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四川省成都市锦江区2026年九年级二诊数学试卷
1．下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．
故答案为：A .
【分析】根据主视图和左视图可知是锥体，再根据俯视图确定几何体的形状解答即可.
2．如图，数轴上点A 表示的数可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间，
，，
点A表示的数满足，
A、，，不符合题意；
B、，，不符合题意；
C、，，符合题意；
D、，，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，然后根据无理数的估算解答即可．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．5x·2x=10x C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，
∴，A错误；
B、∵单项式相乘，系数相乘，同底数幂的指数相加，
∴，B错误；
C、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴，C错误；
D、∵积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
∴，D正确．
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的除法、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
4．如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， BC=6， AC=8， D是斜边AB的中点，连接CD，则 CD的长为(　　)
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
则AB=，
∵D是AB的中点，
∴CD=AB=5，
故答案为：D .
【分析】根据勾股定理求出AB长，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可．
5．某班同学在劳动基地种植蚕豆，7个小组各种下100颗蚕豆，经过一段时间的培育，他们发现发芽的蚕豆数量(颗) 分别是93，92，96， 95，94，88，95.这组数据的中位数、众数分别是 (　　)
A．94， 95 B．94， 96 C．95， 95 D．95， 96
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：首先把原数据从小到大排序，得：，
∵这组数据共有7个，为奇数个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，
∴中位数是94；
∵这组数据中95出现次数最多，共出现2次，
∴众数为95，
因此这组数据的中位数、众数分别是94，95．
故答案为：A .
【分析】先将数据从小到大排序，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的数据是众数，据此解答即可．
6． 如图，在△ABC中， ∠BAC：∠ABC：∠ACB=5：4：3，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，BC的长为半径画弧；②以点C为圆心，AB的长为半径画弧；③两弧相交于点 D，连接AD，CD，则∠ACD的大小为 (　　)
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
设，，，
，
，
解得，
，
由作图步骤可知：，，
∴ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
．
故答案为：C .
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据作图得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
7．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故答案为：A .
【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
8．抛物线. 的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②一元二次方程的两个根是x1=-1，x2=3；③3a+c>0；④当y>0时，-1A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
则．
故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为且对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
则一元二次方程的两个根是．
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
则．
将点代入抛物线的解析式得，
则，
∴．
故③错误；
当时，抛物线的图象在x轴上方，即，
∴当时，．
故④正确．
∴正确的结论有①②④．
故答案为：B .
【分析】根据抛物线与x轴交点的个数判断①；利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标判断②；把点代入二次函数解析式，结合求出3a+b的取值判断③；根据抛物线在x轴上方的自变量x的取值范围判断④解答即可．
9．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式
．
故答案为： ．
【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可.
10．下图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方.已知入射的两条光线AB，CD折射后的两条光线BE，DF相交于点P.若AB∥CD，∠ABE=165°，∠CDF=160°，则∠EPF 的大小为　 　.
【答案】35°
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵与是对顶角，
∴．
故答案为：35° .
【分析】本过交点作，根据平行公理的推论得到，根据两直线平行，同旁内角互补求出和的度数，然后利用角的和差和对顶角相等解答即可．
11．已知点M(3， y1)， N(7， y2)在反比例函数 的图象上，如果y1>y2，那么k的值可能为　 　(请写出一个符合条件的k值).
【答案】3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】 解：点在反比例函数的图象上，
又，且，
在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
（答案不唯一）．
故答案为：3 .
【分析】根据反比例函数的增减性得到，求出k的取值范围解答即可.
12．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CD边上的一个动点，连接EF，BF.若AB=2，则EF+BF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称点，连接，，则，，，
∵在正方形中，是边的中点，，
∴，，，
当三点共线时，
∴，此时最小，
∵，
∴，
∴点A，D，Q在同一直线上，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故答案为： .
【分析】作关于的对称点，连接，，则，当三点共线时，，此时最小，然后根据勾股定理求出BQ长解答即可．
13．定义：在△ABC中，点D在边BC上，若 则称线段AD为△ABC的“平方分割线”，点D称为“平方分割点”.如图，在△ABC中，已知AB=2， AC=4， BC=5，则平方分割点 D 到点 B 的距离BD 的长为　 　.
