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专题5.3位似—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：，
，
与的相似比是，
与的周长比是，
故选：．
【分析】先根据位似的性质得到，进而得到与的相似比是，从而即可得到周长比。
2．如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（　　）
①ABC与DEF是位似图形；
②ABC与DEF是相似图形；
③ABC与DEF的周长比为1：2；
④ABC与DEF的面积比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：①根据位似图形的定义可知，与是位似图形，故①正确；
②由与是位似图形可知，与是相似图形，故②正确；
③∵点、、分别是、、的中点，
∴与的相似比为2∶1，
∴与的周长比为2∶1，故③错误；
④∵与的相似比为2∶1，
∴与的面积比为4∶1，故④正确；
综上所述，说法正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的定义得与是位似图形，而位似图形一定是相似图形，即可判断出①②正确，然后根据相似图形的相似比得周长比等于相似比以及面积比等于相似比的平方，即可判断③错误，④正确.
3．如图，与是位似图形，则位似中心为（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，
故选D．
【分析】
位似图形各对应点的连线经过位似中心．
4．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子.若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具(原图)上的一点(3，2)对应到幕布(像)上的对应点为(6，4)，则道具上的另一点(4，-3)对应到幕布上的点为(　　)
A．(6，-4) B．(6， 8) C．(-8， 6) D．(8，-6)
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，
∴位似比为，
∴道具上的另一点对应到幕布上的点为．
故答案为：D.
【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点的横、纵坐标同时乘以2解答即可．
5．如图， ABCD与 AEFG是以点A为位似中心的位似图形.若AB：BE=3：2， DG=4，则EF的长为(　　)
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，，，
，即，
，
，解得，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：C .
【分析】根据位似图形相似，相似多边形的对应线段成比例求出AG长，再根据平行四边形的对边相等解答即可．
6．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　）
A．水平向右移动 B．水平向左移动
C．水平向右移动 D．水平向左移动
【答案】B
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：过点作于点，延长交于点，
∵和成位似图形，位似中心为点，
∴，
∴，
∴、分别为和对应边、上的高，
∴，
∵和成位似图形，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，，
又∵，即，
∴，
此时，
∵，
∴可以将遮挡板水平向左移动．
故选：B．
【分析】过点作于点，延长交于点，根据位似图形性质可得，则，再根据三角形的高可得，根据位似图形性质可得，代值计算可得OE，根据边之间的关系可得EF，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为9，则点C的坐标为（　　)
A．（3，3) B． C． D．（4，3)
【答案】B
【知识点】点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
∴
由题意可得，BG=9
∴AD=BC=3
∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BG，AB=AD=3
∴△OAD∽△OBG
∴
∴
解得：
∴
∴点C的坐标为
故答案为：B
【分析】根据位似图形性质可得，则AD=BC=3，根据正方形性质可得AD∥BG，AB=AD=3，根据相似三角形判定定理可得△OAD∽△OBG，则，代值计算可得OA，求出OB，再根据点的坐标即可求出答案.
8．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似比为，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的周长之比是.
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的性质，由位似比得到两个四边形的相似比为，再根据相似多边形的周长比等于相似比，得出四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，则点A（-1，3）的对应点A'的坐标为（　　）
A．（6，-2） B．（-6，2） C．（2，-6） D．（-2，6）
【答案】D
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 与 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 ，
，即 ．
由图可知，点 与点 在原点的同侧（均在第二象限），
点 的横、纵坐标均为点 横、纵坐标的 倍．
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
即 ．
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为 的位似图形对应点的坐标的比等于 或 ，据此解答即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；位似图形的概念
【解析】【解答】解：如图：
由图可知，点，
∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴点或，
故答案为：C．
【分析】本题以正方形位似变换为背景，考查了以原点为位似中心时对应点坐标的求法，以及分类讨论思想。由图中可得点 B(2，1)，位似比为 1：2，则对应点坐标应乘以 2，得到 (4，2) 和 (-4，-2)，故点 B' 的坐标为 (4，2) 或 (-4，-2)，选 C。掌握“坐标乘以 ±位似比”是解题的关键。
11．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两名同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按如图①所示的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似。
淇淇：将边长为的正方形按如图②所示的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似同时也位似。
对于两人的观点下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
【答案】A
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：嘉嘉：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新正方形与原正方形相似，同时也位似，
嘉嘉说法正确.
淇淇 ：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角相等，即则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
淇淇的说法正确．
故答案为：A．
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形相似即可解答．
二、填空题
12．如图所示，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心为点 O，若 则 　 　.
