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专题6.2概率—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水涨船高 D．水中捞月
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．画饼充饥是不可能事件；
B．不期而遇时随机事件；
C．水涨船高时必然事件；
D．水中捞月是不可能事件；
故选B．
【分析】不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件，是必然事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．下列说法正确的是（　　）
A．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据大
B．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大
C．数据3，5，4，1，-2的中位数是3
D．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖
【答案】C
【知识点】可能性的大小；概率的意义；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、方差越大说明数据越不稳定，与数据大小无关，故本选项错误；
B、从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故本选项错误；
C、数据3，5，4，1，-2的中位数是3，说法正确，故本选项正确；
D、若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据方差的意义，可能性的大小，中位数的定义及概率的意义，结合各选项进行判断即可.
3．下列说法正确的是（　　）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：A.明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
C.某彩票中奖概率是1%，只能说明中奖的机会很小，并非一定中奖，故本选项不符合题意；
D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据概率的意义可判断A、C、D；根据随机事件的概念可判断B.
4．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】随机抽取两张卡片，所有等可能的结果为 “美丽”“美山”“美河”“丽山”“丽河”“山河”，共 6 种；其中恰好抽到 “美” 和 “丽” 两张卡片的结果只有 1 种。根据概率公式，可得
．
故答案为：C。
【分析】本题考查用列举法求概率，先列出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算。
5．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
6．一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　)
A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可得，该球的频率稳定在0.20左右，则抽到该球的概率为0.20
∵抽到白球的概率为
抽到黑球的概率为
抽到红球的概率为
抽到黄球的概率为
∴该球的颜色最有可能是红球
故答案为：B
【分析】根据频率估计概率可得抽到该球的概率为0.20，再根据概率公式求出各球的概率即可求出答案.
7．如图， 小球从A人口往下落， 在每个交叉口都有向左或向右两种可能， 且可能性相等， 则小球从E出口落出的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：
因此小球从E出口落出的概率是.
故答案为：C。
【分析】因为“ 在每个交叉口都有向左或向右两种可能， 且可能性相等 ”，所以小球在B口的时候，向C口落入的可能性就是；当在C口的时候，落入E口的可能性是。计算得出小球从 出口落出的概率是。
8．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；定义新运算
【解析】【解答】解：用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数有：123，132 ，213，231，312，321共6个，其中"平稳数"有：123和321共2个，所以恰好是平稳数的概率为：。
故答案为：C。
【分析】先写出所有的用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数，再找出其中的平稳数，根据概率计算公式，求出概率即可。
9．二十四节气， 它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）， 秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气， 则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，共有24节气，夏季的节气有6个，故概率P=.
故选：D.
【分析】共24节气，夏季的季气有6个，比值即为概率.
10．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①
②
③
④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
④生成物带有沉淀
∴小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是
故答案为：D
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．在化工生产中，常常需要对一些溶液的酸碱性进行快速检测以便后续的工艺操作．实验室现有六瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，分别是．稀硫酸(呈酸性)，．氯化钠溶液(呈中性)，．氢氧化钾溶液(呈碱性)，．碳酸钠溶液(呈碱性)．实验课上老师让学生小李用无色酚酞试液来检测其酸碱性，小李同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色(即两瓶溶液都为碱性)的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果，两瓶溶液都变成红色的概率为：．
故答案为：D．
【分析】根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及两瓶溶液都变成红色的情况数，然后利用概率公式进行计算.
二、填空题
12．“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是　 　 （填写“必然 事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：当年农历八月十五这天，如果天空被云幕遮蔽，看不到中秋圆月，来年正月十五这天就会阴天或下雪，但天气是随机的，所以答案为随机事件，
故答案为：随机事件．
【分析】利用随机事件的定义及特征（随机事件是那些在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）逐项分析判断即可.
13．下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有　 　 ．（填序号）
【答案】④
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：①掷两次骰子，点数和为10，存在点数和不为10的情况，属于随机事件，不符合题意；
②守株待兔，兔子撞到树桩是偶然情况，属于随机事件，不符合题意
③猴子捞月，月亮在水中的倒影无法被捞取，属于不可能事件，不符合题意；
④由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意．
故答案为：④．
【分析】事件的分类定义：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，据此解答即可.
14．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵从5条线段中任取3条，共有种可能组合：，，，，，，，，，，
其中能构成三角形的组合有，，，
∵由勾股定理的逆定理可知：当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时，三角形为直角三角形，
∴当三角形中较小的两边的平方和小于第三边的平方时，三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，构成的是钝角三角形，
∴能构成钝角三角形的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举所有等可能的三条线段组合结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“+1”，反面向上为“-1”.现同时抛掷三枚同样的硬币，所得结果的积为 1的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图，如下：
∴一共有8种等可能结果，其中所得结果的积为1的有4种，
∴所得结果的积为1的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式计算解答．
16．已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是.若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由题意可知，罚球总次数为10，单次罚球投中的概率为，
因此估计投中的次数为：.
