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（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第四单元练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列容器中，容量最接近1L的容器是（ ）。
A． B． C． D．
2．如下图，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比较，（）；体积与原来体积相比较，（）。
A．不变；原来大 B．不变；现在大 C．原来大；不变
3．下面关于体积和容积表述恰当的有（ ）。
①一个粉笔盒的体积约是1立方分米。 ②一台冰箱的容积约是2升。 ③一个墨水瓶的容积约是50毫升。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列关于同一容器的体积和容积的说法，正确的是（ ）。
A．体积等于容积 B．体积一定比容积小 C．体积一定比容积大 D．无法确定哪个大
5．把1立方分米的正方体切成1立方厘米的小正方体，然后将这些小正方体排成一行，长（ ）米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
6．将一块棱长是6分米的正方体实心铁块熔铸成一个底面积是54平方分米的长方体实心铁块。熔铸成的这个长方体的高是（ ）分米。
A．4 B．5 C．6 D．8
7．淘气用体积是1立方厘米的小正方体木块测量图中四个长方体盒子的容积，（ ）的容积最大。
A． B．
C． D．
8．一壶水有3.75L，一个茶杯的容积是250mL，这壶水能倒满（ ）杯。
A．1.5 B．9 C．12 D．15
9．在一张长20厘米、宽10厘米的长方形硬纸板的四角各剪去一个相同的正方形（正方形的边长是整厘米数），然后将剩下的硬纸板折叠成一个长方体容器，要使这个长方体容器的体积大于150立方厘米。符合要求的长方体容器有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
10．求做一个纸箱要用多少硬纸板（接头不计），就是求纸箱的（ ）。
A．体积 B．容积 C．表面积 D．占地面积
二、填空题
11．一个长方体的体积是54立方米，高是3米，它的底面积是( )平方米。
12．物体所占( )的大小是物体的体积。容器所能容纳物体的( )是容器的容积。
13．在括号里填上合适的单位。
中国野象群一路北上，成了“国际网红”。一只大象的体积约是8( )，一扇耳朵的面积大约是12( )，它的鼻子大约长2( )，吃掉的玉米每个体积是60( )。
14．如图是一个长方体水箱，如果在水箱已经有水的情况下，再放入一个棱长为10cm的正方体实心铁块，且该铁块完全被水淹没，那么水箱中原来水的高度至少是( )cm。
15．在括号里填上合适的数。
3立方米＝( )立方分米 425毫升＝( )升 0.036立方分米＝( )立方厘米
1500立方分米＝( )立方米 3.7升＝( )毫升
三、判断题
16．把一个正方体切成两个长方体后，体积不变，表面积也不变。( )
17．一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯。( )
18．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。( )
19．如图是由若干个棱长为1厘米的小正方体组成的，再添上12个这样的小正方体，就可以组成一个棱长为3厘米的大正方体。( )
20．将一块正方体的橡皮泥捏成长方体，长方体的表面积等于正方体的表面积。( )
四、计算题
21．直接写出得数。
40×1.2＝　 25×0.4＝ 63＝ 29÷18＝＝（结果为带分数）
3.6＋4.4＝ 2.4×0.5＝　 1.25×80＝　 3.6÷0.06＝ 1÷3＝
五、改错题
22．圈出4处不合理的计量单位，并在其下方写出正确单位。
清晨，淘气起床，量了下自己的身高，是155厘米。洗漱完毕，他吃了一个体积约为200立方米的面包。随后，淘气前往公园，公园里有个湖，湖水体积约为500立方分米。他沿着周长为400平方米的步道慢跑。结束后，淘气从容积为20立方分米的背包里，拿出一瓶500升的矿泉水补充水分。
六、解答题
23．《天工开物》中记载了竹子造纸的具体流程（如下图）。
在“入帘”环节，需要将竹木浆放到一个无盖纸槽里。从里面量，纸槽长12分米，宽8分米，高5分米。
(1)如果需要在纸槽内部涂一层蜡，需要涂蜡的面积是多少平方分米？
