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浙江省金华市义乌绣湖中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题(共10小题)
1．抛物线 的顶点坐标为(　　)
A．(-2， 5) B．(2， - 5) C．(-2， 1) D．(2， 1)
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-1，
配方法：y=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5，
∴顶点坐标为(2，-5)，
故答案为：B .
【分析】通过配方法将抛物线方程化为顶点形式y=a(x-h)2+k，即可直接读出顶点坐标(h，k).
2．已知⊙O的半径为4，若点P到点O的距离为5，则点P(　　)
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外.
故答案为：B .
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
3．从装有5个红球、3个白球和2个黑球的布袋中任意摸出一个球，下列对所摸球的可能性大小判断正确的是(　　)
A．红球可能性最大 B．白球可能性最大
C．黑球可能性最大 D．三种球的可能性一样大
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：因为红球最多，所以被摸到的可能性最大.
故答案为：A .
【分析】个数最多的就是可能性最大的.
4． 如图， 点A， B， C在⊙O中， 若∠ACB=55°， 则∠ABO的度数是(　　)
A．30° B．35° C．50° D．55°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=55°，
∴∠AOB=2∠ACB=110°，
∵OA=OB.
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=110°，由等腰三角形的性质推出∠ABO=∠BAO，进而即可求解.
5． 如图， 在平行四边形ABCD中， E为AB上一点， AC与DE相交于点F， 且AE： CD=1： 3， 若 =3， 则C△FCD为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．27
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC与DE相交于点F，且AE：CD=1：3，
∴AB//CD，
∴△AEF~△CDF，
∴
∵C△AEF=3，
∴C△FCD=9，
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形对边平行得到AB//CD，则可证明△AEF~△CDF，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案.
6．如图，在△ABC中，P是边AC的中点.按下列步骤尺规作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB 于点D，交线段BC于点E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AB于点Q. 嘉嘉： 淇淇： △APQ与△ABC的相似比为1： 2.对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是 (　　)
A．嘉嘉和淇淇都正确 B．嘉嘉正确，淇淇错误
C．嘉嘉错误，淇淇正确 D．嘉嘉和淇淇都错误
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图过程可得，∠APQ=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△APQ~△ABC
∴，即，故嘉嘉说法错误；
∴△APQ与△ABC的对应边之比为，其值大小不确定，故淇淇说法错误；
故答案为：D .
【分析】由作图过程可得∠APQ=∠B，得出△APQ~△ABC，从而证明判定嘉嘉说法错误；再根据对应边之比是，其值大小不确定确定淇淇说法错误即可.
7．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度AC 与瓶高AB 之比为黄金比(AC>BC) 时， 可以敲击出音符“sol”的声音. 若AB=8cm， 且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为(　　)
A． B． C． D．(4-4 ) cm
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比(AC>BC)，
∴
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
8．如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转得到△E' F' G'，则能作为旋转中心的是(　　)
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】旋转的性质；图形旋转的三要素
【解析】【解答】解：连接FF'，分别作EE'，FF'的垂直平分线交点为点C，即点C是旋转中心，
故答案为：C.
【分析】连接FF'，分别作EE'，FF'的垂直平分线交点为点C，即点C是旋转中心.
9． 如图， △ABC内接于⊙O， CD⊥AB于P， 交⊙O于D， E为AC的中点， EP交BD于F， ⊙O的直径为d. 下列结论： ①EF⊥BD； ②AC2+BD2的值为定值；③OE= BD； ④AB CD=2S四边形ADBC，其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠APC=90°，
∵E为AC的中点，即PE为Rt△APC的斜边上的中线，
∴PE=CE，
∴∠ECP=∠EPC，
∵∠EPC=∠DPF， ∠CAP=∠CDB，
∴∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，
∴EF⊥BD，所以①正确；
作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，
∵E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴，
∵，，
∴∠AOE=∠ABC， ∠DOH=∠BCD，
而∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠AOE+∠DOH=90°，
而∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠DOH，
在△AOE和△ODH中，
∴△AOE≌△ODH (AAS)，
∴OE=DH，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH，
∴，所以③正确；
在Rt△OAE中，∵AE2+OE2=OA2，
而，，
∴AC2+BD2=4OA2，
而OA为圆的半径，为定值，
∴AC2+BD2的值为定值，所以②正确；
∵S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD
∴AB·CD=2S四边形ADBC，所以④正确.
故答案为：D .
【分析】先利用PE为Rt△APC的斜边上的中线得到PE=CE，则∠ECP=∠EPC，再根据对顶角相等得∠EPC=∠DPF，根据圆周角相等得∠CAP=∠CDB，于是有∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，则可对进行判断；作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，由于∠ABC+∠BCD=90°， 则∠AOE+∠DOH=90°，然后根据等角的余角相等得到∠EAO=∠DOH，于是可根据"AAS"证明△AOE≌△ODH，得到OE=DH，再根据垂径定理由OH⊥BD得到BH=DH，所以，则可对③进行判断；在Rt△OAE中，利用勾股定理得AE2+OE2=OA2，加上，，则AC2+BD2=4OA2，于是可对②进行判断；利用S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD和三角形面积公式可对④进行判断.
