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四川省成都市青白江区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列道路交通图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算中正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为（　　）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
4．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
5．如图，直线截直线，下列说法正确的是（　　）
A．与是内错角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是同旁内角
6．用简便方法计算，变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．计算： 　 　
10．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为　 　．
11．如果一个三角形的两个内角都小于，那么这个三角形是　 　三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
12．如图为两个半圆重叠而成的图形，则图中阴影部分的面积为　 　．
13．（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中，．
15．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出关于直线对称的；
（2）求出的面积．
16．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ；
（2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
17．一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用 下表表示：
时间/t（min） 1 2.5 5 10 20 50 …
路程/s （km） 2 5 10 20 40 100 …
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）当汽车行驶路程s为20km时，所花的时间t是多少分钟？
（3）从表中说出随着t逐渐变大，s的变化趋势是什么？
（4）如果汽车行驶的时间为t (min)，行驶的路程为s ，那么路程s 与时间t之间的关系式为 .
（5）按照这一行驶规律，当所花的时向t是300min时，汽车行驶的路程 s是多少千米？
18．如图，已知于点，，，求证：．列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）
证明：
_____①_____（_____②_____）
∴_____③_____（_____④_____）
_____⑤_____（_____⑥_____）
_____⑦_____
_____⑧_____（_____⑨_____）
．（_____⑩_____）
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知，则的值是　 　．
20．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，则任意掷这枚骰子，掷出的数字为　 　的概率最大．
21．如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为　 　．
22．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是　 　．
23．如图，在四边形中，，，连接，，分别是线段，线段上的点，且始终满足，连接，，当最小时，恰好，此时　 　．
五、解答题（本大题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____；
（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____；
【问题解决】
（4）利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为_____；
②计算：．
25．如图1，在长方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．
（1）图2图象表示的两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）表格中的常数_____，常数的取值范围为_____；
面积（） 3 6 …
路程（） 1 2 3 8 …
（3）当点分别运动到线段，上时，分别求出与之间的关系式．
26．【数学理解】
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形；
【数学应用】
（2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度；
【联系拓广】
（3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的交通图标不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、 此选项中的交通图标是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、 此选项中的交通图标不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、 此选项中的交通图标不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减， 故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加， 故C不符合题意；
D、积的乘方等于乘方的积， 故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据同底数幂的乘法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.
故答案为：B.
【分析】根据随机事件的定义“在一定条件下，有可能发生，也可能不发生的事件是随机事件”逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，说法错误，不符合题意；
B、与是邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、与是内错角，原说法错误，不符合题意；
D、与是同旁内角，原说法正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的在截线同侧，且在被截两直线同方向的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的在截线同侧，且在被截两直线之间的两个角就是同旁内角；两条直线被第三条直线所截，形成的在截线异侧，且在被截两直线之间的两个角就是内错角，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】利用平方差公式进行简便运算，即可作答，平方差公式为．
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法知CO=DO，EO=EO，EC=ED，
∴ （SSS），
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的尺规作法可知CO=DO，EC=ED，由EO是公共边，从而可用三角形全等判定方法“SSS”判断出△COE≌△DOE.
8．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M，如图所示，
由轴对称的性质得AM=A'M，
∴
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故答案为：D．
【分析】作A关于l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M，由轴对称的性质得AM=A'M，根据线段和差及等量代换，将AM+BM转化为A'M，根据两点之间线段最短可得结论.
9．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
10．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：．
【分析】根据长方形面积等于长乘宽可建立出S关于x的关系式.
11．【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：一个三角形的两个内角都小于，
∴这两内角和，
又∵三角形内角和为，
第三个角，
这个三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【分析】先根据三角形的内角和为180°求出第三个内角的度数的范围，再根据小于90°且大于0°的角就是锐角，等于90°的角就是直角，大于90°且小于180°的角就是钝角，及有一个内角为钝角的三角形是钝角三角形，有一个内角为直角的三角形是直角三角形，三个内角都是锐角的三角形就是锐角三角形即可判断得出答案.
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：大半圆的面积：，
小半圆的面积：，
阴影面积：，
故答案为：．
【分析】根据半圆面积计算方法及阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，列式计算即可.