(2)这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？
24．一个棱长为12分米的正方体水槽中装有水，水深为7分米。现将一块长为8分米、宽为6分米的长方体实心钢锭浸没在水中（水未溢出），水面上升了2分米，这个长方体实心钢锭的高是多少分米？（水槽厚度忽略不计）
25．哪种洗发水便宜些？请计算说明。
26．张爷爷打算用下面的方法手工制作一个灯箱。他用一根长36分米的铝合金条先制作一个棱长为整分米数的长方体或正方体灯箱框架（接口处忽略不计，且无剩余）。
（1）请你帮助张爷爷设计出3种不同的方案，把相关数据填在下面的表格中。
手工制作灯箱的方法
①用铝合金条制作一个框架。
②6个面围上灯箱布，贴上广告字。
③安装彩灯。
长/分米 宽/分米 高/分米
方案1
方案2
方案3
（2）从上面三个方案中任选一个方案，并算出至少需要灯箱布的面积和灯箱的体积。
27．一个长方体容器，长是20厘米，宽是15厘米，容器中盛有一些水，水深4.5厘米，将一个长13厘米的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面完全接触），水面升高至5厘米。这个长方体铁块的体积是多少？
28．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？
29．图中有A，B，C三个杯子，A杯的容积是700mL，B杯的容积是500mL，C杯的容积是300mL。请你只利用这三个杯子量出100mL的水。
《（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版第四单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C B A B D B C
1．C
【分析】常用的容积单位有毫升、升。我们知道，十几滴水的体积大约是1毫升，两瓶矿泉水的体积大约是1升，据此分析。
【详解】A.选项A图为茶杯，茶杯的容量较小，大约是几百毫升，不符合题意。
B.选项B图为咖啡杯，咖啡杯的容积较小，大约是几百毫升，不符合题意。
C.选项C为桶装牛奶，桶装牛奶的容积大约1升左右，符合题意。
D.选项D为矿泉水桶，矿泉水桶的容积大约在3-5升不等，大于1升，不符合题意。
故答案为：C
2．A
【分析】在正方体顶点处挖去一个小正方体时，原来正方体表面减少3个小正方形面，同时又会新露出3个同样大小的小正方形面，所以表面积不变；挖去一部分后，所占空间变小，因此体积变小。
【详解】根据分析，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比不变；体积与原来体积相比原来大。
3．C
【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，装29英寸电视机的纸箱的体积大约是1立方米；常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，一盒牛奶大约是250毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一桶食用油大约是5升，据此根据对体积和容积单位大小的认识选择合适的单位即可。
【详解】①一个粉笔盒的体积约是1立方分米，题目描述正确；
②一台冰箱的容积约是200升，题目描述不正确；
③一个墨水瓶的容积约是50毫升，题目描述正确。
关于体积和容积表述恰当的有①③，共有2个。
故答案为：C
4．C
【分析】体积指物体所占空间的大小，包括容器本身的材料厚度；容积指容器内部能容纳物体的体积。同一容器，体积包含材料厚度，因此体积一定比容积大。
【详解】根据分析可知，体积是容器整体所占空间，包含材料厚度；容积是容器内部可容纳的体积。因此，同一容器的体积一定比容积大。
故答案为：C
5．B
【分析】先计算大正方体可以切成多少个小正方体，1立方分米转换为以立方厘米为单位，再用大正方体的体积除以小正方体的体积，得到小正方体的个数，又知1立方厘米的小正方体的棱长为1厘米，再用1乘小正方体的个数，即可得解。
【详解】1立方分米＝1000立方厘米
（厘米）＝10（米）
因此，将这些小正方体排成一行，长10米。
故答案为：B
6．A
【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，列式计算即可。
【详解】6×6×6÷54
＝216÷54
＝4（分米）
熔铸成的这个长方体的高是4分米。
故答案为：A
7．B
【分析】体积1立方厘米的小正方体木块，则它的棱长为1厘米。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，分别求出4个盒子的容积，然后进行比较即可。