10．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点D是线段BC上一动点，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F两点，则EF的最小值是 (　　)
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：对于抛物线，令y=0，即，
解得x1=4，x2=-1，
∴A(4，0)，B(-1，0)，
∴AB=4-(-1)=5，
令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，AO=4，OC=3
∴.
∴AB=AC=5，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴，，
∴
∵
∴DE+DF=OC=3.
令DE=m， 则DF=3-m.
当0≤m≤15时，3-2m≤EF≤3
∵m在0≤m≤1.5内，3-2m随m的增大而减小，
∴当m=1.5，即DF=DE时，EF有最小值，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴AD平分∠BAC，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AF=AE
∴而∠EAF=∠BAC，
∴ △EAF~△BAC
∴，即
解得，
当1.5＜m≤3时，与上面的解题过程相同.
∴EF的最小值是
故答案为：D .
【分析】令抛物线解析式中y=0和x=0，求出与坐标轴交点A(4，0)、B(-1，0)、C(0，3)，计算得AB=5、AC=5；再利用三角形面积关系，得出S△ABC=S△ABD+S△ACD，进而推导出DE+DF=OC=3；接着令DE=m，分0＜m≤1.5和1.5＜m≤3两种情况，进而即可求解.
二、填空题(共6小题)
11．已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为　 　.
【答案】6
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，
R=6.
故答案为：6 .
【分析】设扇形的半径为R，再根据扇形的面积公式求解即可.
12．中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处.美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为　 　、
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 焦 浓 重 淡 清
焦 　 (焦，浓) (焦，重) (焦，淡) (焦，清)
浓 (浓，焦) 　 (浓，重) (浓，淡) (浓，清)
重 (重，焦) (重，浓) 　 (重，淡) (重，清)
淡 (淡，焦) (淡，浓) (淡，重) 　 (淡，清)
清 (清，焦) (清，浓) (清，重) (清，淡) 　
共有20种等可能的结果，其中正好选中淡与清的结果有：(淡，清)，(清，淡)，共2种，
∴正好选中淡与清的概率为
故答案为： .
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及正好选中淡与清的结果数，再利用概率公式可得出答案.
13．二维码已深入人们的生活，如图是一个边长为5cm的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是　 　cm2.
【答案】15
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
据此可以估计黑色部分的面积为5×5×0.6=15(cm2).
故答案为：15.
【分析】由落入黑色部分的频率稳定在，可根据几何概率求黑色部分的面积.
14．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面⊙O的半径为5cm，瓶内液体的宽度AB=8cm，则瓶内液体的最大深度 CD=　 　 cm.
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得，OD⊥AB，OD=OA=5cm，
∴，
∴cm，
∴液体的最大深度CD=OD-OC=2cm，
故答案为：2.
【分析】根据题意可得出OD=AO=5cm，由垂径定理得AC=4cm，由勾股定理得出CO=3cm，进而即可求解.
15．已知二次函数. (其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 　 　.
【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，
∴对称轴是直线
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时， y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a-6=0，
∴a=1，或a=-2(不合题意舍去).
故答案为：1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.
16． 如图， Rt△ABC， ∠ACB=90°， BF平分∠ABC交AC于点F， CE⊥AB于点E，BF、CE交于点M， AH垂直BF于点H， 交EC延长线于点G，术 且 则BC的长　 　.
【答案】3
【知识点】角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作FI⊥EC于点I，作CL⊥AG于点L，作FK⊥AB于点K，
∵CE⊥AB，BH⊥AG，
∴∠ABH+∠BAG=90°， ∠G+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠G
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH.
∵∠CBH+∠BFC=90°， ∠CAG+∠AFH=90°，∠BFC=∠AFH，
∴∠CBH=∠CAG，
∴∠G=∠CAG
∴AC=CG.
∵FI⊥EC，AE⊥EG，
∴FI//AB，
∴△CFI~△CAE，
∴
∵CE⊥AB，AC⊥BC，
∴∠BCE+∠ABC=90°， ∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠BAC
∵∠CMF=∠CBH+∠BCE，∠CFM=∠ABH+∠BAC，
∴∠CMF=∠CFM，
∴CF=CM，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵CL⊥AG， BH⊥AG，
∴CL//BH，
∴
设HL=3a，AH=5a，
∵AB=AF，AL⊥BF，
∴AL=GL=8a， HG=11a，
∵， AH·HG=2k2+1，
∴
解得，
∴
∵BF平分∠ABC，FK⊥AB，AC⊥BC，
∴FK=FC.
∴
设BC=3n，AB=5n，则AC=4n，
∴，
∴
∵sin∠ABH=sin∠CBH，
∴
∴
∴n=1，
∴BC=3
故答案为：3.
