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油田高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m
则（ ）
A． B．1 C． D．
4．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10的25%分位数为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．已知，则（ ）
A．32 B．31 C． D．1
7．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93
8．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴
C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴
10．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．
C．设有3个不同的零点，则
D．设，若对，使成立，则
三、填空题
12．的展开式中的系数为________.
13．已知随机变量服从正态分布，若，则______.
14．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则a的取值范围为______．
四、解答题
15．2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
17．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
18．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
19．在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为.
(1)已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为.
① 直接写出的值；
② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率.
(2)在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B D C D D AC ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】∵，，
当时，，解得.
2．B
【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，
①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况；
②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况；
综上所述，一共有种情况，
故选：B.
3．D
【详解】由题可知，，解得，
则．
故选：D.
4．B
【详解】由题意可得在上恒成立，
故在上恒成立，
由，故.
故选：B.
5．D
【详解】由题意得样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10，则，，
又不是整数，故取数据的第2个数据为.
故样本数据的25%分位数为.
6．C
【详解】令，则；
令，则，故.
7．D
【详解】.
8．D
【详解】设为正面向上的次数，则，
总得分,
由于，，
所以
，所以D正确.
9．AC
【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为，
因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为；
所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为，
故选：AC．
10．ACD
【详解】因为，A正确，B错误；
由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确；
若A，B互斥，则，，，D正确．
故选：ACD
11．BCD
【详解】函数的定义域为，
求导得，
令，解得，即，
当时，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递增；
选项A：不在函数定义域内，故在上单调递减表述错误；
选项B：由函数的单调性可知上单调递减，在单调递增，
，且，，故B正确；
选项C：方程有3个不同的零点，
等价于有3个不同的实根；
当时，，，此时单调递减，单调递增；
且时，，时，；
当时，且单调递减，，时，
时取极小值；
当时，且单调递增，，时；
要使与有3个交点，直线必须处于与之间，且不能低于
极小值，
需满足，解得，故C正确；
选项D：由题意知，的值域是在上值域的子集，
在上恒成立，故在上单调递增，
，即的值域为；
由单调性可知，在处取得极小值，，且时，
，
的值域为，
要使，则需满足，故D正确．
12．
【详解】的展开式的通项公式为，
令，故的系数为.
13．0.8/
【详解】由可得，因，
由正态曲线对称性，得，
则.
14．
【详解】由题设在上有两个不同的解，
故在上有两个不同的解，
故设，
故直线与的图像在上有两个不同的交点，
而
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，故可画出大致图形如图所示：
结合图形可得.
15．(1)24
(2)16
(3)144
【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有种.
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以其余2人观看影片的不同方法有种.
（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法有种.
16．(1)
(2)当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为，
又因为，所以，
所以切线方程为，即.
（2）因为，
所以当时，因为，所以恒成立，
所以在上单调递增；
当时，由，得，
由，得，
综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
17．(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
18．(1)极小值，无极大值
(2)
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为.
19．(1)①；②
(2)的分布列为
0 1
【详解】（1）①由题意，车道转移概率：
当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为；
当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为；
因此一步转移的概率矩阵为.
②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1，
已知，，，，
由贝叶斯公式.
（2）设，
由全概率公式得递推关系，
则，且，此时，
故为等比数列且公比为，首项为，故.
而也满足此时，即,
所以.
故的分布列为
0 1

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