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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 z 1 2i，则 z的虚部是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2i D. 2i
【答案】B 因为复数 z 1 2i，则 z的虚部是 2，
2.直线 4x 3y 1 0的一个方向向量是（ ）
A. 3,4 B. 3, 4 C. 4,3 D. 4,3
【答案】A 由 4x 3y 1 0 y 4 x 1，得 .
3 3
4x 4 4所以直线 3y 1 0 的一个方向向量为 1, . 3,4 与 1, 共线，所以 A正确；
3 3
2 3.在 ABC中， AD= AB，点 E平分线段CD．设 AB a，
3 AC b
，则 AE （ ）
1 a 1
1 1 1 1 1 1
A. b B. a b C. a b D. a b
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
【答案】D 因为 AD= AB，即 AD AB，又点E平分线段CD，
3 3

AE 1 所以 AD AC2
1 1 1 2 1 1 1
AD 1 1 AC AB AC AB AC a b .
2 2 2 3 2 3 2 3 2
4.若在 ABC中， sin A : sinB : sinC 3: 5: 6，则 sinB等于（ ）
A. 2 14 B. 14 C. 11 D. 2 11
9 9 5 5
9 36 25 5
【答案】A 根据正弦定理有a : b : c 3: 5 : 6，由余弦定理得 cosB ，
36 9
所以 sin B 1 cos2 B 2 14 .
9
5.如图所示，矩形O A B C 是水平放置一个平面图形的直观图，其中O A 6,O C 2，则原图形的面积为
（ ）
A. 12 B. 12 2 C. 24 D. 24 2
【答案】D 由题意得O A 6,O C 2，所以矩形O A B C 的面积为 S O A O C 6 2 12，
6. 正方体 的棱长为 1，若 P在 内（包含边界）运动，则直线 与
平面 ABCD所成角的正弦值的取值范围为（ ）
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A. 3 , 6 B. 2 , 6 C. 3 , 6
3 2
4 4
D. ,
2 3 3 3 4 2
【答案】C 在正方体 中， 平面 ，对于平面 ， 为垂线， 为
斜线， 为射影，所以 即为直线 与平面 ABC所成角，设 ，则 ，
因为 P是 内（包括边界）的动点，所以当 P与 O重合时， 最小，此时
，当 P与 B重合时， 最大，此时 ，
所以

7.已知平面向量a,b, c满足 a 1, b a 1, b 2, c b b 0, 则c a c a 的最小值为（ ）
A.2 5 B. 10 C.3 2 D.4
【答案】B

