资源简介

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广东省2026年初中学业水平考试数学名师预测卷
满分120分 时间120分钟
注意事项：
1、本试卷共三大题，满分120分，考试时间120分钟。
2、答题前，请考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题
一、选择题（共30分）
1．如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．地球是我们的共同家园，创造整洁、优美的人居环境是我们共同的心愿。做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们做为公民应尽的义务。下列垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，将沿向右平移，得到，点B的对应点E在线段上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．某景区举行游客抽取优惠卷活动．在不透明盒子中装有4张除面额外完全相同的优费卷，其中50元卷1张，100元卷1张，80元卷2张，摸出一张不放回，再摸出一张，两次都摸到80元卷的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定
7．【跨学科融合】在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ）

A．以内 B． C． D．以上
8．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．【跨学科融合】如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，．点在边上，且．下列结论中，正确的个数是（ ）
①
②
③平分
④的周长为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分 非选择题
二、填空题（共15分）
11．为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8．这组数据的众数是________．
12．计算的结果是________．
13．如图，，是的两条弦，点是劣弧的中点，连接，，．若，则的度数为__________．
14．如图，在正方形中，，点是的中点，连接交对角线于点，则______．
15．平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则______．
三、解答题（共75分）
16．（7分）计算：．
17．（7分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
18．（7分）【跨学科融合】在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．
A．酚酞 B．氢氧化钠溶液（碱性）
C．盐酸溶液（酸性） D．蒸馏水（中性）
(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________．
(2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
19．（9分）【方案设计】综合与实践
年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务：
宇树科技机器人采购方案设计
素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元．
素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次．
素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元．
问题解决
(1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？
(2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？
20．（9分）【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请仔细阅读并解决问题．
活动一：初识“杨辉三角”如图，图1是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．
(1)根据以上规律，如图1，第6行中________，_______；
活动二：初探“杨辉三角”从第二行起，每行第二个数恰好构成正整数数列；而从第三行起，每行第三个数构成如下数列，1，3，6，，…，其中第3行第三个数，第4行第三个数，第5行第三个数，…
(2)第8行第三个数为________，第行第三个数为_________；
(3)若第行第三个数为36，则的值为________；
活动三：再探“杨辉三角”若将“杨辉三角”数阵中所有的奇数记为“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图2，前8行如图3．
(4)前16行中奇数的个数为________．
21．（9分）扇子作为中国传统文化的一部分，承载了丰富哲学和审美观念（如图1）．现有两把图案完全相同，但大小不同的扇子，两把扇子完全展开后圆心角都是，大扇子的半径，小扇子的半径．两把扇子完全打开后，从重合的位置开始（如图2），让大扇子保持不动，小扇子绕点顺时针旋转．
(1)如图3，连结．若与小扇子相切于点．
①求的长；
②求大扇子和小扇子的重合部分面积；
(2)小扇子绕点顺时针旋转的过程中，当面积最大时．直接写出点绕过的路程_____．
22．（13分）【动态最值问题】如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面；
(1)___________；求拱桥抛物线的解析式；
(2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度；
(3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由．
23．（14分）【新定义探究】综合与实践
【概念生成】
将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．
【特例感知】
(1)如图1，为等边三角形，利用尺规作出的“再生三角形”，其中点，，分别是点的对称点．
若的周长为，面积为，则“再生三角形”的周长是________，面积是________；
【深入研究】
(2)如图2，已知中，，，是的“再生三角形”，其中点，，分别是点A，B，C的对称点．求证：是等边三角形．
【反思拓展】
(3)小明认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小华认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的？若所有的三角形都存在“再生三角形”，请说明理由；若不是所有的三角形都存在“再生三角形”，请画出反例示意图并进行必要的说明或标注．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D D A B B C C
1．B
【分析】本题主要考查数轴上数的表示，根据两点在数轴上的距离求出对应的数是解题的关键．
根据图可知点与点之间的距离为4并结合点表示的数是，即可求出点表示的数．
【详解】解：∵点表示的数是，且由图可知：点与点之间的距离为4，
∴点表示的数为：，
故选：B．
2．C
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．C
【分析】由平移的性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由平移的性质得：平移的距离是．
4．D
【分析】按照运算顺序先计算积的乘方，再计算单项式乘法即可求解.
