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浙江金华市义乌市宾王学校2025-2026学年八年级下学期3月校本作业数学试题卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，A不符合题意；
B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；
D.，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2． 下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答.
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
有两个不相等的实数根，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的判别式的值确定方程根的情况解题．
4．已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣4=0的一个根为m，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．任意实数
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把x=m代入方程2x2﹣mx﹣4=0得2m2﹣m2﹣4=0，
解得m=2或m=﹣2。
故答案为：C。
【分析】根据方程根的概念，将x=m代入方程2x2﹣mx﹣4=0即可得出一个关于m的方程，求解即可得出m的值。
5．一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设该多边形有n条边，
由题意得：，
解得，
则这个多边形是三角形，
故选A．
【分析】
先设这个多边形的边数为n，再结合多边形内角和公式与外角和的固定性质，列出方程求解就能得到边数，判断出多边形的形状.
6． 某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设共有x支球队参加比赛，
根据题意得：
故答案为：B.
【分析】设有x支球队参赛，根据“采取单循环赛制，共安排了28场比赛”列一元二次方程即可.
7． 若为的三边长，且，则一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：∵(a-b)(b-c)=0
∴a-b=0或b-c=0
即a=b或b=c
∴△ABC必有两边相等
∴△ABC是等腰三角形
故答案为：A.
【分析】先根据等式(a-b)(b-c)=0得出边的关系，再依据等腰三角形定义判断三角形类型.
8． 对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程两个不相等的实数根；
其中正确的是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，当c≠0时，ac+b+1=0，所
以①错误；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则Δ=-4ac>0，
∵方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，所以②正确；
③若a-b+c=0时，则b=a+c，则Δ=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2，
解得，x2=-1，所以③正确；
④若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=(2a+3c)2-4ac=4a2+8ac+9c2=4(a+c)2+5c2>0，所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确.
故答案为：A.
【分析】由c是方程ax2+bx+c=0的一个根得到ac2+bc+c=0，只有c≠0时由ac+b+1=0，则可对①进行判断；由方程ax2+c=0有两个不相等的实根得到Δ=-4ac>0，则可判断Δ=b2-4ac>0，于是可对②进行判断；计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对③进行判断；利用b=2a+3c计算根的判别式得到Δ=4(a+c)2+5c2>0，则根据根的判别式的意义可对④进行判断.
9．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
，
故选：A．
【分析】
先根据方程根的定义，得到关于m的等式，再将所求多项式拆分变形后，整体代入计算即可.
10． 如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，过点作于，过点作的延长线于，根据含30°角直角三角形的性质求出PC，利用勾股定理求出AP，可说明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC，就可求出AD，从而可说明为等腰直角三角形，进一步求出AD，再根据DE=AD-AE求出DE，最后利用勾股定理求得BD即可.
11． 要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2x-2≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2
故答案为：x≥1且x≠2.
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求解即可.
12．把方程配方后，可变形为　 　．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先将常数项移到方程的右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式即可.
13．一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3=6.
多边形的内角和=(n 2)×180°=4×180°=720°
故答案为：720°.
【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
14． 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，方程的根为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：x※(x-2)=x(x-2)-2x=-4，
∵x※(x-2)=-4
∴x2-4x+4=0，
∴(x-2)2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：x1=x2=2.
【分析】先阅读题目，根据新运算得出x(x-2)-2x=-4，即可求出方程的解.
15． 已知是实数，且与互为相反数，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵(a+b+1)2与互为相反数，
∴，
∴a+b+1=0， a-1=0，
解得：a=1，b=-2，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用非负数的性质得出a，b的值，进而代入代数式得出答案即可.