设a OA 1,0 ,b OB 1,1 ,可得c OC的C的轨迹为直线l：y x 2, A关于y

轴和直线l的对称点分别为A1 1,0 ，A2 2,1 ，则 c a c a A1C AC A1A2 10
8. 已知 是长方体 表面上任意三点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A. 14 B. C. 10 D. 5
【答案】B 取 中点为 ，由极化恒等式， .
又 是长方体 表面上任意三点，
所以当 位于体对角线的两个端点时， 最大，最大值为 ；
此时 为长方体的中心，则当 位于长方形 中心时， 的值最小，最小值为 1，
所以 的最小值为 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6
分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.关于复数 z 4 3i，下列说法正确的是（ ）
A. z z 8 B. z是方程 x2 8x 25 0的一个根
C.若复数 z满足 2 z，则 2 i D.若 z1 z 2，则 z1 3,7
【答案】ABD 选项A： z z 4 3i 4 3i 8.故A正确.
选项B：把 z 4 3i代入 x2 8x 25 0成立，故B正确.
选项C： 2 i或 2 i，故选项C错误.
选项D： Z1的图形是以 4,3 为圆心，2 为半径的圆， z1 几何意义表示 Z1到原点的距离，
z1 3,7 ，选项D正确.
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10.动直线 与动直线 相交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A.直线l2过的定点是 2, 1
B.点C的轨迹是一个完整的圆
C.3a b 3的最小值为2
a 1
D. a b 3的取值范围为 0,4
【答案】ACD
由 ，得 ，所以动直线 过定点 ，不含直线 ；
由 ，得 ，所以动直线 过定点 ，不含直线
.
又直线 与动直线 垂直，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆（不含点 ）.所以 A对 B错误。
因为线段 的中点为 ， ，
所以点 的轨迹方程为 .
，由图可知 与（1,0）斜率范围为： ，故 的最小值为 .
所以 C正确。
a b 3
a b 3 2 2d ,其中d为C a,b 到直线x y 3 0的距离，d 0,2 2 , D正确2
11. 已知四棱锥 的高为 ，底面 是边长为 的正方形， ，则（ ）
A. 的面积为定值
B.
C. 四棱锥 表面积的最小值为
D. 若四棱锥 存在内切球，则该球半径为
【答案】ABD 对于选项 A，因为 ，所以 在底面 的射影 在直线 的垂直平分线上，
过 作 垂直 于 ，连接 ，因为 面 ， 面 ，
则 ，又 面 ，所以 面 ，又 面 ，
则 ，又底面是边长为 的正方形，则 ，
所以 的面积为 ，故选项 A正确，
对于选项 B，由选项 A易知 ，则 ，所以 ，故选项 B正确，
对于选项 C，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，由选项 A知 与 面积为定值 ，
易知 ， ，若 在正方形 内时，
不妨设 ，则 ，则 ，
因为 可看成点 到点 和点 的距离之和，
则 ，
所以 ，
此时四棱锥 表面积的最小值为 ，
若 在正方形 外时，不妨设 ， ，
第 3页，共 8页
则 ，
因为 可看成点 到点 和点 的距离之和，
则 ，
所以 ，
此时四棱锥 表面积的最小值为 ，
综上，四棱锥 表面积的最小值为 ，故选项 C错误；
对于选项 D，若四棱锥 存在内切球，则该球与平面 ，平面 ，
平面 均相切，过 作 垂直 于 ，所以 的内切圆半径等于该球半径，
又 ， ，设 的内切圆半径为 ，
则 ，得到 ，所以选项 D正确，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.在 ABC π中，角 A， B，C所对的边为 a，b， c .若 A ，a 2，则 ABC外接圆的面积为____________.
4
【答案】 2π 设 ABC外接圆的半径为 R，
2R a 2 2 2
由正弦定理可得 sin A sin π ，故 R 2 ，则 ABC外接圆的面积 S πR
2 2π .
4
13.已知在△ABC所在的平面内有一点 P，满足 + + = ，则△PBC与△ABC的面积
之比是______。
【答案】2/3 ∵ + + = ，∴ + + - = ，∴ + + + = ，∴2 + = ，
∴ =-2 ，可知向量 、 方向相反，且 模长是 的 2倍，即 P是 AC的三等分点.
故△PBC的面积与△ABC的面积之比为 = .
14.正方体 的棱长为 4， 是侧面 （包括边界）上一动点， 是棱 上
一点，若 ，且 的面积是 面积的 倍，则三棱锥 体积的最
大值是______．
【答案】 8 2 由已知 平面 ， 平面 ，所以 ,
3
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 的面积是 面积的 倍，
所以 ，所以点 的轨迹为半径为 1.5的阿氏圆在侧面 内的一段圆弧，
P到地面距离的最大值为 2 ，三棱锥 体积最大值为 8 2 .
3
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. ( 13 分 )
已知向量 ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若向量 ， ，求 与 夹角的余弦值.
（1）已知 ， ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 .
所以 ，则 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，则 .
则 ， ， ，
设 与 夹角为 ，则 .所以 与 夹角的余弦值为 .
16.（15分）
已知 ABC的顶点B 1, 2 ，边BC的中线AP所在直线方程为 x 2 y 2 0,
边AB上的高CH所在直线方程为 x y 1 0.
(1)求A的坐标；
（2）求点A到直线BC的距离。
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17. ( 15 分 )
如图，在平面四边形 中， ，且 .
(1)若 ，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
（1）在 中， .........2 分
故 ，即 ，........4分
因为 ，故 .........6分
（2）在 中， .
又 的面积为 ，........8分
的面积为 ，.......10分
所以四边形 的面积为 ，其中 .
故四边形 面积的最大值为 ........15分
18. 17分
2
经过原点O的直线与圆M： x 1 y 2 4相交于A，B两点，过点C 1, 0
且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D。
（1）当点B的坐标为 1， 2 时，求直线CD的方程；
2 记点A关于x轴的对称点为F 异于点A，B ，求证：直线BF恒过x轴上的一个定点；
3 求四边形ABCD的面积S的取值范围。
解：（1）∵B为（-1，-2），O（0，0）， ∴AB的斜率为 =2，又 CD⊥AB，
∴CD的斜率为 ，又 C（1，0）， ∴直线 CD的方程 y= （x-1），即 x+2y-1=0；
（2）根据题意可得 AB直线的斜率存在且不为 0，又 AB过原点 O（0，0），
∴设直线 AB方程为 y=kx，联立圆M：（x+1） 2+y 2=4，
可得（k 2+1）x 2+2x-3=0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），
则 ，又 F（x 1，-y 1）， ∴直线 BF为 ，
令 y=0，可得 x= = = = =3，
∴直线 BF恒过 x轴上定点（3，0）；
第 6页，共 8页
（3）设圆心M（-1，0）到直线 AB的距离平方为m，则m∈（0，|MO| 2]，即m∈（0，1]，
设圆心M（-1，0）到直线 CD的距离平方为 n，
根据圆的几何性质及平面几何知识易得 =4，∴n=4-4m，
又|AB|= = ，|CD|= = = =4 ，
∴四边形 ABCD的面积 S= = = ，又m∈（0，1]，
∴S=f（m）∈（f（0），f（1）]，即 S∈（0，4 ]，
∴四边形 ABCD的面积 S的取值范围为（0，4 ]．
（3）法 2：
19. ( 17 分 )（本题用向量法（坐标法）一律不给分）
如图，在三棱锥 中， ， ， ，记二面角 的大小
为 ， 分别为 的中点．
(1)求证： ；
(2)用 x, 表示三棱锥M CDN的体积；
(3)设在三棱锥 内有一个半径为 的球， ，且 ，求证： ．
（1）取 中点 ，连接 ，又 分别为 的中点，
则 ， ，因为 ，
所以 ， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
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（3）作 于 ,由（2）知， ，过 作 交 于 ，
，又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ， ，
设 的高 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，
所以三棱锥 的表面积 ，
，
所以三棱锥 的内切球半径 ，
所以 ．
第 8页，共 8页命题： 审题：
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 若复数 z 1 2i，则 z的虚部是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2i D. 2i
2.直线 4x 3y 1 0的一个方向向量是（ ）
A. 3,4 B. 3,4 C. 4,3 D. 4,3
2
3. 在 ABC中，AD= AB，点 E平分线段CD．设 AB a ，AC b，则 AE （ ）3
1 1 1 1 1 1 1 1
A. a b B. a b C. a b D. a b
3 2 3 2 3 2 3 2
4. 若在 ABC中， sin A : sinB : sinC 3: 5: 6，则 sinB等于 （ ）
2 14 14 11 2 11
A. 9 B. 9 C. 5 D. 5
5. 如图所示，矩形O A B C 是水平放置一个平面图形的直观图，其中
O A 6,O C 2 ，则原图形的面积为（ ）
A. 12 B. 12 2 C. 24 D. 24 2
6.正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，若P 在 ABC内（包括边界）运动，则直线D1P
与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为( )

