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第37练　等差数列及其前n项和
1.在等差数列{an}中,a3=3,a4+a6=2,则a7= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.[2026·广西南宁二中月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=4,S5=15,则{an}的公差为 (　 )
A.4 B.3
C.2 D.1
3.[2025·石家庄二中一模] “a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4=12,S8=40,则S12= (　 )
A.44 B.52
C.68 D.84
5.[2025·湖北黄冈模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4,则m= (　 )
A.8 B.7
C.6 D.5
6.(多选题)[2025·江苏扬州模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,则下列结论正确的是 (　 )
A.a6<0,a7>0
B.d<0
C.S13<0
D.当n=7时,Sn最大
7.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=　　　　.
8.[2025·河南信阳模拟] 已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈N*),其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则m=　　　　.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
10.[2025·山西太原一模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4a4-1,是以1为公差的等差数列,则下列结论正确的是 (　 )
A.a5=10 B. S5=15
C.a10=20 D. S10=30
11.[2026·杭州一模] 若对于任意的等差数列{an},总有{f(an)}是等差数列,则称函数f(x)具有“保等差性”.则下列函数f(x)具有“保等差性”的是 (　 )
A.f(x)=2x B.f(x)=x2
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x+1
12.(多选题)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是 (　 )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
13.[2026·浙江名校协作体联考] 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2025A.2026 B.2027
C.4048 D.4049
14.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工,新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月,逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示:
出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …
新方案法定退休年龄 60岁+ 1个月 60岁+ 2个月 60岁+ 3个月 60岁+ 4个月 …
那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 (　 )
A.61岁+4个月 B.61岁+5个月
C.61岁+6个月 D.61岁+7个月
15.已知数列{an}的前n项和为Sn.若为等差数列,且满足S1=8,=5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
16.[2025·安徽部分示范性高中联考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,an>0,4Sn=-2an+1+1,将数列{an}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列得到新数列{cn},则= (　 )
A. B.
C. D.
17.已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列,对于k∈N*,定义集合Bk={i∈N*|ai(1)若an=2n,则b10=　　　　;
(2)若数列{bn}是等差数列,则数列{an}的前20项和为　　　　.
第37练　等差数列及其前n项和
1.B　[解析] 方法一:设数列{an}的公差为d,因为a3=3,a4+a6=2,所以3+d+3+3d=2,解得d=-1,所以a7=a3+4d=-1.故选B.
方法二:在等差数列{an}中,a4+a6=2a5=2,又a7+a3=2a5,所以a7=2a5-a3=2-3=-1.故选B.
2.D　[解析] 设{an}的公差为d,则a1+3d=4①,S5=5a1+10d=15②,由①②可得d=1.故选D.
3.B　[解析] 若a2+a6=2a4,则数列{an}不一定是等差数列,如数列1,2,1,4,1,6,1,1,…;若数列{an}为等差数列,则由等差中项可知a2+a6=2a4.所以“a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.故选B.
4.D　[解析] 由题意可得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,因为S4=12,S8=40,所以56=12+S12-40,解得S12=84.故选D.
5.C　[解析] 方法一:由题意得am+1=Sm+1-Sm=3,am+2=Sm+2-Sm+1=4,则等差数列{an}的公差d=am+2-am+1=1,则a1=3-m,Sm=m(3-m)+=-3,所以m=6.故选C.
方法二:由等差数列的性质得为等差数列,则+=,得+=0,解得m=6.故选C.
6.BC　[解析] 若d>0,则{an}为递增数列,则a7>a6>a1>0,与a6·a7<0矛盾,若d=0,则{an}为常数列,所以a7=a6=a1>0,与a6·a7<0矛盾,若d<0,则{an}为递减数列,则a1>a6>a7,由可得a6>0>a7,符合题意,故A错误,B正确;S13==13a7<0,故C正确;因为{an}为递减数列,且a6>0>a7,所以S6最大,故D错误.故选BC.
7.　[解析] 因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn且=,所以======.
8.6　[解析] 项数为2m+1的{an}中奇数项共有(m+1)项,其和为==
(m+1)am+1=140,项数为2m+1的{an}中偶数项共有m项,其和为==mam+1=120,所以==,解得m=6.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14.
(2)方法一:由d=3知{an}是递增数列.
当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0.
所以S1>S2>S3>S4所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26.
方法二:Sn=na1+d=n2-n=-,
又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26.