16． 如图，点B为线段上一点，，以为斜边作等腰，若线段、长为关于x的一元二次方程的两个根，
（1）试判定此一元二次方程的根的情况；
（2）求证：；
（3）若与的面积比，，则=　 　（直接写出答案）．
【答案】（1）解：由一元二次方程x2-4kx+4k2=0可知Δ=(-4k)2-4×1×4k2=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根
（2）证明：由(1)可知，一元二次方程：x2-4kx+4k2=0有两个相等的实数根
∵线段AB、CB的长为关于x的一元二次方程x2-4kx+4k2=0的两个根
∴AB=CB
如图，连接BE，延长BD到点F，使得BF=CB=AB，
∵CB⊥AD
∴△BCF是等腰直角三角形
∴∠F=∠BCF=45°，
∴
∵△CDE为等腰直角三角形
∴∠ECD=45°，CE=CD
∴同理
∵∠ECB+∠BCD=∠DCF+∠BCD，
∴∠ECB=∠DCF，
又∵
∴△BCE~△FCD，
∴∠CBE=∠CFD=45°
∴∠ABE=∠ABC-∠ABE=45°=∠CBE
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴AE=CE
∴AE=DE
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(3)解一元二次方程x2-4kx+4k2=0可得x1=x2=2k，
∴AB=CB=2k，
∴AD= AB+BD=2k+a，
如图，连接BE，过点E作EH⊥AD于点H，
由(2)知，AE=DE，∠ABE=45°，
∴，EH=BH
∴
在Rt△DEH中，
∵DE=CE
∴
∵△AED与△CED的面积比2：3，
∴
整理得，
∴(负值已舍去).
故答案为：.
【分析】(1)根据Δ=(-4k)2-4×1×4k2=0，判断作答即可；
(2)由(1)易知AB=CB，连接BE，延长BD到点F，使得BF=CB=AB，由等腰直角三角形的性质可得：∠F=∠BCF=45°，；∠ECD=45°，CE=CD，，则，由等角加同角相等可得∠ECB=∠DCF，以此证明△ECB~△DCF，得到∠CBE=∠CFD=45°，于是可通过SAS证明△ABE≌△CBE(SAS)，进而可得AE=ED；
(3)解x2-4kx+4k2=0，得x1=x2=2k，即AB=CB=2k，则AD=2k+a，连接BE，过点E作EH⊥AD于点H，易得，，由勾股定理得，由题意得，整理得，以此求解即可.
17． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)先化简二次根式，再根据二次根式的混合计算法则求解即可.
18． 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项得x2+4x=2.
配方得，x2+4x+4=2+4.
(x+2)2=6
∴
（2）解：移项，得3(x-5)2-(10-2x)=0，
即3(x-5)2+2(x-5)=0，
进一步可变形为(x-5)[3(x-5)+2]=0，
∴x-5=0或3(x-5)+2=0，
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可；
(2)利用分解因式法求解一元二次方程即可.
19．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CF＝AE，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF∠ABC＝35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而得到DE＝BF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出即可.
(2)先根据平行四边形的性质得到∠ADC，再根据平分线的定义求出∠EBF，进而得到∠EDF，进行计算即可.
20． “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人．
（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．
（2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？
【答案】（1）解：设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：20(1+x)2=33.8，
解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3(不符合题意，舍去)
答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%.
（2）解：设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为(150+10m)组，
由题意得：(50-m-30)(150+10m)=3060
整理得：m2-5m+6=0
解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=3，
答：该哑铃组每组应降价3元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
(2)设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为(150+10m)组，根据该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可.
21． 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）为何值时，是以为斜边的直角三角形？
（3）为何值时，是等腰三角形？
【答案】（1）证明：由题意得，Δ=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)
=4k2+12k+9-4k2-12k-8
=1>0，
∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3， AB·AC=k2+3k+2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2=25，
∵AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB·AC，
∴(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25，
∴4k2+12k+9-2k2-6k-4=25，
∴k2+3k-10=0，
解得k=2或k=-5
∵AB+AC=2k+3>0，
∴
∴k=2
（3）解：由(1)可知方程有两个不相等的实数根，
∴AB≠AC，
∴BC为腰，
∴x=5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的一个根，
∴52-5(2k+3)+k2+3k+2=0
∴k2-7k+12=0，
解得k=3或k=4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)只需要证明判别式大于0即可证明结论；
(2)利用根与系数的关系得到AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2，再由勾股定理得到AB2+AC2=25，利用完全平方公式的变形得到(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25，解方程，再根据AB+AC=2k+3>0，即可得到答案；
(3)由(1)可知方程有两个不相等的实数根，则AB≠AC，即BC为腰，由此可得x=5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的一个根，把x=5代入原方程求解即可.
