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天津市西青区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.13133 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、3.13133是有限小数，属于有理数，A错误；
B、，是无理数，除以2后仍为无限不循环小数，是无理数，B正确；
C、是分数，属于有理数，C错误；
D、，是整数，属于有理数，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为分数的数即可．
2．估算的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，即的值在5和6之间，
故答案为：D．
【分析】根据无理数的大小估算， 求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，计算即可．
3．已知点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，
∴点P的坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据第三象限点的坐标符号特征都是负数和点到坐标轴的距离等于坐标的绝对值求解即可．
4．如果，那么下列式子不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，故，D不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可．
5．下列调查方式合理的是（　　）
A．为了解天津市中学生的睡眠时间，采用全面调查
B．为了解全校学生周末学习的时间，向5位好友进行了调查
C．为了解“天宫一号”空间站发射前零部件的状况，检测人员采用全面调查的方式
D．为了解某超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用全面调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、天津市中学生数量庞大，全面调查成本高、耗时长，应采用抽样调查，A错误；
B、仅调查5位好友，样本量过小且不具有代表性，无法反映全校情况，B错误；
C、航天器零部件必须确保绝对安全，需逐一检查，采用全面调查合理，C正确；
D、农药残留检测具有破坏性，全面调查会导致所有草莓无法销售，应采用抽样调查，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用条件逐一判断即可．
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
．
故答案为：D．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到，再根据补角的定义求解即可．
7．下列命题中是真命题的是（　　）
A．互为相反数的两个数的绝对值相等
B．如果，，那么
C．同旁内角相等，两直线平行
D．若a，b是两个无理数，则一定也是无理数
【答案】A
【知识点】无理数的概念；实数的相反数；真命题与假命题；平行公理；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，A正确；
B、如果，，那么，故原说法错误，是假命题，B错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误，是假命题，C错误；
D、若a，b是两个无理数，则不一定也是无理数，故原说法错误，是假命题，D错误．
故答案为：A．
【分析】根据相反数和绝对值的定义可判断A；根据平行公理可判断B；根据平行线的判定可判断C；根据无理数的加法可判断D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．若一个正方体体积为216，则它的棱长为16
B．的算术平方根是
C．若式子成立，则
D．的值等于
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：A、正方体体积公式为，当时，棱长，A错误；
B、，其算术平方根为（算术平方根非负），B错误；
C、由和有意义，需满足且，即．代入原式得，C正确；
D、表示算术平方根，结果为3，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据正方体体积公式可判断A；根据算术平方根定义可判断B；根据被开方数的非负性可判断C；根据算术平方根可判断D．
9．下表是某小卖部不同季节的6天卖出热茶的杯数单位：杯与当天最高气温（单位：）的对比表，以及根据表中数据绘制的趋势图，观察统计图表预测：如果某一天最高气温是，那么这个小卖部卖出的热茶杯数可能是（　　）
最高气温 26 18 13 10 4
杯数/杯 20 24 34 38 50 64
A．10 B．20 C．30 D．70
【答案】D
【知识点】统计表；折线统计图
【解析】【解答】解：由图象可得，杯数随温度的升高而降低
∴如果某一天最高气温是，那么这个小卖部卖出的热茶杯数可能是70．
故答案为：D．
【分析】根据图象中杯数随温度的变化求解即可．
10．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且；
乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且；
∴方程组为．
故答案为：B．
【分析】根据甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍和乙得甲9只羊后，两人羊数相等列出二元一次方程组即可．
11．一家商店以每辆340元的进价购入一批自行车共150辆，并以每辆450元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出自行车的数量为（　　）
A．112辆 B．113辆 C．114辆 D．115辆
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设已售出辆自行车．
进货总费用为元．
解得：
由于必须为整数，
∴最小整数解为．
验证：当时，销售额为元，超过51000元，满足条件．
故至少售出114辆自行车．
故答案为：C．
【分析】先求出进货总费用，再根据销售额超过进货总费用，建立不等式求出最小整数解即可．
12．有下列结论
①同一平面内两条直线的位置关系是平行和垂直；
②如果点在经过点且与x轴平行的直线上，那么；
③算术平方根等于它本身的数是1；
④同一平面内只有一条直线与已知直线垂直．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】点的坐标；垂线的概念；平面中直线位置关系；求算术平方根
【解析】【解答】解：①同一平面内两条直线的位置关系为平行或相交，垂直是相交的特殊情况，①错误；
②∵点在经过点且与x轴平行的直线上
∴
∴，②正确；
③算术平方根等于本身的数是0或1，③错误；
④同一平面内有无数条直线与已知直线垂直，④错误．
综上，正确个数为1．
故答案为：B．
【分析】根据同一平面内直线的位置关系可判断①；根据与x轴平行的直线的性质可判断②；根据算术平方根可判断③；根据垂直的性质可判断④；
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．的相反数是　 　．
【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
14．小明在家点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店C的坐标为，则小明家点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由骑手A点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系：
∴小明家点的坐标为；
故答案为：．
【分析】根据题意可在图中作出坐标系，再求解即可．
15．为了解2019年至2021年我国货物进出口总额（单位：万亿元）变化情况，根据国家统计局发布的相关信息，绘制了如下统计图，利用统计图提供的数据计算2021年我国货物进出口顺差（货物出口总额超过货物进口总额的差额称为货物进出口顺差）的数额是　 　万亿元．
【答案】
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由题意得：万亿元．
