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湖南省衡阳市2026年中考二模考试数学试题
1．下列四个数中，是无理数的是(　　)
A．- 1 B． C．0 D．
2．体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段.下列体育图标是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　)
A．1， 2， 3 B．2， 3， 4
C．3， 3， 6 D．4， 5， 10
4．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．计算 的结果是(　　)
A． B． C． D．
6．在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：89， 90， 90， 90， 91， 93， 94，这组数据的平均数与众数的差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．5
7．若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于(　　)
A．- 2 B．2 C．- 3 D．3
8．如图，在△ABC中， ∠A=46°， ∠ABC=59°，尺规作图操作如下： (1)以点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交边 AB，AC 于点 D，E；(2)以点 B 为圆心、AD长为半径画弧，分别交边 BA，BC于点 F，G；(3)再以点 F为圆心、DE长为半径画弧，与弧 FG交于点 H；(4)画射线BH交边AC于点I.则∠CBI的度数为(　　)
A．12° B．13° C．14° D．15°
9．如图，点 A， B， C， D 在⊙O上，连接 OA， OB.若∠D=105°，则∠AOB的度数为(　　)
A．75° B．115° C．150° D．175°
10．一次函数y= kx (k<0)与反比例函数 的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 .过反比例函数图象上的点 M(与点 P不重合)作y轴垂线，垂足为点N，交y=kx的图象于点Q，其中O为坐标原点.若 则下列选项正确的是(　　)
A．k=-3
B．m的值为-8
C．当 时，反比例函数的值大于一次函数的值
D．点M的坐标为(-4， 4)
11．因式分解：2x2-8=　 　
12．某足球联赛共进行了 98场比赛，现场观众人数累计约 230 万人.将数据2 300 000用科学记数法可表示为　 　.
13．中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为　 　.
14．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为　 　°.
15．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD于点E， F， AE=6， ∠AEB=60°，则EF的值为　 　.
16．定义：MN为某个三角形的边，若 MN 与其边上的高相等，则称该三角形为边 MN 的“伴随三角形”.△ABC为边 AB 的“伴随三角形”，AB=4.
①若∠B=90°，则∠A=　 　°；
②若AC=5，过点 C 作直线 AB 的高，垂足为点 D，则 BD 的长为　 　.
17．计算：
18．先化简，再求值： 其中
19．某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级： A(0≤x<2)， B(2≤x<4)， C(4≤x<6)， D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为　 　°；
（4）若全校共有 3 000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于 4小时的学生有多少人
20．某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵 25元，用 600元购买甲商品的数量恰好与用 500元购买乙商品的数量相同.
（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元
（2）该商店计划购进这两种商品共20件，甲商品的售价为240元/件，乙商品的售价为 200 元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于1620元，则至少购进多少件甲种商品
21．如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， E为AB上一点，以AE为直径作⊙O交 BC于点 D，交AC于点F，且D为 的中点，连接AD.
（1）求证： BC是⊙O的切线；
（2）若 求⊙O的半径及AC的长.
22．如图 1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验.同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型.已知直尺斜靠在桌边，悬绳 ABC(A，B，C在同一直线上)的上端 A 点与桌边接触点 D的连线 AD，垂直于直尺下边BE，其中AD=3cm，BE=20cm， 请根据以上信息，求AC 的长.(结果保留一位小数 .参考 数 据：
23．已知二次函数. 的图象与x轴交于点A(-1， 0)， B(3， 0)，与 y轴交于点 C，连接 BC， 是此二次函数图象上的两个动点，且 连接MC，NB.
（1）求二次函数的表达式；
（2） 如图 1， 连接 MB， NC. 若 且 求此时x1的值；
（3） 如图 2， 延长 MC，NB 交于点 E. 若. 求证：点E在定直线上.
24．已知 和 均为直角三角形， 连接BE，F为 BE的中点，过点 E作 BC的平行线交射线 CF于点 G.
（1）当C，A，E三点在同一直线上时，如图1.
①求证： CF=GF；
②连接 CD， DG，求证：
（2）将图 1中的 绕点 A 旋转到图 2 所在位置时，连接 DF，DG，判断 的形状并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是负整数，是分数，是整数，都属于有理数，
是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数．
故答案为：D.