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O
∴四边形ABCD∽四边形EFGH
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
13．如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是　 　.
【答案】4
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据位似的性质即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
14．如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为　 　．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，
∴△ABC与△DEF的位似比为：.
故答案为：.
【分析】
根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，△ABC与△DEF的位似比为OA与OD的比值，即可解答．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
和与的相似比为2，
点B的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
【分析】本题以网格中格点三角形的位似变换为背景，考查位似图形的性质。以原点为位似中心，将图形按相似比 k 放大时，对应点的坐标变化规律为：将原图形各顶点的横、纵坐标分别乘以 k 或 -k，得到两个关于原点对称的位似图形。解题的关键是正确写出点 B 的原坐标，并按要求进行坐标运算。
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点的对应点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与△OAB的位似比为的位似图形△OA'B'，A（2，4），
∴点A的对应点A'的横坐标为，纵坐标为，即坐标为（1，2）；
或横坐标为，纵坐标为，即坐标为（-1，-2）．
故答案为：（1，2）或（-1，-2）．
【分析】根据位似变换的性质计算．
17．《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．
（1）四边形的外接圆半径为　 　．
（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-SAS；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， 正方形的边长为，，
∴，
∵点在线段延长线上，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
∴CD'=x+4，
∵
∴
解得：（负值舍去）
故答案为：．
【分析】（1）先利用正方形的边长为4和位似比求出，再利用勾股定理求得即可求得四边形的外接圆半径 ；
（2）先利用正方形的性质求得C'D'和CD，再证明，然后利用全等三角形的性质证明，设，再用x表示出CD'，接着利用勾股定理得到关于x的方程求解即可耱得DD'．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ；
（3）△A'B'C'的面积为　 　 ．
【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）1
【知识点】三角形的面积；作图﹣相似变换；位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．
∴点M'的坐标为，
故答案为：；
（3）△A'B'C'的面积为，
故答案为：1．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以 2，即可得点M'的横纵坐标；
（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．
19．如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：
（1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1．
①画出△A1B2C1；
②求点A的运动路径长．
【答案】（1）解：如图，△AB1C1即为所求；
（2）解：①△A1B2C1即为所求；
②AC1，
点A的运动路径长＝．
【知识点】弧长的计算；作图﹣位似变换；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）因为以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，所以延长AC到C1，使得AC1=2AC，延长AB到B1，使得AB1=2AB，连接B1C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B1的对应点A1，B2即可。△AC1A1是等腰直角三角形，求出直角边，利用弧长公式求解即可．
（1）△AB1C1即为所求．
（2）①△A1B2C1即为所求；
②AC1=，
点A的运动路径长＝．
20．如图，A，B，C都是格点，仅用无刻度的直尺完成下列画图.
（1）在图1中，O是BC上一点，在AO上画点H，使得AH=2OH；
（2）在图2中，分别在 BA，CA 的延长线上各画一个点D，E，使得
（3）在图3中，先以点 A 为位似中心，在△ABC 外部将△ABC 缩小到原来的 ，得到△AGF(点 B 与点 F 对应)，再在GF 上画点O，使得GO=3FO.
【答案】（1）解：如图，点H即为所作；
（2）解：DE即为所作；
（3）解：△AFG和点O即为所作.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）取AB，AC与网格的交点F，G，使得AF：FB=AG：GC=2：1，根据相似三角形的判定和性质得到FG∥BC交AO于点H，则点H即为所作；
（2）延长BA和CA到点F，G，使得AF=AB，AG=AC，然后取AF，AG的中点D，E，连接即可；
（3）延长BA，CA到点F、G，使得AF：AB=AG：AC=2：3，连接GF；得到BC与网格线的交点D，然后连接DA并延长交GF于点O即可.
21．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1m，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图1所示，△A'B'C'即为所求．
（2）解：∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝
∵△DEF∽△ABC，
即
答：原树高为米.
【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据作图-位似结合题意即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理得到∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝，再根据相似三角形的性质得到，代入即可得到EF.
