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北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，设向量，的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知满足，，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，，分别为的三边，，的中点，则
A. B. C. D.
6.已知中，，，则等于( )
A. B. 或 C. D. 或
7.以下四个命题中，正确的命题是( )
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线；
B. 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面；
C. 若直线、共面，直线、共面，则直线、共面；
D. 依次首尾相接的四条线段必共面．
8.的三边长分别为，，，则的值为
A. B. C. D.
9.在中，已知，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面四边形中，
若点为边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，，若，则 ．
12.已知复数的实部等于虚部，则________．
13.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则_________．
14.如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为，且底面，则三棱锥的体积为________．
15.如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，给出下列四个结论：
与平行；
与共面；
与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
与的交点一定在直线上．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知复数，为虚数单位．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ若为实数，求的值．
Ⅲ若，在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，，，，点在线段上，且．
求的长；
求的值．
18.本小题分
已知平面向量，．
若，求实数的值；
设，若三点共线，求的值．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面；
20.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的值：
若，的周长为，求的面积．
21.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是正方形，若，分别是线段，的中点．
求证：平面．
在线段上是否存在一点，使得平面平面并说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：Ⅰ因为，解得；
Ⅱ因为为实数，
所以，解得．
Ⅲ因为且，
所以，
因为在复平面上对应的点在第一象限
所以，解得，
故的取值范围为
17.解：在中，，，，
则，所以，
由，则，，
在中，由余弦定理得
，
所以．
由可知，则，，，
在中，由正弦定理得，
即，解得．

18.解：因为，，所以，
因为，所以，
整理得，解得或．
法一：因为，，三点共线，
所以，
因为，，
所以，所以．
法二：因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，
所以即．

19.证明：
在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
．
取的中点，连接，，
是的中点，
则为的中位线，
，．
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
20.因为，
所以由正弦定理可得，
由余弦定理得，
所以，得；
因为，，，
所以，，
所以，
即，由正弦定理得，
因为的周长为，即，
由知，
联立解得，，
所以的面积为．

21.解：连接，如图，
四边形是正方形，是的中点，
是的中点．
又是的中点，
．
平面，平面，
平面．
存在，且点为的中点．
理由如下：
如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，
．
又平面，平面，
平面．
又平面，、为平面内两条相交直线，
平面平面．

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