【分析】作FI⊥EC于点I，作CL⊥AG于点L，证明∠G=∠CAG，得AC=CG，证明△CFI~△CAE得，由等角对等边证明CF=CM，结合可证，再根据平行线分线段成比例定理得，设GL=3a，BG=5a， 根据，AH·HG=2k2+1，求出，证明，设BC=3n，AB=5n，则AC=4n，求出，根据sin∠ABH=sin∠CBH得，代入数据求出n=1即可求解.
三、解答题(共8小题)
17． 已知a： b=3： 2.
（1）求 的值；
（2） 若a+2b=21， 求a、b的值.
【答案】（1）解：设a=3k， b=2k (k≠0)
则
（2）解：设a=3k， b=2k (k≠0)，
∵a+2b=21，
∴3k+2×2k=21，
∴7k=21，
解得k=3，
∴a=3k=9， b=2k=6
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)根据已知比例关系，通过设参数的方法，将a、b用含参数的式子表示，再代入式子求值；(2)结合已知比例关系和另一个等式，通过设参数建立方程求解a、b的值.
18．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C都是格点(小方格的顶点叫格点)， 其中A (1， 4)， B(3， 2)， C(7， 2).
（1）用无刻度直尺找出△ABC的外心M；(保留画图痕迹，不写画法)
（2）点M的坐标是　 　，外接圆的半径长是　 　；
（3）以点M为位似中心，在网格中把△ABC按相似比2：1缩小，得 (注：点D， E， F的对应点分别为点A， B， C.)
【答案】（1）解：如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求，
（2）(5，6)；
（3）解：如图所示：
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图﹣位似变换；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；位似图形的性质
【解析】【解答】解：(2)由图可得，点M的坐标为(5，6)，
由勾股定理得，，
∴外接圆的半径长是，
故答案为：(5，6)；.
【分析】(1)分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求；
(2)由图可得点M的坐标；利用勾股定理求出AM的长，即为外接圆的半径长；
(3)根据位似的性质作图即可.
19．已知：二次函数
（1）求出图象的顶点坐标以及与x轴的交点坐标；
（2）当y<0时，直接与出x的取值范围。
【答案】（1）解：∵
∴图象的顶点坐标为
令y=0，即，
解得x1=4，x2=-2，
∴图象与x轴的交点坐标为(-2，0)，(4，0).
（2）解：x<-2或x>4.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(2)∵在函数中，，
∴抛物线开口向下，
∴当x<-2或x>4，y<0.
故答案为：x<-2或x>4.
【分析】(1)把二次函数一般式换成顶点式，即可得出顶点坐标，再令y=0，解一元二次方程即可得出图象与x轴的交点坐标；
(2)利用二次函数的图象和性质即可得出答案.
20．“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会，抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 ，其中黄球个数比白球多3个，换中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中地.
（1）袋中红球有 　 　个，从袋中摸出一个球是白球的概率为　 　.
（2）小明前两次摸走2个球后未中奖(球不放回)，求小明第三次摸球中二等奖的概率；
（3）若“五一”期间有1000人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少
【答案】（1）3；
（2）解：∵取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，
∴从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是
（3）解：(人)，
答：估计获得一等奖的人数是200人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)∵一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，从袋中摸出一个球是红球的概率是
∴红球个数：(个)，
设白球有x个
依题意得：x+3+x+3=10，
解得：x=2，
∴从袋中摸出一个球是白球的概率：
故答案为：3；.
【分析】(1)总个数乘以摸出一个球是红球的概率即可得出答案；设白球有x个，则黄球有(x+3)个，根据白球与黄球的个数之和列出关于x的方程，求出x的值，再根据概率公式求解即可；
(2)取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，据此根据概率公式求解即可；
(3)用球的总个数乘以白球的概率即可得出答案.
21． 如图， 在⊙O中， 直径AB⊥弦CD于点E， CF⊥BD于点F， 交AB于点H，连接CA.
（1） 求证： CA=CH；
（2） 若 求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接CO，如图，
∵AB⊥CD
∴∠AEC=90°
∵CF⊥BD
∴∠CFD=90°
∵∠CHE+∠DCH=90°，∠D+∠DCF=90°
∴∠CHE=∠D
∵∠D=∠A，
∴∠A=∠CHE
∴CA=CH
（2）解：设OE=x，则EH=1+x，
∵AB⊥CD，CA=CH
∴AE=EH=1+x，
∴OC=OA=2x+1，
在Rt△CEH中，∵CE2+OE2=OC2
∴
解得x1=2，(舍)
∴OC=2×2+1=5，
即⊙O的半径为5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；余角
【解析】【分析】(1)连接CO，如图，利用垂直的定义得到∠AEC=90°，∠CFD=90°，则利用等角的余角相等得到∠CHE=∠D，再根据圆周角定理得到∠D=∠A，所以∠A=∠CHE，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
(2)设OE=x，则EH=1+x，根据等腰三角形的性质得到AE=EH=1+x，则OC=OA=2x+1，在Rt△CEH中利用勾股定理得到，解方程求出x，然后计算2x+1得到圆的半径.
