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广东省深圳市福田区2024-2025学年八年级下学期数学期末教学质量检测试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．）
1．下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3． 下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行
6．如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是(　　)
A． B． C． D．
7．某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（　　）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
8．如图，在中，，，将 边绕着点A逆时针旋转 ，旋转后的对应线段与边交于点E，连接，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．因式分解：x2﹣x=　 　．
10．如图，八角窗花的窗格是中国古代建筑中一抹独到的风景，其外观是一个正八边形，则它的每一个外角为　 　．
11．如果不等式组的解集是，则m的值可以是　 　（写出一个符合要求的值即可）．
12．如图，平行四边形的面积为7，对角线交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为　 　．
13．如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分）
14．下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：不等式①，去分母，得，（第一步）
移项，合并同类项，得，（第二步）
系数化为1，得，（第三步）
解不等式②，得，（第四步）|
所以原不等式组无解．（第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ．
（2）在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 ．
（3）解不等式组：
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图 ，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，，．
（1）将先向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到，其中点，， 的对应点分别是，，，请在图中画出；
（2）将绕点顺时针旋转 得到图形，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出；
（3）观察线段和线段，它们所在直线的位置关系为 ．
17．【阅读材料】
我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
．
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：
（1）填空：
① ②
＝
．
③ ④．
（2）将下列各式因式分解：
① ；
②．
18．已知平行四边形．
（1）如图所示，请你用无刻度的直尺和圆规在 边上找一个点 F，使得点F到直线和直线的距离相等；（请保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BF，若，且，请你求出平行四边形的面积．
19．深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用．某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x ① 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 ② ③ 18吨
（1）任务一：现回收废纸和废塑料共50吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，请补全表格数据（用含x的代数式表示）；
（2）任务二：请求出（1）中x的值；
（3）任务三：如图 2，在某区的智能回收箱运营体系中，点A为清运回收点，点B为分拣点，点C为打包点，点D为回收加工点，且满足：，千米，千米，的垂直平分线与交于点D．将各点位置简化为图3．现需在 边上设置智能回收运营点G，使得点G到点A，B，C，D四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值．
20．【特例研究】
（1）在中，点D是的中点，
①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且；
②如图 2，若，，的取值范围为 ．
（2）【拓展延伸】
如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接．
①请求出的最小值；
②当等于多少时，？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意！
故答案为：B．
【分析】这道题主要考查对轴对称图形与中心对称图形的识别，想要正确解答本题，熟练掌握两类图形的定义是关键，我们只需要依据定义逐一分析每个选项就可以得到答案。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边加，不等号方向不变，，A错误.
B、不等式两边乘，不等号方向改变，，B错误.
C、不等式两边减，不等号方向不变，，C错误.
D、不等式两边除以，不等号方向不变，，D正确.
故答案为：D .
【分析】根据不等式的基本性质（加、减、乘、除同一个数时，不等号方向的变化规则 ），逐一判断选项.
3．【答案】A
【知识点】因式分解的概念；最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、分子与分母无公因式，是最简分式，A正确.
B、分子分母有公因式，可化简为，不是最简，B错误.
C、分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简，C错误.
D、分子，与分母有公因式，可化简为，不是最简，D错误.
故答案为：A .
【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，通过因式分解判断分子分母是否有公因式，逐一分析选项.
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边最后不是积的形式，不符合题意；
C、运用是平方差公式分解因式，符合题意；
D、等式右边最后不是积的形式，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题的核心是对因式分解的概念进行判定，我们把一个多项式整理为多个最简整式乘积的形式，这种变形就叫做因式分解，也叫作分解因式。我们只需要结合因式分解的定义，逐一判断每个选项是否符合“把多项式转化为多个整式乘积”的要求即可。
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意可知，，且，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故答案为：A．
【分析】本题的核心考点是平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，能够结合题目条件进行推导判断。
6．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可知：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方，∴关于x的不等式的解集是．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系，解题的核心是依据两个函数图象在坐标系中的上下位置关系，确定不等式的解集。我们可以直接结合函数图象，利用数形结合的方法确定该不等式的解集。
7．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设可以购进x只，则可以购进只，根据题意得：，
解得：，
∴x的最大值为4，
∴最多可以购进4只．
故答案为：D．
【分析】设可以购进x只，则可以购进只，根据 该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元 ，可得出不等式，解不等式求解集，进一步得出最大整数解即可。
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点 作于点，作于点，
∵，，根据等腰三角形三线合一性质，
∴
在中，，，
∴，，
∴
由旋转性质可知，，，，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
∵，，
∴
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
综上，的长为
故答案为：B.
