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第38练　等比数列及其前n项和
1.在等比数列{an}中,a2=2,a4=8,则a6= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.14 B.32
C.16 D.54
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=10,a2+a4=20,则S5= (　 )
A.62 B.50
C.40 D.22
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a5=16,则log2a3+log2a4= (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (　 )
A.若数列{an}为等差数列,则a1+a3+a8=2a6恒成立
B.若数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6,…为等差数列
C.若数列{an}为等比数列,且a3=7,S3=21,则a4=-
D.若数列{an}为等比数列,则S3,S6-S3,S9-S6,…为等比数列
5.[2025·江苏苏北七市模拟] 在各项均为正数的数列{an}中,设甲:am+n=aman,乙:{an}是等比数列,则 (　 )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
6.[2025·武汉模拟] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=5S2,S6=21,则S8= (　 )
A.-120 B.-85
C.85 D.120
7.[2023·全国甲卷] 设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= (　　)
A. B.
C.15 D.40
8.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
9.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
10.[2026·嘉兴模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a,a2=2-a,an+2=2an,则S2n= (　 )
A.2n+1-2 B.a(2n+1-2)
C.22n-2 D.a(22n-2)
11.已知数列{an-1}是公比为2的等比数列,且a1=2,bn=n+1,则不等式an+bn>15成立时对应n的最小值为 (　 )
A.4 B.5
C.6 D.7
12.(多选题)已知等比数列{an}的首项a1>1,公比为q,前n项和为Sn,前n项积为Tn,函数f(x)=x(x+a1)(x+a2)…(x+a11),若f'(0)=1,则 (　 )
A.{lg an}为递减的等差数列
B.q>1
C.为递增的等比数列
D.当Tn取得最大值时,n的值是10
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列,若an>0,a2+a3=10,且b3b9=5b7,则的最小值为　　　　.
14.[2025·江苏南京模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=an-4an+1,a1=-1.
(1)证明:数列{2an+1-an}为等比数列.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
(3)是否存在正整数p,q(p<615.(多选题)[2025·湖南师大附中模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+1,{bn}为等差数列,且b2=a2,b8=a4,记集合An={x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn,则下列结论正确的是 (　 )
A.a1=1 B.S4=16
C.bn=n D.cn=2n-1-n+1
16.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图所示.
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a1,1=2,a1,3=a6,1+1,记这n2个数的和为S.给出下列结论:
①m=3;
②a6,7=17×37;
③ai,j=(3i-1)×3j-1;
④S=n(3n+1)(3n-1).
其中正确的是　　　　.(填序号)
第38练　等比数列及其前n项和
1.B　[解析] 由题意可知a2a6=,则a6===32.故选B.
2.A　[解析] 设数列{an}的公比为q,由题意可得解得则S5==-2×(1-32)=62.故选A.
3.C　[解析] 因为数列{an}为等比数列,且a2a5=16,所以a3a4=a2a5=16,所以log2a3+log2a4=log2(a3a4)=log216=log224=4.故选C.
4.BD　[解析] 对于A,设数列{an}的公差为d,则a1+a3+a8=a1+a1+2d+a1+7d=3a1+9d,2a6=2(a1+5d)=2a1+10d,所以a1+a3+a8=2a6不恒成立,故A错误;对于B,若数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6,…为等差数列,故B正确;对于C,设数列{an}的公比为q,因为a3=7,S3=21,所以S3=a1+a2+a3=a3=21,得q=1或q=-,若q=1,则a4=7,故C错误;对于D,若数列{an}为等比数列,则由等比数列前n项和的性质可得S3,S6-S3,S9-S6,…为等比数列,故D正确.故选BD.
5.A　[解析] 根据题意,各项均为正数的数列{an}中,有a1>0,若甲:am+n=aman,令m=1,得an+1=ana1,故数列{an}是等比数列,乙成立,充分性成立;反之,若数列{an}是等比数列,设其公比为q,则an=a1qn-1,所以am+n=a1qm+n-1,aman=qm+n-2,则==,当=1时,am+n=aman,当≠1时,am+n≠aman,即必要性不成立.综上,甲是乙的充分不必要条件.故选A.
6.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由S4=5S2,得a1+a2+a3+a4=5(a1+a2),即a3+a4=4(a1+a2),所以q2=4,由S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a2+(a1+a2)q2+(a1+a2)q4=(a1+a2)(1+q2+q4)=21(a1+a2)=21,可得a1+a2=1,所以S8=S6+(a1+a2)q6=21+1×43=85.故选C.