故答案为：8.
【分析】根据概率的意义，用罚球总次数乘以单次罚球投中的概率，即可估计出投中的次数.
17．二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，是只用0和1两个数码来表示的数，且二进制的数可以转化成十进制的数，例如：四位二进制的数1010，从后往前数位依次为，则转化成十进制的数为 则一个由三个数字组成的二进制数转化为十进制的数后，值大于4的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：根据题意画如下树状图，
根据树状图得共8种结果，其中十进制的数值大于4的有3种结果，则：（十进制数>4）=.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，根据树状图统计得8种结果，再根据二进制数转化为十进制数的方法，把每种情况转换为十进制数，统计得大于4的有3种结果，根据概率公式即可求得答案.
18．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象写在看上去无差别的卡片上（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中的卡片上写的生活现象是物理变化的概率是　 　．
冰化成水 物理变化 铁棒生锈 化学变化 酒精燃烧 化学变化 衣服晾干 物理变化 光合作用 化学变化 牛奶变质 化学变化
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一共有6张卡片，其中写着物理变化的卡片有2张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是，
故答案为：．
【分析】
简单事件的概率计算，直接利用概率计算公式进行求解即可．
19．在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等.如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】
解：由题意，共有A断B通，A断B断， A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：
【分析】先列举出所有的结果共有4种，其中能通电的只有1种，再利用概率公式计算即可解答.
20．将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据表格可得出所有机会均等的结果及所关注的结果，进而根据概率计算公式可得出答案。
21．四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯，每一杯被选中的情况数都相同，
∴．
∵酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水中性，
∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，
∴．
∴．
故答案为：
【分析】准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而可确定和的值，再根据概率的计算公式求解即可．
三、解答题
22．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率．
【答案】（1）
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】
解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
【分析】（1）直接利用简单事件概率公式解答即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求解，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为．
23．小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况.
（1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________.
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.
【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
　 A B C
A 　 AB AC
B BA 　 BC
C CA CB 　
由表可知，共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是=．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）小晗任意按下一个开关，共有3种等可能结果，其中客厅灯亮的只有一种，因此，小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：；
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式直接求得答案即可；
（2）首先根据题意列表，然后由表求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
24．原创 如图，小强参加一个闯关游戏，共有两关，第一关有四个完全相同的按钮，其中有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有五个完全相同的按钮，其中有两个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮.进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下：
第一关闯关失败后，游戏失败；
第一关闯关成功后，进入第二关，两关均闯关
成功，游戏获胜，否则游戏失败；
闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮.
（1）若小强第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是　 　；
（2）若要使得闯关游戏获胜的概率较大，请你通过计算并建议小强使用“提示”功能更合适的关卡.
【答案】（1）
（2）解：用“√”表示闯关成功，“×”表示闯关失败。
若第一关使用“提示”功能后，剩余两个闯关成功按钮，一个闯关失败按钮，画树状图如下
由树状图可知，所有可能的结果共有15种，两关均闯关成功的结果有4种。
∴
若第二关使用“提示”功能，剩余两个闯关成功按钮，两个闯关失败按钮，画树状图如下
由树状图可知，所有可能的结果有16种，两关均闯关成功的结果有4种。
∴
∵
∴建议小强在第一关使用“提示”功能.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用列举法求概率；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)小强不使用“提示”功能闯第一关时，所有可能的结果有4种，成功的结果有2种，因此他第一关闯关成功的概率为；
【分析】(1)列举出所有可能的结果，再找出闯关成功的结果即可；
(2)由于不确定小强在哪一关使用“提示”功能，所以分两种情况讨论，在每种情况下画出相应的树状图求出游戏成功的概率，再比较哪个概率大。
25．在农业研究中，为了确定大麦穗的“最佳结实长度”（即穗长达到某个值时，结实粒数最多、产量最高)和典型穗长（即穗长出现次数最多，是大麦较为适宜的生长状态)，农学家需要对同一品种的大麦穗进行多次测量，并通过数据分析来估计这些最值。小明所在的小组对种植的大麦进行了数据采集。他们从试验田中随机选取了20 株大麦，测量了每株麦穗的穗长x （单位： cm)，记录了对应麦穗的结实粒数y（单位：粒)。并将数据整理如下表所示：
穗长x （cm) 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
结实粒数y 32 38 45 50 48 42 35
株树（频数) 2 3 6 4 2 2 1
（1）这20株大麦的穗长的中位数是　 　cm；
（2）根据农学家的观点，结合样本数据，你认为“最佳结实长度”是　 　cm，典型穗长是　 　cm；
（3）已知该品种的麦穗，当穗长数值x满足7.0≤x≤8.0，且结实粒数均不少于45 粒时，属于“高产”。若该试验田共有1000株大麦，请你估算其中“高产”的大麦大约有多少株
【答案】（1）7.0
（2）7.5；7.0
（3）解：由数据信息可知，测量的20株大麦中， 7.0≤x≤8.0时共有12株，
所以，20株大麦中“高产”的大麦频率为
用样本估计总体，可得
答：1000株大麦中“高产”大麦大约有600株.