【分析】我们过点作，垂足为点，再作，垂足为点。在中，已知，，结合直角三角形的性质可以计算得到。接下来我们可以证明，由此即可推出为等腰直角三角形，最后即可完成求解。
9．【答案】x（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2﹣x=x（x﹣1）．
故答案为：x（x﹣1）．
【分析】提取公因式x即可．
10．【答案】45
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：依题意，多边形外角和是，正八边形每个外角相等，
∴每个外角为．
故答案为：45．
【分析】这道题考查正多边形的性质以及多边形的外角和定理。我们知道，任意多边形的外角和固定为，同时正多边形的每一个外角都是相等的，只需要用外角和总数除以正多边形的边数，就可以计算出正多边形一个外角的度数。
11．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，∴由得，
∴．
∵不等式组解集是，且
∴，
则可取3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【分析】这道题是已知不等式组的解集，求解参数的取值问题，我们可以先解出第一个不等式，再根据不等式组解集“同大取大”的确定规则，得到参数的取值范围，最终就能求出符合要求的参数值。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
阴影部分面积，
平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，，
故答案为：．
【分析】本题核心考查平行四边形的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关判定定理与性质是解答本题的关键。求解时，我们可以先利用平行四边形“对角线互相平分”“对边平行”的性质，证明图中两个三角形全等，再根据全等三角形面积相等的性质，将阴影部分的总面积转化为平行四边形中一个三角形的面积，最后结合平行四边形的对角线平分平行四边形面积的性质，计算得到最终结果。
13．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在的垂直平分线上，
连接
则长方形中的垂直平分线是过、交点，
依题意，运动时间时，在上，；
依题意时，在上，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，，
即，
∴，
解得．
故答案为：12．
【分析】首先根据 当运动时间t为或时，点P均满足， 可得出点P在的垂直平分线上，连接，依题意，运动时间时，在上，；依题意时，在上，，通过证明，可得出，进而得出，，在中，根据勾股定理可得出，解得。
14．【答案】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变
（3）解：∵∴由①得，
∴由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
【分析】（1）我们可以依据不等式的基本性质，对对应问题进行分析推导，得到相应结论。
（2）我们通过观察题目给出的解题过程，就能找出问题并得到对应答案。
（3）求解不等式组时，我们只需要先分别求出组内每个不等式的解集，再取所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集。
（1）解：依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）解：在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
（3）解：∵
∴由①得，
∴由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
15．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的化简求值；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先对原式按照分式混合运算的计算法则进行化简，再将给定的数值代入化简后的式子，即可求出最终结果。
16．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）相互垂直（或相交）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解（3）解：由图可知，它们所在直线的位置关系为相互垂直（或相交）．
故答案为：相互垂直（或相交）．
【分析】（1）依据平移的性质，即可完成对应图形的绘制。
（2）依据旋转的性质，即可完成对应图形的绘制。
（3）观察最终绘制完成的图形，即可得到对应结论。
（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：由图可知，它们所在直线的位置关系为相互垂直（或相交）．
故答案为：相互垂直（或相交）．
17．【答案】（1）①1；②1；③9；④9
（2）①；②
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】 【解答】
（1）
解：
=，
∴①，②，
=，
∴③，④．
故答案为：①1；②1；③9；④9；
（2）
解：①原式=；
②原式．
【分析】
（1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解．
（2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解．
②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解．
（1）解：：配方法，加再减，
即，
分解得，
所以①，②，
：配方法，加再减，
即，
分解得，
所以③，④．
故答案为：①1；②1；③9；④9；
（2）解：①原式=；
②原式．
18．【答案】（1）解：方法一：如下图，
作的角平分线，交于点F，点F即为所求；
方法二：如下图，
以点 D为圆心，为半径作弧，交于点F，点F即为所求．
（2）解：如图，
在平行四边形中，且，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理，得，
∵ 点F到直线和的距离相等，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）方法一：我们可以利用角平分线的性质，作出的角平分线，该角平分线与的交点记为F，这个点F就是要求作的点；方法二：还可以以点D为圆心，的长度为半径画弧，该弧与的交点记为F，这个点F就是要求作的点；