22． 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
（1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时否受到台风影响？
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
（3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
（4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【答案】（1）解：∵CB=500km，AB=300km，
∴(km)，
如图，
设经过10小时，轮船到达点C'，且航行了30×10=300(km)，台风中心到达B'，且BB'=10×10=100 (km)，
∴AC'=400-300=100 (km)，AB'=300-100=200 (km)，
∴(km)，
∵，
∴轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响
（2）解：如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
理由如下：
如图，
设经过t小时进行台风区域，则AB'=300-10t，AC'=400-30t，
当B'C'=200时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：(300-10t)2+(400-30t)2=2002，
整理得到：t2-30t+210=0，
解得，
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区.
（3）解：由(1)可知经过h就会进入台风影响区；
（4）解：由(1)可知受到台风影响的时间为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解；
(2)如图易知AB'=300-10t，AC'=400-30t，当B'C'=200时，将受到台风影响，根据勾股定里可得：(300-10t)2+4(400-30t)2=2002，整理得到：t2-30t+210=0，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
(3)利用(2)中结论即可解决问题；
(4)利用(2)中的数据可解决问题.
23． 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若是方程的两根，则　 　，　 　；
（2）已知满足，，求的值；
（3）已知满足，，求正整数的最小值．
【答案】（1）3；1
（2）解：①当a=b时，；
②当a≠b时，
∵a，b满足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0
∴a和b可看成是方程x2-5x+3=0的两个根，
∵Δ=(-5)2-4×3=13>0，
∴a≠b，
∴a+b=5，ab=3
∴
综上，的值为或
（3）解：由a+b+c=0，abc=5得，a+b=-c，
∴a和b可看成方程的两个根，
则，
解得
又∵c为正整数
∴c的最小值为3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1)∵α，β是方程x2-3x+1=0的两根
∴α+β=3，αβ=1.
故答案为：3，1.
【分析】(1)根据题中所给结论进行计算即可；
(2)将a，b看成方程x2-5x+3=0的两个根，再利用根与系数的关系即可解决问题；
(3)根据所给等式，用c分别表示出a+b和ab，再将a，b看成某一元二次方程的两个根即可解决问题.
24． 请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（1）问题背景：
小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则 ▲ ，
，
▲ ，
又，
为等边三角形，
▲ ，
，即．
（2）类比运用：
如图2，与相交于点，，求线段的长；
【答案】（1）BE，AOC，DE
（2）解：过A作AF//CD，过D作DF//AC，两直线交于F，连接BF，
∴四边形AFDC是平行四边形，
∴∠FAB=∠AOC=30°，∠C=∠AFD，AC=DF=3.
∵∠ABD+∠C=240°，
∴∠ABD+∠DFA=240°
∴∠FDB=360°-240°-30°=90°
∴△FDB是直角三角形
∵DF=3，BD=4.
∴由勾股定理得：，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠AFB=30°
过点B作BE⊥AF于点E，
∴AE=EF，
∴由勾股定理得：BF2=BE2+EF2，
∴
∴
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：(1)过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则BE，
，
AOC，
又，
为等边三角形，
DE，
，即．
故答案为：BE，AOC，DE.
【分析】(1)根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；
(2)作AF//CD，DF//AC，两线交于F，连接BF，证△FDB是直角三角形，得FB=5，过点B作BE⊥AF于点E，根据三线合一，勾股定理得，则，根据四边形AFDC是平行四边形可得答案.