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】（1）解：令x=0，则y=-x+5=5，
∴点A的坐标为(0，5)，
将B(a，4)代入y=-x+5得，4=-a+5
∴a=1，
∴B(1，4)，
将B(1，4)代入得，，
解得k=4，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，
令y=-x+5=0得，x=5，
∴N(5，0)，
∴OA=ON=5，
∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°，
∵A(0，5)，B(1，4)，
∴，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴，，
∴M(0，3)，
设直线l的解析式为y=k1x+b1，
将M(0，3)，B(1，4)代入y=k1x+b1得，
解得
∴直线l的解析式为y=x+3，
设点C的坐标为(t，t+3)，
∵，
解得t=-4或t=6，
当t=-4时，t+3=-1，
当t=6时，t+3=9，
∴点C的坐标为(6，9)或(-4，-1)
（3）解：∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组
解得，或
∴E(-4，-1)，
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DB的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=-(-4)+b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或
∴D(-1，-4)
则直线AD的解析式为y=9x+5，
解方程组得：，
∴
∴，
，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；作图﹣位似变换；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)解方程得到点A的坐标为(0，5)，将B(a，4)代入y=-x+5得，4=-a+5，求得B(1，4)，将B(1，4)代入得，即可求得反比例函数的表达式；
(2)设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，解方程得到N(5，0)，求得OA=ON=5，根据两点间的距离的结论公式得到，求得M(0，3)，待定系数法求得直线l的解析式为y=x+3，设点C的坐标为(t，t+3)，根据三角形的面积公式列方程得到t=-4或t=6，进而即可得到答案；
(3)解方程组求得B(-4，-1)，根据相似三角形的性质得到∠PAB=∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB//DE，求得直线DE的解析式为y=-x-5，解方程组得到D(-1，-4)，则直线AD的解析式为y=9x+5，于是得到，根据两点间的距离距离公式即可得到结论.
23．综合与实践
【发现并提出问题】
在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？
【分析并解决问题】
探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系
（1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子．
请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______；
探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系
（2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示）
【推广并创新应用】
探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系
（3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示）
【答案】解：（1）1.（2）.
（3）如图3，
∵四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，
，
设，
∴，，
∴，解得：，
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；作图﹣位似变换；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，
正方形即为所求；
正方形与正方形相似比为，
，
，
点B的坐标为，
，
盒子的高h为1；
故答案为：1；
（2）如图2，过作交于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）按要求作出位似图形，再利用位似图形的性质求解；
（2）先利用位似的性质得，再利用三角函数分别求得OA与OP，再求得PQ；
（3）t先四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，再根据正方形的性质得，然后设，分别用n与x表示出EQ与FG，再列出方程，即可求解.
1 / 1专题5.3位似—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（　　）
①ABC与DEF是位似图形；
②ABC与DEF是相似图形；
③ABC与DEF的周长比为1：2；
④ABC与DEF的面积比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，与是位似图形，则位似中心为（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子.若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具(原图)上的一点(3，2)对应到幕布(像)上的对应点为(6，4)，则道具上的另一点(4，-3)对应到幕布上的点为(　　)
A．(6，-4) B．(6， 8) C．(-8， 6) D．(8，-6)
5．如图， ABCD与 AEFG是以点A为位似中心的位似图形.若AB：BE=3：2， DG=4，则EF的长为(　　)
A．6 B．9 C．10 D．12
6．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　）
A．水平向右移动 B．水平向左移动
C．水平向右移动 D．水平向左移动
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为9，则点C的坐标为（　　)
A．（3，3) B． C． D．（4，3)
8．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比是（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，则点A（-1，3）的对应点A'的坐标为（　　）
A．（6，-2） B．（-6，2） C．（2，-6） D．（-2，6）
10．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
11．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两名同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按如图①所示的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似。
淇淇：将边长为的正方形按如图②所示的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似同时也位似。
对于两人的观点下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
二、填空题
12．如图所示，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心为点 O，若 则 　 　.
13．如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是　 　.
14．如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为　 　．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点的对应点的坐标是　 　．
17．《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．
（1）四边形的外接圆半径为　 　．
（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为　 　．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ；
（3）△A'B'C'的面积为　 　 ．
19．如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题：
（1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1．
①画出△A1B2C1；
②求点A的运动路径长．
20．如图，A，B，C都是格点，仅用无刻度的直尺完成下列画图.
（1）在图1中，O是BC上一点，在AO上画点H，使得AH=2OH；
（2）在图2中，分别在 BA，CA 的延长线上各画一个点D，E，使得
（3）在图3中，先以点 A 为位似中心，在△ABC 外部将△ABC 缩小到原来的 ，得到△AGF(点 B 与点 F 对应)，再在GF 上画点O，使得GO=3FO.