22．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】（1）
（2）小丽的判断是正确的，计算过程见解析
（3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
23． 如图， 在矩形ABCD中，.AB=6cm，BC=8cm，.对角线AC与BD交于点O，点P 从点A 出发，沿对角线AC向点C以每秒1cm的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段BA向点A以每秒1cm的速度移动. P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动.连接PQ，设点P移动时间为t秒，回答下列问题：
（1） 当t为何值时， △APQ∽△ABC
（2）当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于
（3）以点Q为圆心，QB 的长为半径作⊙Q.在运动过程中，是否存在⊙Q与矩形ABCD 的对角线有三个公共点， 若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC.
∴
∵AP=t(cm)，AQ=AB-BQ=6-t(m)，(cm)，
∴
解得：
（2）解：当点P在线段AO上，则t∵(cm2).
∴根据矩形的性质可得：(cm2)
∵(cm)
∴，S△APQ=S△AOB-11=1，
则，
解得：
当点P在线段OC上，5∵，
∴，
解得
（3）解：或或
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；圆-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(3)如图：
当BQ=BQ时，⊙Q与AO相切于点H，⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点，
此时BQ1=Q1H=(AB-BQ1)sin∠BAC，即，
当时，⊙B与矩形ABCD的对角线有四个公共点，t=3；
当BQ=BQ2时，⊙B经过点O，⊙B与矩形ABCD的对角线有两个公共点，点E为BO中点，
Q2E⊥BO，
，
当BQ=BA时，⊙B与矩形ABCD的对角线有三个公共点，t=6.
综上，故存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点，此时或或.
故答案为：或或.
【分析】(1)根据相似三角形对应边成比例构建关于t的方程求解即可；
(2)分点P在线段AO和CO两种情况进行讨论，根据O，P，Q，B为顶点的四边形的面积为11构建关于t的方程求解即可；
(3)根据⊙Q与对角线AC的位置关系进行分类讨论，从而确定t的范围.
24．
（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.
如图1，在△ABC中， D是△ABC外一点， 且AD=AC， 求∠BDC的度数.
解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，则点C，D必在⊙A上， 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到. 　 　；
（2）【初步应用】如图2，已知 ，求 的度数；
（3）【问题解决】如图3，在正方形ABCD中，已知.AB=12，点E是AB边上一点，且，AE=3，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接EP，作点B关于直线EP的对称点M，求线段MC的最小值；
（4）【问题拓展】如图4，在平行四边形ABCD中，. ，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点(N不与A，B重合)，将△AMN沿MN所在直线翻折得到 连接A'C，设A'C的长为m，求m的取值范围
【答案】（1）40°
（2）解：以点A为圆心，AB为半径作辅助圆A，如图，
∵AB=AC=AD
∴点C，D在⊙A上，
∴
∴∠CBD=2∠BDC=42°
∴∠CAD=2∠CBD=84°
（3）解：∵AB=12，AE=3
∴BE=AB-AE=9
∵点B关于直线EP的对称点M
∴EB=EM=9
以点E为圆心，EB为半径作辅助圆⊙E，如图，
则点M在⊙E上，
∴当点E、M、C在一条直线上时，线段MC取得最小值，
∵，
∴线段MC的最小值=EC-EM=15-9=6
（4）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD//BC，
∵M是AD边的中点，
∴
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，
∴
以点M为圆心，为半径作辅助圆⊙M，如图，
∵MA=MA'=MD
∴点A'，D在⊙M上
∴当点A'、M、C在一条直线上时，线段A'C取得最小值，
过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵AD//BC.
∴∠MDE=∠BCD=45°
∴△MDE为等腰直角三角形
∴
∴CE=CD+DE=5，
∴
∴线段A'C的最小值
过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，如图，
则△ADF为等腰直角三角形
∴
∴CF=CD+DF=6，
∴，
∴m的取值范围为
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：(1)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，如图，
∵AB=AD=AC
∴点C，D在⊙A上，
∴∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴
故答案为：40°.
【分析】(1)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，利用圆周角定理解答即可；
(2)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，利用圆周角定理解答即可；
(3)以点E为圆心，EB为半径作辅助圆⊙E，利用线段的公理可得当点E、M、C在一条直线上时，线段MC取得最小值，利用勾股定理解答即可得出结论；
(4)利用平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质求得，以点M为圆心，为半径作辅助圆⊙M，利用(3)中的方法得到当点A'、M、C在一条直线上时，线段A'C取得最小值：过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E，利用勾股定理求得m的最小值；过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，利用勾股定理求得AC，依据题意即可得出结论.