（2）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可知，且，结合BF⊥CD，BF=4，在Rt△BCF中，由勾股定理可以计算得到。由（1）我们可以得到平分，因此，又因为DC∥AB，可得∠DFA=∠FAB，因此，由等角对等边可知，因此CD的长度为，平行四边形ABCD的面积为底乘高，即。
（1）解：方法一：如下图，
作的角平分线，交于点F，点F即为所求；
方法二：如下图，
以点 D为圆心，为半径作弧，交于点F，点F即为所求．
（2）解：如图，
在平行四边形中，且，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理，得，
∵ 点F到直线和的距离相等，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）①，②，③
（2）解：依题意，，
解得，
经检验，是原分式方程的解。
（3）解：依题意，延长至点E，使得，连接交于点G，点G即为所求，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，得点W，
连接，与交于点F，连接∵的垂直平分线与交于点D．
，
，
∵
∴
，
∵
，
，
，
点为的中点，
所在直线是的垂直平分线，
∴点F为的中点，；
是的中位线，
，
又，
，
又，
由勾股定理，，
又，
到A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：．
【知识点】分式方程的实际应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的中位线定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）∵已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，且结合表格数据，∴可回炼无铅汽油是吨，生产再生纸的数量为吨，
则，
补全表格数据：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 18吨
故答案为：①，②，③
【分析】（1）结合题目给出的条件，我们可以先推得可回炼无铅汽油的重量为吨，能够生产的再生纸总量为吨，据此就可以补全题目要求的表格；
（2）已知回收的废纸和废塑料加起来总重量为50吨，我们可以据此列出分式方程，求解这个方程就能得到对应的答案。
（3）我们先延长到点E，让，连接，它和的交点就是我们要找的点G。接下来分别以点和为圆心，取长度大于为半径画弧，得到交点W，连接，这条线和交于点F，最后连接。
首先我们可以推出点D是AC的中点，因此DF就是三角形ABC的中位线，再结合勾股定理可以得到，最后代入数值，利用计算，就可以得到最终答案。
（1）解：∵已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，且结合表格数据，
∴可回炼无铅汽油是吨，生产再生纸的数量为吨，
则，
补全表格数据：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 18吨
故答案为：①，②，③
（2）解：依题意，，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（3）解：依题意，延长至点E，使得，连接交于点G，点G即为所求，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，得点W，连接，与交于点F，连接
∵的垂直平分线与交于点D．
，
，
∵
∴
，
∵
，
，
，
点为的中点，
所在直线是的垂直平分线，
∴点F为的中点，；
是的中位线，
，
又，
，
又，
由勾股定理，，
又，
到A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：．
20．【答案】（1）解：①证明：∵ 点D是的中点，∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴；
②
（2）解：①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，（等号成立时，动点E和定点H重合）
∴，
∴的最小值为．
②当时，如上图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解（1）②延长到点Q，使，连接．
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
故．
故答案为：．
【分析】（1）①首先根据SAS证明 ， 之后我们可以借助全等三角形对应角相等的性质，结合平行线的判定定理推导出对应结论；
② 延长到点Q；使，连接， 根据SAS证得，最后结合三角形的三边关系定理，就可以推导出我们需要的结论；
（2）①这一步需要做辅助线： 延长至点N，使得，连接；，垂足为H， 之后结合等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，就能推导得出对应结论；
②这一步可以借助等腰直角三角形的性质，先得到对应边相等，再完成相关推导证明即可。
（1）解：①证明：∵ 点D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴；
②解：延长到点Q，使，连接．
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
故．
故答案为：．
（2）解：①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，（等号成立时，动点E和定点H重合）
∴，
∴的最小值为．
②当时，如上图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
1 / 1广东省深圳市福田区2024-2025学年八年级下学期数学期末教学质量检测试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．）
1．下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意！
故答案为：B．
【分析】这道题主要考查对轴对称图形与中心对称图形的识别，想要正确解答本题，熟练掌握两类图形的定义是关键，我们只需要依据定义逐一分析每个选项就可以得到答案。
2． 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边加，不等号方向不变，，A错误.