【详解】解：
5．D
【分析】画树状图列举出所有情况，看两次都摸到80元卷的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：画树状图：
∵一共有12种情况， 两次都摸到80元卷的情况有2种，
∴两次都摸到80元卷的概率是．
6．A
【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.
【详解】，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为，根据图象可知反比例函数过点，即可求出解析式，再根据每次充满电需要，可求充电时的充电功率范围．
【详解】解：设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为，
代入得，，
∴，
∴，
∵该新能源电动车每次充满电需要，
∴当时，；当时，；
∴充电时的充电功率范围是，
故选：B．
8．B
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
9．C
【分析】本题考查了酸碱中和反应中溶液的变化规律，解题的关键是明确碱性溶液大于7，酸性溶液小于7，中和反应中会随酸碱的反应逐渐变化．
先分析初始溶液（溶液，碱性，），再分析滴加稀盐酸时的反应过程（碱性逐渐减弱，逐渐减小，恰好反应时，盐酸过量后），最后结合选项图象进行判断．
【详解】解：选项A：从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，排除．
选项B：始终不变，不符合中和反应的变化，排除．
选项C：从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律．
选项D：最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除．
故选C．
10．C
【分析】由相似三角形的判定定理判断①；由相似三角形面积比等于相似比判断②；由相似三角形相似比求长度判断③；结合求出的长度及已知长度计算的周长判断④即可．
【详解】解：，，
，故①正确；
，，
，
则，
设 ，，则 ，
，故②正确；
，，
，
则，，
，
则，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③，共个．
二、填空题
11．4
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，求解即可．
【详解】解：由题意可得，出现次数最多的数是4，
所以众数是4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查求众数，熟练掌握知识点是解题关键．
12．2
【分析】分母相同，分子直接相减，约分后可得到解．
【详解】解：．
13．
【分析】由圆周角定理得到，由垂径定理得到，结合垂直的定义和三角形外角的性质作答．
【详解】解：如图，设与交于点E，与交于点F，
∵，，
∴，
∴．
∵，是的两条弦，点是劣弧的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
14．
【分析】先由正方形性质、中点定义得到，再由证得，列相似比计算即可．
【详解】解：在正方形中，，点是的中点，则，，，
，
则，
．
15．
【分析】把b=2ca+c2+2代入a2+b2-2（1+2bc）+4c2+b=0，利用非负数的性质，求出a、b（用c表示），再代入b=2ca+c2+2解方程即可解决问题．
【详解】解：∵点（a，b）在直线y=2cx+c2+2（c＞0）上，
∴b=2ca+c2+2，代入a2+b2-2（1+2bc）+4c2+b=0，
整理得到（b-2c）2+（a+c）2=0，
∵（b-2c）2≥0，（a+c）2≥0，
∴a=-c，b=2c代入b=2ca+c2+2得到，
2c=-2c2+c2+2，
∴c2+2c-2=0，
∴c=-1±，
∵c＞0，
∴c=-1+，
故答案为：-1+.