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）将20株大麦的穗长按从小到大的顺序排列，处在最中间的数据为7.0和7.0
∴中位数为
故答案为7.5
（2）由题意可得，“最佳结实长度”是7.5cm
众数为7.5，即典型穗长是7.0cm
故答案为：7.5；7.0
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据结实粒数最多的麦穗长为最佳结实长度，众数为典型穗长即可求出答案.
（3）根据1000乘以高产的占比即可求出答案.
26．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”.
（1）任意掷这枚骰子，掷出“6”朝上的概率是　 　；
（2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”朝上的概率是　 　；
（3）小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”，
故奇数的个数个，偶数个数为个，
∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是；
∵，
∴掷出“偶数”的概率较大，
故本游戏规则不公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”
∴标有“6”的面数为面，
∴掷出“6”的概率是，
故答案为：．
（2）∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面，
故3的倍数的数的面有个，
∴掷出“3的倍数”的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）求出标数字6的面数，根据概率公式解答即可；
（2）求出3的倍数的数的面数，利用概率公式计算即可；
（3）求出奇数面和偶数面的个数，分别求出概率，再比较解答即可．
27．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．
方式一：直接获得25元购物券；
方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．
下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位）
请根据上面的图表完成以下问题：
（1）________；
（2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；
（3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．
【答案】（1）21
（2）
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
【知识点】利用频率估计概率；加权平均数及其计算；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
【分析】(1) 根据频率的计算公式 “次数 = 总次数 × 频率”，代入总次数 50 和频率 0.42 求出 a 的值。
(2) 观察频率统计表，当转动次数足够大时，频率稳定在 0.4 附近，利用频率估计概率即可得到概率为 0.4。
(3) 先根据圆心角之比求出各面额购物券的概率，再利用加权平均数算出转动一次转盘获得购物券的平均数，最后将平均数与方式一的 25 元比较，判断方式二更合算。
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
28．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
（1）本次共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值是　 　，D对应的扇形圆心角的度数是　 　；
（3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
（4）某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）50；
解：等级的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：

（2）30；72°
（3）解：根据题意得：2000×=400（名），
则估计该校不合格的学生人数约为400名
（4）根据题意，列表如下：
1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
所有等可能的情况数有12种，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1-=，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了人
故答案为：．
（2）
∴，
对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：，72°．
【分析】（1）运用优秀等级的人数除以占比得出本次参与调查的人数，然后求出B等级的人数，补全统计图即可；
（2）根据C等级的人数除以考查总人数乘以100%求出的值，根据组人数的占比乘以求出圆心角即可；
（3）运用全校总人数乘以良好和优秀人数的占比解答即可；
（4）列表得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，计算出小明和销量橡胶的概率，比较判断游戏公平性即可．
29．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
【答案】解：（1）30，
补全统计图如下：
（2）余老师抽到去B地的概率是；
（3）根据题意列表如下：
　 1 2 3 4
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
9 10 11 12 13
∵两个数字之和是偶数时的概率是.
∴票给李老师的概率是.
∴这个规定对双方公平.
【知识点】条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）（20+40+10）÷（1-30%）=100，
100×30%=30张，
故答案为：30；
【分析】（1）根据统计图及题干提供的信息，用去A、B、D三地的车票总数除以所占的百分比求出本次参培教师的总数，再用本次参培教师的总数乘以去C地参培教师的人数所占比例即得去C地的车票数量，从而补全统计图；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可求出余老师抽到去B地的概率；
（3）根据题意用列表法列举出转动两个转盘，两个指针指向的两个数字之和的所有情况，由表可知所有等可能的情况数有12种，其中指针指向的两个数字之和是偶数时的情况数有6种，然后根据概率公式求出两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平.
30．如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
【答案】（1）
（2）解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可得成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解．
31． DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图： （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
【答案】解：(1) 50；83.5；144°；
(2)B组的人数为：50×30%=15（人），并补全频数分布直方图如下：
（3）1200×=720（人）
答： 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（4）画树状图如下图所示：
由树状图可知.共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，所以所选的两位同学恰为甲和丙的概率为：P=。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，
∴本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
根据C，D组的人数和为20+10=30，可得出中位数在C组，根据C组的成绩，可得出中位数为：；
C组对应的圆心角为：360°×
故答案为：50；83.5；144°；
【分析】（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，进而即可得出本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
（2）首先根据抽取学生人数及B组所占的比例，可得出B组的人数，进而补全频数分布直方图即可；
（3）用样本中成绩不低于80分的人数所占的比例，估计总体，即可得出 全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数 ；
（4）首先画树状图进行分析，可得出共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
32．【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张、小娟、小东三位同学在观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征.如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢 于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动.