B、不等式两边乘，不等号方向改变，，B错误.
C、不等式两边减，不等号方向不变，，C错误.
D、不等式两边除以，不等号方向不变，，D正确.
故答案为：D .
【分析】根据不等式的基本性质（加、减、乘、除同一个数时，不等号方向的变化规则 ），逐一判断选项.
3． 下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念；最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、分子与分母无公因式，是最简分式，A正确.
B、分子分母有公因式，可化简为，不是最简，B错误.
C、分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简，C错误.
D、分子，与分母有公因式，可化简为，不是最简，D错误.
故答案为：A .
【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，通过因式分解判断分子分母是否有公因式，逐一分析选项.
4．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边最后不是积的形式，不符合题意；
C、运用是平方差公式分解因式，符合题意；
D、等式右边最后不是积的形式，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题的核心是对因式分解的概念进行判定，我们把一个多项式整理为多个最简整式乘积的形式，这种变形就叫做因式分解，也叫作分解因式。我们只需要结合因式分解的定义，逐一判断每个选项是否符合“把多项式转化为多个整式乘积”的要求即可。
5．如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意可知，，且，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故答案为：A．
【分析】本题的核心考点是平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，能够结合题目条件进行推导判断。
6．如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可知：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方，∴关于x的不等式的解集是．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系，解题的核心是依据两个函数图象在坐标系中的上下位置关系，确定不等式的解集。我们可以直接结合函数图象，利用数形结合的方法确定该不等式的解集。
7．某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（　　）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设可以购进x只，则可以购进只，根据题意得：，
解得：，
∴x的最大值为4，
∴最多可以购进4只．
故答案为：D．
【分析】设可以购进x只，则可以购进只，根据 该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元 ，可得出不等式，解不等式求解集，进一步得出最大整数解即可。
8．如图，在中，，，将 边绕着点A逆时针旋转 ，旋转后的对应线段与边交于点E，连接，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点 作于点，作于点，
∵，，根据等腰三角形三线合一性质，
∴
在中，，，
∴，，
∴
由旋转性质可知，，，，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
∵，，
∴
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
综上，的长为
故答案为：B.
【分析】我们过点作，垂足为点，再作，垂足为点。在中，已知，，结合直角三角形的性质可以计算得到。接下来我们可以证明，由此即可推出为等腰直角三角形，最后即可完成求解。
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．因式分解：x2﹣x=　 　．
【答案】x（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2﹣x=x（x﹣1）．
故答案为：x（x﹣1）．
【分析】提取公因式x即可．
10．如图，八角窗花的窗格是中国古代建筑中一抹独到的风景，其外观是一个正八边形，则它的每一个外角为　 　．
【答案】45
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：依题意，多边形外角和是，正八边形每个外角相等，
∴每个外角为．
故答案为：45．
【分析】这道题考查正多边形的性质以及多边形的外角和定理。我们知道，任意多边形的外角和固定为，同时正多边形的每一个外角都是相等的，只需要用外角和总数除以正多边形的边数，就可以计算出正多边形一个外角的度数。
11．如果不等式组的解集是，则m的值可以是　 　（写出一个符合要求的值即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，∴由得，
∴．
∵不等式组解集是，且
∴，
则可取3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【分析】这道题是已知不等式组的解集，求解参数的取值问题，我们可以先解出第一个不等式，再根据不等式组解集“同大取大”的确定规则，得到参数的取值范围，最终就能求出符合要求的参数值。
12．如图，平行四边形的面积为7，对角线交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
阴影部分面积，
平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，，
故答案为：．
【分析】本题核心考查平行四边形的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关判定定理与性质是解答本题的关键。求解时，我们可以先利用平行四边形“对角线互相平分”“对边平行”的性质，证明图中两个三角形全等，再根据全等三角形面积相等的性质，将阴影部分的总面积转化为平行四边形中一个三角形的面积，最后结合平行四边形的对角线平分平行四边形面积的性质，计算得到最终结果。
13．如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在的垂直平分线上，
连接
则长方形中的垂直平分线是过、交点，
依题意，运动时间时，在上，；