故答案为：．
【分析】根据折线图列式计算即可．
16．若不等式与都成立，则满足条件的所有整数x的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式与都成立的解集为，
∴满足条件的所有整数x的值是，
故答案为：．
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出整数值即可．
17．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，
由题意，得
①－②，得，
解得．
故答案为：．
【分析】设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质得到二元一次方程组求解即可．
18．如图，面积为2的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1，将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S．
（1）若正方形向右移动1个单位长度，则S的值为　 　；
（2）当时，数轴上点表示的数是　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】实数在数轴上的表示；平移的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）面积为2的正方形的边，
，
如图，当正方形沿着数轴水平向右移动1个单位长度时，
重叠部分图形的面积记为，
故答案为：；
（2）当时，，
，
点B表示的数为1，
点表示的数为，
故答案为：；
【分析】（1）先根据正方形的面积得到边长，进而求出，最后利用长方形的面积公式求解即可；
（2）先根据面积得到，进而求出，再根据点表示的数为，得到点表示的数即可．
（1）解：面积为2的正方形的边，
，
如图，当正方形沿着数轴水平向右移动1个单位长度时，
重叠部分图形的面积记为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
，
点B表示的数为1，
点表示的数为，
故答案为：
三、解答题：本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．计算：
（1）解不等式：；
（2）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（ⅰ）解不等式①，得________；
（ⅱ）解不等式②，得________；
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（ⅳ）原不等式组的解集为________．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（ⅰ）解不等式①，得；
（ⅱ）解不等式②，得；
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（ⅳ）原不等式组的解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先移项、合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先分别求出不等式组的每个不等式解集，再在数轴上表示出来，得出不等式组的解集即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（ⅰ）解不等式①，得；
（ⅱ）解不等式②，得；
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（ⅳ）原不等式组的解集为．
20．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，化简方程组，得：，
得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先计算得到x，再代入①中求出y即可；
（2）利用得出y，再代入①中求出x即可．
（1）解：，
得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
化简方程组，得：，
得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
21．请将下面的推理、计算过程补充完整，括号内注明该步推理的理由．
（1）如图①，，，．
求证：．
证明：，（已知），
（________）．
________（________）．
（已知），
（________）．
．
（________）
（2）如图②，，平分，求的度数．
解：（已知），
（________）．
平分（已知），
（________）．
（________），（已知），
．
（________），
（________）．
【答案】（1）证明：，（已知），
（垂直定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）证明：（已知），
（平角定义）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（对顶角相等），（已知），
．
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行证出，再根据内错角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，同旁内角互补证出即可；
（2）先根据平角定义求出，再根据角平分线的定义得到，进而根据对顶角相等证出，根据同位角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可．
（1）证明：，（已知），
（垂直定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）解：（已知），
（平角定义）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（对顶角相等），（已知），
．
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
22．某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了a名学生进行调查，现将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表．
组别 炼时间/min频数 数
A 50
B 80
C 40
D
请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________，扇形图中C组所在扇形的圆心角度数为________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生2000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间不低于的学生人数．
【答案】（1），，，
（2）解：补全频数分布直方图如下；
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间不低于60分钟的学生约有：
（人）．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：（人），
D组的人数为：（人），
B组的人数所占的百分比为：，
，
∴扇形图中C组所在扇形的圆心角度数为；
【分析】（1）先根据统计表A组人数除以其所占的百分比计算出总人数，再求出m、p的值以及用C组所占的百分比乘以求解圆心角即可；
（2）根据人数补全条形统计图即可；
（3）先计算样本中每天课后进行体育锻炼的时间不低于60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可．
（1）解：调查的总人数为：（人），
D组的人数为：（人），
B组的人数所占的百分比为：，
，
扇形图中C组所在扇形的圆心角度数为；
（2）解：补全频数分布直方图如下；
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间不低于60分钟的学生约有：
（人）．
23．列二元一次方程组解决下面的问题．
某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
【答案】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，
则，
解得，