10.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为S5=4a4-1,所以5a1+d=4(a1+3d)-1,即a1=2d-1,因为是以1为公差的等差数列,所以-=1,即-2=1,即a1=d,又a1=2d-1,所以a1=d=1,所以an=1+n-1=n.对于A,a5=5,故A错误;对于B,S5=5+=15,故B正确;对于C,a10=10,故C错误;对于D,S10=10+=55,故D错误.故选B.
11.D　[解析] 若{f(an)}是等差数列,则2f(an+1)=f(an)+f(an+2).对于A,取等差数列an=n,则f(an)=2n,f(an+1)=2n+1,f(an+2)=2n+2,则2f(an+1)≠f(an)+f(an+2),故A不正确;对于B,取等差数列an=n,则f(an)=n2,f(an+1)=(n+1)2,f(an+2)=(n+2)2,则2f(an+1)≠f(an)+f(an+2),故B不正确;对于C,取等差数列an=n,则f(an)=sin n,f(an+1)=sin(n+1),f(an+2)=sin(n+2),则2f(an+1)≠f(an)+f(an+2),故C不正确;对于D,f(an)=2an+1, f(an+1)=2an+1+1,f(an+2)=2an+2+1,所以2f(an+1)=4an+1+2,f(an)+f(an+2)=2an+2an+2+2,因为{an}为等差数列,所以2an+1=an+an+2,所以2f(an+1)=f(an)+f(an+2),故D正确.故选D.
12.ABD　[解析] 因为S50.因为S6=S7,所以S7-S6=a7=0.因为S7>S8,所以S8-S7=a8<0,所以数列{an}是递减数列,所以d<0,故A,B正确;因为S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0,所以S90,a7=0,a8<0,所以S6与S7均为Sn的最大值,故D正确.故选ABD.
13.A　[解析] 由S20250,a2025+a2026=S2026-S2024>0,所以等差数列{an}为递增数列,因为S4049==4049a2025<0,S4050==2025(a2025+a2026)>0,所以当n≤2025时,an<0,Sn<0,则>0,当n≥2026时,an>0,要使最小,则Sn<0,此时2026≤n≤4049.数列{Sn}为递增数列,随着n的增大,an增大,减小,Sn增大,但>0,Sn<0,则增大,所以当n=2026时,最小.故选A.
14.B　[解析] 方法一:根据题意,出生年月在1965年1月-4月的人的法定退休年龄记为a1,出生年月在1965年5月-8月的人的法定退休年龄记为a2,出生年月在1965年9月-12月的人的法定退休年龄记为a3,…,则{an}构成等差数列,首项a1=60岁+1个月,公差d为1个月,可得an=60岁+n个月.依此规律,1970年5月出生的男职工,他的退休年龄应该是{an}的第17项,即他的退休年龄为a17=60岁+17个月=61岁+5个月.
方法二:(利用枚举法)出生年龄每延后一年,退休年龄延后三个月.
出生年龄 退休年龄
1965.5 60岁+2个月
1966.5 60岁+5个月
1967.5 60岁+8个月
1968.5 60岁+11个月
1969.5 61岁+2个月
1970.5 61岁+5个月
故选B.
15.解:(1)由题意,设等差数列的公差为d,又=8,=5,
∴3d=5-8=-3,∴d=-1,
∴=8+(n-1)×(-1)=9-n,
∴Sn=-n2+9n,则Sn-1=-(n-1)2+9(n-1)=-n2+11n-10,n≥2,∴an=Sn-Sn-1=-2n+10,n≥2,又a1=8符合上式,
∴an=-2n+10.
(2)由(1)得,a1>a2>…>a5=0>a6>…,当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==-n2+9n,
当n≥6时,Tn=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+5×9)-(-n2+9n)=n2-9n+40,∴Tn=
16.A　[解析] 设{an}的公差为d,d>0,由4Sn=-2an+1+1,可得4a1=(a2-1)2=(a1+d-1)2,4(2a1+d)=(a3-1)2=(a1+2d-1)2,解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.由题可得cn=(2n-1)(2n+1),则==-,所以=1-+-+…+-=1-=.故选A.
17.(1)3　(2)210　[解析] (1)由题可知,an=2n<10,又因为n∈N*,所以n≤3,所以b10=3.
(2)由题可知a1≥1,所以B1= ,所以b1=0.若a1=m≥2,则B2= ,Bm+1={1},所以b2=0,bm+1=1,与{bn}是等差数列矛盾,所以a1=1.设dn=an+1-an(n∈N*),因为{an}是各项均为正整数的递增数列,所以dn∈N*.假设存在k∈N*使得dk≥2,设ak=t,由ak+1-ak≥2得ak+1≥t+2.由ak=t

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