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四川省成都市金牛区2026年九年级二诊数学试卷
1．以下4个数中，最小的数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．-2025
2．如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(　　)
A． B． C． D．
3． 2026年1月23 日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况.数据显示，2025年，全市地区生产总值为24763.6亿元，比上年增长5.8%.其中数据“24763.6亿”用科学记数法表示为(　　)
A．2.47636×106 B．2.47636×105
C． D．
4．下列运算中，正确的是(　　)
A． B．4x-3x=1 C． D．
5．下列说法正确的是(　　)
A．菱形的四个内角都相等
B．矩形的对角线相互垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD 的度数是(　　)
A．30° B．45° C．40° D．36°
7．现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升.问应配置大容器多少个，才符合要求 设配置大容器x个，根据题意列出方程为(　　)
A．40x+30(20-x)=720+20 B．40x+30(20-x)=720-20
C．40(20-x)+30x=720+20 D．40(20-x)+30x=720-20
8．已知一次函数γ= ax+b(a≠0)与反比例函数 的图象如图所示，则 的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
10．某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比3：3：4，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为　 　分.
11．如图，反比例函数 与一次函数 交于点A，点B，若A(1，m)，B(3，n)，当 时，x的取值范围是　 　.
12．如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，已知△ABC 的面积为1，OB=BE，则△DEF 的面积为　 　.
13．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交线段AB，BC于点 M，N；②分别以M，N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧相交于点 P(P在平行四边形内)，连接BP 交AD 于E，若AB=3，ED=2，则平行四边形 ABCD 的周长为　 　.
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15．某校开展各项体育比赛后，同学们的运动热情高涨，因此学校拟开设，A：足球，B：排球，C：篮球，D：乒乓球4个项目供学生开展体育活动并安排相关教师进行指导，随机调查了部分同学的爱好(每人只选一项运动)，把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了　 　名学生，其中爱好篮球的人数有　 　名学生；
（2）在扇形统计图中，求爱好乒乓球对应的圆心角度数；
（3）该校3000人，根据调查结果，请你估计喜欢足球和排球的学生共有多少名
16．九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存.1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”.小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度.首先利用无人机飞到距地面106米(BH=106米)C 处，此时测得塔顶A的俯角为30°，无人机向后退37.72米(CD=37.72米)到点 D，此时测得塔顶A 的俯角为20°，已知H、C、D 在同一水平直线上，AB⊥CD 于 H，求九天楼高度(即AB 的长).
17．如图 ，△OAB 为直角三角形，∠BAO=90°，AO=3，AB=4，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O交OB 于点D，延长AO交⊙O于 C，连接 CD.将△COD沿直线OD 翻折，点 C 的对应点 F 落在⊙O上，连接 DF，DF交AO 于点G，连接AF.
（1）求证：AF//OD；
（2）求线段 AD的长与 的值.
18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与反比例函数 的图象交于A(1，8)、B两点，与y轴交于点D，与x轴交于点E.
（1）求反比例函数的表达式和点 B 坐标；
（2）坐标轴上是否存在一点 Q，使得AQ=BQ，如果存在，请求出Q点坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）P为反比例函数图象第一象限上一点，连接AP、AO、PO、PE、PB，当 时，求直线AP 解析式.
19．已知 则 　 　.
20．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字-2，-1，1，2.随机摸出一个小球记作m，不放回，再随机摸出一个小球记作n，则满足mn≥-1的概率为　 　.
21．如图，等边△ABC的边长为2，以BC为直径在 BC 上方作半圆，则半圆与△ABC 重叠部分的面积为　 　.
22．如图，菱形 ABCD，点E 是边 CD上一点，连接AE交对角线BD于点 F， 点 G为线段EF上一动点(不与端点重合)，作点 E关于直线 DG对称点H，连接 BH、CH，当 BH取最小值时，则 　 　.
23．已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(-m，γ3)，是二次函数 图象上的任意三点，若对于 恒有的情形，则m的取值范围是　 　.
24．某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动.在准备过程中，同学们收集了以下租车信息：
信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人；
信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元；
信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车x辆，则每辆甲型车的租金减少100x元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题：
（1）甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人
（2）设租用甲型车x辆，租车总费用为y元，求y与x之间的函数表达式，当4≤x≤6时，求出本次研学活动学校的最少租车费用.
25．如图，在 ABCD中，∠ABC=120°，边 CD绕点C顺时针旋转α度至CE(0°<α<120°)，连接BE、AC，BE分别交 CD、AC于点 F.