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们的长和宽（单位：cm)的数据后，再计算了它们的长、宽比，整理数据如表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
杨树叶的长、宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
杏树叶的长、宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如表：
　 平均数 中位数 众数 方差
杨树叶的长、宽比 2.19 a 2.4 0.094 9
杏树叶的长、宽比 1.51 1.5 b 0.0089
【问题解决】填空：
（1）上述表格中，a=　 　，b=　 　；
（2）这两种树叶从长、宽比的角度看，　 　树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm 的树叶，这片树叶来自　 　树的可能性比较大；
（3）三名同学决定由两名同学作为代表展示以上发现，若每位同学被选中的机会均等，请你用列表或画树状图的方法求恰好小娟、小东被选中的概率.
【答案】（1）2.15；1.5
（2）杏；杨
（3）解：画树状图如图·
共有6种等可能的结果，其中恰好小娟、小东被选中的结果有2种，..恰好小娟、小东被选中的概率为
【知识点】概率公式；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(1)将杨树叶的长、宽比按从小到大排列为1.7，1.8，2，
2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
..中位数
由统计表可知杏树叶的长、宽比的众数b=1.5.
故答案为2.15，1.5.
(2)由统计表可知，杏树叶的长、宽比的方差小于杨树叶长、宽比的方差，
这两种树叶从长、宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小.
∵11.5÷5=2.3，
..这片树叶来自杨树的可能性比较大.故答案为杏，杨.
【分析】 (1) 第1空 ：首先将杨树叶的长宽比数据按从小到大的顺序排列。因为数据个数为10（偶数），所以中位数是中间两个数的平均数；众数是一组数据里面出现次数最多的数；
(2) 第一空：根据方差判断树叶形状差别，第二空并判断树叶来源即可；
(3) 利用树状图法求恰好小娟、小东被选中的概率，再根据概率公式求即可.
33．综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253　
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；
活动二：0.25、0.25、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
【分析】活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
34．【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
35．今年是中国共产主义青年团成立 104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示)，其中 60≤a<70记为“较差”， 70≤a<80记为“一般”， 80≤a<90记为“良好”， 90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为 ▲ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是　 　；
（3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
【答案】（1）解：50；108；
补全直方图如下
（2）95
（3）解：(人)
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为620人。
（4）解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下：
　 男 女 女 女
男 　 (男， 女) (男， 女) (男， 女)
女 (女， 男) 　 (女， 女) (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) 　 (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) (女， 女) 　
共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
P (抽中2名女生)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：4÷8%=50人
“一般”对应的人数为：50-4-23-8=15人
∴“一般”对应圆心角的度数为
故答案为：50；108
（2）将数据按从小到大的顺序排列为：91，93，94，94，96，98，99，100
处在最中间的数为94和96
∴中位数为
故答案为：95
【分析】（1）根据较差的人数与占比可得可得总人数，求出一半的人数，再根据360°乘以占比可得圆心角，再补全图形即可.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据1000乘以达到良好及以上的人数占比即可求出答案.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出被抽取的2人恰好是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
36．小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力动力臂阻力阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个的物体（总重力），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出的值．
【答案】（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）解：左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）用画树状图法列举出所有等可能的情况数，由树状图可知总共有9种等可能的结果，而能使杠杆平衡的情况数只有3种，从而利用概率公式计算即可；
（2）设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得即，结合杠杆平衡的概率为，由概率公式可得平衡的情况数有3种，然后分情况讨论求出G的值.
（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
37．根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
（1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
（2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
（3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
（4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
（5）请为做好近视防控提一条合理的建议．
【答案】（1）抽样调查
（2）
（3）
（4）
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解答（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
【分析】（1）普查就是针对研究对象的全体个体进行全面调查；抽样调查就是从总体中随机抽取部分样本进行调查，据此可判断得出答案；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中视力低于5.0的人数所占的百分比即可估计该校八年级右眼视力不良的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
38．我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学 10
光学 30
电学 15
（1）直接写出频数分布表中、的值：______，______；
（2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数______°；
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】（1）45，
（2）108
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数为：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参与“光学”的人数除以其频率即可得出总人数，再用总人数乘以参与“力学”人数所占的频率即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数即可求出频率b；
（2）用360°乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出参与“光学”实验的扇形圆心角的度数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意先画树状图，由图可知共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（1）解：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
1 / 1专题6.2概率—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水涨船高 D．水中捞月
2．下列说法正确的是（　　）
A．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据大
B．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大
C．数据3，5，4，1，-2的中位数是3
D．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖
3．下列说法正确的是（　　）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
4．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
6．一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　)
A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色
7．如图， 小球从A人口往下落， 在每个交叉口都有向左或向右两种可能， 且可能性相等， 则小球从E出口落出的概率是(　　)
A． B． C． D．
8．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．二十四节气， 它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）， 秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气， 则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①
②
③
④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．在化工生产中，常常需要对一些溶液的酸碱性进行快速检测以便后续的工艺操作．实验室现有六瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，分别是．稀硫酸(呈酸性)，．氯化钠溶液(呈中性)，．氢氧化钾溶液(呈碱性)，．碳酸钠溶液(呈碱性)．实验课上老师让学生小李用无色酚酞试液来检测其酸碱性，小李同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色(即两瓶溶液都为碱性)的概率为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
12．“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是　 　 （填写“必然 事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
13．下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有　 　 ．（填序号）
14．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是　 　．
15．抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“+1”，反面向上为“-1”.现同时抛掷三枚同样的硬币，所得结果的积为 1的概率是　 　.
