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专题5.5尺规作图—中考数学重难点突破训练
一、作图题
1．如图，在中 ，，平分交于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明．
2．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.
（1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长.
3．尺规作图：如图，以点 O为圆心的弧CD，交OA于点 C，交OB于点 D，使扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2.
（1）请求出 的值；
（2）请作出扇形COD.保留作图痕迹，不写作法)
4．【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务：
已知：如图1，直线和直线外一点． 求作：直线，使直线． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线，则直线为所求作的直线．
任务：
（1）小明完成的作图如图2所示，写出作图过程中步骤③中确定两个三角形全等时所用的几何定理：①　 　，步骤④中确定两直线平行所用的几何定理：②　 　；
（2）请你用不同于小明的方法，在图1中过点作出直线的平行线（要求：尺规作图．不写作法．不证明，但要保留作图痕迹）．
5．尺规作图问题：
已知是钝角，，请用尺规作AC的中点.
小聪：如图1，以点为圆心，BC长为半径作弧，以点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点，连结BQ交AC于点，则点为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点，作BC的中垂线，垂足为点，以点为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点，则点为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
6．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
7．如图，，平分，交于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
8．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
9．将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）尺规作图找到该轮子的圆心O；
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
10．如图，中，．
（1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
12．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
13．图①②③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可.
（1）在图①中找一个格点 P，连结 BP，使∠ABP=45°；
（2）在图②中找两个格点 P，Q，连结 PQ，使直线 PQ⊥AB；
（3）在图③中找两个格点 P，Q，连结 PQ 交线段AB 于点C，使AC=3BC.
14．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线．
（1）为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹）
（2）已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少．
15．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
16．用直尺和圆规作圆的内接正方形．
作法 图形
①作直径． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作的正方形．
（1）完成作图；（保留作图痕迹）
（2）说明按作法求作的四边形是正方形的理由．
17．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰．
（2）在图2中以为边画一个平行四边形．
18．如图，在的正方形网格中，的顶点，，都在网格的格点上．
（1）请仅用一把无刻度的直尺画出等腰（为格点）；
（2）请仅用一把无刻度的直尺画出的角平分线，并加以证明．
19．小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．
如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可．
如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
20．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点.
（1）该圆的直径等于 　 　cm；
（2）请用无刻度的直尺按要求作图；
①作弦CF，使得CF∥DE，再作劣弧CF的中点 G，请判断四边形ABCG的形状；
②过点B作该圆的切线BH，请直接写出切线BH与弦CF 的位置关系和点C到切线BH的距离.
21．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出中边上的中线．
22．仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点，连结AC，使得．
（2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母表示（保留作图痕迹）。
（3）如图3，在口ABCD中，是边BC上一点，请在边AD上找一点，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）。
23．如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图中作格点C，使得．
（2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹）
24．如图，7×7的的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（不可以增加网格，找到一个即可）；
（2）在图2中作出∠BAC的角平分线.
25．小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，已知BE平分，用直尺和圆规在AB上找一点，使得DF平分．
小李：条件“BE平分”多余，如图2，以点为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点，连结DF，则DF平分．
小王：利用条件“BE平分”，不用圆规也能找到点，使DF平分．
（1）请给出小李作法中DF平分的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图3中作出DF平分．（保留作图痕迹，不要求写作法）
26．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
27．如图，中，，以为直径的分别交于D，E，点F在的延长线上．
（1）尺规作图：连接，作；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直线是的切线；
（3）若，，求和的长．
28．定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点；
（3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图）
29．劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．
问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（），希望能够裁出一块以为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中，，，，．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接，则就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解；
（2）根据平分 可得，从而得到，即，再根据平行线分线段成比例的性质得到，即可求解．
（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．【答案】（1）解：图1即为所作图形.
（2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H.
∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1，
∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2.
∵AE∥BC，
∴CH=AD=1.
∵∠FAC=∠ACB=45°，
∴AH=CH=1.
∴AF=FH+AH=.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交与点F，连接，则CF即为所求．
（2）作于点H．根据等腰直角三角形的性质得出， ，．即可得到是等腰直角三角形，求出，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出，最后根据线段的和差解答即可．
3．【答案】（1）解：设∠AOB的度数为α，
扇形COD的面积为
扇形AOB的面积为
所以
可得
（负值舍去)；
（2）解：扇形COD如图所示.
