资源简介

陕西宝鸡市陈仓区虢镇中学2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．是虚数单位，，，则是为纯虚数的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
3．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
4．在中，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中不正确的是（ ）
A．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
C．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
10．已知复数，下列命题正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则为实数
11．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，向量与向量的夹角为锐角
C．存在，使得
D．若，则
三、填空题
12．已知复数满足，则____.
13．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________.
14．一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.
四、解答题
15．已知向量与的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求值.
16．已知复数满足，.
(1)求；
(2)若复数满足，求.
17．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
18．已知在中，为中点，，，．
(1)用和表示；
(2)若，求；
(3)设和的夹角为，若，求证：．
19．在中，内角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，为线段上的一点，且．
①求的值；
②求的最小值．
参考答案
1．A
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
2．B
【详解】复数是纯虚数，则，
“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B.
3．C
【详解】
因为，所以到定点的距离相等，
所以为的外心；
由，则，
取的中点，则，
所以，即为靠近的三等分点，
所以是的重心；
由，得，即，
所以，同理，，所以点为的垂心.
4．B
【详解】因，则，
由正弦定理，，则.
故选：B.
5．D
【详解】因为，，
所以在上的投影向量为.
故选：D
6．A
【详解】由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是，
可得，所以.
故答案为：A.
7．D
【详解】解：由正弦定理化简已知的等式得：，
，
，又和都为三角形的内角，
或，即或，
则为等腰或直角三角形．
故选：D．
8．B
【详解】正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，
因此，该正八面体的总曲率为.
故选：B.
9．BCD
【详解】对于A，四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面，
故A正确；
对于B，用不平行于棱锥底面的平面去截棱锥，
截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故B错误；
对于C，若以直角三角形的斜边为旋转轴，
其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥.
故C错误；
对于D，如图所示，是由两个相同形状的三棱柱
叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱.
故D错误；
故选：BCD.
10．AC
【详解】对于A，设，
则
，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，设，，，，故C正确；
对于D，设，，，
当或时，，故D错误.
故选：AC.
11．CD
【详解】选项A，∵ 当时，，
∴ ，
∴ ，故A错误.
选项B，若向量与的夹角为锐角，需满足且两向量不共线同向.
∵ ，令，解得.
当与共线时，，解得，此时，两向量同向，夹角为，不满足锐角条件，故且时夹角为锐角，B错误.
选项C，由上述共线条件可知，当时，且，故存在使得，C正确.
选项D，若，则，即，解得，D正确.
12．
【详解】因为，
所以.
13．
【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得，
将直观图还原为原图，如图所示，
则，，
所以在中由勾股定理得：，
因为且，
所以四边形为平行四边形，
所以原四边形的周长为.
14．3
【详解】∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，
∴|v实际|＝＝＝16(km/h).
∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
故答案为：3
15．（1）；（2）.
【详解】（1）
，
因此，；
（2），，即，
即，解得．
16．(1)
(2)或
【详解】（1）由题意得，
所以或（舍去），
故
（2）设，
则，
所以解得或
所以或
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
整理得，
∴ .
（2）∵ ，，，
∴ .
∵ ，
代入数值计算得：
，
∴ .
（3）∵ 为中点，
∴ ，
∴ .
∵ 与的夹角为，，
∴ .
计算得：
，
∴ ，即.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）∵ 在中，，
∴ .
已知，
∴ ，化简得.
∵ ，∴ ，
∴ .
又，∴ .
（2）由（1）知，为直角三角形，直角边.
设为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，
则，，
∴ .
已知，∴ .
∵ ，∴ .
又的面积，代入得，
解得.
② 由①得，
∴ ，
∴ .
∵ 在线段上，
∴，
∴，
∴，
∴ .
由基本不等式得，当且仅当时等号成立.
将代入，解得，满足.
∴ 的最小值为.

展开更多......

收起↑