16．已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是.若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
17．二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，是只用0和1两个数码来表示的数，且二进制的数可以转化成十进制的数，例如：四位二进制的数1010，从后往前数位依次为，则转化成十进制的数为 则一个由三个数字组成的二进制数转化为十进制的数后，值大于4的概率为　 　.
18．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象写在看上去无差别的卡片上（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中的卡片上写的生活现象是物理变化的概率是　 　．
冰化成水 物理变化 铁棒生锈 化学变化 酒精燃烧 化学变化 衣服晾干 物理变化 光合作用 化学变化 牛奶变质 化学变化
19．在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等.如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是　 　.
20．将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是　 　．
21．四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是　 　．
三、解答题
22．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率．
23．小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况.
（1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________.
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.
24．原创 如图，小强参加一个闯关游戏，共有两关，第一关有四个完全相同的按钮，其中有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有五个完全相同的按钮，其中有两个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮.进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下：
第一关闯关失败后，游戏失败；
第一关闯关成功后，进入第二关，两关均闯关
成功，游戏获胜，否则游戏失败；
闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮.
（1）若小强第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是　 　；
（2）若要使得闯关游戏获胜的概率较大，请你通过计算并建议小强使用“提示”功能更合适的关卡.
25．在农业研究中，为了确定大麦穗的“最佳结实长度”（即穗长达到某个值时，结实粒数最多、产量最高)和典型穗长（即穗长出现次数最多，是大麦较为适宜的生长状态)，农学家需要对同一品种的大麦穗进行多次测量，并通过数据分析来估计这些最值。小明所在的小组对种植的大麦进行了数据采集。他们从试验田中随机选取了20 株大麦，测量了每株麦穗的穗长x （单位： cm)，记录了对应麦穗的结实粒数y（单位：粒)。并将数据整理如下表所示：
穗长x （cm) 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
结实粒数y 32 38 45 50 48 42 35
株树（频数) 2 3 6 4 2 2 1
（1）这20株大麦的穗长的中位数是　 　cm；
（2）根据农学家的观点，结合样本数据，你认为“最佳结实长度”是　 　cm，典型穗长是　 　cm；
（3）已知该品种的麦穗，当穗长数值x满足7.0≤x≤8.0，且结实粒数均不少于45 粒时，属于“高产”。若该试验田共有1000株大麦，请你估算其中“高产”的大麦大约有多少株
26．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”.
（1）任意掷这枚骰子，掷出“6”朝上的概率是　 　；
（2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”朝上的概率是　 　；
（3）小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由.
27．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．
方式一：直接获得25元购物券；
方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．
下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位）
请根据上面的图表完成以下问题：
（1）________；
（2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；
（3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．
28．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
（1）本次共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值是　 　，D对应的扇形圆心角的度数是　 　；
（3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
（4）某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
29．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
30．如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
31． DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图： （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
32．【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张、小娟、小东三位同学在观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征.如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢 于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动.
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们的长和宽（单位：cm)的数据后，再计算了它们的长、宽比，整理数据如表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
杨树叶的长、宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
杏树叶的长、宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如表：
　 平均数 中位数 众数 方差
杨树叶的长、宽比 2.19 a 2.4 0.094 9
杏树叶的长、宽比 1.51 1.5 b 0.0089
【问题解决】填空：
（1）上述表格中，a=　 　，b=　 　；
（2）这两种树叶从长、宽比的角度看，　 　树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm 的树叶，这片树叶来自　 　树的可能性比较大；
（3）三名同学决定由两名同学作为代表展示以上发现，若每位同学被选中的机会均等，请你用列表或画树状图的方法求恰好小娟、小东被选中的概率.