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设∠AOB的度数为α，先利用扇形面积公式分析求出扇形COD和扇形AOB的的面积，再结合“ 扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2 ”求出最后求解即可；
（2）先作出线段OA的垂直平分线MN，再作出∠HOG=45°，最后以点O为圆心，OH长为半径作出扇形COD即可.
4．【答案】（1）或边角边；内错角相等，两直线平行
（2）
【知识点】菱形的判定；作图-平行线；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由作图知，，且，∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
【分析】（1）根据题目中的作图步骤可知，，，并且。因此，根据边角边（SAS）全等判定定理，可以证明。由此可得，进而说明两直线平行。这一过程确定了步骤③与步骤④中所应用的几何定理。
（2）在直线l上选取一点A，连接。以A为圆心，的长度为半径画弧，交直线l于点B。接着，分别以P和B为圆心，的长度为半径画弧，两弧的交点为C。最后，连接即可完成作图。
（1）解：由作图知，，且，
∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
5．【答案】（1）解：由作法得：，
四边形ABCQ是平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点，
小聪的作法是正确的．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图．
小明的作法存在问题.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
6．【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 题目分为两部分：
(1) 补全作图：核心是理解“作直角边CB的垂直平分线”的目的是得到点D，使得DC = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），从而确保△CDB是等腰三角形。再连接CD，需要证明△ACD也是等腰三角形（利用直角三角形斜边中线性质或角度计算）。
(2) 补充作图并填写理由：根据描述完成角平分线的尺规作图，然后利用“DA=DC”（已证）和“DE平分∠ADC”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AE=CE。
7．【答案】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，
证明如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合AC=AE，即可证出四边形是菱形．
（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
8．【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
9．【答案】（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．（1）连接，， 根据垂径定理， 分别作弦和的垂直平分线交点O为所求的圆心．
（2）连接，，，交于D， 利用垂径定理和勾股定理可求出该轮的半径R．
（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
10．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法，作出线段 AB 的垂直平分线 DE；
（2）先利用勾股定理求出 AC 的长度，再根据垂直平分线的性质设未知数，结合勾股定理列方程求解 BD 的长度。
（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴．
11．【答案】（1）解：如图.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC， AD∥BC
又∵E为AD中点， O为BC中点
∴四边形AOCE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由于BC是的直径，则可利用尺规作图作线段BC的垂直平分线即可得到BC的中点，即圆心O；
（2）由平行四边形的性质知AD平行BC且等于BC，则当E为AD中点时，AE必然与OC平行且相等，则四边形AOCE是平行四边形.
12．【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
13．【答案】（1）解：如图①，点 P'，P"均满足题意.
（2）解：如图②，点 P，Q 即为所求(答案不唯一).
（3）解：如图③，取格点 P，Q，使 AP=3BQ，且 AP ∥BQ，此 时△APC∽△BQC，
∴AC ： BC = AP ： BQ = 3 ： 1，即AC=3BC，则 P，Q 即为所求(答案不唯一)
【知识点】作图﹣相似变换；等腰直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为所求的格点P.
(2)结合垂直的定义利用网格画图即可.
(3)取格点P， Q， 使AP=3BQ，且 则P，Q即为所求.
14．【答案】（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
15．【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
16．【答案】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）按照题中要求，作出图形即可；
（2）先证明四边形ABCD为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形，即可求证．
（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
17．【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；
（2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.
（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
18．【答案】（1）解：如图，点即为所求；由勾股定理，得：；
∴，
故为等腰三角形；
（2）解：如图，即为所求；
证明如下：
由（1）知：为等腰三角形，，
∵为的中点，
∴平分，即：平分
【知识点】等腰三角形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；根据网格特点，利用勾股定理求出AB的长，进而取格点，使BP=AP，再连接BP，△ABP就是所求的等腰三角形；
（2）利用方格纸的各点，取AP的中点，连接BD，交AC于点Q，根据等腰三角形的三线合一，即可得到BQ平分∠ABC.
（1）解：如图，点即为所求；
由勾股定理，得：；
∴，
故为等腰三角形；
（2）如图，即为所求；证明如下：
由（1）知：为等腰三角形，，
∵为的中点，
∴平分，即：平分．
19．【答案】（1）证明：∵，
，
，
∵，
∴，
，
．
（2）解：PQ即为所求.
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可证明及，则，再由平行线的判定定理可证明结论；
（2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）证明：由作图可知：，
；
，
，
．
（2）解：作图如下：
20．【答案】（1）5
（2）解：①图形如图所示，四边形 ABCG是矩形.