【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由定义可知，
将代入得，
点在边上，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1 .
【分析】根据“平方分割点”的定义列出比例式计算即可．
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式=
=5
（2）解：解不等式①得；
解不等式②得；
不等式组的解集为.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值，零次幂、负整数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．为迎接全国学生营养日，某校已顺利开展九年级学生体重健康专项监测活动.学校将学生体重按健康标准分为四类：A(偏瘦)、B(正常)、C(超重)、D(肥胖)，每个学生对应其中一类.为了解学生体重管理成效，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图.
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次调查统计抽取的学生人数为　 　；扇形统计图中A类体重所占圆心角的大小为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）为了帮助学生树立体重管理和健康生活意识，学校计划开展一次健康饮食经验分享活动.有4名学生报名参与分享，其中包括1名男生和3名女生.现准备从这4名学生中随机抽取2人进行分享.请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）200；144°
（2）解：B类人数有：（人）
补全条形统计图如下：

（3）解：列出表格如下：
男1 女1 女2 女3
男1 女1，男1 女2，男1 女3，男1
女1 男1，女1 女2，女1 女3，女1
女2 男1，女2 女1，女2 女3，女2
女3 男1，女3 女1，女3 女2，女3
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有6种，那么恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）总人数为：（人）
A类体重所占圆心角：；
故答案为：200；144°；
【分析】（1）先利用D类人数除以其所占比求得考查总人数，用A类所占比乘以求出其圆心角解答即可；
（2）根据总人数减去A，C，D类人数得到B类人数，据此部全条形统计图即可；
（3）列表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
16． 为方便居家学习时保护视力、养成良好坐姿，某家庭使用一款可调节高度的升降书桌(如图1).该升降书桌的升降机构可简化为交叉剪式(X型)连杆结构，其工作原理如图2所示，桌面边缘所在直线CD与底座边缘所在直线AG始终平行(CD∥AG)；交叉连杆的中点为O，满足OA=OB=OE=OF(即交叉杆等长，中点铰接)；当调节书桌高度时，点B，F左右滑动，连杆OB 与底座AG的夹角∠OBA发生变化，桌面到底座的竖直高度h随之改变.已知OA=40厘米，在正常调节范围内，∠OBA的取值范围为 求该升降书桌桌面到底座的竖直高度h的变化范围.(结果精确到0.1厘米，参考数据：sin35°≈0.57， cos35°≈0.82， tan35°≈0.70， sin57°≈0.84，cos57°≈0.54， tan57°≈1.54)
【答案】解： 如图，连接AE，则.
当时
当时
答：竖直高度h的取值范围为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】连接，得到AE⊥AB，然后根据正弦的定义求出当和时的AE长，即可得到h的取值范围．
17． 如图， △ADC为⊙O的内接三角形， 过点A作AB∥CD，且AB=AC.连接BC，交AD于E，交⊙O于F.
（1）求证： AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠AFC=3， CD=6，求⊙O的半径及AE的长.
【答案】（1）解：如图，连接，并延长交于点M，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵和都是所对的圆周角，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵由（1）可知，，
∴，
∴，即，
设的半径为r，则，，
∵在中，，
∴，
∴，即的半径为5；
在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E在上，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，并延长交于点M，根据垂径定理推论得到，即可得到，证明结论即可；
（2）连接，即可得到，然后根据垂径定理求出，进而根据正切的定义求出长，根据勾股定理求得半径长和长，再根据平行线得到，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 OA经过点B(2，3)，与反比例函数 的图象交于点A (m，n)点，且
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上一动点，作直线BE交x轴于点C，交y轴于点D，交反比例函数 的图象于另一点F.
①若 求点E的坐标；
②如图2，当点E在点F的右侧时，若B为EF的中点，连接OE，OF.将直线OB 向右平移d(d>0)个单位后，将△EOF的面积分为2：23两部分，求d的值.