A. 3 , 6
2 6 3 6
B. , C. , D.
3 , 2
4 4 2 3 3 3 4 2

7.已知向量a,b,c满足 a 1, b a 1, b 2, c b b 0,则 c a c a的最小值为
（ ）
A.2 5 B. 10 C.3 2 D.4
8.已知 是长方体 表面上任意三点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A.-14 B. -13 C. -10 D. 5
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.关于复数 z 4 3i ，下列说法正确的是( )
A.z z 8 B.z是方程x2 8x 25 0的一个根
C.若复数z满足 2 z,则 2 i D.若 z1 z 2,则 z1 3,7
10.动直线 与动直线 相交于点 ，则下列说法
正确的是( )
A.直线l2过的定点是 2, 1 B.点C的轨迹是一个完整的圆
C. 3a b 3的最小值为2 D. a b 3 的取值范围为 0,4
a 1
11.已知四棱锥 的高为 ，底面 是边长为 的正方形， ，则( )
A. 的面积为定值
B.
C. 四棱锥 表面积的最小值为
D. 若四棱锥 存在内切球，则该球半径为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 .在 ABC中，角A，B，C 所对的边为 a,b,c.若 A ，a 2, 则 ABC外接圆的面
4
积为 。
13.已知在 ABC所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ，则 PBC 与 ABC
的面积之比是 。
14.正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4，P 是侧面ADD1A1（包括边界）上一动点，E是
棱 CD 上一点，若 APB DPE ，且 APB 的面积是 DPE 面积的 9 倍，则三棱锥
P ABE体积的最大值是 。
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）

已知向量 a m,1 ,b 1,2 .

（1）若 a b 2b , 求 a 2b ；
c 4,2 ,a // c , a

（2）若向量 求 与 a 2b 夹角的余弦值。
16.（15 分）
已知 ABC的顶点B 1,2 ，边BC 的中线AP所在直线方程为 x 2y 2 0,边AB上的高
CH 所在直线方程为 x y 1 0。
（1）求A 的坐标；
（2）求点A 到直线BC 的距离。
17.（15 分）
如图，在平面四边形ABCD 中，AB 2，BC 3，AC CD ，且AC CD 。
（1）若 cos BAC 3 2 ，求AC；
8
（2）求四边形ABCD 面积的最大值。
18.（17 分）
2 2
经过原点O的直线与圆M： x 1 y 4相交于A，B两点，过点C 1,0 且与AB垂直的
直线与圆M 的另一个交点为D。
（1）当点B 的坐标为 1， 2 时，求直线CD的方程；
（2）记点A 关于 x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过 x轴上的一个定
点；
（3）求四边形ABCD 的面积S 的取值范围。
19.（17 分）（本题用向量法（坐标法）一律不给分）

如图，在三棱锥A BCD 中， ACD BDC ，AC BD 1，CD x,记二面角
2
A CD B的大小为 ，M, N分别为AD，BC 的中点。
（1）求证：CD MN；
（2）用 x, 表示三棱锥M CDN 的体积；
1
（3）设在三棱锥A BCD 内有一个半径为 r的球，0 x 2,且 x,求证： r 。
4

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