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第36练　数列的概念与简单表示法
1.已知数列,,,3,,…,则5是这个数列的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.第11项 B.第12项
C.第13项 D.第14项
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n-n,则a5= (　 )
A.77 B.153
C.161 D.238
3.已知数列{an}满足a1=,an+1=,则a2025= (　 )
A. B.-2
C.- D.3
4.已知数列{an}满足an+1=an+3n-16,则数列{an}的最小项是 (　 )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
5.[2025·惠州模拟] 数列{an}的通项公式为an=n2+kn,那么“k≥-2”是“{an}为递增数列”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)[2025·郑州期末] 已知Sn是数列{an}的前n项和,2Sn=3an-1,则下列结论正确的是 (　 )
A.数列{an}是等差数列
B.数列{an}是递增数列
C.an=3n-1
D.Sn=
7.在数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2,则数列{an}的通项公式为　　　　.
8.[2025·湖南岳阳模拟] 已知数列{an}满足4n-1a1+4n-2a2+…+an=n,则an=　　　　.
9.已知数列{an}满足an+1an-4an+1+4=0,且a1=1.
(1)证明:为等差数列;
(2)若bn+1=anbn,且b1=4,求数列{bn}的通项公式.
10.[2025·江西上饶模拟] 已知Sn是首项为1的数列{an}的前n项和,且=n2,则S30= (　 )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2025·昆明模拟] 已知数列{an},定义数列{an+1-2an}为数列{an}的“2倍差数列”.若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an+1-2an=2n+1,且a1=2,则下列结论错误的是 (　 )
A.a2=8
B.an=(n+1)·2n
C.数列{an}是递减数列
D.数列{an}的前n项和Sn=n·2n+1
12.[2025·广东江门模拟] 在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6,则{an}的通项公式为　　　　　　.
13.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,若bn+1=(n-λ),b1=-λ,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围为　　　　.
14.在数列{an}和{bn}中,数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,Sn)在函数y=-x2+14x的图象上,点(n,bn)在函数y=2x的图象上.设cn=an·bn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{cn}的最大项.
15.[2025·扬州模拟] 已知数列{an}的各项都为正整数,且a1=3,a12=2,若对任意k∈N*,(a3k-1-a3k-2)(a3k-1-a3k)=1,则a1+a2+…+a12的最小值为　　　　.
16.[2025·湖北黄石模拟] 无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3,4},则整数k的最大值为　　　　.
第36练　数列的概念与简单表示法
1.B　[解析] 由该数列的前几项观察归纳,知根号内的被开方数是以6为首项,4为公差的等差数列,所以该数列的通项公式为an=,当n=12时,a12==5.故选B.
2.C　[解析] a5=S5-S4=(35-5)-(34-4)=238-77=161.故选C.
3.A　[解析] 由数列{an}满足a1=,an+1=,可得a2===3,a3===-2,a4==-,a5==,…,所以数列{an}是周期数列,且周期为4,所以a2025=a506×4+1=a1=.故选A.
4.B　[解析] 由an+1=an+3n-16,可得an+1-an=3n-16,则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-)=a1+(-13)+(-10)+…+(3n-19)=a1+(n-1)(3n-32)=n2-n+16+a1.由5<<6,且a5=a1-34,a6=a1-35,即a5>a6,可得数列{an}的最小项是第6项.故选B.
5.A　[解析] 令an+1>an,得(n+1)2+k(n+1)>n2+kn,即k>-(2n+1),若{an}为递增数列,则k>-3,所以k≥-2是{an}为递增数列的充分不必要条件.故选A.
6.BCD　[解析] 在2Sn=3an-1中,令n=1,得2S1=2a1=3a1-1,解得a1=1.当n≥2时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1),即an=3an-1,所以=3,所以{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,故A错误,B正确.an=3n-1,则Sn==,故C,D正确.故选BCD.
7.an=1+3n-1　[解析] 由an+1=3an-2,得an+1-1=3(an-1),因为a1-1=1,所以{an-1}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an-1=3n-1,则an=1+3n-1.
8.4-3n　[解析] 由4n-1a1+4n-2a2+…+an=n,可得++…+=,所以++…+=,两式相减得=-==,所以an=4-3n(n≥2),当n=1时,41-1a1=1,所以a1=1,符合上式,所以an=4-3n.
9.解:(1)证明:因为an+1an-4an+1+4=0,所以an+1=,
则====-,即-=-.
