不开边，故不能证明两三角形全等．
5．下列说法中正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，
∴此选项不符合题意；
B. 对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，
∴此选项不符合题意；
C. 四条边相等的四边形是菱形，说法正确，
∴此选项符合题意；
D. 矩形的对角线一定互相垂直，说法错误，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据平行四边形的性质可判断求解；
B、根据平行四边形的判定可判断求解；
C、根据菱形的判定可判断求解；
D、根据矩形的性质可判断求解．
6．点P（－2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（－2，3）
C．（2，－3） D．（－2，－3）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】根据关于y轴对称的点的特征知：（-2，3）关于y轴对称的点为（2，3），
故答案为：A．
【分析】关于y周对称，则纵坐标不变、横坐标为相反数
7．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．14
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE=3，
∴EF=3，
∵AB=8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2=12．
故答案为：B．
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得EF=DE，然后根据三角形的面积计算公式计算即可求解．
8．三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（　　）
A． B． C．10 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
三边长分别为的三角形是直角三角形，
它最大边上的中线长为，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理可知：三角形为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
9．一艘轮船以 16 海里∕时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口 A 出发向东南方向航行．离开港口 1 小时后，两船相距（　　）
A．12 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．28 海里
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：16×1=16 ，12×1=12 ．
=20．
两船相距 20 海里．
故答案为：C．
【分析】由题意得两艘轮船行驶的直线构成了直角，求两船相距，即利用勾股定理求出斜边即可。
10．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝1.5，
∴DF＝1.5，EF＝1+1.5＝2.5．
故选：B．
【分析】
由翻折全等模型结合正方形的性质可知，则设FG=x，则EF、CF都可用含x的代数式表示，再在直角三角形ECF中应用勾股定理求出FG，则Ef可得．
二、填空题（本题共6小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置，每小题3分，共18分）
11．正十二边形的每一个外角等于　 　度．
【答案】30
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴正十二边形的每个外角度数为：．
故答案为：30．
【分析】根据多边形的外角和为360度，以及正多边形的每一个外角的度数相同，即可求出正多边形的每个外角的度数．
12．若直角三角形的两个锐角的比是，斜边长为8，则最短的直角边长为　 　．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设两个锐角的度数分别为，
则：，
∴，
∴直角三角形中较小的锐角度数为30度，
∵小角对小边，斜边长为8，
∴最短的直角边长为；
故答案为：4．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求出较小的锐角的度数为30度，然后根据30度所对的直角边是斜边的一半即可求解．
13．如图，在中，，，平分，于点，的延长线交于点，为的中点，则长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】 【解答】解：∵平分，
∴；
∵，
∴；
在 ABD和 AFD中
∴，
∴，；
∴；
∵为的中点，，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意，用角边角可证明，由全等三角形的对应边相等可得，，根据线段的和差CF=AC-AF可求得，再由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求得的长．
14．菱形的周长为，对角线，则其面积等于　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
菱形的周长为，
，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，
，
菱形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据菱形的四边都相等并结合菱形的周长为20可求得菱形的边长，由菱形的对角线互相垂直平分可得∠AOB=90°，在Rt AOB中，用勾股定理即可求得的值，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求解．
15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴直角三角形的面积为．
故答案为：12．
【分析】根据勾股定理得，由已知条件结合完全平方公式可求得，然后根据三角形面积公式可求解．
16．如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图所示；
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
当取得最小值时，取得最小值，此时；
∵，，，
∴由勾股定理得：；
∵，
∴，
即的最小值为，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】连接AD，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再证出当取得最小值时，取得最小值，利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法求出AD的长即可.
三、解答题（本题共9个小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．
【答案】证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】在和中，结合已知条件和图形，用HL定理即可求证．
18．如图，长方形中，，，求长方形面积．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴长方形面积
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】先根据矩形的性质得，，再结合等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和定理可得，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AB，在Rt△ABD中，用勾股定理求得的值，最后根据矩形的面积公式可求解．
19．已知：如图，，，，，．求的面积．
【答案】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在Rt△ACD中，用勾股定理求出的长，根据勾股定理逆定理可得，再根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
20．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
（1）点关于轴的对称点坐标为__________；
（2）将向左平移3个单位长度得到，请画出；
（3）在（2）的条件下，的坐标为_________．
【答案】（1）
（2）解：向左平移3个单位长度后的如图所示，
（3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】
（1）
解：点B的坐标为，它关于x轴对称的点的坐标为；
故答案为：；
（3）
解：点A的坐标为，它向左平移3个单位后，点的坐标为；
故答案为：．
【分析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标变化特征"横坐标不变，纵坐标互为相反数"即可求解；
（2）根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”可求出点A、B、O三点平移后的坐标，再依次连接即可；
（3）根据平移的特征并结合点A的坐标得到平移后点的坐标．
（1）解：点B的坐标为，它关于x轴对称的点的坐标为；
故答案为：；
（2）解：向左平移3个单位长度后的如图所示，
（3）解：点A的坐标为，它向左平移3个单位后，点的坐标为；
故答案为：．
21．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行四边形ABCD的性质，用角边角可得△BOE≌△DOF，由全等三角形的对应边相等可得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解.
