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安徽芜湖市第一中学2025-2026学年高二第二学期期中教学质量检测数学试题
一、单选题
1．定义在R上的函数，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．展开式中，的系数为（ ）
A． B．32 C． D．24
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
7．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36 C．42 D．50
8．已知函数，若，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列不等式中，在上恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知事件A，B，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的单调递增区间是，
B．的值域为
C．
D．若，，，则.
三、填空题
12．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
13．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
14．已知，若存在使得，则的最大值为__________．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围．
16．某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为.
(1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
(2)证明：数列为等比数列，并求出.
17．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
(1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率；
(2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望．
19．已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)已知，函数有两个不同的零点和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．D
6．B
7．D
8．A
9．BCD
10．ABC
11．ABD
12．或
13．
14．49
15．（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得
．
方法二：，则
所以在处的切线方程为，整理得
（2）设，在P处的切线斜率为，
即，由斜率，，
且得，.
16．（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”，
根据题意可知：， ，.
由全概率公式可得
即同学甲第二天选择B餐厅的概率为.
（2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，，
当时，由全概率公式可得
则，
整理得
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
17．（1）函数的定义域为，
当时，，所以，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
综上所述：在上为减函数，在上为增函数；
（2）若，不等式恒成立，
则对均成立，所以
令，
则，
令，显然为上的减函数，
又，
所以，，则在上为增函数，
当时，，则在上为减函数，
所以，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
18．（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为，
则，
，，
，，
所以.
（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4；
，
，
，
，
所以.
19．（1）由，得，
当时，对任意，，
所以在单调递减，无极值；
当时，令，得；令，得.
在单调递增，在单调递减，
函数在处取得极大值，极大值为，无极小值，
综上所述，时，无极值；
时，在处取得极大值，极大值为，无极小值；
（2），函数有两个不同的零点和一个极值点，
由（1）知在单调递增，在单调递减，
故为的极大值点，极大值，
令，.
则，故在单调递增，故，
又注意到，故为的一个零点，
此外，，
则，记，，
则，所以在上单调递减，所以，
即，故在单调递减，故，.
由零点存在性定理，知有零点，因为，所以，
则，，.
设，则，显然，，
所以，
为的高，由勾股定理得，
故.

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