所以数列是首项为=-1,公差为-的等差数列.
(2)由(1)得=-1+(n-1)×=-,则an=,
因为bn+1=anbn,即=an,所以当n≥2时,···…··=···…··,
即=,又b1=4,所以当n≥2时,bn=,又b1=4满足上式,
所以bn=.
10.C　[解析] 易得Sn+1=(n+1)2an+1,则an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n2+2n)an+1=n2an,即(n+2)an+1=nan,由题知an≠0,所以=,则×…××=×…××,即an+1==,所以an=(n≥2),又a1=1满足上式,所以Sn=n2an=,所以S30=.故选C.
11.BCD　[解析] 由an+1-2an=2n+1,且a1=2,可得-=1,则数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=1+n-1=n,则an=n·2n,则a2=8,数列{an}是递增数列,故A中结论正确,B,C中结论错误;Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,两式相减可得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,则Sn=(n-1)·2n+1+2,故D中结论错误.故选BCD.
12.an=3n-2(n-1)　[解析] 由an+1=3an+4n-6,可得an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)],所以{an+2(n-1)}是首项为a1+2×(1-1)=3,公比为3的等比数列,所以an+2(n-1)=3·3n-1=3n,所以an=3n-2(n-1).
13.(-∞,2)　[解析] 由an+1=,可得=+1,则+1=2,∴数列是首项为2,公比为2的等比数列,∴+1=2n,∴bn+1=(n-λ)=(n-λ)·2n.∵b1=-λ,且数列{bn}是递增数列,∴bn+1>bn,即(n-λ)·2n>(n-1-λ)·,可得λ14.解:(1)∵点(n,Sn)在函数y=-x2+14x的图象上,
∴Sn=-n2+14n.
当n=1时,a1=S1=13,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+14n-[-(n-1)2+14(n-1)]=-2n+15,又a1=13满足上式,
∴an=-2n+15.
(2)∵点(n,bn)在函数y=2x的图象上,∴bn=2n,∴cn=(-2n+15)·2n,cn+1=(-2n+13)·2n+1,
∴cn+1-cn=(11-2n)2n.
令cn+1-cn>0,解得n<,∴当n≤5时,{cn}递增,当n≥6时,{cn}递减,又c5=(-2×5+15)×25=160,c6=(-2×6+15)×26=192,
∴数列{cn}的最大项为c6=192.
15.21　[解析] 因为数列{an}的各项都为正整数,且对任意k∈N*,(a3k-1-a3k-2)(a3k-1-a3k)=1,所以a3k-1-a3k-2=-1,a3k-a3k-1=1,或a3k-1-a3k-2=1,a3k-a3k-1=-1.当a3k-2=1时,a3k-2+a3k-1+a3k的最小值为4;当a3k-2≥2时,a3k-2+a3k-1+a3k的最小值为3a3k-2-1.由a1=3,可得a1+a2+a3的最小值为3+2+3=8;由a12=2,可得a10+a11+a12的最小值为2+1+2=5.又a4+a5+a6≥1+2+1=4,a7+a8+a9≥1+2+1=4,所以a1+a2+…+a12的最小值为8+4+4+5=21.
16.6　[解析] 当n=1时,S1=a1,因为S1∈{2,3,4},所以首项a1只能是2,3或4中的一个.当n=2时,S2=a1+a2,且S2∈{2,3,4},所以a2=S2-a1.若a1=2,则a2可能为0,1,2;若a1=3,则a2可能为-1,0,1;若a1=4,则a2可能为-2,-1,0.综上,a2的可能取值为-2,-1,0,1,2.当n=3时,S3=S2+a3,S3∈{2,3,4},所以a3=S3-S2.因为S2∈{2,3,4},所以a3的可能取值同样为-2,-1,0,1,2.显然当n>3时,an的可能取值仍为-2,-1,0,1,2.构造数列{an},取a1=4,a2=0,a3=-2,a4=0,a5=1,a6=-1,a7=2,a8=-2,a9=0,a10=1,a11=-1,a12=2,…,此时数列{an}包含的不同数字为4,-2,0,1,-1,2,共6个;取a1=3,a2=1,a3=-2,a4=0,a5=1,a6=-1,a7=2,a8=-2,a9=0,a10=1,a11=-1,a12=2,…,此时数列{an}包含的不同数字为3,-2,0,1,-1,2,共6个.其他情况数列{an}包含的不同数字的个数均不超过6.故整数k的最大值为6.

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