答：每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】根据 每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨列出二元一次方程组，求解即可．
24．已知直线，点M，N分别是直线上的点，点P为平面上一点．
（1）如图①，点P在直线上，连接，过点P作，与交点为点Q，求证：．
（2）如图②，点P在直线之间，连接，过点M作射线，使得平分，过点N作射线，使得平分，射线与射线相交于点G．
①若，，计算的度数；
②直接写出，与之间的数量关系．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：①设交于点E，作，
，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
；
②
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（2）②设交于点E，作，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
．
【分析】（1）先根据两直线平行，同位角相等和同旁内角互补证出，，进而证明即可；
（2）①作，得出，先根据平行线的性质和角的关系得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形的内角和定义求出即可；
②作，得出，根据①中方法证出结论即可．
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：①设交于点E，作，
，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
；
②设交于点E，作，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
．
25．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，已知线段的两个端点，其中a，b，c满足关系式：，将线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段．
（1）填空：点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________点D的坐标为________，
（2）如图②，过点C作x轴的垂线l，点P，M是直线l上的动点．
①连接，求三角形的面积（补全图形并计算）；
②连接，若三角形的面积等于10，求点M的坐标（补全图形并计算）．
【答案】（1），
（2）解：①过点C作x轴的垂线l，，如下图：
点横坐标为1，
，
；
②当点在上方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
当点在下方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
综上所述，或．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
将线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段，
；
故答案为：，.
【分析】（1）根据二次根式、平方及绝对值的非负性求出a，b，c值，写出坐标即可；
（2）①根据点及点P的横坐标，利用三角形的面积求解即可；
②分当点在上方时或当点在下方时两种情况讨论即可．
（1）解：，
，
，
，
将线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段，
；
（2）解：①过点C作x轴的垂线l，，如下图：
点横坐标为1，
，
；
②当点在上方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
当点在下方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
综上所述，或．
1 / 1天津市西青区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.13133 B． C． D．
2．估算的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
3．已知点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．如果，那么下列式子不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列调查方式合理的是（　　）
A．为了解天津市中学生的睡眠时间，采用全面调查
B．为了解全校学生周末学习的时间，向5位好友进行了调查
C．为了解“天宫一号”空间站发射前零部件的状况，检测人员采用全面调查的方式
D．为了解某超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用全面调查
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题中是真命题的是（　　）
A．互为相反数的两个数的绝对值相等
B．如果，，那么
C．同旁内角相等，两直线平行
D．若a，b是两个无理数，则一定也是无理数
8．下列说法正确的是（　　）
A．若一个正方体体积为216，则它的棱长为16
B．的算术平方根是
C．若式子成立，则
D．的值等于
9．下表是某小卖部不同季节的6天卖出热茶的杯数单位：杯与当天最高气温（单位：）的对比表，以及根据表中数据绘制的趋势图，观察统计图表预测：如果某一天最高气温是，那么这个小卖部卖出的热茶杯数可能是（　　）
最高气温 26 18 13 10 4
杯数/杯 20 24 34 38 50 64
A．10 B．20 C．30 D．70
10．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．一家商店以每辆340元的进价购入一批自行车共150辆，并以每辆450元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出自行车的数量为（　　）
A．112辆 B．113辆 C．114辆 D．115辆
12．有下列结论
①同一平面内两条直线的位置关系是平行和垂直；
②如果点在经过点且与x轴平行的直线上，那么；
③算术平方根等于它本身的数是1；
④同一平面内只有一条直线与已知直线垂直．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．的相反数是　 　．
14．小明在家点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店C的坐标为，则小明家点B的坐标为　 　．
15．为了解2019年至2021年我国货物进出口总额（单位：万亿元）变化情况，根据国家统计局发布的相关信息，绘制了如下统计图，利用统计图提供的数据计算2021年我国货物进出口顺差（货物出口总额超过货物进口总额的差额称为货物进出口顺差）的数额是　 　万亿元．
16．若不等式与都成立，则满足条件的所有整数x的值是　 　．
17．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度　 　．
18．如图，面积为2的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1，将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S．
（1）若正方形向右移动1个单位长度，则S的值为　 　；
（2）当时，数轴上点表示的数是　 　．
三、解答题：本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．计算：
（1）解不等式：；
（2）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（ⅰ）解不等式①，得________；
（ⅱ）解不等式②，得________；
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（ⅳ）原不等式组的解集为________．
20．解下列方程组：
（1）
（2）
21．请将下面的推理、计算过程补充完整，括号内注明该步推理的理由．
（1）如图①，，，．
求证：．
证明：，（已知），
（________）．
________（________）．
（已知），
（________）．
．
（________）