（1）【特例感知】
当α=60°时，证明：AC=BE；
（2）【问题探究】
在(1)的条件下，若 AD=4，求EF的长度；
（3）【拓展延伸】
若BC=nAB，DF=mDC，当∠E=∠CAD时，求 的值.(用含m、n的代数式表示)
26．如图，以N(1，-1)为顶点的抛物线 经过原点，直线 交抛物线于点A、C(点A在点C左侧)，交x轴于点F，点P为直线AC下方抛物线上一动点.
（1）求抛物线表达式；
（2）当 时，求当△PAC 面积最大值时点 P的坐标；
（3）定义：线段AC 中点 D 的轨迹为抛物线 的“伴生曲线U”.直线y= mx+n经过(2)中的点P且与“伴生曲线 U”有且只有一个交点，求出m的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：2026和 都是正数， 大于0， -2026和-2025都是负数， 小于0，
2025，
∴-2026 < - 2025，
∴最小的数是-2026.
故答案为：B .
【分析】根据有理数的大小比较规则：负数<0<正数；两个负数比较，绝对值大的数更小解答即可.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，所得到的图形有两层，底层左边是一个正方形，上层是三个正方形.
故答案为：B .
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 24763.6亿用科学记数法表示为 ，
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为 其中 <10， n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：4x-3x=x，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：解：A.菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B.矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C.正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；
D.平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图， 连接OC、OD，
故答案为：D .
【分析】根据正五边形的性质以及圆周角定理进行计算即可.
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，40x+30(20-x)=720+20.
故答案为：A .
【分析】根据“现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴二次函数 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∵反比例函数 的图象经过第二、四象限，
解：∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴二次函数 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∵反比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴二次函数 的图象与y轴交于负半轴，
∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案.
9．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
10．【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(分)，
即最终期末综合成绩为89分.
故答案为：89.
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
11．【答案】0<1或x>3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知，
当 时，x的取值范围为03，
故答案为：03.
【分析】根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量x的取值范围即可.
12．【答案】4
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵OB= BE，
∴OB：OE=1：2，
∵△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF， AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AB：DE=OB：OE=1：2，
∵△ABC的面积为1，
∴△DEF的面积为4，
故答案为：4.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算.
13．【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，BE平分
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的周长为
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，即可得到AE=AB=3，根据线段的和差求出AD的长解答即可.
14．【答案】（1）解：

（2）解：
由①得，x>-3；
由②得， x<2，
∴原不等式组的解集为-3【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先运算乘方、二次根式的化简、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后根据二次根式的混合运算解答即可；
(2)先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）50；15
（2）解：乒乓球所占的比重为 在扇形统计图中，爱好乒乓球对应的圆心角度数=
故爱好乒乓球对应的圆心角度数为
（3）解：喜欢足球和排球所占的比重为 30%，
估计喜欢足球和排球的学生共有 名，
答：估计喜欢足球和排球的学生共有900名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次调查共抽取了 名学生，
爱好篮球的人数有 名学生，
故答案为： 50； 15；
【分析】(1)本次调查的样本容量用足球的人数÷所占的百分比，用调查的总人数×篮球所占的百分比即可求出爱好篮球的人数；
(2)“爱好乒乓球”对应的圆心角的度数：360°×乒乓球所占的百分比；
(3)用样本根据总体，即用3000乘以足球和排球所占的百分比即可.