【详解】A．由图可知，这个长方体的长为5厘米，宽为4厘米，高为1厘米，则它的容积为5×4×1＝20×1＝20立方厘米；
B．由图可知，这个长方体的长为4厘米，宽为3厘米，高为3厘米，则它的容积为4×3×3＝12×3＝36立方厘米；
C．由图可知，这个长方体的长为4厘米，宽为4厘米，高为2厘米，则它的容积为4×4×2＝16×2＝32立方厘米；
D．由图可知，这个长方体的长为3厘米，宽为2厘米，高为3厘米，则它的容积为3×2×3＝6×3＝18立方厘米。
36＞32＞20＞18，即B的容积最大。
故答案为：B
8．D
【分析】根据1L＝1000mL，把水的容积转化为以“mL”为单位，再用水的容积÷杯子容积即可解答。
【详解】3.75L＝3750mL
3750÷250＝15（杯）
这壶水能倒满15杯。
故答案为：D
9．B
【分析】根据题意，在长方形硬纸板的四角各剪去一个相同的正方形，然后将剩下的硬纸板折叠成一个长方体容器，这个长方体容器的长＝纸板的长－正方形的边长×2，宽＝纸板的宽－正方形的边长×2，高＝正方形的边长；
因为正方形的边长是整厘米数，可以设正方形的边长为1厘米、2厘米、3厘米……，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这些容器的体积，找出体积大于150立方厘米的长方体容器有几个即可。
【详解】①当正方形的边长为1厘米时，长方体的体积：
（20－1×2）×（10－1×2）×1
＝（20－2）×（10－2）×1
＝18×8×1
＝144（立方厘米）
144＜150，不符合要求。
②当正方形的边长为2厘米时，长方体的体积：
（20－2×2）×（10－2×2）×2
＝（20－4）×（10－4）×2
＝16×6×2
＝192（立方厘米）
192＞150，符合要求。
③当正方形的边长为3厘米时，长方体的体积：
（20－3×2）×（10－3×2）×3
＝（20－6）×（10－6）×3
＝14×4×3
＝168（立方厘米）
168＞150，符合要求。
④当正方形的边长为4厘米时，长方体的体积：
（20－4×2）×（10－4×2）×4
＝（20－8）×（10－8）×4
＝12×2×4
＝96（立方厘米）
96＜150，不符合要求。
⑤当正方形的边长为5厘米时，长方体的体积：
（20－5×2）×（10－5×2）×5
＝（20－10）×（10－10）×5
＝10×0×5
＝0（立方厘米）
这种情况不成立，即正方形的边长不能超过4厘米。
综上所述，正方形的边长为2厘米、3厘米时，这个长方体容器的体积大于150立方厘米。
所以，符合要求的长方体容器有2个。
故答案为：B
【点睛】解题的关键是分析减去不同整厘米数边长的正方形，再计算将其折叠为长方体后的体积，由此判断长方容器的体积符合要求的情况。
10．C
【分析】做一个纸箱要用多少硬纸板（接头不计），需要计算纸箱所有面的总面积，即纸箱的表面积。体积和容积涉及三维空间的大小“里面能装什么”，占地面积仅指底面的面积，均不符合题意。
【详解】A．体积指纸箱内部空间的大小（如能装多少东西），与材料用量无关。
B．容积指纸箱能容纳物体的体积（如容量大小），也与材料用量无关。
C．表面积指纸箱所有外表面的总面积。制作纸箱时，硬纸板需要覆盖所有面，就是纸箱的六个面的面积之和，所以表面积直接对应硬纸板的用量（接头部分忽略）。
D．占地面积仅指纸箱底部接触地面的面积，无法代表整个纸箱的材料需求。
故答案为：C
11．18
【分析】根据“长方体的体积＝底面积×高＝长×宽×高”，可知长方体的底面积等于体积除以高，将数字代入公式计算即可。
【详解】54÷3＝18（平方米）
它的底面积是18平方米。
12． 空间 体积
【详解】本题主要考查物体的体积和容积的定义：物体的体积就是物体所占空间的大小，物体的容积就是物体所能容纳物体的体积。
因此可知：物体所占空间的大小是物体的体积。容器所能容纳物体的体积是容器的容积。
13． 立方米/m3 平方分米/dm2 米/m 立方厘米/cm3
【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。手指一节的体积大约是1立方厘米，一个粉笔盒的体积大约是1立方分米，棱长是1米的正方体的体积是1立方米。
常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米。一个指甲盖的面积大约是1平方厘米；边长是1分米的正方形的面积是1平方分米；边长是1米的正方形的面积是1平方米。
常用的长度单位有毫米、厘米、分米、米。一枚硬币的厚度大约是1毫米；1粒葵花籽的长度大约是1厘米；一拃的长度大约是1分米；米尺的长度是1米。