【答案】（1）解：设直线为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线为，
∵直线经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的横坐标为：，的纵坐标为：，
∴，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴或，
∴或；
②由题知，平移后的直线解析式为，
设平移后的直线交于点，交于，
∵点为中点，
∴，
设，则，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴或（舍去）
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的横坐标为：，的纵坐标为：，
∴，
设点代入，
，
解得，
综上，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应面积；一次函数图象的平移变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先求出直线的解析式，进而求出点点坐标，吧点坐标代入反比例函数解析式计算即可；
（2）①设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点，根据平行线得到，根据对应边成比例得到TR和FT的值，即可得到点F的坐标，把点坐标代入反比例函数解析式即可解答；
②设平移后的直线解析式为，平移后的直线交于点，交于，，则，将代入反比例函数求出t的值，即可得到点E的坐标，然后根据平行线得到，根据面积比等于相似比的平方得到，过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点，求出M点坐标，代入直线OB的解析式求出d的值即可．
19．若实数m满足 则代数式 的值为　 　.
【答案】2030
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴
．
故答案为：2030 .
【分析】由已知可得的值，然后代数式化为，然后整体代入计算即可．
20．如图是6×6的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是格点(小正方形的顶点)，连接AB，在网格中画出以AB为直径的圆，圆心为点O，点 C，D是格点且在圆上，连接CD，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
点和是格点，为直径，点为圆心，
点为的中点，且点在格点上．
根据勾股定理，得，，．
，，
．
是直角三角形，且．
图中阴影部分的面积
．
故答案为： .
【分析】连接，，根据网格特点，利用勾股定理的逆定理得出，然后根据阴影部分的面积计算即可．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E是BC的中点，连接DE交AC于点F，连接OE.若AB=6， BC= ，则△OEF的周长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，，，
在中，根据勾股定理，得，
，
是的中点，
，，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的周长为．
故答案为： .
【分析】本题先利用矩形的性质得到边长与角度关系，结合E是BC中点、O是对角线中点，求出BE、OE的长度，再利用勾股定理依次求出对角线AC和线段DE的长，最后根据平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质求出∠OEF各边的长度，进而算出周长。
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与反比例函数L： 的图象交于A，B两点，点B (x0， y0)在第四象限，则x0=　 　；过点A1(y0， x0)作直线AB的平行线在第四象限交L于点B1(x1，y1)；过点A2(y1，x1)作直线AB的平行线在第四象限交L于点B2(x2， y2)…按此规律，记Bn(x ， y ) ，过点 作直线AB的平行线在第四象限交 L于点 则点A2026的坐标为　 　.
【答案】5；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 直线与反比例函数交于A，B两点
，
，
，
在第四象限，
；
在上，
，
，
，直线的解析式为，
设过平行于的直线解析式为，
联立与得，
，
两根为，的横坐标，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5 ；.
【分析】首先联立直线与反比例函数的解析式，根据点B所在象限求出B点的初始坐标；再结合平移的性质、一元二次方程的韦达定理，求出x1，x2，…，推导得到 ，然后代入求出对应y的值，再代入n=2026计算即可.
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AD+BC=CD.E为线段AB上一点，连接CE， DE.过点A作AF∥ED交射线CD于F，过点B作BG∥EC交射线DC于G.取线段FG的中点为H，若 则 　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长和相交于点，延长和相交于点，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
整理得，
∵，，
∴，
∴．
故答案为： .
【分析】延长和相交于点，延长和相交于点，设，，根据平行线得到和，即可求出，，然后根据两角对应相等得到和，即可求出DF和CG长，利用求出，然后代入求出比值解答即可．
24．成都游客逛宽窄巷子文创店，选购迷你蜀绣挂件和熊猫冰箱贴.询价发现：用600元买迷你蜀绣挂件的数量，与用200元买熊猫冰箱贴的数量相同；已知1个迷你蜀绣挂件比1个熊猫冰箱贴贵20元.