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形；
B：不是轴对称图形；
C：不是轴对称图形；
D：不是轴对称图形；
故答案为：A .
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；
B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意；
C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；
D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断解答即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】解：选项A，，，故A选项计算错误，不符合题意；
选项B，，，故B选项计算错误，不符合题意；
选项C，，故C选项计算正确，符合题意；
选项D，，，故D选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】运用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式，对每个选项逐一计算验证，即可得到正确结果.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
故．
故答案为：A.
【分析】先将化为最简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可．
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：这组数据中，出现的次数最多
这组数据的众数为
计算得这组数据的总和为，
平均数，
平均数与众数的差为．
故答案为：A .
【分析】先根据众数的定义和平均数公式计算，然后求差解答即可．
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式得：，
不等式解集为，
，
解得：，
故答案为：C .
【分析】解不等式得，根据数轴上的解集即可得到-m-1=2，求出m的值解答即可．
8．【答案】B
【知识点】角的运算；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
．
故答案为：B .
【分析】根据尺规作图可得，然后根据角的和差解答即可．
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：点A，B，C，D在⊙O上，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
．
故答案为：C .
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
，，
轴，，点Q在上，，
，
，解得，故选项A错误，不符合题意；
，
一次函数解析式为，
点P是两函数图象的交点，且纵坐标为，
当时，，解得，即，
则，故选项B错误，不符合题意；
反比例函数解析式为，
则两函数图象如图所示，
交点，
由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意；
点M与Q纵坐标相同，，
，
点M在反比例函数上，
，即，故选项D正确，符合题意．
故答案为：D .
【分析】先得到点Q点坐标，代入求出一次函数的解析式判断A选项；然后根据一次函数的解析式求出求P点坐标，代入反比例函数求出m的值判断B选项，借助图象得到反比例函数图象在直线上方时自变量x的取值范围判断C选项；根据反比例函数求出M点坐标判断D选项解答即可．
11．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x+2）（x-2），
故答案为2（x+2）（x-2）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
12．【答案】2.3×106
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：2.3×106 .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为．
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式解答即可．
14．【答案】720
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的边数为：，
则这个正多边形的内角和度数为，
故答案为：．
【分析】根据正多边形的外角和求出多边形的边数，然后根据多边形的内角和定理解答即可．
15．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设交于点，
矩形，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：6 .
【分析】设交于点，根据矩形的性质，利用ASA得到，即可得到OE=OF，得到四边形是菱形，进而可得是等边三角形，即可得到EF长解答即可．
16．【答案】45；1或7
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图：
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长度，
∵，
故为为边上的高，
∴，
即，
∴．
②如图，是锐角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长，
即，
在中，，
则．
如图，是钝角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长度，
即，
在中，，
则．
故的长为或．
故答案为：或 .
【分析】①根据“伴随三角形”的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可；
②分为是锐角三角形、是钝角三角形两种情况：根据“伴随三角形”的定义得到，利用勾股定理求出AD长，然后根据线段的和差解答即可．
17．【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂、零指数次幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后加减解答即可.
18．【答案】解：原式：
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项化简，再代入x的值解答即可.
19．【答案】（1）50
（2）解：C等级”的人数为： 50-4-13-15=18 (人).
补全条形统计图如下：
学生每周课外阅读总时间条形统计图
（3）108
（4）解： (人).
答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次被抽取的学生人数为：（人）；
故答案为：50；
（3）解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：；
故答案为：108；
【分析】（1）根据B等级人数除以占比求出被调查的总人数解答即可；
（2）先利用总人数减去其它组人数求解C等级人数，再补全条形统计图即可；
（3）用乘以D等级人数的占比解答；
（4）用样本中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比乘以总人数解答即可．
20．【答案】（1）解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为(x-25)元.
依题意得
解得x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴x-25=125.
答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元；
（2）解：设购进m件甲种商品，则购进(20-m)件乙种商品.
依题意得(240-150)m+(200-125)(20-m)≥1620，
解得m≥8，
∴m的最小值为8.