理由：由作图可知BG是直径，
∴∠BAG=∠BCG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCG是矩形；
②
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）圆的直径为AC，
故答案为：5；
（2）②如图，直线BH即为所求.
由作图可知BH∥CF.
设BG交CR于点 T，圆心为O.
∴点C到切线BH的距离为
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）①由作图可知BG是直径，根据圆周角定理的推论可得∠BAG=∠BCG=90°，再根据矩形判定定理即可求出答案.
②由作图可知BH∥CF，设BG交CR于点 T，圆心为O，根据勾股定理可得BG，再根据三角形面积CT，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求；
（2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．
（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
22．【答案】（1）解：如图所示：（答案不唯一）
（2）解：如图所示：（作法不唯一）
（3）解：如图所示：（作法不唯一）
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质求解；
（2）利用平行线的对角线互相平分求解；
（3）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解.
23．【答案】（1）解：如图所示，C为所求；
（2）解：如图所示，G为所求；
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查无刻度直尺作图和重心的概念。
（1）通过观察网格可以发现边AC与边BC长度相等，即，由此可得出结论。
（2）三角形的重心是三条中线的交点，结合网格特点即可确定位置。
（1）解：如图，C为所求；
（2）解：如图，G为所求；
24．【答案】（1）解：如图，点D即为所要找的格点，理由如下：
计算得：AC=，AD=5，
故AC=AD，△ACD为等腰三角形.
（2）解：如图所示：
连接CD，取CD中点E，连接AE并延长，则射线AE即为∠BAC的角平分线.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）计算AC=5，在格线上数出AD=5，则△ADC即为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形底边中线即顶角的平分线可作∠BAC的角平分线.
25．【答案】（1）证明：在中，AB//CD
∴∠CDF=∠AFD
即DF平分
（2）解：如图，DF就是∠ADC的角平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，DQ=BQ，点Q是平行四边形ABCD的对称中心，
∴QE=FQ，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴DF是∠ADC的角平分线.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠AFD，由等边对等角得∠ADF=∠AFD，由等量代换得∠CDF=∠ADF，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）连接AC、BD，相交于点Q，则点Q就是平行四边形ABCD的对称中心，连接EQ并延长交AB于点F，再连接DF，DF就是∠ADC的角平分线；由平行四边形的对角线互相平分得DQ=BQ，由平行四边形的对称性可得EQ=FQ，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠ABC，∠EDF=∠EBF，由角平分线的定义得∠FBE=∠ABC，故∠EDF=∠ADC，从而根据角平分的定义可得结论.
26．【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
27．【答案】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：连接，
∵为的直径
∴
∵
∴
，
∴，
∴直线是的切线；
（3）解：过点C作
，
，
∵，
，
，
，
∵，，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1) 按尺规作图步骤，以 B 为顶点作∠CBF=∠BAE；
(2) 连接 AE，利用直径所对圆周角为直角及等腰三角形三线合一，证得 AB⊥BF，从而证明 BF 是切线；
(3) 先由 sin∠CBF=sin∠BAE 求出 BE，进而得 BC=4，再通过作 CG⊥BF 构造相似三角形△FCG∽△FAB，列比例式求出 FG 和 BF，最终得到 CF=。
（1）如图所示，即为所求；
（2）解：连接，
∵为的直径
∴
∵
∴
，
∴，
∴直线是的切线；
（3）解：过点C作
，
，
∵，
，
，
，
∵，，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
．
28．【答案】（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根线段的和差得到MB=9，设，表示出，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论：当是斜边时由勾股定理建立方程判断即可解答；当是斜边时由勾股定理建立方程计算可得BN=9；当由勾股定理建立方程计算可得BN=4，解答即可；
（2）根据菱形的性质设，表示出，根据平行线分线段成比例得到，则，，则，在计算，再运用勾股定理的计算即可求证；
（3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可解答．
（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
29．【答案】解：（1）如图所示，即为等腰三角形，切割线即为所求；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴
（3）连接，取的中点T，连接，则、和都是等腰三角形，理由如下：
由（2）得为等腰三角形，
∵，的中点为T，
∴，
∴和都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作线段BC的垂直平分线即可解答；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，根据勾股定理得，根据补角的定义计算出，再根据的正切计算得出CE，再计算线段的和差得到AE，BE的值；根据特殊角度利用勾股定理得到EH，AH，然后利用勾股定理计算得到，从而可推导出是等腰三角形，再利用三角形的面积公式计算即可解答；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质可判定和都是等腰三角形，解答即可．
1 / 1专题5.5尺规作图—中考数学重难点突破训练
一、作图题
1．如图，在中 ，，平分交于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解；
（2）根据平分 可得，从而得到，即，再根据平行线分线段成比例的性质得到，即可求解．
（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.