（2）如图②，，平分，求的度数．
解：（已知），
（________）．
平分（已知），
（________）．
（________），（已知），
．
（________），
（________）．
22．某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了a名学生进行调查，现将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表．
组别 炼时间/min频数 数
A 50
B 80
C 40
D
请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________，扇形图中C组所在扇形的圆心角度数为________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生2000人，请根据以上调查结果估计该校每天课后进行体育锻炼的时间不低于的学生人数．
23．列二元一次方程组解决下面的问题．
某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
24．已知直线，点M，N分别是直线上的点，点P为平面上一点．
（1）如图①，点P在直线上，连接，过点P作，与交点为点Q，求证：．
（2）如图②，点P在直线之间，连接，过点M作射线，使得平分，过点N作射线，使得平分，射线与射线相交于点G．
①若，，计算的度数；
②直接写出，与之间的数量关系．
25．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，已知线段的两个端点，其中a，b，c满足关系式：，将线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段．
（1）填空：点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________点D的坐标为________，
（2）如图②，过点C作x轴的垂线l，点P，M是直线l上的动点．
①连接，求三角形的面积（补全图形并计算）；
②连接，若三角形的面积等于10，求点M的坐标（补全图形并计算）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、3.13133是有限小数，属于有理数，A错误；
B、，是无理数，除以2后仍为无限不循环小数，是无理数，B正确；
C、是分数，属于有理数，C错误；
D、，是整数，属于有理数，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为分数的数即可．
2．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，即的值在5和6之间，
故答案为：D．
【分析】根据无理数的大小估算， 求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，计算即可．
3．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，
∴点P的坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据第三象限点的坐标符号特征都是负数和点到坐标轴的距离等于坐标的绝对值求解即可．
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，故，D不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、天津市中学生数量庞大，全面调查成本高、耗时长，应采用抽样调查，A错误；
B、仅调查5位好友，样本量过小且不具有代表性，无法反映全校情况，B错误；
C、航天器零部件必须确保绝对安全，需逐一检查，采用全面调查合理，C正确；
D、农药残留检测具有破坏性，全面调查会导致所有草莓无法销售，应采用抽样调查，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用条件逐一判断即可．
6．【答案】D
【知识点】补角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
．
故答案为：D．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到，再根据补角的定义求解即可．
7．【答案】A
【知识点】无理数的概念；实数的相反数；真命题与假命题；平行公理；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，A正确；
B、如果，，那么，故原说法错误，是假命题，B错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误，是假命题，C错误；
D、若a，b是两个无理数，则不一定也是无理数，故原说法错误，是假命题，D错误．
故答案为：A．
【分析】根据相反数和绝对值的定义可判断A；根据平行公理可判断B；根据平行线的判定可判断C；根据无理数的加法可判断D．
8．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：A、正方体体积公式为，当时，棱长，A错误；
B、，其算术平方根为（算术平方根非负），B错误；
C、由和有意义，需满足且，即．代入原式得，C正确；
D、表示算术平方根，结果为3，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据正方体体积公式可判断A；根据算术平方根定义可判断B；根据被开方数的非负性可判断C；根据算术平方根可判断D．
9．【答案】D
【知识点】统计表；折线统计图
【解析】【解答】解：由图象可得，杯数随温度的升高而降低
∴如果某一天最高气温是，那么这个小卖部卖出的热茶杯数可能是70．
故答案为：D．
【分析】根据图象中杯数随温度的变化求解即可．
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且；
乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且；
∴方程组为．
故答案为：B．
【分析】根据甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍和乙得甲9只羊后，两人羊数相等列出二元一次方程组即可．
11．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设已售出辆自行车．
进货总费用为元．
解得：
由于必须为整数，
∴最小整数解为．
验证：当时，销售额为元，超过51000元，满足条件．
故至少售出114辆自行车．
故答案为：C．
【分析】先求出进货总费用，再根据销售额超过进货总费用，建立不等式求出最小整数解即可．
12．【答案】B
【知识点】点的坐标；垂线的概念；平面中直线位置关系；求算术平方根
【解析】【解答】解：①同一平面内两条直线的位置关系为平行或相交，垂直是相交的特殊情况，①错误；
②∵点在经过点且与x轴平行的直线上
∴
∴，②正确；
③算术平方根等于本身的数是0或1，③错误；
④同一平面内有无数条直线与已知直线垂直，④错误．
综上，正确个数为1．
故答案为：B．
【分析】根据同一平面内直线的位置关系可判断①；根据与x轴平行的直线的性质可判断②；根据算术平方根可判断③；根据垂直的性质可判断④；
13．【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
14．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由骑手A点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系：
∴小明家点的坐标为；
故答案为：．
【分析】根据题意可在图中作出坐标系，再求解即可．
15．【答案】
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由题意得：万亿元．
故答案为：．
【分析】根据折线图列式计算即可．
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式与都成立的解集为，
∴满足条件的所有整数x的值是，
故答案为：．
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出整数值即可．
17．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，