21．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1m，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
23．综合与实践
【发现并提出问题】
在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？
【分析并解决问题】
探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系
（1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子．
请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______；
探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系
（2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示）
【推广并创新应用】
探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系
（3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：，
，
与的相似比是，
与的周长比是，
故选：．
【分析】先根据位似的性质得到，进而得到与的相似比是，从而即可得到周长比。
2．【答案】C
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：①根据位似图形的定义可知，与是位似图形，故①正确；
②由与是位似图形可知，与是相似图形，故②正确；
③∵点、、分别是、、的中点，
∴与的相似比为2∶1，
∴与的周长比为2∶1，故③错误；
④∵与的相似比为2∶1，
∴与的面积比为4∶1，故④正确；
综上所述，说法正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的定义得与是位似图形，而位似图形一定是相似图形，即可判断出①②正确，然后根据相似图形的相似比得周长比等于相似比以及面积比等于相似比的平方，即可判断③错误，④正确.
3．【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，
故选D．
【分析】
位似图形各对应点的连线经过位似中心．
4．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，
∴位似比为，
∴道具上的另一点对应到幕布上的点为．
故答案为：D.
【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点的横、纵坐标同时乘以2解答即可．
5．【答案】C
【知识点】相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，，，
，即，
，
，解得，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：C .
【分析】根据位似图形相似，相似多边形的对应线段成比例求出AG长，再根据平行四边形的对边相等解答即可．
6．【答案】B
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：过点作于点，延长交于点，
∵和成位似图形，位似中心为点，
∴，
∴，
∴、分别为和对应边、上的高，
∴，
∵和成位似图形，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，，
又∵，即，
∴，
此时，
∵，
∴可以将遮挡板水平向左移动．
故选：B．
【分析】过点作于点，延长交于点，根据位似图形性质可得，则，再根据三角形的高可得，根据位似图形性质可得，代值计算可得OE，根据边之间的关系可得EF，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
∴
由题意可得，BG=9
∴AD=BC=3
∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BG，AB=AD=3
∴△OAD∽△OBG
∴
∴
解得：
∴
∴点C的坐标为
故答案为：B
【分析】根据位似图形性质可得，则AD=BC=3，根据正方形性质可得AD∥BG，AB=AD=3，根据相似三角形判定定理可得△OAD∽△OBG，则，代值计算可得OA，求出OB，再根据点的坐标即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似比为，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的周长之比是.
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的性质，由位似比得到两个四边形的相似比为，再根据相似多边形的周长比等于相似比，得出四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为．
9．【答案】D
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 与 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 ，
，即 ．
由图可知，点 与点 在原点的同侧（均在第二象限），
点 的横、纵坐标均为点 横、纵坐标的 倍．
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
即 ．
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为 的位似图形对应点的坐标的比等于 或 ，据此解答即可.
10．【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；位似图形的概念
【解析】【解答】解：如图：
由图可知，点，
∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴点或，
故答案为：C．
【分析】本题以正方形位似变换为背景，考查了以原点为位似中心时对应点坐标的求法，以及分类讨论思想。由图中可得点 B(2，1)，位似比为 1：2，则对应点坐标应乘以 2，得到 (4，2) 和 (-4，-2)，故点 B' 的坐标为 (4，2) 或 (-4，-2)，选 C。掌握“坐标乘以 ±位似比”是解题的关键。
11．【答案】A
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：嘉嘉：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新正方形与原正方形相似，同时也位似，
嘉嘉说法正确.
淇淇 ：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角相等，即则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
淇淇的说法正确．
故答案为：A．
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形相似即可解答．
12．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O
∴四边形ABCD∽四边形EFGH
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据位似的性质即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
14．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，
∴△ABC与△DEF的位似比为：.
故答案为：.