（1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长.
【答案】（1）解：图1即为所作图形.
（2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H.
∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1，
∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2.
∵AE∥BC，
∴CH=AD=1.
∵∠FAC=∠ACB=45°，
∴AH=CH=1.
∴AF=FH+AH=.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交与点F，连接，则CF即为所求．
（2）作于点H．根据等腰直角三角形的性质得出， ，．即可得到是等腰直角三角形，求出，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出，最后根据线段的和差解答即可．
3．尺规作图：如图，以点 O为圆心的弧CD，交OA于点 C，交OB于点 D，使扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2.
（1）请求出 的值；
（2）请作出扇形COD.保留作图痕迹，不写作法)
【答案】（1）解：设∠AOB的度数为α，
扇形COD的面积为
扇形AOB的面积为
所以
可得
（负值舍去)；
（2）解：扇形COD如图所示.
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设∠AOB的度数为α，先利用扇形面积公式分析求出扇形COD和扇形AOB的的面积，再结合“ 扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2 ”求出最后求解即可；
（2）先作出线段OA的垂直平分线MN，再作出∠HOG=45°，最后以点O为圆心，OH长为半径作出扇形COD即可.
4．【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务：
已知：如图1，直线和直线外一点． 求作：直线，使直线． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线，则直线为所求作的直线．
任务：
（1）小明完成的作图如图2所示，写出作图过程中步骤③中确定两个三角形全等时所用的几何定理：①　 　，步骤④中确定两直线平行所用的几何定理：②　 　；
（2）请你用不同于小明的方法，在图1中过点作出直线的平行线（要求：尺规作图．不写作法．不证明，但要保留作图痕迹）．
【答案】（1）或边角边；内错角相等，两直线平行
（2）
【知识点】菱形的判定；作图-平行线；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由作图知，，且，∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
【分析】（1）根据题目中的作图步骤可知，，，并且。因此，根据边角边（SAS）全等判定定理，可以证明。由此可得，进而说明两直线平行。这一过程确定了步骤③与步骤④中所应用的几何定理。
（2）在直线l上选取一点A，连接。以A为圆心，的长度为半径画弧，交直线l于点B。接着，分别以P和B为圆心，的长度为半径画弧，两弧的交点为C。最后，连接即可完成作图。
（1）解：由作图知，，且，
∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
5．尺规作图问题：
已知是钝角，，请用尺规作AC的中点.
小聪：如图1，以点为圆心，BC长为半径作弧，以点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点，连结BQ交AC于点，则点为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点，作BC的中垂线，垂足为点，以点为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点，则点为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
【答案】（1）解：由作法得：，
四边形ABCQ是平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点，
小聪的作法是正确的．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图．
小明的作法存在问题.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
6．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 题目分为两部分：
(1) 补全作图：核心是理解“作直角边CB的垂直平分线”的目的是得到点D，使得DC = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），从而确保△CDB是等腰三角形。再连接CD，需要证明△ACD也是等腰三角形（利用直角三角形斜边中线性质或角度计算）。
(2) 补充作图并填写理由：根据描述完成角平分线的尺规作图，然后利用“DA=DC”（已证）和“DE平分∠ADC”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AE=CE。
7．如图，，平分，交于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
【答案】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，
证明如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合AC=AE，即可证出四边形是菱形．
（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
（2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
8．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
9．将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）尺规作图找到该轮子的圆心O；
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
【答案】（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．（1）连接，， 根据垂径定理， 分别作弦和的垂直平分线交点O为所求的圆心．
（2）连接，，，交于D， 利用垂径定理和勾股定理可求出该轮的半径R．
（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
10．如图，中，．
（1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法，作出线段 AB 的垂直平分线 DE；
（2）先利用勾股定理求出 AC 的长度，再根据垂直平分线的性质设未知数，结合勾股定理列方程求解 BD 的长度。
（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
【答案】（1）解：如图.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC， AD∥BC
又∵E为AD中点， O为BC中点
∴四边形AOCE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由于BC是的直径，则可利用尺规作图作线段BC的垂直平分线即可得到BC的中点，即圆心O；
（2）由平行四边形的性质知AD平行BC且等于BC，则当E为AD中点时，AE必然与OC平行且相等，则四边形AOCE是平行四边形.