33．综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253　
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
34．【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
35．今年是中国共产主义青年团成立 104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示)，其中 60≤a<70记为“较差”， 70≤a<80记为“一般”， 80≤a<90记为“良好”， 90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为 ▲ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是　 　；
（3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
36．小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力动力臂阻力阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个的物体（总重力），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出的值．
37．根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
（1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
（2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
（3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
（4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
（5）请为做好近视防控提一条合理的建议．
38．我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学 10
光学 30
电学 15
（1）直接写出频数分布表中、的值：______，______；
（2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数______°；
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．画饼充饥是不可能事件；
B．不期而遇时随机事件；
C．水涨船高时必然事件；
D．水中捞月是不可能事件；
故选B．
【分析】不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件，是必然事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．【答案】C
【知识点】可能性的大小；概率的意义；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、方差越大说明数据越不稳定，与数据大小无关，故本选项错误；
B、从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故本选项错误；
C、数据3，5，4，1，-2的中位数是3，说法正确，故本选项正确；
D、若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据方差的意义，可能性的大小，中位数的定义及概率的意义，结合各选项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：A.明天下雨的概率为80%，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
C.某彩票中奖概率是1%，只能说明中奖的机会很小，并非一定中奖，故本选项不符合题意；
D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据概率的意义可判断A、C、D；根据随机事件的概念可判断B.
4．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】随机抽取两张卡片，所有等可能的结果为 “美丽”“美山”“美河”“丽山”“丽河”“山河”，共 6 种；其中恰好抽到 “美” 和 “丽” 两张卡片的结果只有 1 种。根据概率公式，可得
．
故答案为：C。
【分析】本题考查用列举法求概率，先列出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算。
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
6．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可得，该球的频率稳定在0.20左右，则抽到该球的概率为0.20
∵抽到白球的概率为
抽到黑球的概率为
抽到红球的概率为
抽到黄球的概率为
∴该球的颜色最有可能是红球
故答案为：B
【分析】根据频率估计概率可得抽到该球的概率为0.20，再根据概率公式求出各球的概率即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：
因此小球从E出口落出的概率是.
故答案为：C。
【分析】因为“ 在每个交叉口都有向左或向右两种可能， 且可能性相等 ”，所以小球在B口的时候，向C口落入的可能性就是；当在C口的时候，落入E口的可能性是。计算得出小球从 出口落出的概率是。
8．【答案】C
【知识点】概率公式；定义新运算
【解析】【解答】解：用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数有：123，132 ，213，231，312，321共6个，其中"平稳数"有：123和321共2个，所以恰好是平稳数的概率为：。
故答案为：C。
【分析】先写出所有的用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数，再找出其中的平稳数，根据概率计算公式，求出概率即可。
9．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，共有24节气，夏季的节气有6个，故概率P=.
故选：D.
【分析】共24节气，夏季的季气有6个，比值即为概率.
10．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
④生成物带有沉淀
∴小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是
故答案为：D
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果，两瓶溶液都变成红色的概率为：．
故答案为：D．
【分析】根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及两瓶溶液都变成红色的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．【答案】随机事件
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：当年农历八月十五这天，如果天空被云幕遮蔽，看不到中秋圆月，来年正月十五这天就会阴天或下雪，但天气是随机的，所以答案为随机事件，
故答案为：随机事件．
【分析】利用随机事件的定义及特征（随机事件是那些在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）逐项分析判断即可.
13．【答案】④
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：①掷两次骰子，点数和为10，存在点数和不为10的情况，属于随机事件，不符合题意；
②守株待兔，兔子撞到树桩是偶然情况，属于随机事件，不符合题意
③猴子捞月，月亮在水中的倒影无法被捞取，属于不可能事件，不符合题意；
④由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意．
故答案为：④．
【分析】事件的分类定义：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵从5条线段中任取3条，共有种可能组合：，，，，，，，，，，
其中能构成三角形的组合有，，，
∵由勾股定理的逆定理可知：当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时，三角形为直角三角形，
∴当三角形中较小的两边的平方和小于第三边的平方时，三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，构成的是钝角三角形，
∴能构成钝角三角形的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举所有等可能的三条线段组合结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图，如下：
∴一共有8种等可能结果，其中所得结果的积为1的有4种，
∴所得结果的积为1的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式计算解答．
16．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由题意可知，罚球总次数为10，单次罚球投中的概率为，
因此估计投中的次数为：.
故答案为：8.
【分析】根据概率的意义，用罚球总次数乘以单次罚球投中的概率，即可估计出投中的次数.
17．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：根据题意画如下树状图，
根据树状图得共8种结果，其中十进制的数值大于4的有3种结果，则：（十进制数>4）=.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，根据树状图统计得8种结果，再根据二进制数转化为十进制数的方法，把每种情况转换为十进制数，统计得大于4的有3种结果，根据概率公式即可求得答案.
18．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一共有6张卡片，其中写着物理变化的卡片有2张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是，
故答案为：．
【分析】
简单事件的概率计算，直接利用概率计算公式进行求解即可．
19．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】
解：由题意，共有A断B通，A断B断， A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：
【分析】先列举出所有的结果共有4种，其中能通电的只有1种，再利用概率公式计算即可解答.