13．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行．
故答案为∶同位角相等，两直线平行．
【分析】根据平移的性质，平移三角尺的过程中，三角尺的一边（过已知直线b）与直尺的一边的夹角始终保持不变，只是被移动到三角尺的一边（过已知点P），形成了一对同位角，从而根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可得结论.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、负整数指数幂法则“”、同底数幂的除法法则“am÷an=am-n（a≠0，且m、n都为整数）”及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数乘法，最后计算有理数加减法得出答案；
（2）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式去小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算，最后把x、y的值代入化简结果计算即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式．
15．【答案】（1）解：如下图所示
（2）解：的面积
【知识点】作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别找到A、B、C的关于直线MN的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接长方形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可得出△ABC的面积.
（1）解：如下图所示：
（2）解：的面积
16．【答案】（1）
（2）解：设取走了x个红球，则放入白球的数量也为
解得
答：取走了4个红球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】（1）利用口袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数即可求出从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（2）设取走了x个红球，则放入白球的数量也为x，则袋中白色小球的个数为(4+x)个，袋中小球的总个数不变还是10个，从而根据口袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从口袋中随机摸出一个球是白球的概率，列出方程，求解即可.
17．【答案】解：（1）自变量是时间，因变量是路程；
（2） ∵当t=1时，s=2，
∴v==2km/min，
t==10min，
或者从表格直接观察得出；
（3） 由表得，随着t逐渐变大，s逐渐变大（或者时间每增加1分钟，路程增加2千米）；
（4）s=2t
（5） 把t=300代入s=2t，得s=600km．
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（4）∵当t=1时，s=2，
∴v==2km/min，
∴路程s与时间t之间的关系式为s=2t，
故答案为：s=2t；
【分析】（1）根据表格提供的信息可得汽车行驶的路程随行驶时间的变化而变化，从而根据自变量、因变量的定义即可得出答案；
（2）根据表格提供的信息写出汽车行驶路程s为20km时间即可；
（3）根据表格提供的信息，就会发现随着t逐渐变大，s的变化趋势；
（4）通过路程÷时间=速度，结合表格提供的信息，先求出汽车行驶的速度，再根据路程=速度×时间写出关系式即可；
（5）将t=300代入（4）所求的函数关系式算出对应的s的值即可.
18．【答案】∠2，同角的余角相等；BE，内错角相等，两直线平行；∠BAD，两直线平行，同旁内角互补；∠BAD；AB，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
，
，
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠2，同角的余角相等；BE，内错角相等，两直线平行；∠BAD，两直线平行，同旁内角互补；∠BAD；AB，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【分析】由垂直的定义得出∠AEC=90°，由角的构成、已知及同角的余角相等得出∠AEB=∠2，由内错角相等，两直线平行得AD∥BE，由二直线平行，同旁内角互补得出∠4+∠BAD=180°，利用等量代换得∠3+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CE，最后再根据两直线平行，同旁内角互补可得结论.
19．【答案】4
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
【分析】由已知等式可得2m2-m=3，将待求式子利用平方差公式及完全平方公式计算后再合并同类项化简，进而将化简后的式子含字母的项逆用乘法分配律变形为含2m2-m的形式，从而整体代入计算可得答案.
20．【答案】5和6
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：标“6”的面有：（个），
，，，，，，
∵，
∴掷出的数字为5和6的概率最大．
故答案为：5和6．
【分析】首先求出标“6”的面的数量，然后利用概率公式分别求出 任意掷这枚骰子，掷出的数字为1，2，3，4，5，6的概率，再比大小即可得出结论.
21．【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
在图2中，由折叠性质得，
∴，
∴，
在图3中，．
故答案为：．
【分析】在图2中，由二直线平行，同旁内角互补得∠BFE=68°，由折叠的性质及平角定义得2∠BFE+∠CFB=180°，从而代值计算得∠CFB=44°，在图3中，由折叠性质及角的构成，根据∠CFE=∠BFE-∠CFB可算出答案.
22．【答案】100
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵a、b、c表示一个三位数百位、十位及个位上的数字、
∴a、b、c都是自然数，且a≠0，
∴当b=c=0时，最小为0，最大，为100.
故答案为：100．
【分析】由于，根据被减数一定，减数越小差越大可得最小时，最大，由三位数各个数位上的数字特点得出 a、b、c都是自然数，且a≠0， 从而由被除数越小，商越小得出当b=c=0时，最小为0，最大，为100.