（1）求每个熊猫冰箱贴的售价；
（2）该游客准备购买两款文创产品共120个，并且熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍.求该游客最少需要花费多少钱
【答案】（1）解：设每个熊猫冰箱贴的售价为元，则每个迷你蜀绣挂件的售价为元，
根据“两种商品购买数量相等”这一等量关系，可列方程：
，
解方程得，
检验：当时，分母，因此是原分式方程的解，符合题意。
答：每个熊猫冰箱贴的售价为10元。
（2）解：设购买迷你蜀绣挂件个，总花费为元，则购买熊猫冰箱贴的数量为个，
根据“熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍”，可得不等式：
，
解不等式得；
由（1）的结果可知，每个迷你蜀绣挂件的售价为元，
因此总花费可表示为：
，
，
随的增大而增大，
当取最小值时，可以取得最小值，计算得（元），
答：该游客购买这两种纪念品最少需要花费2000元。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）我们设每个熊猫冰箱贴的售价为元，根据题意可知每个迷你蜀绣挂件的售价为元。题目给出条件“花费600元购买到的迷你蜀绣挂件的数量，和花费200元购买到的熊猫冰箱贴的数量相等”，我们可以根据这个等量关系列出分式方程求解，最后对分式方程的解进行检验，即可得到最终结果；
（2）我们设购买迷你蜀绣挂件个，购买两种纪念品的总花费为元，先根据题目给出的数量限制求出自变量m的取值范围，再列出总花费关于m的一次函数解析式，最后利用一次函数的单调性求出总花费的最小值.
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 交抛物线 于A， B 两点， B 点的坐标为(2， 2).
（1）求点A 的坐标；
（2）如图2，在y轴右侧直线AB上有一点E(不与点B重合)，过点E作直线 交抛物线 的图象于C，D两点(C，D两点不重合).
①求c的取值范围；
②判断 的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，把分别代入直线和抛物线，
得；，
∴，，
∴直线；抛物线，
联立，
解得或
∴；
（2）解：①联立，
解得，即，
∵点E在y轴的右侧，即，
∴，
联立，
得，
∵，两点不重合，
∴，
∴，
又∵点不与点重合，即直线不经过点B，且当经过点时，，
∴，
∴综上，c的取值范围为或；
②是，定值为，理由如下，
联立，
得，
∴，
由①得，
∴，
如图，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J，
则，，
令，则，即，
∵，则，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，即，
∴，
同理，
如图，过点B作直线，交x轴于点L，过点B作轴于点，设交y轴于点M，
设直线的解析式为，代入，则，
∴直线的解析式为，令，则，即，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即，
∴，
同理，
当点E在点B的左侧时，
则，
，
∴；
当点E在点B的右侧时，
则，
，
∴；
综上，是定值，定值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】 【分析】（1）先求出直线和抛物线的解析式，然后联立两个解析式求出交点A的坐标即可；
（2）①联立直线和的解析式，求得交点E的横坐标，根据点E在y轴的右侧求出，然后联立直线和抛物线的解析式，根据交点个数得到，求得，然后根据点不与点重合得到c的取值范围即可；
②联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可得，，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J，先求出点J的坐标，利用勾股定理和直角三角形中边角关系求得，即可得到，进而求出，表示出，同理表示出，分为点E在点B的左侧或点E在点B的右侧两种情况代入乘积求出比值解答即可．
26．如图1，在菱形ABCD中， E为线段AD 上一动点(不与端点A，D重合)，连接BE交对角线AC于点 F，将射线 BE绕点B逆时针旋转交射线DC于点 G.
（1）求证： AF=CG；
（2）如图2，设∠AEB=α°，将射线AD绕点A逆时针旋转α°，交BE于点H，交CD于点M，连接EG交AM于点N.