1 / 1浙江省金华市义乌绣湖中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题(共10小题)
1．抛物线 的顶点坐标为(　　)
A．(-2， 5) B．(2， - 5) C．(-2， 1) D．(2， 1)
2．已知⊙O的半径为4，若点P到点O的距离为5，则点P(　　)
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
3．从装有5个红球、3个白球和2个黑球的布袋中任意摸出一个球，下列对所摸球的可能性大小判断正确的是(　　)
A．红球可能性最大 B．白球可能性最大
C．黑球可能性最大 D．三种球的可能性一样大
4． 如图， 点A， B， C在⊙O中， 若∠ACB=55°， 则∠ABO的度数是(　　)
A．30° B．35° C．50° D．55°
5． 如图， 在平行四边形ABCD中， E为AB上一点， AC与DE相交于点F， 且AE： CD=1： 3， 若 =3， 则C△FCD为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．27
6．如图，在△ABC中，P是边AC的中点.按下列步骤尺规作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB 于点D，交线段BC于点E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AB于点Q. 嘉嘉： 淇淇： △APQ与△ABC的相似比为1： 2.对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是 (　　)
A．嘉嘉和淇淇都正确 B．嘉嘉正确，淇淇错误
C．嘉嘉错误，淇淇正确 D．嘉嘉和淇淇都错误
7．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度AC 与瓶高AB 之比为黄金比(AC>BC) 时， 可以敲击出音符“sol”的声音. 若AB=8cm， 且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为(　　)
A． B． C． D．(4-4 ) cm
8．如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转得到△E' F' G'，则能作为旋转中心的是(　　)
A．点A B．点B C．点C D．点D
9． 如图， △ABC内接于⊙O， CD⊥AB于P， 交⊙O于D， E为AC的中点， EP交BD于F， ⊙O的直径为d. 下列结论： ①EF⊥BD； ②AC2+BD2的值为定值；③OE= BD； ④AB CD=2S四边形ADBC，其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点D是线段BC上一动点，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F两点，则EF的最小值是 (　　)
A．3 B． C． D．
二、填空题(共6小题)
11．已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么该扇形的半径为　 　.
12．中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处.美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为　 　、
13．二维码已深入人们的生活，如图是一个边长为5cm的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是　 　cm2.
14．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面⊙O的半径为5cm，瓶内液体的宽度AB=8cm，则瓶内液体的最大深度 CD=　 　 cm.
15．已知二次函数. (其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 　 　.
16． 如图， Rt△ABC， ∠ACB=90°， BF平分∠ABC交AC于点F， CE⊥AB于点E，BF、CE交于点M， AH垂直BF于点H， 交EC延长线于点G，术 且 则BC的长　 　.
三、解答题(共8小题)
17． 已知a： b=3： 2.
（1）求 的值；
（2） 若a+2b=21， 求a、b的值.
18．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C都是格点(小方格的顶点叫格点)， 其中A (1， 4)， B(3， 2)， C(7， 2).
（1）用无刻度直尺找出△ABC的外心M；(保留画图痕迹，不写画法)
（2）点M的坐标是　 　，外接圆的半径长是　 　；
（3）以点M为位似中心，在网格中把△ABC按相似比2：1缩小，得 (注：点D， E， F的对应点分别为点A， B， C.)
19．已知：二次函数
（1）求出图象的顶点坐标以及与x轴的交点坐标；
（2）当y<0时，直接与出x的取值范围。
20．“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会，抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 ，其中黄球个数比白球多3个，换中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中地.
（1）袋中红球有 　 　个，从袋中摸出一个球是白球的概率为　 　.
（2）小明前两次摸走2个球后未中奖(球不放回)，求小明第三次摸球中二等奖的概率；
（3）若“五一”期间有1000人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少
21． 如图， 在⊙O中， 直径AB⊥弦CD于点E， CF⊥BD于点F， 交AB于点H，连接CA.
（1） 求证： CA=CH；
（2） 若 求⊙O的半径.
22．如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
23． 如图， 在矩形ABCD中，.AB=6cm，BC=8cm，.对角线AC与BD交于点O，点P 从点A 出发，沿对角线AC向点C以每秒1cm的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段BA向点A以每秒1cm的速度移动. P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动.连接PQ，设点P移动时间为t秒，回答下列问题：
（1） 当t为何值时， △APQ∽△ABC
（2）当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于
（3）以点Q为圆心，QB 的长为半径作⊙Q.在运动过程中，是否存在⊙Q与矩形ABCD 的对角线有三个公共点， 若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由.
24．
（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.
如图1，在△ABC中， D是△ABC外一点， 且AD=AC， 求∠BDC的度数.
解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，则点C，D必在⊙A上， 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到. 　 　；
（2）【初步应用】如图2，已知 ，求 的度数；
（3）【问题解决】如图3，在正方形ABCD中，已知.AB=12，点E是AB边上一点，且，AE=3，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接EP，作点B关于直线EP的对称点M，求线段MC的最小值；
（4）【问题拓展】如图4，在平行四边形ABCD中，. ，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点(N不与A，B重合)，将△AMN沿MN所在直线翻折得到 连接A'C，设A'C的长为m，求m的取值范围
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-1，
配方法：y=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5，
∴顶点坐标为(2，-5)，
故答案为：B .