根据一个单位的大小和单位前面的数字选择合适的单位。
【详解】通过分析可得：中国野象群一路北上，成了“国际网红”。一只大象的体积约是8立方米，一扇耳朵的面积大约是12平方分米，它的鼻子大约长2米，吃掉的玉米每个体积是60立方厘米。
14．8
【分析】由题可知，铁块完全被淹没，表明放入铁块后水的高度至少与铁块的高度相同，即10cm。首先求出放入铁块后铁块与水的总体积和正方体铁块的体积；然后用铁块与水的总体积减去正方体铁块的体积，求出水的体积；最后用水的体积除以水箱的底面积，即可求出水箱中原来水的高度。
【详解】铁块与水的总体积：
铁块的体积：
水的体积：
水箱中原来水的高度至少是：
15． 3000 0.425 36 1.5 3700
【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，1立方分米＝1000立方厘米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。
【详解】3×1000＝3000（立方分米）；425÷1000＝0.425（升）；0.036×1000＝36（立方厘米）
1500÷1000＝1.5（立方米）；3.7×1000＝3700（毫升）
3立方米＝3000立方分米；425毫升＝0.425升；0.036立方分米＝36立方厘米
1500立方分米＝1.5立方米；3.7升＝3700毫升
16．×
【详解】体积：物体所占空间的大小，切割前后物体的总体积不变。
表面积：物体所有面的面积之和，切割后会新增2个切面，因此总表面积会变大。
综上，“表面积也不变”的说法错误。
故答案为：×
17．√
【分析】250mL换算成L为单位是0.25L，一瓶可乐2L倒在容积为250mL的杯子里，要求可以倒满多少杯，也就是求2里面有多少个0.25，用（2÷0.25）计算，据此判断。
【详解】250mL＝0.25L
2÷0.25＝8
2里面有8个0.25，因此一瓶可乐2L，倒在容积为250mL的杯子里，可以倒满8杯，原题干的说法是正确的。
故答案为：√
18．×
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。
【详解】设原来的长方体的长为3、宽为2、高为1，则长、宽、高都扩大到原来的2倍的长方体的长为6、宽为4、高为2；分别计算出两个长方体的体积，再求出长、宽、高都扩大到原来的2倍的长方体的体积是原长方体体积的几倍即可。
设原来的长方体的长为3、宽为2、高为1。
3×2×1
＝6×1
＝6
（3×2）×（2×2）×（1×2）
＝6×4×2
＝24×2
＝48
48÷6＝8
一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法以及积的变化规律。明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。
19．×
【分析】一个棱长为 3厘米的大正方体的体积为：3×3×3＝27（立方厘米），小正方体的体积＝1×1×1＝1（立方厘米）；已知立体图形里有7个这样的小正方体，现有的体积：1×7＝7（立方厘米），还需要多少立方厘米才能组成大正方体：27－7＝20（立方厘米）即为20个这样的小正方体。
【详解】（3×3×3）－（1×1×1×7）
＝27－7
＝20（立方厘米）
再添上20个这样的小正方体才能组成棱长为3厘米的大正方体。
故答案为：×
20．×
【分析】将正方体橡皮泥捏成长方体时，体积保持不变，但表面积可能发生变化。根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此举例说明即可。
【详解】假设橡皮泥的体积是64立方厘米。
长方体：64＝8×4×2
长方体的长宽高可以是8厘米、4厘米、2厘米。
表面积：（8×4＋8×2＋4×2）×2
＝（32＋16＋8）×2
＝56×2
＝112（平方厘米）
正方体：64＝4×4×4
正方体的棱长是4厘米。
表面积：4×4×6＝96（平方厘米）
112≠96，长方体的表面积不一定等于正方体的表面积，原题说法错误。
故答案为：×
21．48；10；216；；
8；1.2；100；60；
【详解】略
22．见详解
【分析】“他吃了一个体积约为200立方米的面包”，根据手指尖的体积大约是1立方厘米，所以计量一个面包的体积用“立方厘米”作单位比较合适；
“湖水体积约为500立方分米”，根据一台小冰柜的体积大约是1立方米，所以计量湖水的体积用“立方米”作单位比较合适；
“他沿着周长为400平方米的步道慢跑”，“平方米”是面积单位，周长应用长度单位，根据小学生两臂展开大约1米，所以计量步道的周长用“米”作单位比较合适；