①求证： GN=2NE；
②如图3，连接AG，若AG=2AE， AD=6，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
由（1）可得，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点P作交于点P，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴三点共线；
∵，
∴，
∴，
∴，
设点N到的距离为，点N到的距离为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
又∵，
∴；
如图所示，过点G作于点R，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到是等边三角形，进而可得，然后根据ASA得到，根据对应边相等证明结论即可；
（2）①由（1）得是等边三角形，即可得到，根据等角对等边得到；根据ASA得到，即可得到，进而可得；过点P作交于点P，推理可得，进而可得；再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到结论即可；
②将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得三点共线，三点共线；根据SAS得到，即可得到；推理得到平分，则可得到；过点G作于点R，则，设，即可得到，再在和中根据勾股定理求出x的值解答即可．
1 / 1四川省成都市锦江区2026年九年级二诊数学试卷
1．下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．三棱锥
2．如图，数轴上点A 表示的数可能是(　　)
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．5x·2x=10x C． D．
4．如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， BC=6， AC=8， D是斜边AB的中点，连接CD，则 CD的长为(　　)
A．10 B．8 C．6 D．5
5．某班同学在劳动基地种植蚕豆，7个小组各种下100颗蚕豆，经过一段时间的培育，他们发现发芽的蚕豆数量(颗) 分别是93，92，96， 95，94，88，95.这组数据的中位数、众数分别是 (　　)
A．94， 95 B．94， 96 C．95， 95 D．95， 96
6． 如图，在△ABC中， ∠BAC：∠ABC：∠ACB=5：4：3，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，BC的长为半径画弧；②以点C为圆心，AB的长为半径画弧；③两弧相交于点 D，连接AD，CD，则∠ACD的大小为 (　　)
A．45° B．60° C．75° D．90°
7．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 (　　)
A． B．
C． D．
8．抛物线. 的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②一元二次方程的两个根是x1=-1，x2=3；③3a+c>0；④当y>0时，-1A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
9．分解因式： 　 　．
10．下图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方.已知入射的两条光线AB，CD折射后的两条光线BE，DF相交于点P.若AB∥CD，∠ABE=165°，∠CDF=160°，则∠EPF 的大小为　 　.
11．已知点M(3， y1)， N(7， y2)在反比例函数 的图象上，如果y1>y2，那么k的值可能为　 　(请写出一个符合条件的k值).
12．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CD边上的一个动点，连接EF，BF.若AB=2，则EF+BF的最小值为　 　.
13．定义：在△ABC中，点D在边BC上，若 则称线段AD为△ABC的“平方分割线”，点D称为“平方分割点”.如图，在△ABC中，已知AB=2， AC=4， BC=5，则平方分割点 D 到点 B 的距离BD 的长为　 　.
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15．为迎接全国学生营养日，某校已顺利开展九年级学生体重健康专项监测活动.学校将学生体重按健康标准分为四类：A(偏瘦)、B(正常)、C(超重)、D(肥胖)，每个学生对应其中一类.为了解学生体重管理成效，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图.
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次调查统计抽取的学生人数为　 　；扇形统计图中A类体重所占圆心角的大小为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）为了帮助学生树立体重管理和健康生活意识，学校计划开展一次健康饮食经验分享活动.有4名学生报名参与分享，其中包括1名男生和3名女生.现准备从这4名学生中随机抽取2人进行分享.请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
16． 为方便居家学习时保护视力、养成良好坐姿，某家庭使用一款可调节高度的升降书桌(如图1).该升降书桌的升降机构可简化为交叉剪式(X型)连杆结构，其工作原理如图2所示，桌面边缘所在直线CD与底座边缘所在直线AG始终平行(CD∥AG)；交叉连杆的中点为O，满足OA=OB=OE=OF(即交叉杆等长，中点铰接)；当调节书桌高度时，点B，F左右滑动，连杆OB 与底座AG的夹角∠OBA发生变化，桌面到底座的竖直高度h随之改变.已知OA=40厘米，在正常调节范围内，∠OBA的取值范围为 求该升降书桌桌面到底座的竖直高度h的变化范围.(结果精确到0.1厘米，参考数据：sin35°≈0.57， cos35°≈0.82， tan35°≈0.70， sin57°≈0.84，cos57°≈0.54， tan57°≈1.54)
17． 如图， △ADC为⊙O的内接三角形， 过点A作AB∥CD，且AB=AC.连接BC，交AD于E，交⊙O于F.
（1）求证： AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠AFC=3， CD=6，求⊙O的半径及AE的长.
18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 OA经过点B(2，3)，与反比例函数 的图象交于点A (m，n)点，且
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上一动点，作直线BE交x轴于点C，交y轴于点D，交反比例函数 的图象于另一点F.
①若 求点E的坐标；
②如图2，当点E在点F的右侧时，若B为EF的中点，连接OE，OF.将直线OB 向右平移d(d>0)个单位后，将△EOF的面积分为2：23两部分，求d的值.
19．若实数m满足 则代数式 的值为　 　.
20．如图是6×6的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是格点(小正方形的顶点)，连接AB，在网格中画出以AB为直径的圆，圆心为点O，点 C，D是格点且在圆上，连接CD，则图中阴影部分的面积是　 　.