1 / 1浙江金华市义乌市宾王学校2025-2026学年八年级下学期3月校本作业数学试题卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2． 下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣4=0的一个根为m，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．任意实数
5．一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6． 某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7． 若为的三边长，且，则一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
8． 对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程两个不相等的实数根；
其中正确的是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②
9．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定
10． 如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11． 要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．把方程配方后，可变形为　 　．
13．一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的内角和等于　 　．
14． 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，方程的根为　 　．
15． 已知是实数，且与互为相反数，则的值为　 　．
16． 如图，点B为线段上一点，，以为斜边作等腰，若线段、长为关于x的一元二次方程的两个根，
（1）试判定此一元二次方程的根的情况；
（2）求证：；
（3）若与的面积比，，则=　 　（直接写出答案）．
17． 计算：
（1）
（2）
18． 解下列方程：
（1）
（2）
19．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
20． “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人．
（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．
（2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？
21． 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）为何值时，是以为斜边的直角三角形？
（3）为何值时，是等腰三角形？
22． 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
（1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时否受到台风影响？
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
（3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
（4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
23． 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若是方程的两根，则　 　，　 　；
（2）已知满足，，求的值；
（3）已知满足，，求正整数的最小值．
24． 请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（1）问题背景：
小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则 ▲ ，
，
▲ ，
又，
为等边三角形，
▲ ，
，即．
（2）类比运用：
如图2，与相交于点，，求线段的长；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，A不符合题意；
B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；
D.，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
有两个不相等的实数根，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的判别式的值确定方程根的情况解题．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把x=m代入方程2x2﹣mx﹣4=0得2m2﹣m2﹣4=0，
解得m=2或m=﹣2。
故答案为：C。
【分析】根据方程根的概念，将x=m代入方程2x2﹣mx﹣4=0即可得出一个关于m的方程，求解即可得出m的值。
5．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设该多边形有n条边，
由题意得：，
解得，
则这个多边形是三角形，
故选A．
【分析】
先设这个多边形的边数为n，再结合多边形内角和公式与外角和的固定性质，列出方程求解就能得到边数，判断出多边形的形状.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设共有x支球队参加比赛，
根据题意得：
故答案为：B.
【分析】设有x支球队参赛，根据“采取单循环赛制，共安排了28场比赛”列一元二次方程即可.
7．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：∵(a-b)(b-c)=0
∴a-b=0或b-c=0
即a=b或b=c
∴△ABC必有两边相等
∴△ABC是等腰三角形
故答案为：A.
【分析】先根据等式(a-b)(b-c)=0得出边的关系，再依据等腰三角形定义判断三角形类型.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，当c≠0时，ac+b+1=0，所
以①错误；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则Δ=-4ac>0，
∵方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，所以②正确；
③若a-b+c=0时，则b=a+c，则Δ=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2，
解得，x2=-1，所以③正确；
④若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=(2a+3c)2-4ac=4a2+8ac+9c2=4(a+c)2+5c2>0，所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确.
故答案为：A.
【分析】由c是方程ax2+bx+c=0的一个根得到ac2+bc+c=0，只有c≠0时由ac+b+1=0，则可对①进行判断；由方程ax2+c=0有两个不相等的实根得到Δ=-4ac>0，则可判断Δ=b2-4ac>0，于是可对②进行判断；计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对③进行判断；利用b=2a+3c计算根的判别式得到Δ=4(a+c)2+5c2>0，则根据根的判别式的意义可对④进行判断.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
，
故选：A．
【分析】
先根据方程根的定义，得到关于m的等式，再将所求多项式拆分变形后，整体代入计算即可.
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，过点作于，过点作的延长线于，根据含30°角直角三角形的性质求出PC，利用勾股定理求出AP，可说明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC，就可求出AD，从而可说明为等腰直角三角形，进一步求出AD，再根据DE=AD-AE求出DE，最后利用勾股定理求得BD即可.
11．【答案】x≥1且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2x-2≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2
故答案为：x≥1且x≠2.
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求解即可.
12．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先将常数项移到方程的右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式即可.
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3=6.
多边形的内角和=(n 2)×180°=4×180°=720°
故答案为：720°.
