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山东枣庄市薛城区2025-2026学年下学期学业综合素养监测 七年级数学试题
一、单选题
1．“翻开湘教版《数学》九年级下册课本恰好翻到概率这部分内容”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D． 无法确定
2．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个三角形的三个内角的比为，则此三角形的最大内角度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列不能用平方差公式运算的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为　　
A．15 B．12 C．12或15 D．9或15
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．5
8．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
9．将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．观察下列各式：
观察上面的规律计算：（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
11．一个长方形的面积是，若它的长是，则它的宽是_____．
12．某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______．
13．若(a+2b)2=(a-2b)2+M，则M=____________.
14．下表是某种子公司为检测某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果，
种子个数 400 750 1500 3500 7000 …
发芽种子个数 369 662 1335 3203 6335 …
发芽率 …
根据上表中的数据，可估计该种子发芽的概率为________．（结果精确到）
15．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____．
16．如图，在中，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小．
(2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）．
(1)求休息区的面积；
(2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？
21．分别写有数字的10张卡片．它们除数字外完全相同．将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张．
(1)分别求出卡片上的数字是3的倍数的概率和不是3的倍数的概率；
(2)分别求出卡片上的数字是质数的概率和不是质数的概率；
(3)由（1）（2），你有什么发现？
22．已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下：
已知，，求的值．
分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决．
解答：因为，所以，即．
因为，所以．
【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题
(1)若，．
①________；
②求的值；
(2)已知，，求与的值．
24．在学习完相交线和平行线这章节后，老师带领同学们到校园内上数学活动课．老师鼓励同学们去观察和发现现实生活中的问题，并尝试利用所学的数学知识来解决．
(1)【情景一】如图1，同学们到达一处正在改造的教学楼外，发现工人师傅正在发愁．工人师傅需要测量一间教室内墙角（为墙角顶点，为教室的两面墙）的度数，以便精准定制墙角装饰线条，但由于教室门被锁住，无法进入室内直接测量．小南同学作为七年级的数学爱好者，提出了一个解决方案：在教室外，反向延长射线至点，得到．
①若，则内墙角_____；
②尝试在图1中用另外一种方法测量内墙角的度数，简要写出测量步骤（测量的角度用或等小写希腊字母表示）；
(2)【情景二】活动课结束后，小安同学深受启发．假期旅游路上经过南安晋安大桥时，看到桥梁中间圆柱石柱两边各有两条斜拉索用来固定，她若有所思，能否测量出两条斜拉索夹角的度数？小安同学回家后，立刻进行思考，抽象出以下问题：如图2在平面内画出两条不平行的直线．由于斜拉索不能延长，所以在不延长的前提下，测量出直线的夹角．请用尺规作图帮助小安同学解决以上问题，并说明理由（保留作图痕迹，标记出必要的字母和角度）．
参考答案
1．A
解：∵课本中包含概率部分内容，
∴翻到概率部分可能发生；
∵课本中还包含其他内容，
∴翻到概率部分也可能不发生，
∴该事件是随机事件．
故选：A．
2．C
解：数据用科学记数法表示为．
3．A
解：∵三角形的内角和为，三个内角的比为，
设三个内角分别为，，，
，
解得，
∵是最大的角，
．
4．D
解：、选项中，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式，该选项不符合题意；
、选项，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式，该选项不符合题意；
、，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式，该选项不符合题意；
、，两项全部相同，没有互为相反数的项，不符合平方差公式的要求，不能用平方差公式，该选项符合题意．
5．A
【详解】当腰为3时，，
、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，，
、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为．
故选A．
6．D
解：A. ，， 能判定，不符合题意；
B. ，，能判定，不符合题意；
C. ，，能判定，不符合题意；
D. ，不能判定，符合题意．
7．D
解：∵是边上的中线，的面积等于20，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
8．B
解：设，，
∵长方形的周长是，长方形的面积为
∴，，
∴，
即正方形和正方形的面积之和为．
9．D
解：A、由余角性质可得，该选项不合题意；
B、由图可得，与互补，该选项不合题意；
C、由图可得，该选项不合题意；
D、由图可得，与互余，该选项符合题意；
故选：D．
10．B
解：根据已知式子归纳规律可得，其中为正整数，
则中，最高次项为，对应规律得 ，
即，
∴把，代入规律得．
11．
解：∵一个长方形的面积是，长是，
∴它的宽是．
12．/度
解：如图，根据题意，得，
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为：．
13．8ab
【详解】有完全平方公式得：
等式左边=a2+4ab+4b2
等式右边=a2-4ab+4b2+M
∴4ab=-4ab+M
∴M=8ab
14．0.9
解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9附近，
∴该种子发芽的概率为（精确到0.1）．
故答案为：．
15．4
解：∵，
∴，
整理得，
即，
解得．
16．
解：在中，，为边上的高，且，如图所示，过点C作于点D，
∴，
∴，
解得．
根据“垂线段最短”，可知点P与点D重合时，最小，
即的最小值为．
17．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：如图，过点作，垂足为．沿线段开渠最短．
依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
19．，
解：
，
当时，原式．
20．(1)
(2)
（1）解：
．
答：休息区的面积为平方米；
（2）解：
．
答：休息区比游泳池的面积大平方米．
21．(1)卡片上的数字是3的倍数的概率为，卡片上的数字不是3的倍数的概率为
(2)卡片上的数字是质数的概率为，卡片上的数字不是质数的概率为
(3)随机事件A发生的概率与随机事件A不发生的概率和为1
（1）解：依题意，从中任意抽出一张共有10种等可能结果，其中卡片上的数字是3的倍数有3种结果，卡片上的数字不是3的倍数有7种结果；
∴卡片上的数字是3的倍数的概率为，卡片上的数字不是3的倍数的概率为；
（2）解：依题意，从中任意抽出一张共有10种等可能结果，其中卡片上的数字是质数有4种结果，不是质数有6种结果，
∴卡片上的数字是质数的概率为，卡片上的数字不是质数的概率为；
（3）解：由（1）、（2）知，，
随机事件A发生的概率与随机事件A不发生的概率和为1．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
23．(1)①；②；
(2)，．
（1）解：①∵，，
∴
；
②∵，，
∴
；
（2）解：∵ ，
∴
，
∵
∴
．
24．(1)①，②，测量步骤见解析
(2)尺规作图见解析，理由见解析
（1）解：①若，则内墙角；
②步骤如下：在教室外，反向延长射线至点，
测量得到，
∵与为对顶角，
∴
（2）解：第一步：如图，画一直线，分别交直线，于点，；
第二步：作，
∴，
∴的度数即为直线，所夹锐角的度数；
第三步：测量的度数，
则直线的夹角的度数为．

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