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第40练　数列的综合问题
1.[2025·北京卷] 已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-20 B.-18
C.16 D.18
2.[2025·江苏常州模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2S3,3S5,4S6成等差数列,则数列{an}的公比q= (　 )
A.1或- B.-1或
C.-1或2 D.1或-2
3.已知数列{an}既是公差为d的等差数列,又是公比为q的等比数列,首项a1=1,则它的前2026项和为 (　 )
A.
B.2027+2027×1013d
C.2026
D.0
4.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=2,a9,a5,a13成等比数列,则满足Sn>0的n的最大值为 (　 )
A.8 B.9
C.13 D.14
5.已知数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,则数列{bn}的前100项的和S100= (　 )
A.178 B.191
C.206 D.216
6.[2025·安徽马鞍山一模] 已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值为 (　 )
A.6 B.7
C.8 D.9
7.已知数列{an}满足an=,n为正整数,则该数列的最大项是第　　　　项.
8.[2025·福建南平模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=an2-10n,且对任意的n∈N*,都有S3≤Sn,则实数a的取值范围是____________.
9.[2026·重庆巴蜀中学9月月考] 已知数列{an}为等差数列,{an}的前 n 项和为 Sn,a3=7,S6=48.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:++…+<.
10.[2025·广东汕头模拟] 已知a,b∈R,b为a和2的等差中项,则3a+的最小值为(　 )
A. B.3 C. D.
11.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,n∈N*.记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,都有k>Tn,则实数k的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
12.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,记cn=,则下列说法正确的是 (　 )
A.an=2n-1
B.bn=n2+1
C.c4≥cn恒成立
D.若n∈N*,关于n的不等式λ≤cn恰有两个解,则λ的取值范围为
13.已知数列{an}满足a1=1,an+1=+2an,则使得>2025成立的最小正整数n的值为　　　　.
14.[2025·北京大学附中三模] 为保证某水域内鱼类资源的可持续发展,需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记an(n∈N*)为第n年年初时该水域内的鱼类总量,根据研究,第n年鱼类的自然繁殖量与lg an成正比,自然死亡量与成正比,捕捞量与an成正比,比例系数分别为a,b,c(a,b,c>0),则an+1和an的关系式为　　　　　　　　;若b=1,a1=10,要保持每年年初时鱼类总量始终不变,则一组符合条件的(a,c)为　　　　　　　　.
15.[2025·湖北十堰模拟] 已知数列an的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
16.已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=4,bn+1=3bn-2n+1.
(1)证明{bn-n}是等比数列,并求{an},{bn}的通项公式.
(2)若数列{an}与{bn}中有公共项,即存在k,m∈N*,使得ak=bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列,得到一个新的数列,记作{cn},求c1+c2+…+cn.
第40练　数列的综合问题
1.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d≠0).因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2,所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去),所以a10=a1+9d=-2+9×2=16.故选C.
2.A　[解析] ∵2S3,3S5,4S6成等差数列,∴6S5=2S3+4S6,即6(a1+a2+a3+a4+a5)=2(a1+a2+a3)+4(a1+a2+a3+a4+a5+a6),整理得6a4+6a5=4a4+4a5+4a6,即2a6-a5-a4=0,∵a4≠0,∴2q2-q-1=0,解得q=1或q=-,故选A.
3.C　[解析] 因为{an}既是等差数列又是等比数列,且a1=1,所以an=1(n∈N*)(常数数列),所以其前2026项和为2026,故选C.
4.D　[解析] 设数列{an}的公差为d,因为a7=2,a9,a5,a13成等比数列,所以 解得所以an=23-3n,所以Sn==.令Sn>0,得>0,解得05.A　[解析] 数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,所以数列{bn}中从a1到ak的项数为k+[1+2+…+(k-1)]=k+=k(k+1),当k=13时,×13×14=91,当k=14时,×14×15=105,因为ak=k,所以S100=(a1+a2+…+a13)+(100-13)×1=+87=178.故选A.
6.C　[解析] 令an=≥0,解得n≤3或n>,所以当n≤3时,an≥0,当4≤n≤8时,an<0,当n≥9时,an>0,且a1=,a2=,a3=0,a4=-,…,a8=-5,所以S87.2和3　[解析] an==,∵y=x+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,且a2=a3=,∴该数列的最大项是第2项和第3项.