【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：x※(x-2)=x(x-2)-2x=-4，
∵x※(x-2)=-4
∴x2-4x+4=0，
∴(x-2)2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：x1=x2=2.
【分析】先阅读题目，根据新运算得出x(x-2)-2x=-4，即可求出方程的解.
15．【答案】3
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵(a+b+1)2与互为相反数，
∴，
∴a+b+1=0， a-1=0，
解得：a=1，b=-2，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用非负数的性质得出a，b的值，进而代入代数式得出答案即可.
16．【答案】（1）解：由一元二次方程x2-4kx+4k2=0可知Δ=(-4k)2-4×1×4k2=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根
（2）证明：由(1)可知，一元二次方程：x2-4kx+4k2=0有两个相等的实数根
∵线段AB、CB的长为关于x的一元二次方程x2-4kx+4k2=0的两个根
∴AB=CB
如图，连接BE，延长BD到点F，使得BF=CB=AB，
∵CB⊥AD
∴△BCF是等腰直角三角形
∴∠F=∠BCF=45°，
∴
∵△CDE为等腰直角三角形
∴∠ECD=45°，CE=CD
∴同理
∵∠ECB+∠BCD=∠DCF+∠BCD，
∴∠ECB=∠DCF，
又∵
∴△BCE~△FCD，
∴∠CBE=∠CFD=45°
∴∠ABE=∠ABC-∠ABE=45°=∠CBE
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴AE=CE
∴AE=DE
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(3)解一元二次方程x2-4kx+4k2=0可得x1=x2=2k，
∴AB=CB=2k，
∴AD= AB+BD=2k+a，
如图，连接BE，过点E作EH⊥AD于点H，
由(2)知，AE=DE，∠ABE=45°，
∴，EH=BH
∴
在Rt△DEH中，
∵DE=CE
∴
∵△AED与△CED的面积比2：3，
∴
整理得，
∴(负值已舍去).
故答案为：.
【分析】(1)根据Δ=(-4k)2-4×1×4k2=0，判断作答即可；
(2)由(1)易知AB=CB，连接BE，延长BD到点F，使得BF=CB=AB，由等腰直角三角形的性质可得：∠F=∠BCF=45°，；∠ECD=45°，CE=CD，，则，由等角加同角相等可得∠ECB=∠DCF，以此证明△ECB~△DCF，得到∠CBE=∠CFD=45°，于是可通过SAS证明△ABE≌△CBE(SAS)，进而可得AE=ED；
(3)解x2-4kx+4k2=0，得x1=x2=2k，即AB=CB=2k，则AD=2k+a，连接BE，过点E作EH⊥AD于点H，易得，，由勾股定理得，由题意得，整理得，以此求解即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)先化简二次根式，再根据二次根式的混合计算法则求解即可.
18．【答案】（1）解：移项得x2+4x=2.
配方得，x2+4x+4=2+4.
(x+2)2=6
∴
（2）解：移项，得3(x-5)2-(10-2x)=0，
即3(x-5)2+2(x-5)=0，
进一步可变形为(x-5)[3(x-5)+2]=0，
∴x-5=0或3(x-5)+2=0，
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可；
(2)利用分解因式法求解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CF＝AE，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF∠ABC＝35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而得到DE＝BF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出即可.
(2)先根据平行四边形的性质得到∠ADC，再根据平分线的定义求出∠EBF，进而得到∠EDF，进行计算即可.
20．【答案】（1）解：设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：20(1+x)2=33.8，
解得：x1=0.3=30%，x2=-2.3(不符合题意，舍去)
答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%.
（2）解：设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为(150+10m)组，
由题意得：(50-m-30)(150+10m)=3060
整理得：m2-5m+6=0
解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=3，
答：该哑铃组每组应降价3元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
(2)设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为(150+10m)组，根据该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可.