由题意，得
①－②，得，
解得．
故答案为：．
【分析】设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质得到二元一次方程组求解即可．
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】实数在数轴上的表示；平移的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）面积为2的正方形的边，
，
如图，当正方形沿着数轴水平向右移动1个单位长度时，
重叠部分图形的面积记为，
故答案为：；
（2）当时，，
，
点B表示的数为1，
点表示的数为，
故答案为：；
【分析】（1）先根据正方形的面积得到边长，进而求出，最后利用长方形的面积公式求解即可；
（2）先根据面积得到，进而求出，再根据点表示的数为，得到点表示的数即可．
（1）解：面积为2的正方形的边，
，
如图，当正方形沿着数轴水平向右移动1个单位长度时，
重叠部分图形的面积记为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
，
点B表示的数为1，
点表示的数为，
故答案为：
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（ⅰ）解不等式①，得；
（ⅱ）解不等式②，得；
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（ⅳ）原不等式组的解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先移项、合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先分别求出不等式组的每个不等式解集，再在数轴上表示出来，得出不等式组的解集即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（ⅰ）解不等式①，得；
（ⅱ）解不等式②，得；
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（ⅳ）原不等式组的解集为．
20．【答案】（1）解：，得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，化简方程组，得：，
得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先计算得到x，再代入①中求出y即可；
（2）利用得出y，再代入①中求出x即可．
（1）解：，
得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
化简方程组，得：，
得：，
解得，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
21．【答案】（1）证明：，（已知），
（垂直定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）证明：（已知），
（平角定义）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（对顶角相等），（已知），
．
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行证出，再根据内错角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，同旁内角互补证出即可；
（2）先根据平角定义求出，再根据角平分线的定义得到，进而根据对顶角相等证出，根据同位角相等，两直线平行得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可．
（1）证明：，（已知），
（垂直定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）解：（已知），
（平角定义）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（对顶角相等），（已知），
．
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
22．【答案】（1），，，
（2）解：补全频数分布直方图如下；
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间不低于60分钟的学生约有：
（人）．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：（人），
D组的人数为：（人），
B组的人数所占的百分比为：，
，
∴扇形图中C组所在扇形的圆心角度数为；
【分析】（1）先根据统计表A组人数除以其所占的百分比计算出总人数，再求出m、p的值以及用C组所占的百分比乘以求解圆心角即可；
（2）根据人数补全条形统计图即可；
（3）先计算样本中每天课后进行体育锻炼的时间不低于60分钟的学生所占百分比，再乘以全校人数即可．
（1）解：调查的总人数为：（人），
D组的人数为：（人），
B组的人数所占的百分比为：，
，
扇形图中C组所在扇形的圆心角度数为；
（2）解：补全频数分布直方图如下；
（3）解：该校每天课后进行体育锻炼的时间不低于60分钟的学生约有：
（人）．
23．【答案】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，
则，
解得，
答：每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】根据 每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨列出二元一次方程组，求解即可．
24．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：①设交于点E，作，
，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
；
②
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（2）②设交于点E，作，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
．
【分析】（1）先根据两直线平行，同位角相等和同旁内角互补证出，，进而证明即可；
（2）①作，得出，先根据平行线的性质和角的关系得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形的内角和定义求出即可；
②作，得出，根据①中方法证出结论即可．
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：①设交于点E，作，
，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
；
②设交于点E，作，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
．
25．【答案】（1），
（2）解：①过点C作x轴的垂线l，，如下图：
点横坐标为1，
，
；
②当点在上方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
当点在下方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
综上所述，或．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
将线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段，
；
故答案为：，.
【分析】（1）根据二次根式、平方及绝对值的非负性求出a，b，c值，写出坐标即可；
（2）①根据点及点P的横坐标，利用三角形的面积求解即可；
②分当点在上方时或当点在下方时两种情况讨论即可．
（1）解：，
，
，
，
将线段先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段，
；
（2）解：①过点C作x轴的垂线l，，如下图：
点横坐标为1，
，
；
②当点在上方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
当点在下方时，过点M作x轴的平行线，作，垂足分别是，
，
设，
，
解得：，
；
综上所述，或．
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