20．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据表格可得出所有机会均等的结果及所关注的结果，进而根据概率计算公式可得出答案。
21．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯，每一杯被选中的情况数都相同，
∴．
∵酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水中性，
∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，
∴．
∴．
故答案为：
【分析】准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而可确定和的值，再根据概率的计算公式求解即可．
22．【答案】（1）
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】
解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
【分析】（1）直接利用简单事件概率公式解答即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求解，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为．
23．【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
　 A B C
A 　 AB AC
B BA 　 BC
C CA CB 　
由表可知，共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是=．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）小晗任意按下一个开关，共有3种等可能结果，其中客厅灯亮的只有一种，因此，小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：；
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式直接求得答案即可；
（2）首先根据题意列表，然后由表求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
24．【答案】（1）
（2）解：用“√”表示闯关成功，“×”表示闯关失败。
若第一关使用“提示”功能后，剩余两个闯关成功按钮，一个闯关失败按钮，画树状图如下
由树状图可知，所有可能的结果共有15种，两关均闯关成功的结果有4种。
∴
若第二关使用“提示”功能，剩余两个闯关成功按钮，两个闯关失败按钮，画树状图如下
由树状图可知，所有可能的结果有16种，两关均闯关成功的结果有4种。
∴
∵
∴建议小强在第一关使用“提示”功能.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用列举法求概率；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)小强不使用“提示”功能闯第一关时，所有可能的结果有4种，成功的结果有2种，因此他第一关闯关成功的概率为；
【分析】(1)列举出所有可能的结果，再找出闯关成功的结果即可；
(2)由于不确定小强在哪一关使用“提示”功能，所以分两种情况讨论，在每种情况下画出相应的树状图求出游戏成功的概率，再比较哪个概率大。
25．【答案】（1）7.0
（2）7.5；7.0
（3）解：由数据信息可知，测量的20株大麦中， 7.0≤x≤8.0时共有12株，
所以，20株大麦中“高产”的大麦频率为
用样本估计总体，可得
答：1000株大麦中“高产”大麦大约有600株.
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）将20株大麦的穗长按从小到大的顺序排列，处在最中间的数据为7.0和7.0
∴中位数为
故答案为7.5
（2）由题意可得，“最佳结实长度”是7.5cm
众数为7.5，即典型穗长是7.0cm
故答案为：7.5；7.0
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据结实粒数最多的麦穗长为最佳结实长度，众数为典型穗长即可求出答案.
（3）根据1000乘以高产的占比即可求出答案.
26．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”，
故奇数的个数个，偶数个数为个，
∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是；
∵，
∴掷出“偶数”的概率较大，
故本游戏规则不公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”
∴标有“6”的面数为面，
∴掷出“6”的概率是，
故答案为：．
（2）∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面，
故3的倍数的数的面有个，
∴掷出“3的倍数”的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）求出标数字6的面数，根据概率公式解答即可；
（2）求出3的倍数的数的面数，利用概率公式计算即可；
（3）求出奇数面和偶数面的个数，分别求出概率，再比较解答即可．
27．【答案】（1）21
（2）
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
【知识点】利用频率估计概率；加权平均数及其计算；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
【分析】(1) 根据频率的计算公式 “次数 = 总次数 × 频率”，代入总次数 50 和频率 0.42 求出 a 的值。
(2) 观察频率统计表，当转动次数足够大时，频率稳定在 0.4 附近，利用频率估计概率即可得到概率为 0.4。
(3) 先根据圆心角之比求出各面额购物券的概率，再利用加权平均数算出转动一次转盘获得购物券的平均数，最后将平均数与方式一的 25 元比较，判断方式二更合算。
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
28．【答案】（1）50；
解：等级的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：

（2）30；72°
（3）解：根据题意得：2000×=400（名），
则估计该校不合格的学生人数约为400名
（4）根据题意，列表如下：
1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
所有等可能的情况数有12种，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1-=，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了人
故答案为：．
（2）
∴，
对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：，72°．
【分析】（1）运用优秀等级的人数除以占比得出本次参与调查的人数，然后求出B等级的人数，补全统计图即可；
（2）根据C等级的人数除以考查总人数乘以100%求出的值，根据组人数的占比乘以求出圆心角即可；
（3）运用全校总人数乘以良好和优秀人数的占比解答即可；
（4）列表得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，计算出小明和销量橡胶的概率，比较判断游戏公平性即可．
29．【答案】解：（1）30，
补全统计图如下：
（2）余老师抽到去B地的概率是；
（3）根据题意列表如下：
　 1 2 3 4
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
9 10 11 12 13
∵两个数字之和是偶数时的概率是.
∴票给李老师的概率是.
