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【浙江专用】2026年九年级数学一模真题汇编之压轴填空题 试卷分析
二、知识点分布
一、填空题
1 0.4 相似三角形的判定与性质综合；矩形与折叠问题；求角的正切值；用勾股定理解三角形
2 0.39 利用弧、弦、圆心角的关系求解；相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
3 0.4 已知圆内接四边形求角度；以弦图为背景的计算题；根据旋转的性质说明线段或角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
4 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；点到直线的距离；用勾股定理解三角形
5 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；图形运动问题(实际问题与二次函数)；用勾股定理解三角形
6 0.4 根据矩形的性质求线段长；矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
7 0.4 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
8 0.48 整式加减的应用
二、知识点分布
9 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；相似三角形的判定与性质综合；根据成轴对称图形的特征进行求解；利用菱形的性质求线段长
10 0.4 利用平行判定相似；根据三角形中线求面积；三线合一；相似三角形的判定与性质综合
11 0.4 折叠问题；线段垂直平分线的性质；与三角形的高有关的计算问题；用勾股定理解三角形
12 0.4 三线合一；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
13 0.4 已知反比例函数的增减性求参数；求不等式组的解集
14 0.49 根据正方形的性质求线段长；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
15 0.4 相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质求解
16 0.45 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定与性质综合；三角函数综合；根据矩形的性质求线段长
二、知识点分布
17 0.4 根据旋转的性质求解；等边对等角；三角形内角和定理的应用
18 0.4 相似三角形的判定与性质综合；折叠问题；利用平行四边形的性质求解
19 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
20 0.4 圆周角定理；等边三角形的判定和性质；点与圆上一点的最值问题；利用菱形的性质求线段长
21 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；角平分线的有关计算；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
22 0.36 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质求解【浙江专用】2026年九年级数学一模真题汇编
压轴填空题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．若，则的值为______．
2．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则_____ ．
3．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______．
4．（2026·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段与线段AB关于直线l对称，则点B到直线的距离最大值为___．
5．（2026·浙江衢州·一模）如图1，在四边形中，，平分，，（a为常数），记长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为______．
6．（2026·浙江宁波·一模）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，将该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，的延长线过点．若，，，则的长为________．
7．（2026·浙江杭州·一模）如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________．
8．（2026·浙江台州·一模）逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数．k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数，均为小于k的自然数，且．k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下：．例如，十六进制的两位数，二进制的三位数．已知，则y关于x的函数关系式是______；的最小值为______．
9．（2026·浙江金华·一模）如图，在菱形中，点E在上，连结，作点A关于直线的对称点，连结交于点F，若点恰为的中点，则与的面积比为_____________．
10．（2026·浙江温州·一模）如图，已知在中，，是上的高线，点是上的一点，交于点．过点作交于，连接，若，的面积为，则的面积为______．
11．（2026·浙江杭州·一模）如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________．
12．（2026·浙江湖州·一模）如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________
13．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________．
14．（2026·浙江衢州·一模）如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________．
15．（2026·浙江温州·一模）如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________．
16．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且．
（1）若，则___________．
（2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）．
17．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的度数是______．
18．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）．
19．（2026·浙江宁波·一模）如图，矩形内接于，连接，是上一点，连接，，与交于点．若，，则的值为________．
20．（2026·浙江·一模）如图，菱形，，，将菱形关于对称，得到菱形，在对角线，上有两个动点，，，连接，交于点，连接，则的最小值为______．
21．（2026·浙江杭州·一模）如图，，平分，P为射线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点F．若，，则的最小值为______．
22．（2026·浙江杭州·一模）如图是一张平行四边形纸片为对角线，点分别在上（不与端点重合），，把沿直线翻折得到，点恰好落在边上，和分别与交于点；若，，则的值为______．
参考答案
1．
过点M作于H，由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，则，令，，进而通过证明来求出x的值，最后问题可求解．
解：过点M作于H，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知：，，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
2．
本题考查了矩形的性质、圆的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，连接，过点作于点，先利用矩形、弧中点和平行线的性质，推导出角相等，证明，从而求出，设，用表示出相关线段，再根据勾股定理，结合建立方程，解出的值，最后代入计算出和的长度，得到它们的比值．
解：连接，过点作于点，
∵四边形为矩形，，
，，，
，
平行于，
，
是弧的中点，
∴弧弧，
，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
设，
，，，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，，
．
3．
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，得到，连接，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到，，进而推出四点共圆，得到，求出，将绕点旋转，得到，推出三点共线，得到，三线合一，得到，进而得到，得到，进而求出的长，即可得出结果．
解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意，，
连接，
∵为半圆的直径，，
∴，，
∴，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
将绕点旋转，得到，则，，，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
4．
先求出的长度，由于对称可得，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，则只有当三点共线时有到的距离最大值．
解：，
则，