【分析】通过配方法将抛物线方程化为顶点形式y=a(x-h)2+k，即可直接读出顶点坐标(h，k).
2．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外.
故答案为：B .
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
3．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：因为红球最多，所以被摸到的可能性最大.
故答案为：A .
【分析】个数最多的就是可能性最大的.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=55°，
∴∠AOB=2∠ACB=110°，
∵OA=OB.
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=110°，由等腰三角形的性质推出∠ABO=∠BAO，进而即可求解.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC与DE相交于点F，且AE：CD=1：3，
∴AB//CD，
∴△AEF~△CDF，
∴
∵C△AEF=3，
∴C△FCD=9，
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形对边平行得到AB//CD，则可证明△AEF~△CDF，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图过程可得，∠APQ=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△APQ~△ABC
∴，即，故嘉嘉说法错误；
∴△APQ与△ABC的对应边之比为，其值大小不确定，故淇淇说法错误；
故答案为：D .
【分析】由作图过程可得∠APQ=∠B，得出△APQ~△ABC，从而证明判定嘉嘉说法错误；再根据对应边之比是，其值大小不确定确定淇淇说法错误即可.
7．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比(AC>BC)，
∴
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质；图形旋转的三要素
【解析】【解答】解：连接FF'，分别作EE'，FF'的垂直平分线交点为点C，即点C是旋转中心，
故答案为：C.
【分析】连接FF'，分别作EE'，FF'的垂直平分线交点为点C，即点C是旋转中心.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠APC=90°，
∵E为AC的中点，即PE为Rt△APC的斜边上的中线，
∴PE=CE，
∴∠ECP=∠EPC，
∵∠EPC=∠DPF， ∠CAP=∠CDB，
∴∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，
∴EF⊥BD，所以①正确；
作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，
∵E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴，
∵，，
∴∠AOE=∠ABC， ∠DOH=∠BCD，
而∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠AOE+∠DOH=90°，
而∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠DOH，
在△AOE和△ODH中，
∴△AOE≌△ODH (AAS)，
∴OE=DH，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH，
∴，所以③正确；
在Rt△OAE中，∵AE2+OE2=OA2，
而，，
∴AC2+BD2=4OA2，
而OA为圆的半径，为定值，
∴AC2+BD2的值为定值，所以②正确；
∵S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD
∴AB·CD=2S四边形ADBC，所以④正确.
故答案为：D .
【分析】先利用PE为Rt△APC的斜边上的中线得到PE=CE，则∠ECP=∠EPC，再根据对顶角相等得∠EPC=∠DPF，根据圆周角相等得∠CAP=∠CDB，于是有∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，则可对进行判断；作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，由于∠ABC+∠BCD=90°， 则∠AOE+∠DOH=90°，然后根据等角的余角相等得到∠EAO=∠DOH，于是可根据"AAS"证明△AOE≌△ODH，得到OE=DH，再根据垂径定理由OH⊥BD得到BH=DH，所以，则可对③进行判断；在Rt△OAE中，利用勾股定理得AE2+OE2=OA2，加上，，则AC2+BD2=4OA2，于是可对②进行判断；利用S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD和三角形面积公式可对④进行判断.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：对于抛物线，令y=0，即，
解得x1=4，x2=-1，
∴A(4，0)，B(-1，0)，
∴AB=4-(-1)=5，
令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，AO=4，OC=3
∴.
∴AB=AC=5，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴，，
∴
∵
∴DE+DF=OC=3.
令DE=m， 则DF=3-m.
当0≤m≤15时，3-2m≤EF≤3
∵m在0≤m≤1.5内，3-2m随m的增大而减小，
∴当m=1.5，即DF=DE时，EF有最小值，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴AD平分∠BAC，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AF=AE
∴而∠EAF=∠BAC，
∴ △EAF~△BAC
∴，即
解得，
当1.5＜m≤3时，与上面的解题过程相同.
∴EF的最小值是
故答案为：D .
【分析】令抛物线解析式中y=0和x=0，求出与坐标轴交点A(4，0)、B(-1，0)、C(0，3)，计算得AB=5、AC=5；再利用三角形面积关系，得出S△ABC=S△ABD+S△ACD，进而推导出DE+DF=OC=3；接着令DE=m，分0＜m≤1.5和1.5＜m≤3两种情况，进而即可求解.
11．【答案】6
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，
R=6.
故答案为：6 .