23．【答案】1
【知识点】两点之间线段最短；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：延长，在右侧作，取，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
如图，此时最小，
∵此时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】延长，在右侧作，取，连接，从而可用“SAS”证明△ABF≌△CGE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，；根据两点之间线段最短，得出当B、E、G三点共线时，BE+BF=BE+EG=BG最小，根据角的构成、等量代换及三角形外角的性质得，由二直线平行，同位角相等得，有角的构成得出，进而根据三角形的内角和定理推出，由等角对等边得出，即可得出答案．
24．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）①
解：②
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即；
故答案为：a2-b2；
（2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为；
故答案为：(a-b)(a+b)；
（3）由（1）（2）可得：；
故答案为：a2-b2=(a-b)(a+b)；
（4）①∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：3；
【分析】（1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，结合正方形面积公式即可得解；
（2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式表示出面积即可；
（3）根据图形的剪拼可得图1中阴影部分的面积等于图2中长方形的面积，结合（1）（2）结论即可得出答案；
（4）①根据（3）中的公式，将第一个等式左边变形后整体代入计算即可；
②根据（3）中的公式将每一个因式变形为两个因式的乘积形式，然后分别计算括号内的加减法，最后根据有理数乘法法则计算可得答案.
25．【答案】（1）解：根据函数的基本定义得路程x是自变量；面积y是因变量；
（2），
（3）解：根据题意，得点P在上时，，
故时，，
当时，点P在上时，，
综上所述，时，，当时，.
【知识点】动点问题的函数图象；自变量、因变量；数形结合
【解析】【解答】（2）解：根据题意，得点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动时，点P运动的路程为x=t个单位长度，
根据图象，得当AP=AB=4时，△APD的面积等于△ABD的面积，为，
则，
解得，
当x=8时，点P在上运动，
根据题意，得，
；
当点P从点B到点C的运动时间为：，此时y的值是定值6，
故．
故答案为：，；
【分析】（1）图2反应的是△APD的面积与点P运动的路程x之间的函数关系，从而根据函数基本概念即可得出自变量及因变量；
（2）根据图象， 当AP=AB=4时，△APD的面积等于△ABD的面积，为y=6， 然后根据三角形面积公式建立方程求出AD=3，当x=8时，点P在CD上运动，且DP=11-8=3，然后根据三角形面积公式列式计算可求出m的值；当点P从点B到点C的运动时间为：，此时y的值是定值6，故；
（3）当点P运动到线段AB上时，AP=x（0≤x≤4），然后根据直角三角形面积公式可表示出y关于x的函数关系式；当点P运动到线段CD上时，DP=11-x（7＜x≤11），然后根据直角三角形面积公式可表示出y关于x的函数关系式，综上可得答案.
（1）解：根据函数的基本定义，得路程x是自变量；面积y是因变量．
（2）解：根据题意，得点P从点A出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，得当时，的面积为，
根据题意，得，解得，
当时，点P在上运动，根据题意，得，
；
当点P从点B到点C的运动时间为：，此时y的值是定值6，
故．
故答案为：，．
（3）解：根据题意，得点P在上时，，
故时，，
当时，点P在上时，，
综上所述，时，，当时，．
26．【答案】（1）3
解：（2）如图2，过C作交的延长线于E，
与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
线段的长度为正整数，
；
（3）与是偏等积三角形．
理由：如图3，
，
，
，
，
，
，，
与不全等，
作于点F，交的延长线于点G，则，
，
，
在和中，，
，
，
，
与面积相等，
与是偏等积三角形
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接，
与在、边上的高相等，
当时，与的面积相等，
，
，
，
与不全等，
与是偏等积三角形；
故答案为：3；
【分析】（1）连接BP，由同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系可知当点P为AC中点时，△ABP与△BCP的面积相等；然后利用三角形全等的判定方法“SSS”可判断出△ABP与△CBP不全等，从而根据“偏等积三角形”定义即可得出结论；
（2）过C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据偏等积三角形定义，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等，则有BD=CD，从而根据“AAS”可证△ECD≌△ABD，由全等三角形的对应边相等得ED=AD，EC=AB=2，再根据三角形的三边关系可知AC-EC＜AE＜AC+EC，从而即可得解；
（3）先证明∠ACD≠∠BCE，从而利用“SAS”，说明△ACD与△BCE不全等；作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交CD的延长线于点G，由平角定义、角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ACG=∠BCF，从而利用“AAS”可证明△ACG≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得出AG=BF，从而根据等底等高三角形面积相等可推出△ACD与△BCE的面积相等，进而根据偏等积三角形”定义即可得出结论.