依题意时，在上，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，，
即，
∴，
解得．
故答案为：12．
【分析】首先根据 当运动时间t为或时，点P均满足， 可得出点P在的垂直平分线上，连接，依题意，运动时间时，在上，；依题意时，在上，，通过证明，可得出，进而得出，，在中，根据勾股定理可得出，解得。
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分）
14．下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：不等式①，去分母，得，（第一步）
移项，合并同类项，得，（第二步）
系数化为1，得，（第三步）
解不等式②，得，（第四步）|
所以原不等式组无解．（第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ．
（2）在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 ．
（3）解不等式组：
【答案】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变
（3）解：∵∴由①得，
∴由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
【分析】（1）我们可以依据不等式的基本性质，对对应问题进行分析推导，得到相应结论。
（2）我们通过观察题目给出的解题过程，就能找出问题并得到对应答案。
（3）求解不等式组时，我们只需要先分别求出组内每个不等式的解集，再取所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集。
（1）解：依题意，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变
（2）解：在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向应该改变．
（3）解：∵
∴由①得，
∴由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的化简求值；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先对原式按照分式混合运算的计算法则进行化简，再将给定的数值代入化简后的式子，即可求出最终结果。
16．如图 ，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，，．
（1）将先向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到，其中点，， 的对应点分别是，，，请在图中画出；
（2）将绕点顺时针旋转 得到图形，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出；
（3）观察线段和线段，它们所在直线的位置关系为 ．
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）相互垂直（或相交）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解（3）解：由图可知，它们所在直线的位置关系为相互垂直（或相交）．
故答案为：相互垂直（或相交）．
【分析】（1）依据平移的性质，即可完成对应图形的绘制。
（2）依据旋转的性质，即可完成对应图形的绘制。
（3）观察最终绘制完成的图形，即可得到对应结论。
（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：由图可知，它们所在直线的位置关系为相互垂直（或相交）．
故答案为：相互垂直（或相交）．
17．【阅读材料】
我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
．
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：
（1）填空：
① ②
＝
．
③ ④．
（2）将下列各式因式分解：
① ；
②．
【答案】（1）①1；②1；③9；④9
（2）①；②
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】 【解答】
（1）
解：
=，
∴①，②，
=，
∴③，④．
故答案为：①1；②1；③9；④9；
（2）
解：①原式=；
②原式．
【分析】
（1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解．
（2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解．
②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解．
（1）解：：配方法，加再减，
即，
分解得，
所以①，②，
：配方法，加再减，
即，
分解得，
所以③，④．
故答案为：①1；②1；③9；④9；
（2）解：①原式=；
②原式．
18．已知平行四边形．
（1）如图所示，请你用无刻度的直尺和圆规在 边上找一个点 F，使得点F到直线和直线的距离相等；（请保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BF，若，且，请你求出平行四边形的面积．
【答案】（1）解：方法一：如下图，
作的角平分线，交于点F，点F即为所求；
方法二：如下图，
以点 D为圆心，为半径作弧，交于点F，点F即为所求．
（2）解：如图，
在平行四边形中，且，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理，得，
∵ 点F到直线和的距离相等，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）方法一：我们可以利用角平分线的性质，作出的角平分线，该角平分线与的交点记为F，这个点F就是要求作的点；方法二：还可以以点D为圆心，的长度为半径画弧，该弧与的交点记为F，这个点F就是要求作的点；
（2）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可知，且，结合BF⊥CD，BF=4，在Rt△BCF中，由勾股定理可以计算得到。由（1）我们可以得到平分，因此，又因为DC∥AB，可得∠DFA=∠FAB，因此，由等角对等边可知，因此CD的长度为，平行四边形ABCD的面积为底乘高，即。
（1）解：方法一：如下图，
作的角平分线，交于点F，点F即为所求；
方法二：如下图，
以点 D为圆心，为半径作弧，交于点F，点F即为所求．
（2）解：如图，
在平行四边形中，且，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理，得，
