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北京市顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测高一年级数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的坐标是 ．
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是( )
A. B. 复数的共轭复数是
C. 的实部为 D.
4.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图，在正方体中，则与所成角为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
8.如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
9.如图，正方体中，为的中点，则与平面所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数满足为虚数单位，则复数的虚部为 ．
12.在中，，则的值为 ．
13.已知，均是单位向量，，则 ．
14.已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为 ．
15.四边形是边长为的正方形，若点为边的中点，则 ；若点在边包含端点上运动，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，正方体中，为的中点，

证明：平面；
证明：平面；
证明：平面．
17.本小题分
已知向量，，，．
求向量，的夹角；
求实数的值．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，分别为的中点．
求证：平面；
求证：；
若，求三棱锥的体积．
19.本小题分
在中，，，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知．
求；
求的面积．
条件：；条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
在中，角所对的边分别为，的面积为，且．
求角；
若，试判断的形状，并说明理由．
21.本小题分
如图，四边形是矩形，，，平面，，点为线段的中点．
求证：平面
求证：平面
求和平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

16.解：连接，，
在正方体中，
则，，所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，所以平面．

连接交于，连接，，
因为四边形是正方形，所以为的中点，
在中，因为为的中点，为的中点，所以，
又因为平面，所以平面．
在正方体中，平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．

17.解：因为，，所以，，
所以，即向量的夹角为；
因为，
所以，
解得：．

18.解：证明：因为、分别为、的中点，
则，又，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：在正三棱柱中，平面且为等边三角形，
因为平面，所以，又为的中点，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以；
解：在正三棱柱中，，，、分别为、的中点，
则，，
所以，
故三棱锥的体积为；

19.解：选条件：．
在中，因为，，，
由余弦定理，得．
因为，
所以；
选条件：
由余弦定理得：，解得：或舍去由余弦定理，得．
因为，
所以；
选条件：
由可得．
所以的面积．
选条件：．
由可得．
因为
，
所以的面积 ．

20.解：在中，因为，则，
整理得，且，所以．
由正弦定理得，
，
，
，
于是，
又，故，所以或，因此舍去或，所以．
是等腰直角三角形．

21.证明：如图，
由平面，平面，可得，
又由，而，平面，平面，
故CE平面；
证明：连结交于，连结，
因为四边形为矩形，故为中点，
又点为线段的中点，
可得，而平面，不在平面上，
故DE平面；
解：由知，平面，
即为和平面所成的角．
由已知，，，
在直角三角形中，可得．
即和平面所成角的正弦值为．
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