1 / 1四川省成都市青白江区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列道路交通图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的交通图标不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、 此选项中的交通图标是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、 此选项中的交通图标不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、 此选项中的交通图标不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．下列计算中正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减， 故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加， 故C不符合题意；
D、积的乘方等于乘方的积， 故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据同底数幂的乘法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．
3．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为（　　）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.
故答案为：B.
【分析】根据随机事件的定义“在一定条件下，有可能发生，也可能不发生的事件是随机事件”逐一判断即可.
5．如图，直线截直线，下列说法正确的是（　　）
A．与是内错角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是同旁内角
【答案】D
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，说法错误，不符合题意；
B、与是邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、与是内错角，原说法错误，不符合题意；
D、与是同旁内角，原说法正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的在截线同侧，且在被截两直线同方向的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的在截线同侧，且在被截两直线之间的两个角就是同旁内角；两条直线被第三条直线所截，形成的在截线异侧，且在被截两直线之间的两个角就是内错角，据此逐一判断得出答案.
6．用简便方法计算，变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】利用平方差公式进行简便运算，即可作答，平方差公式为．
7．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法知CO=DO，EO=EO，EC=ED，
∴ （SSS），
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的尺规作法可知CO=DO，EC=ED，由EO是公共边，从而可用三角形全等判定方法“SSS”判断出△COE≌△DOE.
8．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M，如图所示，
由轴对称的性质得AM=A'M，
∴
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故答案为：D．
【分析】作A关于l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M，由轴对称的性质得AM=A'M，根据线段和差及等量代换，将AM+BM转化为A'M，根据两点之间线段最短可得结论.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．计算： 　 　
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
10．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：．
【分析】根据长方形面积等于长乘宽可建立出S关于x的关系式.
11．如果一个三角形的两个内角都小于，那么这个三角形是　 　三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：一个三角形的两个内角都小于，
∴这两内角和，
又∵三角形内角和为，
第三个角，
这个三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【分析】先根据三角形的内角和为180°求出第三个内角的度数的范围，再根据小于90°且大于0°的角就是锐角，等于90°的角就是直角，大于90°且小于180°的角就是钝角，及有一个内角为钝角的三角形是钝角三角形，有一个内角为直角的三角形是直角三角形，三个内角都是锐角的三角形就是锐角三角形即可判断得出答案.
12．如图为两个半圆重叠而成的图形，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：大半圆的面积：，
小半圆的面积：，
阴影面积：，
故答案为：．
【分析】根据半圆面积计算方法及阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，列式计算即可.
13．（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行．
故答案为∶同位角相等，两直线平行．
【分析】根据平移的性质，平移三角尺的过程中，三角尺的一边（过已知直线b）与直尺的一边的夹角始终保持不变，只是被移动到三角尺的一边（过已知点P），形成了一对同位角，从而根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可得结论.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、负整数指数幂法则“”、同底数幂的除法法则“am÷an=am-n（a≠0，且m、n都为整数）”及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数乘法，最后计算有理数加减法得出答案；
（2）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式去小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算，最后把x、y的值代入化简结果计算即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式．
15．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出关于直线对称的；
（2）求出的面积．
【答案】（1）解：如下图所示
（2）解：的面积
【知识点】作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别找到A、B、C的关于直线MN的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接长方形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可得出△ABC的面积.
（1）解：如下图所示：
（2）解：的面积
16．在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ；
（2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？
【答案】（1）
（2）解：设取走了x个红球，则放入白球的数量也为
解得
答：取走了4个红球
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】（1）利用口袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数即可求出从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（2）设取走了x个红球，则放入白球的数量也为x，则袋中白色小球的个数为(4+x)个，袋中小球的总个数不变还是10个，从而根据口袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从口袋中随机摸出一个球是白球的概率，列出方程，求解即可.
17．一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用 下表表示：
时间/t（min） 1 2.5 5 10 20 50 …
路程/s （km） 2 5 10 20 40 100 …
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）当汽车行驶路程s为20km时，所花的时间t是多少分钟？
（3）从表中说出随着t逐渐变大，s的变化趋势是什么？
（4）如果汽车行驶的时间为t (min)，行驶的路程为s ，那么路程s 与时间t之间的关系式为 .