21．【答案】（1）证明：由题意得，Δ=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)
=4k2+12k+9-4k2-12k-8
=1>0，
∴无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3， AB·AC=k2+3k+2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2=25，
∵AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB·AC，
∴(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25，
∴4k2+12k+9-2k2-6k-4=25，
∴k2+3k-10=0，
解得k=2或k=-5
∵AB+AC=2k+3>0，
∴
∴k=2
（3）解：由(1)可知方程有两个不相等的实数根，
∴AB≠AC，
∴BC为腰，
∴x=5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的一个根，
∴52-5(2k+3)+k2+3k+2=0
∴k2-7k+12=0，
解得k=3或k=4.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)只需要证明判别式大于0即可证明结论；
(2)利用根与系数的关系得到AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2，再由勾股定理得到AB2+AC2=25，利用完全平方公式的变形得到(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25，解方程，再根据AB+AC=2k+3>0，即可得到答案；
(3)由(1)可知方程有两个不相等的实数根，则AB≠AC，即BC为腰，由此可得x=5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的一个根，把x=5代入原方程求解即可.
22．【答案】（1）解：∵CB=500km，AB=300km，
∴(km)，
如图，
设经过10小时，轮船到达点C'，且航行了30×10=300(km)，台风中心到达B'，且BB'=10×10=100 (km)，
∴AC'=400-300=100 (km)，AB'=300-100=200 (km)，
∴(km)，
∵，
∴轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响
（2）解：如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
理由如下：
如图，
设经过t小时进行台风区域，则AB'=300-10t，AC'=400-30t，
当B'C'=200时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：(300-10t)2+(400-30t)2=2002，
整理得到：t2-30t+210=0，
解得，
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区.
（3）解：由(1)可知经过h就会进入台风影响区；
（4）解：由(1)可知受到台风影响的时间为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解；
(2)如图易知AB'=300-10t，AC'=400-30t，当B'C'=200时，将受到台风影响，根据勾股定里可得：(300-10t)2+4(400-30t)2=2002，整理得到：t2-30t+210=0，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
(3)利用(2)中结论即可解决问题；
(4)利用(2)中的数据可解决问题.
23．【答案】（1）3；1
（2）解：①当a=b时，；
②当a≠b时，
∵a，b满足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0
∴a和b可看成是方程x2-5x+3=0的两个根，
∵Δ=(-5)2-4×3=13>0，
∴a≠b，
∴a+b=5，ab=3
∴
综上，的值为或
（3）解：由a+b+c=0，abc=5得，a+b=-c，
∴a和b可看成方程的两个根，
则，
解得
又∵c为正整数
∴c的最小值为3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(1)∵α，β是方程x2-3x+1=0的两根
∴α+β=3，αβ=1.
故答案为：3，1.
【分析】(1)根据题中所给结论进行计算即可；
(2)将a，b看成方程x2-5x+3=0的两个根，再利用根与系数的关系即可解决问题；
(3)根据所给等式，用c分别表示出a+b和ab，再将a，b看成某一元二次方程的两个根即可解决问题.
24．【答案】（1）BE，AOC，DE
（2）解：过A作AF//CD，过D作DF//AC，两直线交于F，连接BF，
∴四边形AFDC是平行四边形，
∴∠FAB=∠AOC=30°，∠C=∠AFD，AC=DF=3.
∵∠ABD+∠C=240°，
∴∠ABD+∠DFA=240°
∴∠FDB=360°-240°-30°=90°
∴△FDB是直角三角形
∵DF=3，BD=4.
∴由勾股定理得：，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠AFB=30°
过点B作BE⊥AF于点E，
∴AE=EF，
∴由勾股定理得：BF2=BE2+EF2，
∴
∴
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：(1)过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则BE，
，
AOC，
又，
为等边三角形，
DE，
，即．
故答案为：BE，AOC，DE.
【分析】(1)根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；
(2)作AF//CD，DF//AC，两线交于F，连接BF，证△FDB是直角三角形，得FB=5，过点B作BE⊥AF于点E，根据三线合一，勾股定理得，则，根据四边形AFDC是平行四边形可得答案.
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