7.C　[解析] 设数列{an}的公比为q(q>0),当q=1时,S5=5,5S3-4=11,S5≠5S3-4,不合题意;当q≠1时,由S5=5S3-4,得=5·-4,即1-q5=5-5q3-4+4q,即q5-5q3+4q=0,即q4-5q2+4=0,即(q2-1)(q2-4)=0,解得q=±1(舍去)或q=-2(舍去)或q=2,因此S4==15.故选C.
8.2　[解析] 由题意,得
解得∴q===2.
9.解:(1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得q=(舍去)或q=2.
由题设得a1=2,所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n,所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
10.A　[解析] 由a1=a,a2=2-a,得a1+a2=a+2-a=2,由an+2=2an,得an+3=2an+1,故an+3+an+2=2(an+1+an),则a4+a3=2(a2+a1)=22,a6+a5=23,…,a2n+a2n-1=2n,则S2n=a1+a2+…+a2n-1+a2n=2+22+23+…+2n==2n+1-2.故选A.
11.B　[解析] 因为数列{an-1}是公比为2的等比数列,且a1-1=2-1=1,所以an-1=1×2n-1=2n-1,所以an=2n-1+1.由an+bn>15,得2n-1+1+n+1>15,即2n-1+n>13,因为函数y=2n-1+n是增函数,且当n=4时,23+4=12<13,当n=5时,24+5=21>13,所以不等式an+bn>15成立时对应n的最小值为5.故选B.
12.AC　[解析] 对于B,由题可得f'(x)=(x+a1)(x+a2)…(x+a11)+x·[(x+a1)(x+a2)…(x+a11)]',则f'(0)=a1a2…a11=q55=1,则a1=,由a1>1,得013.5　[解析] ∵an>0,∴{an}的公差d≥0,a1>0,又a2+a3=2a3-d=10,∴2a3=10+d≥10,∴a3≥5,∴S5==5a3≥25.∵b3b9=5b7,∴b5b7=5b7,∴b5=5,∴≥5,∴的最小值为5.
14.解:(1)证明:∵Sn=an-4an+1①,
∴Sn+1=an+1-4an+2②,
由②-①得an+1=an+1-4an+2-an+4an+1,∴4an+2=4an+1-an,
∴4an+2-2an+1=2an+1-an,
∴2an+2-an+1=(2an+1-an),
在①中令n=1,得a1=a1-4a2,
∴a2=0,∴2a2-a1=1≠0,
∴{2an+1-an}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)由(1)知2an+1-an=,
∴2n+1an+1 -2nan =2,
又21a1=2×(-1)=-2,∴{2nan }是首项为-2,公差为2的等差数列,
∴2nan=-2+2(n-1)=2n-4,
∴an=,∴bn==
=-,
∴{bn}的前n项和为-+-+…+-=-.
(3)Sn=an-4an+1=-4·==,若存在满足题意的正整数p,q,则2S6=Sp+Sq,
即+=2·,
即+=(*).当p=1,2,3,4时,>,当p=5时,=,则=,可得q=8.
综上,存在p=5,q=8符合题意.
15.ACD　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由an+1=Sn+1,得an=Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),即an+1 =2an(n≥2),所以q=2,又a2=S1+1=a1+1,a2=2a1,所以a1=1,所以an=2n-1,故A正确;因为Sn==2n-1,所以S4=24-1=15,故B不正确;设等差数列{bn}的公差为d,由b2=a2=2,b8=a4=8,得6d=b8-b2=6,解得d=1,所以bn=b2+(n-2)d=n,故C正确;由An= {x∈N*|bn≤x≤an},得An={x∈N*|n≤x≤2n-1},则集合An中元素的个数为2n-1-n+1,所以cn=2n-1-n+1,故D正确.故选ACD.
16.①③④　[解析] 由题意可知,a1,3=a1,1m2=2m2,a6,1=a1,1+5m=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-(舍去),故①正确;a6,7=a6,1m6=(2+5×3)×36=17×36,故②不正确;ai,j=ai,1mj-1=[a1,1+m(i-1)]×mj-1=[2+3(i-1)]×3j-1=(3i-1)×3j-1,故③正确;S=(a1,1+a1,2+…+a1,n)+(a2,1+a2,2+…+a2,n)+…+(an,1+an,2+…+an,n)=++…+=×(a1,1+a2,1+…+an,1)=×=n(3n+1)(3n-1),故④正确.故填①③④.

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