（5）按照这一行驶规律，当所花的时向t是300min时，汽车行驶的路程 s是多少千米？
【答案】解：（1）自变量是时间，因变量是路程；
（2） ∵当t=1时，s=2，
∴v==2km/min，
t==10min，
或者从表格直接观察得出；
（3） 由表得，随着t逐渐变大，s逐渐变大（或者时间每增加1分钟，路程增加2千米）；
（4）s=2t
（5） 把t=300代入s=2t，得s=600km．
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（4）∵当t=1时，s=2，
∴v==2km/min，
∴路程s与时间t之间的关系式为s=2t，
故答案为：s=2t；
【分析】（1）根据表格提供的信息可得汽车行驶的路程随行驶时间的变化而变化，从而根据自变量、因变量的定义即可得出答案；
（2）根据表格提供的信息写出汽车行驶路程s为20km时间即可；
（3）根据表格提供的信息，就会发现随着t逐渐变大，s的变化趋势；
（4）通过路程÷时间=速度，结合表格提供的信息，先求出汽车行驶的速度，再根据路程=速度×时间写出关系式即可；
（5）将t=300代入（4）所求的函数关系式算出对应的s的值即可.
18．如图，已知于点，，，求证：．列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）
证明：
_____①_____（_____②_____）
∴_____③_____（_____④_____）
_____⑤_____（_____⑥_____）
_____⑦_____
_____⑧_____（_____⑨_____）
．（_____⑩_____）
【答案】∠2，同角的余角相等；BE，内错角相等，两直线平行；∠BAD，两直线平行，同旁内角互补；∠BAD；AB，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
，
，
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠2，同角的余角相等；BE，内错角相等，两直线平行；∠BAD，两直线平行，同旁内角互补；∠BAD；AB，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【分析】由垂直的定义得出∠AEC=90°，由角的构成、已知及同角的余角相等得出∠AEB=∠2，由内错角相等，两直线平行得AD∥BE，由二直线平行，同旁内角互补得出∠4+∠BAD=180°，利用等量代换得∠3+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CE，最后再根据两直线平行，同旁内角互补可得结论.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知，则的值是　 　．
【答案】4
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
【分析】由已知等式可得2m2-m=3，将待求式子利用平方差公式及完全平方公式计算后再合并同类项化简，进而将化简后的式子含字母的项逆用乘法分配律变形为含2m2-m的形式，从而整体代入计算可得答案.
20．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，则任意掷这枚骰子，掷出的数字为　 　的概率最大．
【答案】5和6
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：标“6”的面有：（个），
，，，，，，
∵，
∴掷出的数字为5和6的概率最大．
故答案为：5和6．
【分析】首先求出标“6”的面的数量，然后利用概率公式分别求出 任意掷这枚骰子，掷出的数字为1，2，3，4，5，6的概率，再比大小即可得出结论.
21．如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
在图2中，由折叠性质得，
∴，
∴，
在图3中，．
故答案为：．
【分析】在图2中，由二直线平行，同旁内角互补得∠BFE=68°，由折叠的性质及平角定义得2∠BFE+∠CFB=180°，从而代值计算得∠CFB=44°，在图3中，由折叠性质及角的构成，根据∠CFE=∠BFE-∠CFB可算出答案.
22．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是　 　．
【答案】100
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵a、b、c表示一个三位数百位、十位及个位上的数字、
∴a、b、c都是自然数，且a≠0，
∴当b=c=0时，最小为0，最大，为100.
故答案为：100．
【分析】由于，根据被减数一定，减数越小差越大可得最小时，最大，由三位数各个数位上的数字特点得出 a、b、c都是自然数，且a≠0， 从而由被除数越小，商越小得出当b=c=0时，最小为0，最大，为100.
23．如图，在四边形中，，，连接，，分别是线段，线段上的点，且始终满足，连接，，当最小时，恰好，此时　 　．
【答案】1
【知识点】两点之间线段最短；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：延长，在右侧作，取，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
如图，此时最小，
∵此时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】延长，在右侧作，取，连接，从而可用“SAS”证明△ABF≌△CGE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，；根据两点之间线段最短，得出当B、E、G三点共线时，BE+BF=BE+EG=BG最小，根据角的构成、等量代换及三角形外角的性质得，由二直线平行，同位角相等得，有角的构成得出，进而根据三角形的内角和定理推出，由等角对等边得出，即可得出答案．
五、解答题（本大题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____；
（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____；
【问题解决】
（4）利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为_____；
②计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）①
解：②
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即；
故答案为：a2-b2；
（2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为；
故答案为：(a-b)(a+b)；
（3）由（1）（2）可得：；
故答案为：a2-b2=(a-b)(a+b)；
（4）①∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：3；
【分析】（1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，结合正方形面积公式即可得解；
（2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式表示出面积即可；
（3）根据图形的剪拼可得图1中阴影部分的面积等于图2中长方形的面积，结合（1）（2）结论即可得出答案；
（4）①根据（3）中的公式，将第一个等式左边变形后整体代入计算即可；
②根据（3）中的公式将每一个因式变形为两个因式的乘积形式，然后分别计算括号内的加减法，最后根据有理数乘法法则计算可得答案.