16．【答案】解：设九天楼高度AB =x米，
∵无人机高度BH =106米，
∴塔顶到无人机水平线的垂直距离为：AH =BH-AB=(106-x)米，
∵AB⊥CD，
∴△AHC和△AHD均为直角三角形，
∵在C处俯角为30°，即∠ACH=30°，
米，
∵在D处俯角为20°，即∠ADH=20°，
米，
由题意得， HD﹣HC=CD=37.72(米)，
∴(106﹣x)×1.0478=37.72，
∴106﹣x≈36，
解得x=70，
答：九天楼高度约为70米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设九天楼高度AB =x米，得AH =(106-x)米.在两个直角三角形中，由tan30°、tan20°分别表示HC、HD，根据无人机向后退37.72米到点D，列方程求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵将 沿直线OD翻折，得到 ，
（2）解：过点A作 H，M为垂足，
，根据勾股定理得
∴四边形OMAH是矩形，
又
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)利用翻折的性质得到，再根据等边对等角得到∠CDO=∠C，利用圆周角定理的推论可得∠C=∠DFA，即可得到∠FDO=∠DFA，进而证明结论即可；
(2)过点A作 H，M为垂足，根据勾股定理求出OB长，然后根据面积等积变形求出AH长，然后推理得到OMAH是矩形，再根据两角相等得到△ODG∽△AFG，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
18．【答案】（1）解：将A点代入 中，
当 时，解得x=1或x=-2，
（2）存在一点Q，使得.AQ=BQ，理由如下：
当Q点在x轴上时，设Q(x， 0)，
解得
当Q点在y轴上时，设Q(0， y)，
解得
综上所述：Q点坐标为 或
（3）直线y=4x+4与x轴的交点E(-1，0)，与y轴的交点D(0， 4)，
设直线AP与y轴的交点为F，
设直线AP的解析式为y=kx+12，
解得k=-4，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A点代入 中，求出函数解析式，再求直线与双曲线的交点B即可；
(2)分两种情况讨论：当Q点在x轴上时，当Q点在y轴上时，根据AQ=BQ建立方程求解即可；
(3)由. 可知 设直线AP与y轴的交点为F，根据面积关系可求OF=12，设直线AP的解析式为y=kx+12，将点A代入即可求k的值，从而确定直线解析式即可.
19．【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：8.
【分析】又已知得到x2+4x=1，然后把代数式化为，然后整体代入计算即可.
20．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中满足 -1的可能性有6种，
∴满足 的概率为
故答案为：
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出满足 的概率.
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设 AB， AC交半圆 O于E， F，连接 OE、OF，
是等边三角形，边长为 2，
OB=OC=OE=OF=1，
是等边三角形.
同理 是等边三角形，
扇形 EOF 的面积
过点E作 于点G，
的面积 ，
同理求得 的面积为
∴重叠部分面积 的面积+扇形EOF的面积 的面积
故答案为： .
【分析】设 AB， AC交半圆 O于点E， F，连接 OE、OF，由OB=OE=OF=1且 得 和 均为等边三角形，从而 进而 根据重叠部分面积=△OBE的面积+扇形EOF的面积+ 的面积求解即可.
22．【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设DE=10，
由
则DB=14，
∵作点E关于直线DG对称点H，
∴点H的运动轨迹是以点D为圆心，DE为半径的圆，当BH取最小值时，则有点B，H，D三点共线，连接AC交BD于点O，过点E分别作 AC，连接 EH，连接DG并延长DG交AB的延长线于点N，如图，
在菱形ABCD中， 且
在 中， ，
则CO=24，
∴菱形ABCD的边长为25，
即DC=AB=25，
由对称的性质可知，.DH=DE=10，
又∵DO=7，
∴OH=DH-DO=10-7=3，
在Rt△COH中，
，
∵EP⊥BD， CO⊥BD，
∴EP∥CO，
∴△DPE∽△DOC，
则有
即
可得
同理可得△CQE∽△COD，
则有
即
可得
∵∠EPO=EQO=∠POQ=90°，
则四边形POQE为矩形，
在Rt△AQE中，
，
在菱形ABCD中， AB∥DC，则AN∥DC，∴∠N=∠CDN，
由对称的性质可知， ∠BDN=∠CDN，
∴∠BDN=∠N，
∴BN=DB=14，
∵AN∥DE，
∴△DEG∽△NAG，
∴∠N=∠CDN，
由对称的性质可知， ∠BDN=∠CDN，
∴∠BDN=∠N，
∴BN=DB=14，
∵AN∥DE，
∴△DEG∽△NAG，
解得
则
故答案为：
【分析】先设DE=10，由此可得DB=14，再根据三点共线可得BH的最小值，再利用勾股定理可求解CH的值，根据相似三角形的性质可得EP与EQ的长度，再结合勾股定理可求解AE的长度，由此可求解EG的长度，进而进行比值即可.
