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山东省德州市夏津县2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟数学试题
一、单选题
1．今年春节小明的微信收入200元，记作元．若小明购买数学书籍，他的微信支出80元，则支出80元可以记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．数据3600亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从入口处进入，最后到达的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
9．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知某函数图像关于y轴对称，当，；当时，．若直线与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
二、填空题
11．写出一个使有意义的x的值_____．
12．小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______．
13．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______．
14．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________．
15．如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的是________．（填写序号）
三、解答题
16．计算、化简：
(1)
(2)
17．为弘扬校园文化，某校开展了校园文化知识竞赛，现从初一、初二两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析．竞赛成绩得分用x表示，数据分成5组：，，，，，其中分及以上为“良好”，分及以上为“优秀”，下面给出了部分信息：
①初一年级抽取学生成绩的频数分布直方图
②初一年级学生在，这一组的成绩数据：81，82，83，85，85，87，88，89；
③初二年级20名学生成绩：65，69，70，75，80，82，83，85，86，88，88，90，91，92，93，94，95，96，98，100．
④初一、初二年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
初一 86 85 a b
初二 86 88 45%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的 ， ， ；
(2)你认为哪个年级的学生对校园文化知识的掌握较好？请说明理由．
(3)该校初一共有名学生，初二共有名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计初一、初二两个年级知识竞赛成绩“良好”的学生人数一共有多少？
18．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下．
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时三点在同一条直线上）； 2．测量两点和两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4．向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时三点在同一条直线上），测量两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角．
实验图示 测量数据 1．AD 2． 3． 4．．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，cos，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，完成：
(1)______________________；
(2)计算校徽的高度．（结果保留整数）
19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第二象限内的点C在反比例函数图象上，且以点C为圆心的圆与轴、y轴分别相切于点D、B．
(1)求和的值；
(2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围．
20．春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套．
(1)若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套；
(2)若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？
(3)若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况．
21．如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，．
(1)求证：是的切线．
(2)①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
②在①的条件下，求的长．
22．已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值．
23．在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接．
(1)如图1，求证：；
将下列探究过程补充完整：
解：由旋转的性质可知，，， ，
___，
∴
(2)如图2，当，时，求的长；
(3)如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
参考答案
1．B
解：∵支出与收入的意义相反，
∴若微信收入200元，记作元，则微信支出80元，可以记作元．
2．D
解：A选项是从正面观察得到的主视图，不符合题意；
B选项是从侧面观察得到的左视图，不符合题意；
C选项中支撑腿的轮廓用实线表示，不符合俯视图的绘制规则，不符合题意；
D选项中凳面为长方形，支撑腿的不可见轮廓用虚线表示，符合俯视图的要求，此选项符合题意．
故选：D．
3．B
解：亿 ．
4．A
解：A、，符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：A．
5．A
解：∵以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，
∴点的对应点的坐标是，即为．
6．D
解：“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，由于等腰梯形也满足此条件，可知该命题不是真命题；
“对角线互相垂直的四边形是菱形”，由于筝形也满足此条件，可知该命题不是真命题；
所以最后到达的是丁．
7．B
解：设长安到齐国的总路程为单位，
∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日，
∴甲的速度为，乙的速度为，
设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为，
∵相遇时甲乙的路程和等于总路程，
∴．
8．B
解：解不等式，得．
解不等式，得．
∴不等式组的解集为．
∵不等式组所有整数解的和为，且，
∴不等式组的整数解为，
∴可得．
9．C
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的外接圆圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．A
【详解】∵函数图象关于轴对称，
且当，；当时，．
由此可得函数图像如图：
根据图像可知，直线与这个函数图像有三个交点，
且直线与抛物线只有一个交点时，
直线与这个函数图像有三个交点，
联立直线与抛物线，
得，整理得，
判别式，解得，
此时直线方程为，
只有直线位于直线与中间时，有四个交点，
故当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
11．3（答案不唯一）
解：要使有意义，必须，
则，
∴使有意义的x的值可以是3．
12．
解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料，
∴小明恰好选择“千问”的概率是．
13．
解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，
∵，是一元二次方程的两个根，
∴ ， ，
又∵该三角形为直角三角形，
∴，
∴ ，
∵ ，
．
14．或
解：由题意知，等于a、b中较大的值
∴当时
∴
∴
解出，
∵
∴取
当时
∴
解得：，
∵
∴取
综上所述：的值为或．
15．①③④⑤
解：由旋转可知：，
∴，，，
∵在正方形中，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，故①结论正确，
∵，，
∴，故②结论错误；
∵，
∴，故结论③正确；
如图：
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴、、、、在以为直径的圆上，
∵，
∴，故结论④正确；
如图：过点作，交于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设，
在中，，
∴，
∴，（负根已舍去）
∵，
∴，
∴．故结论⑤正确；
综上所述：①③④⑤结论正确．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
.
17．(1)，，
(2)初二年级学生对校园文化知识的掌握较好，见解析
(3)人
（1）解：∵按照从小到大排列，初一年级学生成绩中位数应为第10和第11名成绩的平均数，而第10和第11名落在一组的成绩数据，故；
初一年级的优秀率，
初二年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是88，共出现2次，因此众数是88，即，
（2）解：初二年级学生对校园文化知识的掌握较好．
理由：∵初一、初二年级学生成绩的平均数都是86分，
又∵初二年级学生成绩的众数和中位数都大于初一年级学生成绩的众数和中位数，且初二年级学生成绩的优秀率也高于初一年级学生成绩的优秀率，
∴初二年级学生对校园文化知识的掌握较好．
（3）解：∵初一共有800名学生，初二共有900名学生，
∴初一、初二成绩“良好”的学生人数一共有（人）．
18．(1)14；27.5
(2)2.02
（1）解：由题意，得四边形，四边形为矩形，
∴，
．
（2）在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
所以校徽的高度为．
19．(1)
(2)
（1）解：如下图：连接，
与x轴，y轴相交于点D，B，
，
四边形是正方形，
当时，，
点B的坐标是，
，
的坐标是，
把代入得到，则，
，
把代入得到，则，
，
，
，
综上所述：，；
（2）解：如（1）图，直线于x轴相交于E点，
，
，解得：，
，
由图像可知，当时，，
的取值范围为．
20．(1)“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套；
(2)“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套时购进的总费用最低；
(3)此次盈利元．
（1）解：设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套，
根据题意得：，
解得：，
答：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套；
（2）解：设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套，
由题意得：，
∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，
∴，解得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，
此时“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套；
（3）解：由（）得：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套，
∴此次盈利
（元），
答：此次盈利元．
21．(1)见解析
(2)①图见解析②
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的直径，
∴是的切线．
（2）①解：如图，为的角平分线，交于点．
②解：∵，，，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∴．
22．(1)
(2)
(3)8
（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，
∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间时，、为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则、为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线、之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点时，即： 时，最大，此时另一条直线的解析式为，
如图：
∴当时，
解得：，
即：，，
∴的最大值为：．
23．(1)；；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
(2)
(3)①证明见解析；②
（1）证明：由旋转的性质可知，，，，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
又，
，
，
在直角中，，
，
，
，
，
在直角中，，
，
解得，；
（3）①证明：由旋转的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
②解：如图，作，垂足为，延长、交于点，设，
，
，
在直角中，，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形，且，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．

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