答：至少购进8件甲种商品.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为(x-25)元根据“ 用 600元购买甲商品的数量恰好与用 500元购买乙商品的数量相同 ”列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进m件甲种商品，根据“ 全部商品销售完毕，总利润不低于1620元 ”列不等式求出m的最小整数解解答即可.
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵D为的中点，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC.
∵∠ACB=90°，
∴∠BDO=90°，即OD⊥BC.
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：
解得AE=10，
∴⊙O的半径为5.
∴BO=BE+EO=8+5=13.
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
即
【知识点】切线的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠FAD=∠EAD，即可得到∠CAD=∠ODA，进而根据内错角相等得到OD∥AC，求出证明结论；
（2）根据线段的和差求出AE长，再根据平行线得到，根据对应线段成比例解答即可．
22．【答案】解：如图，过点 B作BF⊥CE于点 F.
在 Rt△BEF中，
在 Rt△BCF中，
又∵∠ABD=∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=180°-60°-45°=75°，
∴在 Rt△ABD中，
∴AC=BC+AB≈16.33+3.09=19.42≈19.4(cm).故AC的长约为19.4cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作于点F，根据正弦的定义求出BF和BC长，再根据三角形内角和定理求出，在中根据正弦的定义求出，根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解：由题意得 解得
∴二次函数的表达式为：
（2）解：将x=0代入到 中，得y=-3，
∴点C的坐标为(0， - 3).
设直线 BC的表达式为y= kx+d，且经过点B(3， 0)， C(0， - 3)，
则 解得
∴直线BC的表达式为： y=x-3.
如图，分别过点 M，N作 y 轴的平行线交直线 BC于点 P， Q，
则
∵点 M(x1， y1)， N(x2， y2)在二次函数的图象上，
即 解得 或
（3）解：设直线MC的表达式为y=mx+n，且经过点 得 解得
∴直线MC的表达式为.
同理可得直线NB 的表达式为
∵点E 是MC，NB 的延长线的交点，
且 解得
∴点E在定直线 上.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）把A，B两点坐标代入解析式计算出a，b的值即可；
（2）先求出抛物线与y轴的交点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，则，．表示出MP，NQ的长，根据列方程求出x的值解答即可；
（3）求出直线和的解析式，然后联立两直线解析式求出点E的横坐标解答即可．
24．【答案】（1）证明：①证明： ∵F为BE的中点， ∴BF=EF.
又∵BC∥EG， ∴∠FBC=∠FEG.
在△FBC和△FEG中，
∴△FBC≌△FEG (ASA)，
∴CF=GF；
②解： 由①可知△FBC≌△FEG，
∴BC=EG.
在 Rt△ABC中，
在 Rt△AED中，
∵BC∥EG， ∠BCE=90°，
∴∠CEG=180°-∠BCE=180°-90°=90°，
∴∠CEG=∠BCE.
在Rt△AED中， ∠AED=90°-∠EAD=90°-30°=60°，
∴∠GED=∠CEG+∠DEA=150°.
又∵∠CAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，
∴∠GED=∠CAD，
∴△GED∽△CAD，
∴∠GDE=∠ADC，
∴∠CDG=∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG=90°.
∵在Rt△GCD中，
∴∠DCG=30°.
（2）解：△DFG为等边三角形.理由如下：
如图，连接CD，过点B作BH∥DE交 DA的延长线于点 H，
∴∠BHA=∠ADE=90°， ∠EBH=∠BED.
∵BC∥EG，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠EBH+∠CBE=∠BED+∠GEB，即∠CBH=∠GED.
在四边形BCAH中，
∠CBH+∠BCA+∠CAH+∠AHB=360°，
∴∠CAH=180°-∠CBH.
又∵∠CAH=180°-∠CAD，
∴∠CBH=∠CAD， ∴∠CAD=∠GED.
由(1) ①同理可得： △FBC≌△FEG，
∴EG=BC， CF=FG，
又∵
∴△CAD∽△GED，
又∴
∵在 中，
又
为等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据ASA得到，根据对应边相等得到结论即可；
②根据全等三角形的对应边相等得到BC=EG，利用正切的定义求得，即可得到，进而可得，在中，根据正切的定义解答；
（2）连接，过点B作交的延长线于点H，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，，在中，根据正切的定义得到，然后根据三边相等的三角形是等边三角形证明结论．
1 / 1湖南省衡阳市2026年中考二模考试数学试题
1．下列四个数中，是无理数的是(　　)
A．- 1 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是负整数，是分数，是整数，都属于有理数，
是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数．
故答案为：D.