∵ 点F到直线和的距离相等，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用．某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x ① 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 ② ③ 18吨
（1）任务一：现回收废纸和废塑料共50吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，请补全表格数据（用含x的代数式表示）；
（2）任务二：请求出（1）中x的值；
（3）任务三：如图 2，在某区的智能回收箱运营体系中，点A为清运回收点，点B为分拣点，点C为打包点，点D为回收加工点，且满足：，千米，千米，的垂直平分线与交于点D．将各点位置简化为图3．现需在 边上设置智能回收运营点G，使得点G到点A，B，C，D四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值．
【答案】（1）①，②，③
（2）解：依题意，，
解得，
经检验，是原分式方程的解。
（3）解：依题意，延长至点E，使得，连接交于点G，点G即为所求，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，得点W，
连接，与交于点F，连接∵的垂直平分线与交于点D．
，
，
∵
∴
，
∵
，
，
，
点为的中点，
所在直线是的垂直平分线，
∴点F为的中点，；
是的中位线，
，
又，
，
又，
由勾股定理，，
又，
到A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：．
【知识点】分式方程的实际应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的中位线定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）∵已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，且结合表格数据，∴可回炼无铅汽油是吨，生产再生纸的数量为吨，
则，
补全表格数据：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 18吨
故答案为：①，②，③
【分析】（1）结合题目给出的条件，我们可以先推得可回炼无铅汽油的重量为吨，能够生产的再生纸总量为吨，据此就可以补全题目要求的表格；
（2）已知回收的废纸和废塑料加起来总重量为50吨，我们可以据此列出分式方程，求解这个方程就能得到对应的答案。
（3）我们先延长到点E，让，连接，它和的交点就是我们要找的点G。接下来分别以点和为圆心，取长度大于为半径画弧，得到交点W，连接，这条线和交于点F，最后连接。
首先我们可以推出点D是AC的中点，因此DF就是三角形ABC的中位线，再结合勾股定理可以得到，最后代入数值，利用计算，就可以得到最终答案。
（1）解：∵已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产x吨再生纸，且结合表格数据，
∴可回炼无铅汽油是吨，生产再生纸的数量为吨，
则，
补全表格数据：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 18吨
故答案为：①，②，③
（2）解：依题意，，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（3）解：依题意，延长至点E，使得，连接交于点G，点G即为所求，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，得点W，连接，与交于点F，连接
∵的垂直平分线与交于点D．
，
，
∵
∴
，
∵
，
，
，
点为的中点，
所在直线是的垂直平分线，
∴点F为的中点，；
是的中位线，
，
又，
，
又，
由勾股定理，，
又，
到A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：．
20．【特例研究】
（1）在中，点D是的中点，
①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且；
②如图 2，若，，的取值范围为 ．
（2）【拓展延伸】
如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接．
①请求出的最小值；
②当等于多少时，？请说明理由．
【答案】（1）解：①证明：∵ 点D是的中点，∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴；
②
（2）解：①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，（等号成立时，动点E和定点H重合）
∴，
∴的最小值为．
②当时，如上图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解（1）②延长到点Q，使，连接．
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
故．
故答案为：．
【分析】（1）①首先根据SAS证明 ， 之后我们可以借助全等三角形对应角相等的性质，结合平行线的判定定理推导出对应结论；
② 延长到点Q；使，连接， 根据SAS证得，最后结合三角形的三边关系定理，就可以推导出我们需要的结论；
（2）①这一步需要做辅助线： 延长至点N，使得，连接；，垂足为H， 之后结合等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，就能推导得出对应结论；
②这一步可以借助等腰直角三角形的性质，先得到对应边相等，再完成相关推导证明即可。
（1）解：①证明：∵ 点D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴；
②解：延长到点Q，使，连接．
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
故．
故答案为：．
（2）解：①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H
∵ 点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，（等号成立时，动点E和定点H重合）
∴，
∴的最小值为．
②当时，如上图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
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