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北京景山学校2025-2026学年第二学期期中考试
高一年级数学试卷（1、2、3班）
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.复数满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面，，直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.向量，在正方形网格中的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
7.如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是( )
A. B. C. D.
8.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
9.已知，且，，则( )
A. B. C. D.
10.在中，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知向量，，，则 ； ．
12.求值： ．
13.如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，的两部分，则
14.已知函数若，则 ；若在区间上至少有个零点，则的一个取值可以为 ．
15.已知中，，，若点是边上一点，是的中点，给出下列四个结论：
若，则；
若在方向上的投影向量为，则的最小值为；
若，则的最大值为；
若，则为定值．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
当时，求的最大值和最小值．
17.如图，已知中，，点是边上一点，且．

求的长；
求的面积．
18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点．
求证：平面；
求证：为的中点；
19.在中，，的平分线与交于点．
求的值；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定．求的长．
条件：边上的高为；
条件：的面积为；
条件：的周长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，点是棱上的一点，且．
求证：，，，四点共面．
求证：平面．
棱上是否存在一点使平面平面若存在，求的值若不存在，请说明理由．
21.已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质．
判断函数，是否具有性质；
若函数具有性质，且是偶函数，求证：是周期函数；
若函数具有性质，且，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一，只需大于即可
15.
16.解：
．
所以函数的最小正周期为，
由，得，
所以的单调递增区间为．
因为，所以，
所以，所以，
所以的最大值为，最小值为．

17.解：在中，可知，，可得，
由正弦定理可得．
在中，可知，
由余弦定理可得，
即，可得，解得或，
所以的面积为．

18.证明：如图所示：
连接交于点，连接，
因为为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
因为底面为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，，
所以，
又因为为的中点，
所以为的中点．
19.解：因为，所以，
又，由正弦定理，可得，所以．
若选：因为边上的高为，，，
所以，无解，所以三角形不存在；
若选：由三角形的面积公式，，解得．
所以，所以为等腰三角形，又，所以，
所以，三角形唯一，
由余弦定理可知，
，
由可得，
即，所以；
若选：因为的周长为，，所以．
由余弦定理可知，
所以，解得，所以，
所以，所以为等腰三角形，又，所以，
所以，三角形唯一，
，
由可得，
，所以．

20.解：证明：在正方体中，连接，因为点，分别为棱，的中点，所以，
又在正方体中，，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以，，，四点共面；
证明：在正方体中，连接C、分别交、于点、，连接，
在正方体中，且，
所以∽，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面；
存在，且，理由如下：
因为，
所以，
所以，
又，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
延长交于，延长交于，连接，
又因为为中点，易得≌，
可得，，
因为，分别为、的中点，易得≌，
可得，，
所以，又，即，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
所以时，平面平面．
21.解：函数不具有性质，具有性质：
假设均具有性质，
则对任意的，，，恒成立，
即，对任意的恒成立，
令，则舍，，则，得，
则，
若为偶数，则，得，舍；
若为奇数，则，得，则，
故函数不具有性质，具有性质；
因为函数具有性质，
所以存在常数，使得对任意的成立，
所以，
因为是偶函数，所以，则，
则，
因为是偶函数，所以，则，
则，
因为，所以是周期为的周期函数．
因为函数具有性质，
所以存在常数，使得对任意的成立，
即对任意的成立，
即对任意的成立，
则，
因为，所以，
因为，所以，所以，得，
因为，所以的最小值为．

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