【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，解题的关键是熟练应用非负数的性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
16．
【详解】解：原式
．
17．25.98米
【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．
【详解】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD tan∠CAD=AD，BD=AD tan∠BAD=AD，
∴BC=CD﹣BD=AD=30，
∴AD=15≈25.98，
答：无人机飞行的高度AD为25.98米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种，
∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下．
共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种，
混合后的溶液变红色的概率为．
19．(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元
(2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次
【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可；
（）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元；
（2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，
根据题意得：，
解得：，
，即，
，
设每日总服务人次为，
，
，
随增大而减小，
当取最小值5时，有最大值，此时，
答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次．
20．(1)10，1
(2)21，
(3)10
(4)81
【分析】（1）根据“杨辉三角”数阵的规律即可求解；
（2）观察前5行的第三个数，结合题意得出一般性规律，即可求解；
（3）根据（2）中的规律列出方程，求出的值即可；
（4）观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，；
（2）解：第8行第三个数为，
第行第三个数为；
（3）解：∵第行第三个数为36，
∴，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的值为10；
（4）解：前4行中奇数的个数为9，
观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，即；
同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即，
∴前16行中奇数的个数为81．
21．(1)①；②
(2)或
【分析】①根据圆的切线性质可知所以，即是直角三角形，运用勾股定理得，代入数据计算即可解答；
②在中，根据，得．得重合部分扇形圆心角为，根据扇形面积公式，可算出重合部分面积；
（2）因为中长度固定，根据三角形面积公式（为底，为高），以为底时，为高，当时最大，此时面积最大．存在两种情况∶旋转角为，旋转角为，根据弧长公式，算出点绕过路程即可．
【详解】（1）解：①∵与小扇子相切于点，
∴，
则是直角三角形，且．
在中，，．
，．
②在中，，．
，
∵是锐角，
所以．
∵大扇子和小扇子的圆心角均为，
∴重合部分扇形的圆心角，小扇子半径．
∴．
（2）解：在中，长度固定，当时，以为底的高达到最大，此时面积最大．
小扇子绕点顺时针旋转，存在两种情况使得：
第一种情况：从初始重合位置开始，第一次旋转到，旋转角度为．
则点绕过的路程．
第二种情况：继续旋转，第二次旋转到时，旋转角度为 ．
此时点绕过的路程．
∴当面积最大时，点绕过的路程是和 ．
故答案为：和．
【点睛】本题考查了圆的切线性质、勾股定理、三角函数的应用、扇形面积公式以及弧长公式，还涉及到三角形面积与旋转的相关知识，解题关键是熟练掌握圆的切线性质，三角函数弧长公式，会根据图形的旋转情况分类讨论．
22．(1)；
(2)
(3)存在，最大值为
【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质，二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
（1）根据题意得出，，顶点，即，设拱桥抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）设的解析式为，利用待定系数法确定的解析式为，得出此时点坐标为，然后代入函数解析式求解即可；
（3）过点作轴于点，交于点，根据题意得出，设，则，得出关于的二次函数求解即可．
【详解】（1）解：；
由题知，，，顶点，即，
设拱桥抛物线的解析式为，
，
解得，
拱桥抛物线的解析式为；
（2）设的解析式为，
，
，
的解析式为，
当时，
，此时点坐标为
，
解得：，，
此时点坐标为，
照明灯照不到的水面区域的宽度；
（3）存在，
如图，过点作轴于点，交于点，
顶点为，
，
，
，
，
设，则，
，
当时，的最大值为1，
的最大值为．
23．(1)图见解析，，；
(2)见解析；
(3)小华的结论正确，理由见解析．
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，理解“再生三角形”的定义是解答本题的关键．
（1）根据尺规作图分别作出相应的对称点，通过对称的性质可以得到是等边三角形，再利用相似三角形的性质求解即可；
（2）连接交于点D，交于点O，连接，通过证明和是等腰直角三角形，得到，即可求证；
（3）小华的结论正确，举例，中，，发现和的对应点重合，此时不存在“再生三角形”，即可求解．
【详解】（1）解：如图，为等边三角形，为其“再生三角形”．
根据轴对称的性质，，，都与全等，均为等边三角形．
∴，
∴三点共线，且，
∴也是等边三角形．
∵与的相似比为，
∴周长为：，
∴面积为：．
故答案为：，；
（2）证明：如图，连接交于点D，交于点O，连接，
对于等腰，，则，
根据轴对称的性质，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在等腰中，，
则，
∴．
∴为等腰直角三角形，
又∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴．
由于在的垂直平分线上，则，则，
故是等边三角形．
（3）解：小华的结论正确：不是所有的三角形都存在“再生三角形”，
理由：如图，中，，
根据题意作出三点的对应点，可以发现和的对应点重合，此时不存在“再生三角形”，故小华的结论正确．

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