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E是BC的中点，连接DE交AC于点F，连接OE.若AB=6， BC= ，则△OEF的周长为　 　.
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与反比例函数L： 的图象交于A，B两点，点B (x0， y0)在第四象限，则x0=　 　；过点A1(y0， x0)作直线AB的平行线在第四象限交L于点B1(x1，y1)；过点A2(y1，x1)作直线AB的平行线在第四象限交L于点B2(x2， y2)…按此规律，记Bn(x ， y ) ，过点 作直线AB的平行线在第四象限交 L于点 则点A2026的坐标为　 　.
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AD+BC=CD.E为线段AB上一点，连接CE， DE.过点A作AF∥ED交射线CD于F，过点B作BG∥EC交射线DC于G.取线段FG的中点为H，若 则 　 　.
24．成都游客逛宽窄巷子文创店，选购迷你蜀绣挂件和熊猫冰箱贴.询价发现：用600元买迷你蜀绣挂件的数量，与用200元买熊猫冰箱贴的数量相同；已知1个迷你蜀绣挂件比1个熊猫冰箱贴贵20元.
（1）求每个熊猫冰箱贴的售价；
（2）该游客准备购买两款文创产品共120个，并且熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍.求该游客最少需要花费多少钱
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 交抛物线 于A， B 两点， B 点的坐标为(2， 2).
（1）求点A 的坐标；
（2）如图2，在y轴右侧直线AB上有一点E(不与点B重合)，过点E作直线 交抛物线 的图象于C，D两点(C，D两点不重合).
①求c的取值范围；
②判断 的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
26．如图1，在菱形ABCD中， E为线段AD 上一动点(不与端点A，D重合)，连接BE交对角线AC于点 F，将射线 BE绕点B逆时针旋转交射线DC于点 G.
（1）求证： AF=CG；
（2）如图2，设∠AEB=α°，将射线AD绕点A逆时针旋转α°，交BE于点H，交CD于点M，连接EG交AM于点N.
①求证： GN=2NE；
②如图3，连接AG，若AG=2AE， AD=6，求AG的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．
故答案为：A .
【分析】根据主视图和左视图可知是锥体，再根据俯视图确定几何体的形状解答即可.
2．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间，
，，
点A表示的数满足，
A、，，不符合题意；
B、，，不符合题意；
C、，，符合题意；
D、，，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，然后根据无理数的估算解答即可．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，
∴，A错误；
B、∵单项式相乘，系数相乘，同底数幂的指数相加，
∴，B错误；
C、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴，C错误；
D、∵积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
∴，D正确．
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的除法、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
则AB=，
∵D是AB的中点，
∴CD=AB=5，
故答案为：D .
【分析】根据勾股定理求出AB长，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可．
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：首先把原数据从小到大排序，得：，
∵这组数据共有7个，为奇数个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，
∴中位数是94；
∵这组数据中95出现次数最多，共出现2次，
∴众数为95，
因此这组数据的中位数、众数分别是94，95．
故答案为：A .
【分析】先将数据从小到大排序，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的数据是众数，据此解答即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
设，，，
，
，
解得，
，
由作图步骤可知：，，
∴ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
．
故答案为：C .
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据作图得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故答案为：A .
【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
则．
故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为且对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
则一元二次方程的两个根是．
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
则．
将点代入抛物线的解析式得，
则，
∴．
故③错误；
当时，抛物线的图象在x轴上方，即，
∴当时，．
故④正确．
∴正确的结论有①②④．
故答案为：B .
【分析】根据抛物线与x轴交点的个数判断①；利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标判断②；把点代入二次函数解析式，结合求出3a+b的取值判断③；根据抛物线在x轴上方的自变量x的取值范围判断④解答即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式
．
故答案为： ．
【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可.
10．【答案】35°
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵与是对顶角，
∴．
故答案为：35° .
【分析】本过交点作，根据平行公理的推论得到，根据两直线平行，同旁内角互补求出和的度数，然后利用角的和差和对顶角相等解答即可．
11．【答案】3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】 解：点在反比例函数的图象上，
又，且，
在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
（答案不唯一）．
故答案为：3 .