22．为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）在Rt BCD中，用勾股定理求出CD的长，然后根据线段的和差CE=CD+DE即可求出CE的高度；
（2）在Rt BFD中，根据勾股定理求得FB的值，然后根据线段的和差BC-BF即可求解．
（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米．
23．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
在△AEF和△DEB中
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形
（2）解：四边形是正方形．理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角角边证明，由全等三角形的对应边相等可得AF=DB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD，于是可得AF=DC，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ADCF是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形是菱形；
（2）由等腰直角三角形的性质得AD⊥CD，根据“有一个角是直角的菱形是正方形可求解．
（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
24．在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】解：∵，是上一点，即，
∴，，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得；
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得；
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】
由题意分两种情况：①当点在线段上，根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②当在线段上，同理可求解．
25．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）；
（2）性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长．
【答案】（1）①③
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，，
，，
∴，
，
∴
（3）解：连接，，如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在△BAG和△EAC中
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（2）的结论可知，，
∵，
，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等；
矩形的对角线互相平分且相等；
菱形对角线互相垂直平分；
平行四边形的对角线互相平分；
因此是垂美四边形的是①③；
故答案为：①③；
【分析】
（1）根据垂美四边形的定义可判断求解；
（2）根据勾股定理可求解；
（3）连接，，根据勾股定理得出，结合题意，用边角边证明，由全等三角形的对应角相等可得，根据直角三角形两锐角互余并结合等量代换可得，由垂线的定义可得，根据（2）的结论即可求解．
（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等；
矩形的对角线互相平分且相等；
菱形对角线互相垂直平分；
平行四边形的对角线互相平分；
因此是垂美四边形的是①③；
故答案为：①③；
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，，
，，
∴，
，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据解析（2）的结论可知，，
∵，
，
∴，
∴．
1 / 1湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
3．平行四边形中，，的平分线交于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两锐角相等
5．下列说法中正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
6．点P（－2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（－2，3）
C．（2，－3） D．（－2，－3）
7．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．14
8．三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（　　）
A． B． C．10 D．12
9．一艘轮船以 16 海里∕时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口 A 出发向东南方向航行．离开港口 1 小时后，两船相距（　　）
A．12 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．28 海里
10．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3
二、填空题（本题共6小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置，每小题3分，共18分）
11．正十二边形的每一个外角等于　 　度．
12．若直角三角形的两个锐角的比是，斜边长为8，则最短的直角边长为　 　．
13．如图，在中，，，平分，于点，的延长线交于点，为的中点，则长为　 　．
14．菱形的周长为，对角线，则其面积等于　 　．
15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为　 　．
16．如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为　 　．
三、解答题（本题共9个小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．
18．如图，长方形中，，，求长方形面积．
19．已知：如图，，，，，．求的面积．
20．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
（1）点关于轴的对称点坐标为__________；
（2）将向左平移3个单位长度得到，请画出；
（3）在（2）的条件下，的坐标为_________．
21．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
22．为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
23．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
24．在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
25．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）；
（2）性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C.是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义"在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形并结合各选项中的图形逐项判断即可求解．
2．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，
∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可．
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得：，再结合角平分线的定义可证得，然后根据线段的和差AD=BC=BE+CE可求解．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
D、两锐角相等和直角对应相等，不能证明两直角三角形全等，符合题意．
故选：D．
【分析】
A、由直角三角形的概念或勾股定理可利用SAS或SSS证明两直角三角形全等；
B、由直角三角形的概念或直角三角形两锐角互余可利用AAS或ASA证明两直角三角形全等；
C、直接利用HL即可证明两直角三角形全等；
D、由于全等的判定离不开边，故不能证明两三角形全等．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，
∴此选项不符合题意；
B. 对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，
∴此选项不符合题意；
C. 四条边相等的四边形是菱形，说法正确，
∴此选项符合题意；
D. 矩形的对角线一定互相垂直，说法错误，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据平行四边形的性质可判断求解；
B、根据平行四边形的判定可判断求解；
C、根据菱形的判定可判断求解；
D、根据矩形的性质可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】根据关于y轴对称的点的特征知：（-2，3）关于y轴对称的点为（2，3），
故答案为：A．
【分析】关于y周对称，则纵坐标不变、横坐标为相反数
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE=3，
∴EF=3，
∵AB=8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2=12．
故答案为：B．
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得EF=DE，然后根据三角形的面积计算公式计算即可求解．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
三边长分别为的三角形是直角三角形，