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．
2．体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段.下列体育图标是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形；
B：不是轴对称图形；
C：不是轴对称图形；
D：不是轴对称图形；
故答案为：A .
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　)
A．1， 2， 3 B．2， 3， 4
C．3， 3， 6 D．4， 5， 10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；
B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意；
C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；
D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断解答即可．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】解：选项A，，，故A选项计算错误，不符合题意；
选项B，，，故B选项计算错误，不符合题意；
选项C，，故C选项计算正确，符合题意；
选项D，，，故D选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】运用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式，对每个选项逐一计算验证，即可得到正确结果.
5．计算 的结果是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
故．
故答案为：A.
【分析】先将化为最简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可．
6．在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：89， 90， 90， 90， 91， 93， 94，这组数据的平均数与众数的差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：这组数据中，出现的次数最多
这组数据的众数为
计算得这组数据的总和为，
平均数，
平均数与众数的差为．
故答案为：A .
【分析】先根据众数的定义和平均数公式计算，然后求差解答即可．
7．若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于(　　)
A．- 2 B．2 C．- 3 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式得：，
不等式解集为，
，
解得：，
故答案为：C .
【分析】解不等式得，根据数轴上的解集即可得到-m-1=2，求出m的值解答即可．
8．如图，在△ABC中， ∠A=46°， ∠ABC=59°，尺规作图操作如下： (1)以点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交边 AB，AC 于点 D，E；(2)以点 B 为圆心、AD长为半径画弧，分别交边 BA，BC于点 F，G；(3)再以点 F为圆心、DE长为半径画弧，与弧 FG交于点 H；(4)画射线BH交边AC于点I.则∠CBI的度数为(　　)
A．12° B．13° C．14° D．15°
【答案】B
【知识点】角的运算；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
．
故答案为：B .
【分析】根据尺规作图可得，然后根据角的和差解答即可．
9．如图，点 A， B， C， D 在⊙O上，连接 OA， OB.若∠D=105°，则∠AOB的度数为(　　)
A．75° B．115° C．150° D．175°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：点A，B，C，D在⊙O上，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
．
故答案为：C .
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
10．一次函数y= kx (k<0)与反比例函数 的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 .过反比例函数图象上的点 M(与点 P不重合)作y轴垂线，垂足为点N，交y=kx的图象于点Q，其中O为坐标原点.若 则下列选项正确的是(　　)
A．k=-3
B．m的值为-8
C．当 时，反比例函数的值大于一次函数的值
D．点M的坐标为(-4， 4)
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
，，
轴，，点Q在上，，
，
，解得，故选项A错误，不符合题意；
，
一次函数解析式为，
点P是两函数图象的交点，且纵坐标为，
当时，，解得，即，
则，故选项B错误，不符合题意；
反比例函数解析式为，
则两函数图象如图所示，
交点，
由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意；
点M与Q纵坐标相同，，
，
点M在反比例函数上，
，即，故选项D正确，符合题意．
故答案为：D .
【分析】先得到点Q点坐标，代入求出一次函数的解析式判断A选项；然后根据一次函数的解析式求出求P点坐标，代入反比例函数求出m的值判断B选项，借助图象得到反比例函数图象在直线上方时自变量x的取值范围判断C选项；根据反比例函数求出M点坐标判断D选项解答即可．
11．因式分解：2x2-8=　 　
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x+2）（x-2），
故答案为2（x+2）（x-2）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
12．某足球联赛共进行了 98场比赛，现场观众人数累计约 230 万人.将数据2 300 000用科学记数法可表示为　 　.
【答案】2.3×106
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：2.3×106 .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
13．中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为．
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式解答即可．
14．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为　 　°.
【答案】720
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的边数为：，
则这个正多边形的内角和度数为，
故答案为：．
【分析】根据正多边形的外角和求出多边形的边数，然后根据多边形的内角和定理解答即可．
15．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD于点E， F， AE=6， ∠AEB=60°，则EF的值为　 　.