12．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
13．图①②③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可.
（1）在图①中找一个格点 P，连结 BP，使∠ABP=45°；
（2）在图②中找两个格点 P，Q，连结 PQ，使直线 PQ⊥AB；
（3）在图③中找两个格点 P，Q，连结 PQ 交线段AB 于点C，使AC=3BC.
【答案】（1）解：如图①，点 P'，P"均满足题意.
（2）解：如图②，点 P，Q 即为所求(答案不唯一).
（3）解：如图③，取格点 P，Q，使 AP=3BQ，且 AP ∥BQ，此 时△APC∽△BQC，
∴AC ： BC = AP ： BQ = 3 ： 1，即AC=3BC，则 P，Q 即为所求(答案不唯一)
【知识点】作图﹣相似变换；等腰直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为所求的格点P.
(2)结合垂直的定义利用网格画图即可.
(3)取格点P， Q， 使AP=3BQ，且 则P，Q即为所求.
14．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线．
（1）为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹）
（2）已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少．
【答案】（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
15．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
16．用直尺和圆规作圆的内接正方形．
作法 图形
①作直径． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作的正方形．
（1）完成作图；（保留作图痕迹）
（2）说明按作法求作的四边形是正方形的理由．
【答案】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）按照题中要求，作出图形即可；
（2）先证明四边形ABCD为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形，即可求证．
（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：理由如下：
，
，
的平分线交于点，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
17．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰．
（2）在图2中以为边画一个平行四边形．
【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；
（2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.
（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
18．如图，在的正方形网格中，的顶点，，都在网格的格点上．
（1）请仅用一把无刻度的直尺画出等腰（为格点）；
（2）请仅用一把无刻度的直尺画出的角平分线，并加以证明．
【答案】（1）解：如图，点即为所求；由勾股定理，得：；
∴，
故为等腰三角形；
（2）解：如图，即为所求；
证明如下：
由（1）知：为等腰三角形，，
∵为的中点，
∴平分，即：平分
【知识点】等腰三角形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；根据网格特点，利用勾股定理求出AB的长，进而取格点，使BP=AP，再连接BP，△ABP就是所求的等腰三角形；
（2）利用方格纸的各点，取AP的中点，连接BD，交AC于点Q，根据等腰三角形的三线合一，即可得到BQ平分∠ABC.
（1）解：如图，点即为所求；
由勾股定理，得：；
∴，
故为等腰三角形；
（2）如图，即为所求；证明如下：
由（1）知：为等腰三角形，，
∵为的中点，
∴平分，即：平分．
19．小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线．
如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可．
如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可．
（1）给出小温作法中的证明．
（2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
∵，
∴，
，
．
（2）解：PQ即为所求.
【知识点】三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可证明及，则，再由平行线的判定定理可证明结论；
（2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可．
（1）证明：由作图可知：，
；
，
，
．
（2）解：作图如下：
20．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点.
（1）该圆的直径等于 　 　cm；
（2）请用无刻度的直尺按要求作图；
①作弦CF，使得CF∥DE，再作劣弧CF的中点 G，请判断四边形ABCG的形状；
②过点B作该圆的切线BH，请直接写出切线BH与弦CF 的位置关系和点C到切线BH的距离.
【答案】（1）5
（2）解：①图形如图所示，四边形 ABCG是矩形.
理由：由作图可知BG是直径，
∴∠BAG=∠BCG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCG是矩形；
②
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）圆的直径为AC，
故答案为：5；
（2）②如图，直线BH即为所求.
由作图可知BH∥CF.
设BG交CR于点 T，圆心为O.
∴点C到切线BH的距离为
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）①由作图可知BG是直径，根据圆周角定理的推论可得∠BAG=∠BCG=90°，再根据矩形判定定理即可求出答案.
②由作图可知BH∥CF，设BG交CR于点 T，圆心为O，根据勾股定理可得BG，再根据三角形面积CT，再根据勾股定理即可求出答案.
21．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出中边上的中线．
【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求；
（2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．
（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
22．仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点，连结AC，使得．
（2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母表示（保留作图痕迹）。
（3）如图3，在口ABCD中，是边BC上一点，请在边AD上找一点，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）。
【答案】（1）解：如图所示：（答案不唯一）
（2）解：如图所示：（作法不唯一）
（3）解：如图所示：（作法不唯一）
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质求解；
（2）利用平行线的对角线互相平分求解；
（3）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解.