“拿出一瓶500升的矿泉水补充水分”，根据20滴水大约是1毫升，所以计量一瓶矿泉水的量用“毫升”作单位比较合适；
据此圈出4处不合理的计量单位，并在其下方写出正确单位。
【详解】
23．(1)296平方分米
(2)480升
【分析】（1）由题可知，纸槽是一个无盖长方体，在内部涂一层蜡，即在长方体的侧面和底面涂，求出长方体侧面积和底面积之和，可得涂蜡的面积。
（2）求纸槽容纳多少升竹木浆，实际求长方体的体积，由公式长方体的体积＝长×宽×高，可得出结果。
【详解】（1）12×8＋12×5×2＋8×5×2
＝96＋120＋80
＝296（平方分米）
答：需要涂蜡的面积是296平方分米。
（2）12×8×5＝480 （立方分米）
480立方分米＝480升
答：这个纸槽最多能容纳480升竹木浆。
24．6分米
【分析】把长方体实心钢锭浸没在水中，水未溢出，上面上升了2分米，则上升这部分水的体积也就是这块长方体钢锭的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用正方体水槽的底面积乘上升水面的高度，计算出这块长方体钢锭的体积；再用长方体钢锭的体积除以长方体钢锭的底面积，所得结果即为这块长方体钢锭的高。
【详解】实心钢锭的体积：12×12×2
＝144×2
＝288（立方分米）
288÷（8×6）
＝288÷48
＝6（分米）
答：这个长方体实心钢锭的高是6分米。
25．大瓶
【分析】小瓶钱数÷小瓶容积＝小瓶每毫升钱数，大瓶钱数÷大瓶容积＝大瓶每毫升钱数，据此分别计算出小瓶和大瓶每毫升钱数，比较即可。
【详解】小瓶：22.8÷400＝0.057（元）
大瓶：39.9÷750＝0.0532（元）
0.057＞0.0532
答：大瓶洗发水便宜些。
26．（1）见详解
（2）40平方分米；12立方分米
【分析】（1）36分米相当于长方体的棱长总和，除以4求出长、宽、高之和，据此确定长、宽、高分别是多少，填表格即可；
（2）求灯箱布的面积，也就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据计算即可。
【详解】（1）36÷4＝9（分米）
表格如下：
长/分米 宽/分米 高/分米
方案1 2 1 6
方案2 4 2 3
方案3 5 2 2
（2）选择方案1
（2×1＋2×6＋1×6）×2
＝（2＋12＋6）×2
＝20×2
＝40（平方分米）
2×1×6
＝2×6
＝12（立方分米）
答：需要灯箱布的面积为40平方分米，灯箱的体积为12立方分米。
（答案不唯一）
27．390立方厘米
【分析】在铁块放入前后，水的体积没有变，水面升高是因为一部分铁块进入了水中。根据题中条件可求出水的体积，还可求出铁块放入后水中的铁块和水一共的体积。这样就可用减法求出水中这一部分铁块的体积，同时水中部分铁块的高度与升高后的水面相同，可通过“底面积＝体积÷高”求出铁块的底面积，最后用底面积乘铁块的实际长度即可得到长方体铁块的体积。
【详解】水的体积：
20×15×4.5
＝300×4.5
＝1350（立方厘米）
放入铁块后水中的铁块和水的总体积：
20×15×5
＝300×5
＝1500（立方厘米）
水中铁块的体积：1500－1350＝150（立方厘米）
铁块的底面积：150÷5＝30（平方厘米）
铁块的体积：30×13＝390（立方厘米）
答：这个长方体铁块的体积是390立方厘米。
28．12立方分米
【分析】已知形成的长方体的底面积是6平方分米，长方体的表面积是32平方分米，那么长方体的侧面积（前后左右四个面的面积之和）＝表面积－底面积×2；因为长方体的侧面积＝底面周长×高，那么长方体的高＝侧面积÷底面周长；再根据长方体的体积＝底面积×高，求出这个长方体的体积。
【详解】长方体的侧面积：
32－6×2
＝32－12
＝20（平方分米）
长方体的高：20÷10＝2（分米）
长方体的体积：6×2＝12（立方分米）
答：这个长方体的体积是12立方分米。
29．详见解析。
【分析】观察发现，（mL），因此可以将B杯和C杯倒满水，再将B杯和C杯的水依次倒入A杯中，水满即止，C杯中剩下的水就是100mL。
【详解】（mL）
答：B杯和C杯倒满水，先把B杯全部倒入A杯中，此时A杯有500mL的水；再把C杯也倒入A杯中，A杯中水满即止，此时C杯剩下的水就是100mL。（答案不唯一）
【点睛】本题的关键在于利用已有3个杯子的容积凑出差为100mL的算式，再运用操作量出100mL。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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