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设交于点，
矩形，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：6 .
【分析】设交于点，根据矩形的性质，利用ASA得到，即可得到OE=OF，得到四边形是菱形，进而可得是等边三角形，即可得到EF长解答即可．
16．定义：MN为某个三角形的边，若 MN 与其边上的高相等，则称该三角形为边 MN 的“伴随三角形”.△ABC为边 AB 的“伴随三角形”，AB=4.
①若∠B=90°，则∠A=　 　°；
②若AC=5，过点 C 作直线 AB 的高，垂足为点 D，则 BD 的长为　 　.
【答案】45；1或7
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图：
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长度，
∵，
故为为边上的高，
∴，
即，
∴．
②如图，是锐角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长，
即，
在中，，
则．
如图，是钝角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长度，
即，
在中，，
则．
故的长为或．
故答案为：或 .
【分析】①根据“伴随三角形”的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可；
②分为是锐角三角形、是钝角三角形两种情况：根据“伴随三角形”的定义得到，利用勾股定理求出AD长，然后根据线段的和差解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂、零指数次幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后加减解答即可.
18．先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式：
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项化简，再代入x的值解答即可.
19．某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级： A(0≤x<2)， B(2≤x<4)， C(4≤x<6)， D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为　 　°；
（4）若全校共有 3 000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于 4小时的学生有多少人
【答案】（1）50
（2）解：C等级”的人数为： 50-4-13-15=18 (人).
补全条形统计图如下：
学生每周课外阅读总时间条形统计图
（3）108
（4）解： (人).
答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次被抽取的学生人数为：（人）；
故答案为：50；
（3）解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：；
故答案为：108；
【分析】（1）根据B等级人数除以占比求出被调查的总人数解答即可；
（2）先利用总人数减去其它组人数求解C等级人数，再补全条形统计图即可；
（3）用乘以D等级人数的占比解答；
（4）用样本中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比乘以总人数解答即可．
20．某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵 25元，用 600元购买甲商品的数量恰好与用 500元购买乙商品的数量相同.
（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元
（2）该商店计划购进这两种商品共20件，甲商品的售价为240元/件，乙商品的售价为 200 元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于1620元，则至少购进多少件甲种商品
【答案】（1）解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为(x-25)元.
依题意得
解得x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴x-25=125.
答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元；
（2）解：设购进m件甲种商品，则购进(20-m)件乙种商品.
依题意得(240-150)m+(200-125)(20-m)≥1620，
解得m≥8，
∴m的最小值为8.
答：至少购进8件甲种商品.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为(x-25)元根据“ 用 600元购买甲商品的数量恰好与用 500元购买乙商品的数量相同 ”列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进m件甲种商品，根据“ 全部商品销售完毕，总利润不低于1620元 ”列不等式求出m的最小整数解解答即可.
21．如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， E为AB上一点，以AE为直径作⊙O交 BC于点 D，交AC于点F，且D为 的中点，连接AD.
（1）求证： BC是⊙O的切线；
（2）若 求⊙O的半径及AC的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵D为的中点，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC.
∵∠ACB=90°，
∴∠BDO=90°，即OD⊥BC.
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：
解得AE=10，
∴⊙O的半径为5.
∴BO=BE+EO=8+5=13.
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
即
【知识点】切线的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠FAD=∠EAD，即可得到∠CAD=∠ODA，进而根据内错角相等得到OD∥AC，求出证明结论；
（2）根据线段的和差求出AE长，再根据平行线得到，根据对应线段成比例解答即可．
22．如图 1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验.同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型.已知直尺斜靠在桌边，悬绳 ABC(A，B，C在同一直线上)的上端 A 点与桌边接触点 D的连线 AD，垂直于直尺下边BE，其中AD=3cm，BE=20cm， 请根据以上信息，求AC 的长.(结果保留一位小数 .参考 数 据：
【答案】解：如图，过点 B作BF⊥CE于点 F.