【分析】设扇形的半径为R，再根据扇形的面积公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 焦 浓 重 淡 清
焦 　 (焦，浓) (焦，重) (焦，淡) (焦，清)
浓 (浓，焦) 　 (浓，重) (浓，淡) (浓，清)
重 (重，焦) (重，浓) 　 (重，淡) (重，清)
淡 (淡，焦) (淡，浓) (淡，重) 　 (淡，清)
清 (清，焦) (清，浓) (清，重) (清，淡) 　
共有20种等可能的结果，其中正好选中淡与清的结果有：(淡，清)，(清，淡)，共2种，
∴正好选中淡与清的概率为
故答案为： .
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及正好选中淡与清的结果数，再利用概率公式可得出答案.
13．【答案】15
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
据此可以估计黑色部分的面积为5×5×0.6=15(cm2).
故答案为：15.
【分析】由落入黑色部分的频率稳定在，可根据几何概率求黑色部分的面积.
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得，OD⊥AB，OD=OA=5cm，
∴，
∴cm，
∴液体的最大深度CD=OD-OC=2cm，
故答案为：2.
【分析】根据题意可得出OD=AO=5cm，由垂径定理得AC=4cm，由勾股定理得出CO=3cm，进而即可求解.
15．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，
∴对称轴是直线
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时， y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a-6=0，
∴a=1，或a=-2(不合题意舍去).
故答案为：1.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a.
16．【答案】3
【知识点】角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作FI⊥EC于点I，作CL⊥AG于点L，作FK⊥AB于点K，
∵CE⊥AB，BH⊥AG，
∴∠ABH+∠BAG=90°， ∠G+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠G
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH.
∵∠CBH+∠BFC=90°， ∠CAG+∠AFH=90°，∠BFC=∠AFH，
∴∠CBH=∠CAG，
∴∠G=∠CAG
∴AC=CG.
∵FI⊥EC，AE⊥EG，
∴FI//AB，
∴△CFI~△CAE，
∴
∵CE⊥AB，AC⊥BC，
∴∠BCE+∠ABC=90°， ∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠BAC
∵∠CMF=∠CBH+∠BCE，∠CFM=∠ABH+∠BAC，
∴∠CMF=∠CFM，
∴CF=CM，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵CL⊥AG， BH⊥AG，
∴CL//BH，
∴
设HL=3a，AH=5a，
∵AB=AF，AL⊥BF，
∴AL=GL=8a， HG=11a，
∵， AH·HG=2k2+1，
∴
解得，
∴
∵BF平分∠ABC，FK⊥AB，AC⊥BC，
∴FK=FC.
∴
设BC=3n，AB=5n，则AC=4n，
∴，
∴
∵sin∠ABH=sin∠CBH，
∴
∴
∴n=1，
∴BC=3
故答案为：3.
【分析】作FI⊥EC于点I，作CL⊥AG于点L，证明∠G=∠CAG，得AC=CG，证明△CFI~△CAE得，由等角对等边证明CF=CM，结合可证，再根据平行线分线段成比例定理得，设GL=3a，BG=5a， 根据，AH·HG=2k2+1，求出，证明，设BC=3n，AB=5n，则AC=4n，求出，根据sin∠ABH=sin∠CBH得，代入数据求出n=1即可求解.
17．【答案】（1）解：设a=3k， b=2k (k≠0)
则
（2）解：设a=3k， b=2k (k≠0)，
∵a+2b=21，
∴3k+2×2k=21，
∴7k=21，
解得k=3，
∴a=3k=9， b=2k=6
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)根据已知比例关系，通过设参数的方法，将a、b用含参数的式子表示，再代入式子求值；(2)结合已知比例关系和另一个等式，通过设参数建立方程求解a、b的值.
18．【答案】（1）解：如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求，
（2）(5，6)；
（3）解：如图所示：
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图﹣位似变换；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；位似图形的性质
【解析】【解答】解：(2)由图可得，点M的坐标为(5，6)，
由勾股定理得，，
∴外接圆的半径长是，
故答案为：(5，6)；.
【分析】(1)分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求；
(2)由图可得点M的坐标；利用勾股定理求出AM的长，即为外接圆的半径长；
(3)根据位似的性质作图即可.
19．【答案】（1）解：∵
∴图象的顶点坐标为
令y=0，即，
解得x1=4，x2=-2，
∴图象与x轴的交点坐标为(-2，0)，(4，0).
（2）解：x<-2或x>4.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(2)∵在函数中，，
∴抛物线开口向下，
∴当x<-2或x>4，y<0.
故答案为：x<-2或x>4.
【分析】(1)把二次函数一般式换成顶点式，即可得出顶点坐标，再令y=0，解一元二次方程即可得出图象与x轴的交点坐标；
(2)利用二次函数的图象和性质即可得出答案.
20．【答案】（1）3；
（2）解：∵取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，
∴从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是
（3）解：(人)，
答：估计获得一等奖的人数是200人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)∵一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，从袋中摸出一个球是红球的概率是
∴红球个数：(个)，
设白球有x个
依题意得：x+3+x+3=10，
解得：x=2，
∴从袋中摸出一个球是白球的概率：
故答案为：3；.
