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2025-2026 学年下学期高一期中考试数学模拟试卷(二)
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.在四边形 ABCD 中，若有 ，则四边形 ABCD 所对应的图形是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 的最小正周期为 ，若 对任
意的 恒成立，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5.已知向量 与 的夹角为 ,且 , .求使 与 的夹角为锐角
时,则实数 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
6．在 中， ， ，则 的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且当 时，
的最小值为 1，则 （ ）
A． B． C． D．
8.在△ABC 中，内角 A,B,C 对应的边长分别为 a,b,c，A 为锐角，且 lgb＋lg1c＝lg sin A＝
－lg2，则△ABC 为( )
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是( )
A． B．
C． D．
10．若 、 、 是锐角三角形 的内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知定义在 上的函数 （其中 ）在区间 上有且仅有
3 个零点，且该函数的图象关于点 中心对称，也关于直线 轴对称．现考虑函数
,则函数 的零点可以是（ ）
A． B． C． D．
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若→＝12→，→＝(λ＋1)→，则λ＝ ．
13.已知向量 , 为单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 ______．
14．已知 是边长为2的等边三角形，点D在边 上，且 ，则 ______
；若平面内动点 P 满足 ，则 的最小值为_____．
四．解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题各 15 分，18、19 题各 17 分，共 77 分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知 .
（I）化简 ；（II）若 ，且 是第二象限角，求 的值.
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16．已知函数 .(1)完善下面的表格并作出函
数 在 上的图象；(2)求不等式 的解集.
0 π
x
1
17.已知 的内角 所对的边分别为 ,向量 , ,
且 , .(1)求 及 面积的最大值；(2)求 的取值范围.
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18．如图，一个半径为 5 米的筒车按逆时针每分钟转 2 圈，筒车的轴心 距离水面的高度为
2.5 米.设筒车上的某个盛水筒 到水面的高度为 （单位：m）（在水面下 为负数），若以
盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：s）之间的关系为
.
(1)在筒车转动的一周内，求点 距离水面高度 关于时间 的函数解析式；
(2)5 分钟内，盛水筒 在水面下的时间累计为多少秒？
(2) 若盛水筒 P 在 ， 时刻距离水面的高度相等，求 的最小值.
19.（1）已知向量 满足 ，且 与 的夹角为 ．若 与 的夹角
为钝角，求实数 的取值范围；（2）如图，半圆的直径 为
圆心， 为半圆上不同于 的任意一点，若 为半径 上的动点，
求 的最小值．
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数学模拟试卷(二)答案与解析
一、单选题
1.B 由 ，得 ，则 ,且 ，
即在四边形 ABCD 中,有 ,且 ,知四边形 ABCD 是梯形.故选 B.
2．B 若 ，则 ，又 ，所以 或 ，则 ，
所以当 时，“ ”推不出“ ”；若 ， ，则
，可得 ，则 ，所以当 时，“ ”可以推
出 .综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选 B.
3．D 因为 ，所以 .故选 D.
4．D 因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，又 在区间 上单调递增，所以
，
故 ， ，解得 ， ．令 得 ，又
，所以 ；令 得 ；当 时， ，
不合题意．综上， 的取值范围为 ．故选 D.
5.C 依题意，得 ,要使 与 的夹角为锐角,则有
且 ,化简得 ,
且 ,解之得 或 且 为所求；故选 C.
6．A 由余弦定理得 ，由 得 ，由
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正弦定理得 的外接圆半径 ；故选 A．
7．A 在 中，由 ，所以 ，则 ，
设 ，所以 ，所以 的最小
值为点 到直线 的距离，因为 的最小值为 1，所以
.故选 A.
8.D 依题意,由 lgb＋lg1c＝lgbc＝－lg2＝lg2)2，得 bc＝2)2，即 c＝2b；由 lgsin A＝－lg2，
得 sin A＝2)2，又 A 为锐角，得 A＝45°，所以 cos A＝2)2；由 c＝2b 及余弦定理 a2＝b2＋
c2－2bccos A，化简得 a2＝b2，即 a＝b(取正),则 B＝A＝45°，知 C＝90°，所以△ABC 是等
腰直角三角形.故选 D.
二、多选题
9.ACD 对于选项 A， 正确；对于选项 B， 不正
确；对于选项 C，可得 正确；对于选项 D，
可知 正确.综上，故选 ACD.
10．ABD 因为 , , 是锐角三角形 的内角，则
，且 ，对于 A，因为 ，知 A 正
确，
对于 B，因为 ，知 B 正确，对于 C，因为
， ，则 ,又 在区间 上单调递增，
所以 ，知 C 错误；对于 D，因为
，
又 ， ，则 ，
所以 ，即 ，知 D 正确.综上,故选 ABD.
11.BD 由 图象中心对称性可知 ，因此 ， ；由 图象轴
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对称性可知 ，因此 ， ；联立以上两式可得
．设函数的最小正周期为 T．由于在区间 上有且
仅有 3 个零点，所以 且 ，因此 ，结合前面 的可能取值，可知
．
由 可知 ，但考虑到“ ”，所以 ．综上可知 ．经
检验，其在区间 上的所有零点为 ，符合题意．所以 ．
由于 等价于 ， ，即 ，所以 的零点为…，
，…．因此知仅 BD 正确．故选 BD.
三、填空题
→ → → → 12.－52 由条件 ＝12 ，可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三等分点，则 ＝－32 ，
→ →
又因 ＝(λ＋1) ，所以λ＋1＝－32，解得λ＝－52．
13. 由题意得 ,知 , ，
故 .故答案为 .
14． ; 建系如图所示,因为 是边长为 2 的等边三角形， ，
. .
设 ， .
. ，
， .
.
当 时， 取得最小值，最小值为 .故两个空分别填 ; .
四、解答题
15．（I） ；（II） .
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解：（I）原式 .
（II）若 ，且 是第二象限角，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
16．(1)答案见解析；(2) .
解：（1）先列表格如下：
0 π
x 0
0 1 0
再描点用光滑曲线连线成图，如右上图所示.
（2）由 得 ，所以 ，解得
，所以不等式 的解集为 .
17.解:(1)由题意 ,得 ,即 .由余
弦定理得 ,因 ,得 .又
,即 ,则 .故 .
(2)法 1:由(1)知 ,
即 ,且 ,解得 .故 的取值范围为 .
法 2:由(1)及正弦定理得 ,得 ,且
,得 .则
,注意 ,且 ,可得 .
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18．(1) , ；(2)100 秒；(3)20.
解：（1）由图可知， 的最大值为 ， 的最小值为 ，则
， ,因为筒车按逆时针每分钟转 2 圈，故 ，所以
，
所以 ，当 时， ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ， .
（2）由（1）得 ，令 ，则 ，得
，则 ，解得 ，
5 分钟 秒，则令 ， ，得 ，
故 5 分钟内，盛水筒 在水面下的时间累计为 秒.
（3）不妨设 ，由题意得 ，
故 ;① ， ，解得 ，
，故 ，当且仅当 ， 时，等号成立，
② ， ，解得 ，显然当 时， 取
得最小值，最小值为 ,综上， 的最小值为 20.
19．（1） ；（2） .
解：(1)由题意 ，
又 ，由题意 ，解得
，
又当 时，即 时， 与 共线；所以 与 的夹角为钝角
时，知 且 ；故实数 的取值范围为 .
(2)由题意：由于 为圆心，得 ，所以 ，
则 ，由 ，
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，所以 ，即 ,当且仅当 时
等号成立，所以 ，即 的最小值为 .
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