在 Rt△BEF中，
在 Rt△BCF中，
又∵∠ABD=∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=180°-60°-45°=75°，
∴在 Rt△ABD中，
∴AC=BC+AB≈16.33+3.09=19.42≈19.4(cm).故AC的长约为19.4cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作于点F，根据正弦的定义求出BF和BC长，再根据三角形内角和定理求出，在中根据正弦的定义求出，根据线段的和差解答即可．
23．已知二次函数. 的图象与x轴交于点A(-1， 0)， B(3， 0)，与 y轴交于点 C，连接 BC， 是此二次函数图象上的两个动点，且 连接MC，NB.
（1）求二次函数的表达式；
（2） 如图 1， 连接 MB， NC. 若 且 求此时x1的值；
（3） 如图 2， 延长 MC，NB 交于点 E. 若. 求证：点E在定直线上.
【答案】（1）解：由题意得 解得
∴二次函数的表达式为：
（2）解：将x=0代入到 中，得y=-3，
∴点C的坐标为(0， - 3).
设直线 BC的表达式为y= kx+d，且经过点B(3， 0)， C(0， - 3)，
则 解得
∴直线BC的表达式为： y=x-3.
如图，分别过点 M，N作 y 轴的平行线交直线 BC于点 P， Q，
则
∵点 M(x1， y1)， N(x2， y2)在二次函数的图象上，
即 解得 或
（3）解：设直线MC的表达式为y=mx+n，且经过点 得 解得
∴直线MC的表达式为.
同理可得直线NB 的表达式为
∵点E 是MC，NB 的延长线的交点，
且 解得
∴点E在定直线 上.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）把A，B两点坐标代入解析式计算出a，b的值即可；
（2）先求出抛物线与y轴的交点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，则，．表示出MP，NQ的长，根据列方程求出x的值解答即可；
（3）求出直线和的解析式，然后联立两直线解析式求出点E的横坐标解答即可．
24．已知 和 均为直角三角形， 连接BE，F为 BE的中点，过点 E作 BC的平行线交射线 CF于点 G.
（1）当C，A，E三点在同一直线上时，如图1.
①求证： CF=GF；
②连接 CD， DG，求证：
（2）将图 1中的 绕点 A 旋转到图 2 所在位置时，连接 DF，DG，判断 的形状并说明理由.
【答案】（1）证明：①证明： ∵F为BE的中点， ∴BF=EF.
又∵BC∥EG， ∴∠FBC=∠FEG.
在△FBC和△FEG中，
∴△FBC≌△FEG (ASA)，
∴CF=GF；
②解： 由①可知△FBC≌△FEG，
∴BC=EG.
在 Rt△ABC中，
在 Rt△AED中，
∵BC∥EG， ∠BCE=90°，
∴∠CEG=180°-∠BCE=180°-90°=90°，
∴∠CEG=∠BCE.
在Rt△AED中， ∠AED=90°-∠EAD=90°-30°=60°，
∴∠GED=∠CEG+∠DEA=150°.
又∵∠CAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，
∴∠GED=∠CAD，
∴△GED∽△CAD，
∴∠GDE=∠ADC，
∴∠CDG=∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG=90°.
∵在Rt△GCD中，
∴∠DCG=30°.
（2）解：△DFG为等边三角形.理由如下：
如图，连接CD，过点B作BH∥DE交 DA的延长线于点 H，
∴∠BHA=∠ADE=90°， ∠EBH=∠BED.
∵BC∥EG，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠EBH+∠CBE=∠BED+∠GEB，即∠CBH=∠GED.
在四边形BCAH中，
∠CBH+∠BCA+∠CAH+∠AHB=360°，
∴∠CAH=180°-∠CBH.
又∵∠CAH=180°-∠CAD，
∴∠CBH=∠CAD， ∴∠CAD=∠GED.
由(1) ①同理可得： △FBC≌△FEG，
∴EG=BC， CF=FG，
又∵
∴△CAD∽△GED，
又∴
∵在 中，
又
为等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据ASA得到，根据对应边相等得到结论即可；
②根据全等三角形的对应边相等得到BC=EG，利用正切的定义求得，即可得到，进而可得，在中，根据正切的定义解答；
（2）连接，过点B作交的延长线于点H，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，，在中，根据正切的定义得到，然后根据三边相等的三角形是等边三角形证明结论．
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