【分析】根据反比例函数的增减性得到，求出k的取值范围解答即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称点，连接，，则，，，
∵在正方形中，是边的中点，，
∴，，，
当三点共线时，
∴，此时最小，
∵，
∴，
∴点A，D，Q在同一直线上，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故答案为： .
【分析】作关于的对称点，连接，，则，当三点共线时，，此时最小，然后根据勾股定理求出BQ长解答即可．
13．【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由定义可知，
将代入得，
点在边上，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1 .
【分析】根据“平方分割点”的定义列出比例式计算即可．
14．【答案】（1）解：原式=
=5
（2）解：解不等式①得；
解不等式②得；
不等式组的解集为.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算绝对值，零次幂、负整数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）200；144°
（2）解：B类人数有：（人）
补全条形统计图如下：

（3）解：列出表格如下：
男1 女1 女2 女3
男1 女1，男1 女2，男1 女3，男1
女1 男1，女1 女2，女1 女3，女1
女2 男1，女2 女1，女2 女3，女2
女3 男1，女3 女1，女3 女2，女3
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有6种，那么恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）总人数为：（人）
A类体重所占圆心角：；
故答案为：200；144°；
【分析】（1）先利用D类人数除以其所占比求得考查总人数，用A类所占比乘以求出其圆心角解答即可；
（2）根据总人数减去A，C，D类人数得到B类人数，据此部全条形统计图即可；
（3）列表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
16．【答案】解： 如图，连接AE，则.
当时
当时
答：竖直高度h的取值范围为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】连接，得到AE⊥AB，然后根据正弦的定义求出当和时的AE长，即可得到h的取值范围．
17．【答案】（1）解：如图，连接，并延长交于点M，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵和都是所对的圆周角，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵由（1）可知，，
∴，
∴，即，
设的半径为r，则，，
∵在中，，
∴，
∴，即的半径为5；
在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E在上，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，并延长交于点M，根据垂径定理推论得到，即可得到，证明结论即可；
（2）连接，即可得到，然后根据垂径定理求出，进而根据正切的定义求出长，根据勾股定理求得半径长和长，再根据平行线得到，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
18．【答案】（1）解：设直线为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线为，
∵直线经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的横坐标为：，的纵坐标为：，
∴，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴或，
∴或；
②由题知，平移后的直线解析式为，
设平移后的直线交于点，交于，
∵点为中点，
∴，
设，则，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴或（舍去）
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的横坐标为：，的纵坐标为：，
∴，
设点代入，
，
解得，
综上，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应面积；一次函数图象的平移变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先求出直线的解析式，进而求出点点坐标，吧点坐标代入反比例函数解析式计算即可；
（2）①设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点，根据平行线得到，根据对应边成比例得到TR和FT的值，即可得到点F的坐标，把点坐标代入反比例函数解析式即可解答；
②设平移后的直线解析式为，平移后的直线交于点，交于，，则，将代入反比例函数求出t的值，即可得到点E的坐标，然后根据平行线得到，根据面积比等于相似比的平方得到，过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点，求出M点坐标，代入直线OB的解析式求出d的值即可．
19．【答案】2030
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴
．
故答案为：2030 .
【分析】由已知可得的值，然后代数式化为，然后整体代入计算即可．
20．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
点和是格点，为直径，点为圆心，
点为的中点，且点在格点上．
根据勾股定理，得，，．
，，
．
是直角三角形，且．
图中阴影部分的面积
．
故答案为： .
【分析】连接，，根据网格特点，利用勾股定理的逆定理得出，然后根据阴影部分的面积计算即可．
21．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，，，
在中，根据勾股定理，得，
，
是的中点，
，，
在中，根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的周长为．
故答案为： .
【分析】本题先利用矩形的性质得到边长与角度关系，结合E是BC中点、O是对角线中点，求出BE、OE的长度，再利用勾股定理依次求出对角线AC和线段DE的长，最后根据平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质求出∠OEF各边的长度，进而算出周长。
22．【答案】5；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 直线与反比例函数交于A，B两点
，
，
，
在第四象限，
；
在上，
，
，
，直线的解析式为，
设过平行于的直线解析式为，
联立与得，
，
两根为，的横坐标，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5 ；.