23．【答案】或m≥1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：因为 是二次函数，所以m≠0，
二次函数的对称轴为直线：
由题意，对于 不存在 所以，对称轴不在 范围，且范围内所有点的函数值都小于 是x=-m处的函数值)，
分两种情况讨论：
1. 当m>0时，抛物线开口向上，
对称轴 对称轴在
右侧，在 内，y随x的增大而减小，不存在
因为开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
在 内点到对称轴的最大距离为 点x=-m到对称轴的距离为
要使所有区间内 需
解得 ， 符合m>0的条件；
2. 当m<0时， 抛物线开口向下，
对称轴不在 内，则 或
即 或
①当 时，对称轴
时的图象在对称轴右侧，y随x的增大而
减小，满足不存在
开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点
到对称轴的最小距离为
点x=-m到对称轴的距离为x=-m
要使所有区间内 需
解得 ，与m≤-4矛盾，此情况无解，
②当 时，对称轴
时的图象在对称轴左侧，y随x的增大而
增大，满足不存在
开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为
点x=-m到对称轴的距离为x=-m
要使所有区间内 需 即|3m
等价于
解得 符合 的条件，
综上，m的取值范围是 或
故答案为： 或
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据题意可知函数在 范围内所有点的函数值都小于y3分m>0和m<0两种情况结合二次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）解：设甲型车每辆载客a人，乙型车每辆载客b人，根据信息一：
解得：
答：甲型车每辆载客45人，乙型车每辆载客30人；
（2）解：租用甲型车x辆，则乙型车为(10-x)辆。
由信息三，甲型车每辆实际租金为(2000-100x)元，总甲型车费用为x(2000-100x)元；乙型车每辆租金为1500元，总乙型车费用为1500(10-x)元.
总费用：
y=x(2000-100x)+1500(10-x)
因此， 4≤x≤6，且x为整数，
∵开口向下，对称轴为
∴当4≤x≤6时，y随x的增大而减小，
∴当x=6时，
答：最少租车费用为14400元
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲型智能电动观光车每辆载客量为m人，则乙型智能电动观光车每辆载客量为n人，根据“租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人”列出方程组，解方程组即可；
(2)根据总费用=租用甲、乙观光车的费用之和列出函数解析式，再根据函数性质求最值.
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD = 180°-∠ABC = 60°，
由旋转可得， CD=CE， ∠DCE=α=60°，
∴AB=CE，∠BCE=∠BCD+∠DCE=120°=∠ABC，
∵BC=CB，
∴△ABC≌△ECB(SAS)，
∴AC = BE；
（2）解： 连接DE，过点E作ET⊥BC交BC延长线于点T，
∵CD=CE， ∠DCE=60°，
∴△DCE为等边三角形，
∴DE=CE， ∠CDE=60°，
∵在平行四边形ABCD中， ∠ABC =∠ADC = 120°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴点A， D， E三点共线，
在平行四边形ABCD中， AD∥BC， AD=BC=4，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE=2，
∴CE=2，
∵∠BCE=120°，
∴∠ECT = 180°-∠BCE=60°，
∵ET⊥BC，
∴ET= CE×sin∠ECT= ， CT= CE·cos∠ECT =1，
∴BT = BC+CT =5，
，

（3）解：
∴设AB=CD=x，则.BC=nx，DF=mx，
∵平行四边形ABCD中，

【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质以及旋转的性质证明△ABC≌△ECB(SAS)即可；
(2)连接DE，过点E作ET⊥BC交BC延长线于点T，先得到点A，D，E三点共线，然后证明 求出DE=2，则CE=2，然后解. 求出1，再对 运用勾股定理求解BE，最后根据比例线段求解即可；
(3)设.AB=CD=x，则BC=nx，DF=mx，由平行可得 ， 求出BG 再证明 即可.
26．【答案】（1）解：∵N为抛物线的顶点，
∵抛物线经过原点，
解得a=1，
（2）解：当y=0时，kx-k=0，
解得x=1，
∴F(1，0)，
过点A作 轴交于H，过点C作 轴交于G，
设
当 时，
解得 或
∴直线
过点P作 轴交AC于点E，
设 则
，
当PE最大时，的面积最大，此时
当 时面积有最大值，此时
（3）解：设D(x，y)，
∵ D是线段AC的中点，
∵ D点在直线AC上，
∵直线y=mx+n经过点P，
当 时，
解得
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由题意可得 将原点代入即可求解；
(2)过点A作AH⊥x轴交于H，过点C作CG⊥x轴交于G，则 设A(p， p2 当 x时， 根据根与系数的关系可得p+q=2+k，pq=k，再由 求出 从而求出直线AC的解析式为 过点P作PE∥y轴交AC于点E，设 则E(m， 当PQ最大时 的面积最大，求出此时点P的坐标即可
(3)设D(x，y)， 根据中点公式可得 ，则k=2x-2， 再由D点在直线AC上，求出 由直线y=mx+n经过点P，可得 当 mx 时，根据 0，求出m的值即可.
