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四川江油中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若平面内的两个向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ）

A． B． C．12 D．10
5．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形
7．在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
8．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．的虚部为1
C．若，则的最大值为2
D．若是关于的方程的根，则
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A． B．外接圆的面积为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
11．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则动点的轨迹经过的内心
D．若，则动点的轨迹经过的外心
三、填空题
12．如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．
13．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为__________.
14．在中，已知，则的形状为________．
四、解答题
15．已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．
(1)证明：；
(2)求D到平面MOB的距离．
17．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，，的平分线交于点，求线段的长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上.
(1)若为中点，求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，设点P为的费马点，求；
(3)设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值.
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．D
5.. D
6．B
7．C
8．C
9．ABC
10．BC
11．ABD
12．
13．
14．等腰或直角三角形
15．（1）
，解得；
（2）若向量与的夹角为锐角，则且与不同向共线，
且，解得且，
或.
16．（1）连接PO，BD，如图一所示，
，，∵平面平面ABCD，
平面平面，平面，平面ABCD，
平面ABCD，，
又平面PAD，平面PAD，
又平面PAD，.
（2）由（1）得,又∵O为AD的中点,，
,是正三角形，,.
法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面MOB的一个法向量为，
则即，
取，则，，
∴点D到平面MOB的距离，
∴点D到平面MOB的距离为.
法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h，
，
，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的，
即，，，
，∴点D到平面MOB的距离为.
17．（1）
即
因 ，则，故，解得 .
（2）由（1）已得 由为的平分线，可得
设，由可得 ，
即 解得 ，即.
（3）

方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点，
当点在之间时， 为锐角三角形
∴，即，因，则得，
的面积的取值范围为.
方法二：由正弦定理，可得
∵均为锐角 解得
故 可得 故
又 ，的面积的取值范围为
18．（1）连接交于点，连接，
因为是正方形，所以为中点，
所以在中，为中位线，，
又平面，平面，平面；
（2）取的中点，因为为中点，
所以在中，为中位线，所以，，
所以为异面直线与所成角（或其补角），
在中，，，，
由余弦定理可得，又，
所以为锐角，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（3）当是棱中点时，平面
证明如下：取中点，连接，，则，
平面，平面，
平面，
在中，为中点，为中点，
平面，平面，所以平面；
，所以平面平面；
平面，平面
19．（1）因为，
所以由正弦定理有，
所以，又因为、，
所以，故，故.
（2）由（1），所以的三个内角均小于120°，
所以由费马点定义有，
设，若
则由得，
即，
整理得，
所以
.
（3）由题意P为费马点，，
设，
则，故，
在、和中由余弦定理分别得
，
，
，
又，所以，
所以，即，
因为，
所以，结合可得当且仅当等号成立，
又，所以，
整理得，解得或，
又，所以，
综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为.

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