它最大边上的中线长为，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理可知：三角形为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：16×1=16 ，12×1=12 ．
=20．
两船相距 20 海里．
故答案为：C．
【分析】由题意得两艘轮船行驶的直线构成了直角，求两船相距，即利用勾股定理求出斜边即可。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝1.5，
∴DF＝1.5，EF＝1+1.5＝2.5．
故选：B．
【分析】
由翻折全等模型结合正方形的性质可知，则设FG=x，则EF、CF都可用含x的代数式表示，再在直角三角形ECF中应用勾股定理求出FG，则Ef可得．
11．【答案】30
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴正十二边形的每个外角度数为：．
故答案为：30．
【分析】根据多边形的外角和为360度，以及正多边形的每一个外角的度数相同，即可求出正多边形的每个外角的度数．
12．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设两个锐角的度数分别为，
则：，
∴，
∴直角三角形中较小的锐角度数为30度，
∵小角对小边，斜边长为8，
∴最短的直角边长为；
故答案为：4．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求出较小的锐角的度数为30度，然后根据30度所对的直角边是斜边的一半即可求解．
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】 【解答】解：∵平分，
∴；
∵，
∴；
在 ABD和 AFD中
∴，
∴，；
∴；
∵为的中点，，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意，用角边角可证明，由全等三角形的对应边相等可得，，根据线段的和差CF=AC-AF可求得，再由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求得的长．
14．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
菱形的周长为，
，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，
，
菱形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据菱形的四边都相等并结合菱形的周长为20可求得菱形的边长，由菱形的对角线互相垂直平分可得∠AOB=90°，在Rt AOB中，用勾股定理即可求得的值，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求解．
15．【答案】12
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据勾股定理得，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴直角三角形的面积为．
故答案为：12．
【分析】根据勾股定理得，由已知条件结合完全平方公式可求得，然后根据三角形面积公式可求解．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图所示；
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
当取得最小值时，取得最小值，此时；
∵，，，
∴由勾股定理得：；
∵，
∴，
即的最小值为，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】连接AD，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再证出当取得最小值时，取得最小值，利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法求出AD的长即可.
17．【答案】证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】在和中，结合已知条件和图形，用HL定理即可求证．
18．【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴长方形面积
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】先根据矩形的性质得，，再结合等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和定理可得，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AB，在Rt△ABD中，用勾股定理求得的值，最后根据矩形的面积公式可求解．
19．【答案】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在Rt△ACD中，用勾股定理求出的长，根据勾股定理逆定理可得，再根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
20．【答案】（1）
（2）解：向左平移3个单位长度后的如图所示，
（3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】
（1）
解：点B的坐标为，它关于x轴对称的点的坐标为；
故答案为：；
（3）
解：点A的坐标为，它向左平移3个单位后，点的坐标为；
故答案为：．
【分析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标变化特征"横坐标不变，纵坐标互为相反数"即可求解；
（2）根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”可求出点A、B、O三点平移后的坐标，再依次连接即可；
（3）根据平移的特征并结合点A的坐标得到平移后点的坐标．
（1）解：点B的坐标为，它关于x轴对称的点的坐标为；
故答案为：；
（2）解：向左平移3个单位长度后的如图所示，
（3）解：点A的坐标为，它向左平移3个单位后，点的坐标为；
故答案为：．
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行四边形ABCD的性质，用角边角可得△BOE≌△DOF，由全等三角形的对应边相等可得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解.
22．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）在Rt BCD中，用勾股定理求出CD的长，然后根据线段的和差CE=CD+DE即可求出CE的高度；
（2）在Rt BFD中，根据勾股定理求得FB的值，然后根据线段的和差BC-BF即可求解．
（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
在△AEF和△DEB中
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形
（2）解：四边形是正方形．理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角角边证明，由全等三角形的对应边相等可得AF=DB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD，于是可得AF=DC，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ADCF是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形是菱形；
（2）由等腰直角三角形的性质得AD⊥CD，根据“有一个角是直角的菱形是正方形可求解．
（1）解：∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵在中，，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）四边形是正方形．
理由如下：
当时，为等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴菱形是正方形．
24．【答案】解：∵，是上一点，即，
∴，，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得；
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得；
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】
由题意分两种情况：①当点在线段上，根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②当在线段上，同理可求解．
25．【答案】（1）①③
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，，
，，
∴，
，
∴
（3）解：连接，，如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在△BAG和△EAC中
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（2）的结论可知，，
∵，
，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等；
矩形的对角线互相平分且相等；
菱形对角线互相垂直平分；
平行四边形的对角线互相平分；
因此是垂美四边形的是①③；
故答案为：①③；
【分析】
（1）根据垂美四边形的定义可判断求解；
（2）根据勾股定理可求解；
（3）连接，，根据勾股定理得出，结合题意，用边角边证明，由全等三角形的对应角相等可得，根据直角三角形两锐角互余并结合等量代换可得，由垂线的定义可得，根据（2）的结论即可求解．
（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等；
矩形的对角线互相平分且相等；
菱形对角线互相垂直平分；
平行四边形的对角线互相平分；
因此是垂美四边形的是①③；
故答案为：①③；
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，，
，，
∴，
，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据解析（2）的结论可知，，
∵，
，
∴，
∴．
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