25．如图1，在长方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．
（1）图2图象表示的两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）表格中的常数_____，常数的取值范围为_____；
面积（） 3 6 …
路程（） 1 2 3 8 …
（3）当点分别运动到线段，上时，分别求出与之间的关系式．
【答案】（1）解：根据函数的基本定义得路程x是自变量；面积y是因变量；
（2），
（3）解：根据题意，得点P在上时，，
故时，，
当时，点P在上时，，
综上所述，时，，当时，.
【知识点】动点问题的函数图象；自变量、因变量；数形结合
【解析】【解答】（2）解：根据题意，得点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动时，点P运动的路程为x=t个单位长度，
根据图象，得当AP=AB=4时，△APD的面积等于△ABD的面积，为，
则，
解得，
当x=8时，点P在上运动，
根据题意，得，
；
当点P从点B到点C的运动时间为：，此时y的值是定值6，
故．
故答案为：，；
【分析】（1）图2反应的是△APD的面积与点P运动的路程x之间的函数关系，从而根据函数基本概念即可得出自变量及因变量；
（2）根据图象， 当AP=AB=4时，△APD的面积等于△ABD的面积，为y=6， 然后根据三角形面积公式建立方程求出AD=3，当x=8时，点P在CD上运动，且DP=11-8=3，然后根据三角形面积公式列式计算可求出m的值；当点P从点B到点C的运动时间为：，此时y的值是定值6，故；
（3）当点P运动到线段AB上时，AP=x（0≤x≤4），然后根据直角三角形面积公式可表示出y关于x的函数关系式；当点P运动到线段CD上时，DP=11-x（7＜x≤11），然后根据直角三角形面积公式可表示出y关于x的函数关系式，综上可得答案.
（1）解：根据函数的基本定义，得路程x是自变量；面积y是因变量．
（2）解：根据题意，得点P从点A出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，得当时，的面积为，
根据题意，得，解得，
当时，点P在上运动，根据题意，得，
；
当点P从点B到点C的运动时间为：，此时y的值是定值6，
故．
故答案为：，．
（3）解：根据题意，得点P在上时，，
故时，，
当时，点P在上时，，
综上所述，时，，当时，．
26．【数学理解】
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形；
【数学应用】
（2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度；
【联系拓广】
（3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）3
解：（2）如图2，过C作交的延长线于E，
与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
线段的长度为正整数，
；
（3）与是偏等积三角形．
理由：如图3，
，
，
，
，
，
，，
与不全等，
作于点F，交的延长线于点G，则，
，
，
在和中，，
，
，
，
与面积相等，
与是偏等积三角形
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接，
与在、边上的高相等，
当时，与的面积相等，
，
，
，
与不全等，
与是偏等积三角形；
故答案为：3；
【分析】（1）连接BP，由同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系可知当点P为AC中点时，△ABP与△BCP的面积相等；然后利用三角形全等的判定方法“SSS”可判断出△ABP与△CBP不全等，从而根据“偏等积三角形”定义即可得出结论；
（2）过C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据偏等积三角形定义，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等，则有BD=CD，从而根据“AAS”可证△ECD≌△ABD，由全等三角形的对应边相等得ED=AD，EC=AB=2，再根据三角形的三边关系可知AC-EC＜AE＜AC+EC，从而即可得解；
（3）先证明∠ACD≠∠BCE，从而利用“SAS”，说明△ACD与△BCE不全等；作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交CD的延长线于点G，由平角定义、角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ACG=∠BCF，从而利用“AAS”可证明△ACG≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得出AG=BF，从而根据等底等高三角形面积相等可推出△ACD与△BCE的面积相等，进而根据偏等积三角形”定义即可得出结论.
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