8.　[解析] 因为Sn=an2-10n,且对任意的n∈N*,都有S3≤Sn,所以≤-=≤,所以≤a≤2.
9.解:(1)设{an}的公差为d,则a3=a1+2d=7,S6=6a1+15d=48,
解得a1=3,d=2,
所以an=3+(n-1)×2=2n+1.
(2)证明:因为=
=×,所以++…+=×=×=-,
因为n∈N*,所以>0,所以-<,
所以++…+<.
10.D　[解析] 因为b为a和2的等差中项,所以=b,即a=2b-2,则3a+=32b-2+≥2=,当且仅当32b-2=时等号成立,所以3a+的最小值为.故选D.
11.A　[解析] 由an+1=3an+2,可得an+1+1=3(an+1),则{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an+1=3n,即an=3n-1,则==
×,所以Tn=×=×<,又对任意的n∈N*,都有k>Tn,所以k≥.故选A.
12.ACD　[解析] 当n=1时,S1=2a1-1,即a1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,所以Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),即an=2an-2an-1,即an=2an-1,因为a1=1≠0,所以=2(n≥2),所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1,故A正确;由(n+2)bn=nbn+1,得=,则=,所以数列为常数列,所以==1,所以bn=n(n+1)=n2+n,故B错误;cn=·(n2+n),当n≥2时,==,令>1,可得2≤n<5,令<1,可得n>5,令=1,可得n=5,所以c1c6>c7>…,所以当n=4或n=5时,cn取得最大值,故C正确;c3=,c6=>c3,因为关于n的不等式λ≤cn恰有两个解,所以λ的取值范围为,故D正确.故选ACD.
13.6　[解析] 因为an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2,则ln(an+1+1)=2ln(an+1),又a1+1=2,所以数列{ln(an+1)}是首项为ln 2,公比为2的等比数列,所以ln(an+1)=2n-1ln 2,所以an=-1.由>2025,得>2025,因为210=1024,211=2048,所以≥11,即2n-1≥22,则n≥6,则使得>2025成立的最小正整数n的值为6.
14.an+1=an+alg an-b-can(n∈N*)　(110,1)(答案不唯一)
[解析] 因为第n年鱼类的自然繁殖量与lg an成正比,自然死亡量与成正比,捕捞量与an成正比,比例系数分别为a,b,c(a,b,c>0),所以an+1=an+alg an-b-can(n∈N*).若b=1,a1=10,要保持每年年初时鱼类总量始终不变,即an+1=an,则alg an--can=0,代入n=1,得a-10c-100=0,即a=10c+100,由a,c>0,不妨取c=1,a=110,经检验c=1,a=110满足题意.
15.解:(1)∵4Sn+1=3Sn-9 ①,
∴当n≥2时,4Sn=3Sn-1-9②,
由①-②得4an+1=3an(n≥2),
在①式中,令n=1,则4=--9,∴a2=-,满足=,∴=对n∈N*恒成立,∴{an}是首项为-,公比为的等比数列,∴an=-·=-3·.
(2)由3bn+(n-4)an=0,得bn=(n-4)·,∴Tn=(-3)×+(-2)×+(-1)×+…+(n-5)·+(n-4)· ③,∴ Tn=(-3)×+(-2)×+…+(n-6)·+(n-5)·+(n-4)· ④,由③-④得Tn=-+++…+-(n-4)·=-+-(n-4)·=-n·,
∴Tn=-4n·.
由Tn≤λbn得-4n·≤λ·(n-4)·,即(n-4)λ≥-3n.
当1≤n<4时,可得λ≤,
此时λ≤=1;
当n=4时,不等式显然成立;
当n>4时,可得λ≥,∵==-3-<-3,
∴λ≥-3.综上,-3≤λ≤1.
16.解:(1)由bn+1=3bn-2n+1,得bn+1-(n+1)=3(bn-n),
又b1-1=3,所以{bn-n}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以bn-n=3n,所以bn=3n+n.
an=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由3k-1=3m+m,可得m=3t-1,t∈N*,即m=2,5,8,…,3t-1时为公共项,所以c1+c2+…+cn=32+35+…+33n-1+(2+5+…+3n-1)=+.

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