1 / 1四川省成都市金牛区2026年九年级二诊数学试卷
1．以下4个数中，最小的数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．-2025
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：2026和 都是正数， 大于0， -2026和-2025都是负数， 小于0，
2025，
∴-2026 < - 2025，
∴最小的数是-2026.
故答案为：B .
【分析】根据有理数的大小比较规则：负数<0<正数；两个负数比较，绝对值大的数更小解答即可.
2．如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，所得到的图形有两层，底层左边是一个正方形，上层是三个正方形.
故答案为：B .
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
3． 2026年1月23 日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况.数据显示，2025年，全市地区生产总值为24763.6亿元，比上年增长5.8%.其中数据“24763.6亿”用科学记数法表示为(　　)
A．2.47636×106 B．2.47636×105
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 24763.6亿用科学记数法表示为 ，
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为 其中 <10， n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．下列运算中，正确的是(　　)
A． B．4x-3x=1 C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：4x-3x=x，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
5．下列说法正确的是(　　)
A．菱形的四个内角都相等
B．矩形的对角线相互垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：解：A.菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B.矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C.正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；
D.平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解.
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD 的度数是(　　)
A．30° B．45° C．40° D．36°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图， 连接OC、OD，
故答案为：D .
【分析】根据正五边形的性质以及圆周角定理进行计算即可.
7．现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升.问应配置大容器多少个，才符合要求 设配置大容器x个，根据题意列出方程为(　　)
A．40x+30(20-x)=720+20 B．40x+30(20-x)=720-20
C．40(20-x)+30x=720+20 D．40(20-x)+30x=720-20
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，40x+30(20-x)=720+20.
故答案为：A .
【分析】根据“现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
8．已知一次函数γ= ax+b(a≠0)与反比例函数 的图象如图所示，则 的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴二次函数 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∵反比例函数 的图象经过第二、四象限，
解：∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴二次函数 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∵反比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴二次函数 的图象与y轴交于负半轴，
∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案.
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
10．某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比3：3：4，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为　 　分.
【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(分)，
即最终期末综合成绩为89分.
故答案为：89.
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
11．如图，反比例函数 与一次函数 交于点A，点B，若A(1，m)，B(3，n)，当 时，x的取值范围是　 　.
【答案】0<1或x>3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知，
当 时，x的取值范围为03，
故答案为：03.
【分析】根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量x的取值范围即可.
12．如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，已知△ABC 的面积为1，OB=BE，则△DEF 的面积为　 　.
【答案】4
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵OB= BE，
∴OB：OE=1：2，
∵△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF， AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AB：DE=OB：OE=1：2，
∵△ABC的面积为1，
∴△DEF的面积为4，
故答案为：4.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算.
13．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交线段AB，BC于点 M，N；②分别以M，N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧相交于点 P(P在平行四边形内)，连接BP 交AD 于E，若AB=3，ED=2，则平行四边形 ABCD 的周长为　 　.
【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，BE平分
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的周长为
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，即可得到AE=AB=3，根据线段的和差求出AD的长解答即可.
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：

（2）解：
由①得，x>-3；
由②得， x<2，
∴原不等式组的解集为-3【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先运算乘方、二次根式的化简、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后根据二次根式的混合运算解答即可；
(2)先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．某校开展各项体育比赛后，同学们的运动热情高涨，因此学校拟开设，A：足球，B：排球，C：篮球，D：乒乓球4个项目供学生开展体育活动并安排相关教师进行指导，随机调查了部分同学的爱好(每人只选一项运动)，把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了　 　名学生，其中爱好篮球的人数有　 　名学生；
（2）在扇形统计图中，求爱好乒乓球对应的圆心角度数；
（3）该校3000人，根据调查结果，请你估计喜欢足球和排球的学生共有多少名
【答案】（1）50；15
（2）解：乒乓球所占的比重为 在扇形统计图中，爱好乒乓球对应的圆心角度数=
故爱好乒乓球对应的圆心角度数为
（3）解：喜欢足球和排球所占的比重为 30%，
估计喜欢足球和排球的学生共有 名，
答：估计喜欢足球和排球的学生共有900名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次调查共抽取了 名学生，
爱好篮球的人数有 名学生，
故答案为： 50； 15；
【分析】(1)本次调查的样本容量用足球的人数÷所占的百分比，用调查的总人数×篮球所占的百分比即可求出爱好篮球的人数；
(2)“爱好乒乓球”对应的圆心角的度数：360°×乒乓球所占的百分比；
(3)用样本根据总体，即用3000乘以足球和排球所占的百分比即可.