【分析】首先联立直线与反比例函数的解析式，根据点B所在象限求出B点的初始坐标；再结合平移的性质、一元二次方程的韦达定理，求出x1，x2，…，推导得到 ，然后代入求出对应y的值，再代入n=2026计算即可.
23．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长和相交于点，延长和相交于点，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
整理得，
∵，，
∴，
∴．
故答案为： .
【分析】延长和相交于点，延长和相交于点，设，，根据平行线得到和，即可求出，，然后根据两角对应相等得到和，即可求出DF和CG长，利用求出，然后代入求出比值解答即可．
24．【答案】（1）解：设每个熊猫冰箱贴的售价为元，则每个迷你蜀绣挂件的售价为元，
根据“两种商品购买数量相等”这一等量关系，可列方程：
，
解方程得，
检验：当时，分母，因此是原分式方程的解，符合题意。
答：每个熊猫冰箱贴的售价为10元。
（2）解：设购买迷你蜀绣挂件个，总花费为元，则购买熊猫冰箱贴的数量为个，
根据“熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍”，可得不等式：
，
解不等式得；
由（1）的结果可知，每个迷你蜀绣挂件的售价为元，
因此总花费可表示为：
，
，
随的增大而增大，
当取最小值时，可以取得最小值，计算得（元），
答：该游客购买这两种纪念品最少需要花费2000元。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）我们设每个熊猫冰箱贴的售价为元，根据题意可知每个迷你蜀绣挂件的售价为元。题目给出条件“花费600元购买到的迷你蜀绣挂件的数量，和花费200元购买到的熊猫冰箱贴的数量相等”，我们可以根据这个等量关系列出分式方程求解，最后对分式方程的解进行检验，即可得到最终结果；
（2）我们设购买迷你蜀绣挂件个，购买两种纪念品的总花费为元，先根据题目给出的数量限制求出自变量m的取值范围，再列出总花费关于m的一次函数解析式，最后利用一次函数的单调性求出总花费的最小值.
25．【答案】（1）解：根据题意，把分别代入直线和抛物线，
得；，
∴，，
∴直线；抛物线，
联立，
解得或
∴；
（2）解：①联立，
解得，即，
∵点E在y轴的右侧，即，
∴，
联立，
得，
∵，两点不重合，
∴，
∴，
又∵点不与点重合，即直线不经过点B，且当经过点时，，
∴，
∴综上，c的取值范围为或；
②是，定值为，理由如下，
联立，
得，
∴，
由①得，
∴，
如图，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J，
则，，
令，则，即，
∵，则，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，即，
∴，
同理，
如图，过点B作直线，交x轴于点L，过点B作轴于点，设交y轴于点M，
设直线的解析式为，代入，则，
∴直线的解析式为，令，则，即，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即，
∴，
同理，
当点E在点B的左侧时，
则，
，
∴；
当点E在点B的右侧时，
则，
，
∴；
综上，是定值，定值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】 【分析】（1）先求出直线和抛物线的解析式，然后联立两个解析式求出交点A的坐标即可；
（2）①联立直线和的解析式，求得交点E的横坐标，根据点E在y轴的右侧求出，然后联立直线和抛物线的解析式，根据交点个数得到，求得，然后根据点不与点重合得到c的取值范围即可；
②联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可得，，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J，先求出点J的坐标，利用勾股定理和直角三角形中边角关系求得，即可得到，进而求出，表示出，同理表示出，分为点E在点B的左侧或点E在点B的右侧两种情况代入乘积求出比值解答即可．
26．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
由（1）可得，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点P作交于点P，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴三点共线；
∵，
∴，
∴，
∴，
设点N到的距离为，点N到的距离为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
又∵，
∴；
如图所示，过点G作于点R，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到是等边三角形，进而可得，然后根据ASA得到，根据对应边相等证明结论即可；
（2）①由（1）得是等边三角形，即可得到，根据等角对等边得到；根据ASA得到，即可得到，进而可得；过点P作交于点P，推理可得，进而可得；再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到结论即可；
②将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得三点共线，三点共线；根据SAS得到，即可得到；推理得到平分，则可得到；过点G作于点R，则，设，即可得到，再在和中根据勾股定理求出x的值解答即可．
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