23．如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图中作格点C，使得．
（2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图所示，C为所求；
（2）解：如图所示，G为所求；
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查无刻度直尺作图和重心的概念。
（1）通过观察网格可以发现边AC与边BC长度相等，即，由此可得出结论。
（2）三角形的重心是三条中线的交点，结合网格特点即可确定位置。
（1）解：如图，C为所求；
（2）解：如图，G为所求；
24．如图，7×7的的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（不可以增加网格，找到一个即可）；
（2）在图2中作出∠BAC的角平分线.
【答案】（1）解：如图，点D即为所要找的格点，理由如下：
计算得：AC=，AD=5，
故AC=AD，△ACD为等腰三角形.
（2）解：如图所示：
连接CD，取CD中点E，连接AE并延长，则射线AE即为∠BAC的角平分线.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）计算AC=5，在格线上数出AD=5，则△ADC即为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形底边中线即顶角的平分线可作∠BAC的角平分线.
25．小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，已知BE平分，用直尺和圆规在AB上找一点，使得DF平分．
小李：条件“BE平分”多余，如图2，以点为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点，连结DF，则DF平分．
小王：利用条件“BE平分”，不用圆规也能找到点，使DF平分．
（1）请给出小李作法中DF平分的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图3中作出DF平分．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1）证明：在中，AB//CD
∴∠CDF=∠AFD
即DF平分
（2）解：如图，DF就是∠ADC的角平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，DQ=BQ，点Q是平行四边形ABCD的对称中心，
∴QE=FQ，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴DF是∠ADC的角平分线.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠AFD，由等边对等角得∠ADF=∠AFD，由等量代换得∠CDF=∠ADF，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）连接AC、BD，相交于点Q，则点Q就是平行四边形ABCD的对称中心，连接EQ并延长交AB于点F，再连接DF，DF就是∠ADC的角平分线；由平行四边形的对角线互相平分得DQ=BQ，由平行四边形的对称性可得EQ=FQ，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠ABC，∠EDF=∠EBF，由角平分线的定义得∠FBE=∠ABC，故∠EDF=∠ADC，从而根据角平分的定义可得结论.
26．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）七
（2）解：如图
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”
故答案为：七.
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.
（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.
27．如图，中，，以为直径的分别交于D，E，点F在的延长线上．
（1）尺规作图：连接，作；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直线是的切线；
（3）若，，求和的长．
【答案】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：连接，
∵为的直径
∴
∵
∴
，
∴，
∴直线是的切线；
（3）解：过点C作
，
，
∵，
，
，
，
∵，，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1) 按尺规作图步骤，以 B 为顶点作∠CBF=∠BAE；
(2) 连接 AE，利用直径所对圆周角为直角及等腰三角形三线合一，证得 AB⊥BF，从而证明 BF 是切线；
(3) 先由 sin∠CBF=sin∠BAE 求出 BE，进而得 BC=4，再通过作 CG⊥BF 构造相似三角形△FCG∽△FAB，列比例式求出 FG 和 BF，最终得到 CF=。
（1）如图所示，即为所求；
（2）解：连接，
∵为的直径
∴
∵
∴
，
∴，
∴直线是的切线；
（3）解：过点C作
，
，
∵，
，
，
，
∵，，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
．
28．定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点；
（3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图）
【答案】（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根线段的和差得到MB=9，设，表示出，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论：当是斜边时由勾股定理建立方程判断即可解答；当是斜边时由勾股定理建立方程计算可得BN=9；当由勾股定理建立方程计算可得BN=4，解答即可；
（2）根据菱形的性质设，表示出，根据平行线分线段成比例得到，则，，则，在计算，再运用勾股定理的计算即可求证；
（3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可解答．
（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
29．劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．
问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（），希望能够裁出一块以为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中，，，，．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接，则就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．
【答案】解：（1）如图所示，即为等腰三角形，切割线即为所求；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴
（3）连接，取的中点T，连接，则、和都是等腰三角形，理由如下：
由（2）得为等腰三角形，
∵，的中点为T，
∴，
∴和都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作线段BC的垂直平分线即可解答；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，根据勾股定理得，根据补角的定义计算出，再根据的正切计算得出CE，再计算线段的和差得到AE，BE的值；根据特殊角度利用勾股定理得到EH，AH，然后利用勾股定理计算得到，从而可推导出是等腰三角形，再利用三角形的面积公式计算即可解答；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质可判定和都是等腰三角形，解答即可．
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