16．九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存.1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”.小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度.首先利用无人机飞到距地面106米(BH=106米)C 处，此时测得塔顶A的俯角为30°，无人机向后退37.72米(CD=37.72米)到点 D，此时测得塔顶A 的俯角为20°，已知H、C、D 在同一水平直线上，AB⊥CD 于 H，求九天楼高度(即AB 的长).
【答案】解：设九天楼高度AB =x米，
∵无人机高度BH =106米，
∴塔顶到无人机水平线的垂直距离为：AH =BH-AB=(106-x)米，
∵AB⊥CD，
∴△AHC和△AHD均为直角三角形，
∵在C处俯角为30°，即∠ACH=30°，
米，
∵在D处俯角为20°，即∠ADH=20°，
米，
由题意得， HD﹣HC=CD=37.72(米)，
∴(106﹣x)×1.0478=37.72，
∴106﹣x≈36，
解得x=70，
答：九天楼高度约为70米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设九天楼高度AB =x米，得AH =(106-x)米.在两个直角三角形中，由tan30°、tan20°分别表示HC、HD，根据无人机向后退37.72米到点D，列方程求解即可.
17．如图 ，△OAB 为直角三角形，∠BAO=90°，AO=3，AB=4，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O交OB 于点D，延长AO交⊙O于 C，连接 CD.将△COD沿直线OD 翻折，点 C 的对应点 F 落在⊙O上，连接 DF，DF交AO 于点G，连接AF.
（1）求证：AF//OD；
（2）求线段 AD的长与 的值.
【答案】（1）证明：∵将 沿直线OD翻折，得到 ，
（2）解：过点A作 H，M为垂足，
，根据勾股定理得
∴四边形OMAH是矩形，
又
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)利用翻折的性质得到，再根据等边对等角得到∠CDO=∠C，利用圆周角定理的推论可得∠C=∠DFA，即可得到∠FDO=∠DFA，进而证明结论即可；
(2)过点A作 H，M为垂足，根据勾股定理求出OB长，然后根据面积等积变形求出AH长，然后推理得到OMAH是矩形，再根据两角相等得到△ODG∽△AFG，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与反比例函数 的图象交于A(1，8)、B两点，与y轴交于点D，与x轴交于点E.
（1）求反比例函数的表达式和点 B 坐标；
（2）坐标轴上是否存在一点 Q，使得AQ=BQ，如果存在，请求出Q点坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）P为反比例函数图象第一象限上一点，连接AP、AO、PO、PE、PB，当 时，求直线AP 解析式.
【答案】（1）解：将A点代入 中，
当 时，解得x=1或x=-2，
（2）存在一点Q，使得.AQ=BQ，理由如下：
当Q点在x轴上时，设Q(x， 0)，
解得
当Q点在y轴上时，设Q(0， y)，
解得
综上所述：Q点坐标为 或
（3）直线y=4x+4与x轴的交点E(-1，0)，与y轴的交点D(0， 4)，
设直线AP与y轴的交点为F，
设直线AP的解析式为y=kx+12，
解得k=-4，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A点代入 中，求出函数解析式，再求直线与双曲线的交点B即可；
(2)分两种情况讨论：当Q点在x轴上时，当Q点在y轴上时，根据AQ=BQ建立方程求解即可；
(3)由. 可知 设直线AP与y轴的交点为F，根据面积关系可求OF=12，设直线AP的解析式为y=kx+12，将点A代入即可求k的值，从而确定直线解析式即可.
19．已知 则 　 　.
【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：8.
【分析】又已知得到x2+4x=1，然后把代数式化为，然后整体代入计算即可.
20．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字-2，-1，1，2.随机摸出一个小球记作m，不放回，再随机摸出一个小球记作n，则满足mn≥-1的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中满足 -1的可能性有6种，
∴满足 的概率为
故答案为：
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出满足 的概率.
21．如图，等边△ABC的边长为2，以BC为直径在 BC 上方作半圆，则半圆与△ABC 重叠部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设 AB， AC交半圆 O于E， F，连接 OE、OF，
是等边三角形，边长为 2，
OB=OC=OE=OF=1，
是等边三角形.
同理 是等边三角形，
扇形 EOF 的面积
过点E作 于点G，
的面积 ，
同理求得 的面积为
∴重叠部分面积 的面积+扇形EOF的面积 的面积
故答案为： .