【分析】
根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，△ABC与△DEF的位似比为OA与OD的比值，即可解答．
15．【答案】或
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
和与的相似比为2，
点B的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
【分析】本题以网格中格点三角形的位似变换为背景，考查位似图形的性质。以原点为位似中心，将图形按相似比 k 放大时，对应点的坐标变化规律为：将原图形各顶点的横、纵坐标分别乘以 k 或 -k，得到两个关于原点对称的位似图形。解题的关键是正确写出点 B 的原坐标，并按要求进行坐标运算。
16．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与△OAB的位似比为的位似图形△OA'B'，A（2，4），
∴点A的对应点A'的横坐标为，纵坐标为，即坐标为（1，2）；
或横坐标为，纵坐标为，即坐标为（-1，-2）．
故答案为：（1，2）或（-1，-2）．
【分析】根据位似变换的性质计算．
17．【答案】；
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-SAS；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， 正方形的边长为，，
∴，
∵点在线段延长线上，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
∴CD'=x+4，
∵
∴
解得：（负值舍去）
故答案为：．
【分析】（1）先利用正方形的边长为4和位似比求出，再利用勾股定理求得即可求得四边形的外接圆半径 ；
（2）先利用正方形的性质求得C'D'和CD，再证明，然后利用全等三角形的性质证明，设，再用x表示出CD'，接着利用勾股定理得到关于x的方程求解即可耱得DD'．
18．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）1
【知识点】三角形的面积；作图﹣相似变换；位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．
∴点M'的坐标为，
故答案为：；
（3）△A'B'C'的面积为，
故答案为：1．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以 2，即可得点M'的横纵坐标；
（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．
19．【答案】（1）解：如图，△AB1C1即为所求；
（2）解：①△A1B2C1即为所求；
②AC1，
点A的运动路径长＝．
【知识点】弧长的计算；作图﹣位似变换；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）因为以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，所以延长AC到C1，使得AC1=2AC，延长AB到B1，使得AB1=2AB，连接B1C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B1的对应点A1，B2即可。△AC1A1是等腰直角三角形，求出直角边，利用弧长公式求解即可．
（1）△AB1C1即为所求．
（2）①△A1B2C1即为所求；
②AC1=，
点A的运动路径长＝．
20．【答案】（1）解：如图，点H即为所作；
（2）解：DE即为所作；
（3）解：△AFG和点O即为所作.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）取AB，AC与网格的交点F，G，使得AF：FB=AG：GC=2：1，根据相似三角形的判定和性质得到FG∥BC交AO于点H，则点H即为所作；
（2）延长BA和CA到点F，G，使得AF=AB，AG=AC，然后取AF，AG的中点D，E，连接即可；
（3）延长BA，CA到点F、G，使得AF：AB=AG：AC=2：3，连接GF；得到BC与网格线的交点D，然后连接DA并延长交GF于点O即可.
21．【答案】（1）解：如图1所示，△A'B'C'即为所求．
（2）解：∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝
∵△DEF∽△ABC，
即
答：原树高为米.
【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据作图-位似结合题意即可求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理得到∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝，再根据相似三角形的性质得到，代入即可得到EF.
22．【答案】（1）解：令x=0，则y=-x+5=5，
∴点A的坐标为(0，5)，
将B(a，4)代入y=-x+5得，4=-a+5
∴a=1，
∴B(1，4)，
将B(1，4)代入得，，
解得k=4，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，
令y=-x+5=0得，x=5，
∴N(5，0)，
∴OA=ON=5，
∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°，
∵A(0，5)，B(1，4)，
∴，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴，，
∴M(0，3)，
设直线l的解析式为y=k1x+b1，
将M(0，3)，B(1，4)代入y=k1x+b1得，
解得
∴直线l的解析式为y=x+3，
设点C的坐标为(t，t+3)，
∵，
解得t=-4或t=6，
当t=-4时，t+3=-1，
当t=6时，t+3=9，
∴点C的坐标为(6，9)或(-4，-1)
（3）解：∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组
解得，或
∴E(-4，-1)，
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DB的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=-(-4)+b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或
∴D(-1，-4)
则直线AD的解析式为y=9x+5，
解方程组得：，
∴
∴，
，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；作图﹣位似变换；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)解方程得到点A的坐标为(0，5)，将B(a，4)代入y=-x+5得，4=-a+5，求得B(1，4)，将B(1，4)代入得，即可求得反比例函数的表达式；
(2)设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，解方程得到N(5，0)，求得OA=ON=5，根据两点间的距离的结论公式得到，求得M(0，3)，待定系数法求得直线l的解析式为y=x+3，设点C的坐标为(t，t+3)，根据三角形的面积公式列方程得到t=-4或t=6，进而即可得到答案；
(3)解方程组求得B(-4，-1)，根据相似三角形的性质得到∠PAB=∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB//DE，求得直线DE的解析式为y=-x-5，解方程组得到D(-1，-4)，则直线AD的解析式为y=9x+5，于是得到，根据两点间的距离距离公式即可得到结论.
23．【答案】解：（1）1.（2）.
（3）如图3，
∵四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，
，
设，
∴，，
∴，解得：，
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；作图﹣位似变换；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，
正方形即为所求；
正方形与正方形相似比为，
，
，
点B的坐标为，
，
盒子的高h为1；
故答案为：1；
（2）如图2，过作交于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）按要求作出位似图形，再利用位似图形的性质求解；
（2）先利用位似的性质得，再利用三角函数分别求得OA与OP，再求得PQ；
（3）t先四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，再根据正方形的性质得，然后设，分别用n与x表示出EQ与FG，再列出方程，即可求解.
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