∴这个规定对双方公平.
【知识点】条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）（20+40+10）÷（1-30%）=100，
100×30%=30张，
故答案为：30；
【分析】（1）根据统计图及题干提供的信息，用去A、B、D三地的车票总数除以所占的百分比求出本次参培教师的总数，再用本次参培教师的总数乘以去C地参培教师的人数所占比例即得去C地的车票数量，从而补全统计图；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可求出余老师抽到去B地的概率；
（3）根据题意用列表法列举出转动两个转盘，两个指针指向的两个数字之和的所有情况，由表可知所有等可能的情况数有12种，其中指针指向的两个数字之和是偶数时的情况数有6种，然后根据概率公式求出两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平.
30．【答案】（1）
（2）解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可得成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解．
31．【答案】解：(1) 50；83.5；144°；
(2)B组的人数为：50×30%=15（人），并补全频数分布直方图如下：
（3）1200×=720（人）
答： 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（4）画树状图如下图所示：
由树状图可知.共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，所以所选的两位同学恰为甲和丙的概率为：P=。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，
∴本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
根据C，D组的人数和为20+10=30，可得出中位数在C组，根据C组的成绩，可得出中位数为：；
C组对应的圆心角为：360°×
故答案为：50；83.5；144°；
【分析】（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，进而即可得出本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
（2）首先根据抽取学生人数及B组所占的比例，可得出B组的人数，进而补全频数分布直方图即可；
（3）用样本中成绩不低于80分的人数所占的比例，估计总体，即可得出 全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数 ；
（4）首先画树状图进行分析，可得出共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
32．【答案】（1）2.15；1.5
（2）杏；杨
（3）解：画树状图如图·
共有6种等可能的结果，其中恰好小娟、小东被选中的结果有2种，..恰好小娟、小东被选中的概率为
【知识点】概率公式；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(1)将杨树叶的长、宽比按从小到大排列为1.7，1.8，2，
2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
..中位数
由统计表可知杏树叶的长、宽比的众数b=1.5.
故答案为2.15，1.5.
(2)由统计表可知，杏树叶的长、宽比的方差小于杨树叶长、宽比的方差，
这两种树叶从长、宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小.
∵11.5÷5=2.3，
..这片树叶来自杨树的可能性比较大.故答案为杏，杨.
【分析】 (1) 第1空 ：首先将杨树叶的长宽比数据按从小到大的顺序排列。因为数据个数为10（偶数），所以中位数是中间两个数的平均数；众数是一组数据里面出现次数最多的数；
(2) 第一空：根据方差判断树叶形状差别，第二空并判断树叶来源即可；
(3) 利用树状图法求恰好小娟、小东被选中的概率，再根据概率公式求即可.
33．【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；
活动二：0.25、0.25、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
【分析】活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
34．【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
35．【答案】（1）解：50；108；
补全直方图如下
（2）95
（3）解：(人)
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为620人。
（4）解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下：
　 男 女 女 女
男 　 (男， 女) (男， 女) (男， 女)
女 (女， 男) 　 (女， 女) (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) 　 (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) (女， 女) 　
共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
P (抽中2名女生)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：4÷8%=50人
“一般”对应的人数为：50-4-23-8=15人
∴“一般”对应圆心角的度数为
故答案为：50；108
（2）将数据按从小到大的顺序排列为：91，93，94，94，96，98，99，100
处在最中间的数为94和96
∴中位数为
故答案为：95
【分析】（1）根据较差的人数与占比可得可得总人数，求出一半的人数，再根据360°乘以占比可得圆心角，再补全图形即可.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据1000乘以达到良好及以上的人数占比即可求出答案.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出被抽取的2人恰好是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
36．【答案】（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）解：左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）用画树状图法列举出所有等可能的情况数，由树状图可知总共有9种等可能的结果，而能使杠杆平衡的情况数只有3种，从而利用概率公式计算即可；
（2）设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得即，结合杠杆平衡的概率为，由概率公式可得平衡的情况数有3种，然后分情况讨论求出G的值.
（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
37．【答案】（1）抽样调查
（2）
（3）
（4）
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解答（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
【分析】（1）普查就是针对研究对象的全体个体进行全面调查；抽样调查就是从总体中随机抽取部分样本进行调查，据此可判断得出答案；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中视力低于5.0的人数所占的百分比即可估计该校八年级右眼视力不良的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
38．【答案】（1）45，
（2）108
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数为：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参与“光学”的人数除以其频率即可得出总人数，再用总人数乘以参与“力学”人数所占的频率即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数即可求出频率b；
（2）用360°乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出参与“光学”实验的扇形圆心角的度数；
（3）此题是抽取不放回类型，依据题意先画树状图，由图可知共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（1）解：（人），
，
∴参与“热学”实验的频率为，
故答案为：45；；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：；
故答案为：108；
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
．
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