【分析】设 AB， AC交半圆 O于点E， F，连接 OE、OF，由OB=OE=OF=1且 得 和 均为等边三角形，从而 进而 根据重叠部分面积=△OBE的面积+扇形EOF的面积+ 的面积求解即可.
22．如图，菱形 ABCD，点E 是边 CD上一点，连接AE交对角线BD于点 F， 点 G为线段EF上一动点(不与端点重合)，作点 E关于直线 DG对称点H，连接 BH、CH，当 BH取最小值时，则 　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设DE=10，
由
则DB=14，
∵作点E关于直线DG对称点H，
∴点H的运动轨迹是以点D为圆心，DE为半径的圆，当BH取最小值时，则有点B，H，D三点共线，连接AC交BD于点O，过点E分别作 AC，连接 EH，连接DG并延长DG交AB的延长线于点N，如图，
在菱形ABCD中， 且
在 中， ，
则CO=24，
∴菱形ABCD的边长为25，
即DC=AB=25，
由对称的性质可知，.DH=DE=10，
又∵DO=7，
∴OH=DH-DO=10-7=3，
在Rt△COH中，
，
∵EP⊥BD， CO⊥BD，
∴EP∥CO，
∴△DPE∽△DOC，
则有
即
可得
同理可得△CQE∽△COD，
则有
即
可得
∵∠EPO=EQO=∠POQ=90°，
则四边形POQE为矩形，
在Rt△AQE中，
，
在菱形ABCD中， AB∥DC，则AN∥DC，∴∠N=∠CDN，
由对称的性质可知， ∠BDN=∠CDN，
∴∠BDN=∠N，
∴BN=DB=14，
∵AN∥DE，
∴△DEG∽△NAG，
∴∠N=∠CDN，
由对称的性质可知， ∠BDN=∠CDN，
∴∠BDN=∠N，
∴BN=DB=14，
∵AN∥DE，
∴△DEG∽△NAG，
解得
则
故答案为：
【分析】先设DE=10，由此可得DB=14，再根据三点共线可得BH的最小值，再利用勾股定理可求解CH的值，根据相似三角形的性质可得EP与EQ的长度，再结合勾股定理可求解AE的长度，由此可求解EG的长度，进而进行比值即可.
23．已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(-m，γ3)，是二次函数 图象上的任意三点，若对于 恒有的情形，则m的取值范围是　 　.
【答案】或m≥1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：因为 是二次函数，所以m≠0，
二次函数的对称轴为直线：
由题意，对于 不存在 所以，对称轴不在 范围，且范围内所有点的函数值都小于 是x=-m处的函数值)，
分两种情况讨论：
1. 当m>0时，抛物线开口向上，
对称轴 对称轴在
右侧，在 内，y随x的增大而减小，不存在
因为开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
在 内点到对称轴的最大距离为 点x=-m到对称轴的距离为
要使所有区间内 需
解得 ， 符合m>0的条件；
2. 当m<0时， 抛物线开口向下，
对称轴不在 内，则 或
即 或
①当 时，对称轴
时的图象在对称轴右侧，y随x的增大而
减小，满足不存在
开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点
到对称轴的最小距离为
点x=-m到对称轴的距离为x=-m
要使所有区间内 需
解得 ，与m≤-4矛盾，此情况无解，
②当 时，对称轴
时的图象在对称轴左侧，y随x的增大而
增大，满足不存在
开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为
点x=-m到对称轴的距离为x=-m
要使所有区间内 需 即|3m
等价于
解得 符合 的条件，
综上，m的取值范围是 或
故答案为： 或
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据题意可知函数在 范围内所有点的函数值都小于y3分m>0和m<0两种情况结合二次函数的性质求解即可.
24．某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动.在准备过程中，同学们收集了以下租车信息：
信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人；
信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元；
信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车x辆，则每辆甲型车的租金减少100x元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题：
（1）甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人
（2）设租用甲型车x辆，租车总费用为y元，求y与x之间的函数表达式，当4≤x≤6时，求出本次研学活动学校的最少租车费用.
【答案】（1）解：设甲型车每辆载客a人，乙型车每辆载客b人，根据信息一：
解得：
答：甲型车每辆载客45人，乙型车每辆载客30人；
（2）解：租用甲型车x辆，则乙型车为(10-x)辆。
由信息三，甲型车每辆实际租金为(2000-100x)元，总甲型车费用为x(2000-100x)元；乙型车每辆租金为1500元，总乙型车费用为1500(10-x)元.