过点作垂直于于点，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵
∴当B、O、Q三点共线时距离最大，
则最大距离．
5．或
先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答．
解：∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵（a为常数），长为x，长为y，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
由图2知，，
∴（负值舍去），
∴，
当时，则，即，
解得或，
过点作于点，
当时，则，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴四边形的面积为；
当时，则，
∴，
同理，得，
∴四边形的面积为；
综上，四边形的面积为或．
6．2
根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，得，求解即可；
解：∵矩形，，，
∴，，
该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，且，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．
过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，易证明四边形是矩形，进而得到，由垂径定理得到、，根据勾股定理得到的长，在中，，在中，，进而得到关于的等式，利用、求解即可．
解：过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，
、，
，
四边形是矩形，
，，，
是半径的一部分，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
，
，
，
、，
．
8． 13
先根据k进制数化为十进制数的公式，分别将、、转化为十进制数，再根据等式关系求出y关于的函数关系式，最后根据、y的取值范围求出的最小值．
解：根据公式得：
；
；
；
∵
∴，
,
，
∴；
由可得 ，
因为且x为整数，所以x的最小值为7，
当时，，不满足，舍去；
当时，，满足；
∴此时的最小值为．
综上，y关于x的函数关系式是；的最小值为13．
9．/0.4
延长交延长线于点，取中点，连接，连接，先证明，则，，然后证明，则，求出，可得为中位线，则可证明，则，再将共高三角形面积比化为底之比求解即可．
解：延长交延长线于点，取中点，连接，连接，
设菱形的边长为，，
则由菱形可得，，
∴，，，
∵点为的中点，
∴，
∴
∴，，
∵对称，
∴，，
∴，
∴
∴
解得
∵点为的中点，点为中点，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴．
10．
根据等腰三角形三线合一可得平分，， 根据平行线的性质结合角平分线的性质等量代换即可证得，设，则， 证明，根据相似三角形的对应边成比例可得的长，进而可得，的长，过点作交于点， 利用平行线分线段成比例定理求出的值，最后利用面积公式求解即可．
解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．
根据三角形面积公式并结合求出，进而求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到的长．
解：设与交于点，
∵将沿着对折，点的对应点恰好落在上，，，
∴，
∴，
∴点，在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴是中边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，且与等高，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即的长为．
12．
连接，过点B作于点G，设，则，，证明，可得，再由，可得， 从而得到，，在中， 根据勾股定理可得，，在中，，再由，可得，在中，可得
，联立解方程组，即可求解．
解：连接，过点B作于点G，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
在中， ，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
联立得：，
解得：，
∴．
13．
或
根据反比例函数的比例系数判断函数增减性，再结合的条件，分两点在不同象限、同一象限两种情况，列不等式组求解，最后合并得到的取值范围.
解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小.
分两种情况讨论:
情况1：点在不同象限
若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组
解得，即该情况解集为；
情况2：点在同一象限
若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即，
解得，
解得，
所以.
综上，的取值范围是 或 .
14．
连接，延长交于点，证明四边形是矩形，得，，求出，设，则，由勾股定理列方程可求出．
解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即,
∴四边形是矩形，
∴，，即,
∴,
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，,
∴,
解得：．
15．
题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
延长、交于点，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出，，，设，，
利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可．
解：延长、交于点，如下图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
即，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即，
∴，解得或（舍去）或（舍去），
则，
故答案为：．
16．
本题考查图形的折叠、矩形的性质与判定、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角函数关系等知识，题目比较综合．
（1）利用折叠的性质得到 ，结合矩形性质证得，再证明为中点，即为矩形中心，从而易证，得出，即可得出答案；
（2）令，证明，利用面积公式和三角函数关系即可求出面积比．
解：（1）由折叠可知 ，
∴，，
∵ 四边形 是矩形 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在 中，，
∴，
设 ，则 ，，
在直角中，，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴为中点，
即为矩形中心，
∴
∴，
∵，
∵ 四边形 是矩形 ，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）令，
在直角中，，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
由折叠可知，
在直角中， ，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
化简得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．
根据旋转可得，，则，设，利用三角形内角和和等腰三角形的性质列方程即可解答．
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，
设，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
则的度数是．
18．
延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得．
解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
19．
由等腰三角形的性质得，由圆周角定理得，再由得，则，由平行线的性质得，根据垂径定理得，证明，得，，设，则，，证明，则得，即可求解．
解：如图，连接交于点G，连接、，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，
∵矩形内接于，
∴、交于点O，且为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
20．
连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，由菱形的性质和轴对称的性质可证明是等边三角形，则，，进而证明，则，结合等量代换可得．由圆周角定理可得，结合容易证明是等边三角形，则，．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值．
解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
21．/
过A作于G，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得,，，进而可得，故当最小时，有最小值，此时，由对称性质得，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得的最小值．
解：过A作于G，连接，则，
∵，平分，
∴，
在中，，
∴，，
在中，，
∴,
故当最小时，有最小值，此时，则，
由对称性质得，，
∴，
∴，则，
∴，
故的最小值为．
22．/0.8
过作于，连接交于，交于，根据，设，由折叠可得垂直平分，则，，设，则，，利用，解得，再由得到，求出，接着证明，得到，最后代入计算即可．
解：过作于，连接交于，交于，
，
，
，
∴，
设，则，，
∴，
由折叠可得垂直平分，
∴，，
设，则，，
∴，
∵平行四边形纸片，
∴到的距离为，
∵，
∴，
解得，
，
∴，即，
∴，
∴，
，即，
∴，
∴．

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