【分析】(1)总个数乘以摸出一个球是红球的概率即可得出答案；设白球有x个，则黄球有(x+3)个，根据白球与黄球的个数之和列出关于x的方程，求出x的值，再根据概率公式求解即可；
(2)取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，据此根据概率公式求解即可；
(3)用球的总个数乘以白球的概率即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：连接CO，如图，
∵AB⊥CD
∴∠AEC=90°
∵CF⊥BD
∴∠CFD=90°
∵∠CHE+∠DCH=90°，∠D+∠DCF=90°
∴∠CHE=∠D
∵∠D=∠A，
∴∠A=∠CHE
∴CA=CH
（2）解：设OE=x，则EH=1+x，
∵AB⊥CD，CA=CH
∴AE=EH=1+x，
∴OC=OA=2x+1，
在Rt△CEH中，∵CE2+OE2=OC2
∴
解得x1=2，(舍)
∴OC=2×2+1=5，
即⊙O的半径为5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；余角
【解析】【分析】(1)连接CO，如图，利用垂直的定义得到∠AEC=90°，∠CFD=90°，则利用等角的余角相等得到∠CHE=∠D，再根据圆周角定理得到∠D=∠A，所以∠A=∠CHE，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
(2)设OE=x，则EH=1+x，根据等腰三角形的性质得到AE=EH=1+x，则OC=OA=2x+1，在Rt△CEH中利用勾股定理得到，解方程求出x，然后计算2x+1得到圆的半径.
22．【答案】（1）
（2）小丽的判断是正确的，计算过程见解析
（3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
23．【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC.
∴
∵AP=t(cm)，AQ=AB-BQ=6-t(m)，(cm)，
∴
解得：
（2）解：当点P在线段AO上，则t∵(cm2).
∴根据矩形的性质可得：(cm2)
∵(cm)
∴，S△APQ=S△AOB-11=1，
则，
解得：
当点P在线段OC上，5∵，
∴，
解得
（3）解：或或
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；圆-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(3)如图：
当BQ=BQ时，⊙Q与AO相切于点H，⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点，
此时BQ1=Q1H=(AB-BQ1)sin∠BAC，即，
当时，⊙B与矩形ABCD的对角线有四个公共点，t=3；
当BQ=BQ2时，⊙B经过点O，⊙B与矩形ABCD的对角线有两个公共点，点E为BO中点，
Q2E⊥BO，
，
当BQ=BA时，⊙B与矩形ABCD的对角线有三个公共点，t=6.
综上，故存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点，此时或或.
故答案为：或或.
【分析】(1)根据相似三角形对应边成比例构建关于t的方程求解即可；
(2)分点P在线段AO和CO两种情况进行讨论，根据O，P，Q，B为顶点的四边形的面积为11构建关于t的方程求解即可；
(3)根据⊙Q与对角线AC的位置关系进行分类讨论，从而确定t的范围.
24．【答案】（1）40°
（2）解：以点A为圆心，AB为半径作辅助圆A，如图，
∵AB=AC=AD
∴点C，D在⊙A上，
∴
∴∠CBD=2∠BDC=42°
∴∠CAD=2∠CBD=84°
（3）解：∵AB=12，AE=3
∴BE=AB-AE=9
∵点B关于直线EP的对称点M
∴EB=EM=9
以点E为圆心，EB为半径作辅助圆⊙E，如图，
则点M在⊙E上，
∴当点E、M、C在一条直线上时，线段MC取得最小值，
∵，
∴线段MC的最小值=EC-EM=15-9=6
（4）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD//BC，
∵M是AD边的中点，
∴
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，
∴
以点M为圆心，为半径作辅助圆⊙M，如图，
∵MA=MA'=MD
∴点A'，D在⊙M上
∴当点A'、M、C在一条直线上时，线段A'C取得最小值，
过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵AD//BC.
∴∠MDE=∠BCD=45°
∴△MDE为等腰直角三角形
∴
∴CE=CD+DE=5，
∴
∴线段A'C的最小值
过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，如图，
则△ADF为等腰直角三角形
∴
∴CF=CD+DF=6，
∴，
∴m的取值范围为
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：(1)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，如图，
∵AB=AD=AC
∴点C，D在⊙A上，
∴∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴
故答案为：40°.
【分析】(1)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，利用圆周角定理解答即可；
(2)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，利用圆周角定理解答即可；
(3)以点E为圆心，EB为半径作辅助圆⊙E，利用线段的公理可得当点E、M、C在一条直线上时，线段MC取得最小值，利用勾股定理解答即可得出结论；
(4)利用平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质求得，以点M为圆心，为半径作辅助圆⊙M，利用(3)中的方法得到当点A'、M、C在一条直线上时，线段A'C取得最小值：过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E，利用勾股定理求得m的最小值；过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，利用勾股定理求得AC，依据题意即可得出结论.
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