总费用：
y=x(2000-100x)+1500(10-x)
因此， 4≤x≤6，且x为整数，
∵开口向下，对称轴为
∴当4≤x≤6时，y随x的增大而减小，
∴当x=6时，
答：最少租车费用为14400元
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲型智能电动观光车每辆载客量为m人，则乙型智能电动观光车每辆载客量为n人，根据“租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人”列出方程组，解方程组即可；
(2)根据总费用=租用甲、乙观光车的费用之和列出函数解析式，再根据函数性质求最值.
25．如图，在 ABCD中，∠ABC=120°，边 CD绕点C顺时针旋转α度至CE(0°<α<120°)，连接BE、AC，BE分别交 CD、AC于点 F.
（1）【特例感知】
当α=60°时，证明：AC=BE；
（2）【问题探究】
在(1)的条件下，若 AD=4，求EF的长度；
（3）【拓展延伸】
若BC=nAB，DF=mDC，当∠E=∠CAD时，求 的值.(用含m、n的代数式表示)
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD = 180°-∠ABC = 60°，
由旋转可得， CD=CE， ∠DCE=α=60°，
∴AB=CE，∠BCE=∠BCD+∠DCE=120°=∠ABC，
∵BC=CB，
∴△ABC≌△ECB(SAS)，
∴AC = BE；
（2）解： 连接DE，过点E作ET⊥BC交BC延长线于点T，
∵CD=CE， ∠DCE=60°，
∴△DCE为等边三角形，
∴DE=CE， ∠CDE=60°，
∵在平行四边形ABCD中， ∠ABC =∠ADC = 120°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴点A， D， E三点共线，
在平行四边形ABCD中， AD∥BC， AD=BC=4，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE=2，
∴CE=2，
∵∠BCE=120°，
∴∠ECT = 180°-∠BCE=60°，
∵ET⊥BC，
∴ET= CE×sin∠ECT= ， CT= CE·cos∠ECT =1，
∴BT = BC+CT =5，
，

（3）解：
∴设AB=CD=x，则.BC=nx，DF=mx，
∵平行四边形ABCD中，

【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质以及旋转的性质证明△ABC≌△ECB(SAS)即可；
(2)连接DE，过点E作ET⊥BC交BC延长线于点T，先得到点A，D，E三点共线，然后证明 求出DE=2，则CE=2，然后解. 求出1，再对 运用勾股定理求解BE，最后根据比例线段求解即可；
(3)设.AB=CD=x，则BC=nx，DF=mx，由平行可得 ， 求出BG 再证明 即可.
26．如图，以N(1，-1)为顶点的抛物线 经过原点，直线 交抛物线于点A、C(点A在点C左侧)，交x轴于点F，点P为直线AC下方抛物线上一动点.
（1）求抛物线表达式；
（2）当 时，求当△PAC 面积最大值时点 P的坐标；
（3）定义：线段AC 中点 D 的轨迹为抛物线 的“伴生曲线U”.直线y= mx+n经过(2)中的点P且与“伴生曲线 U”有且只有一个交点，求出m的值.
【答案】（1）解：∵N为抛物线的顶点，
∵抛物线经过原点，
解得a=1，
（2）解：当y=0时，kx-k=0，
解得x=1，
∴F(1，0)，
过点A作 轴交于H，过点C作 轴交于G，
设
当 时，
解得 或
∴直线
过点P作 轴交AC于点E，
设 则
，
当PE最大时，的面积最大，此时
当 时面积有最大值，此时
（3）解：设D(x，y)，
∵ D是线段AC的中点，
∵ D点在直线AC上，
∵直线y=mx+n经过点P，
当 时，
解得
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由题意可得 将原点代入即可求解；
(2)过点A作AH⊥x轴交于H，过点C作CG⊥x轴交于G，则 设A(p， p2 当 x时， 根据根与系数的关系可得p+q=2+k，pq=k，再由 求出 从而求出直线AC的解析式为 过点P作PE∥y轴交AC于点E，设 则E(m， 当PQ最大时 的面积最大，求出此时点P的坐标即可
(3)设D(x，y)， 根据中点公式可得 ，则k=2x-2， 再由D点在直线AC上，求出 由直线y=mx+n经过点P，可得 当 mx 时，根据 0，求出m的值即可.
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