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四川省泸州市江阳七中2026年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（　　）
A． B． C．100 D．
2． 2025年1月11日，由我国梁文锋团队开发的AI人工智能软件Deepseek在全球上线，其强大的搜索功能轰动全球，上线仅18天，累计下载量达16000000次，数据“16000000”用科学记数法表示为（　　）
A．16×106 B．0.16×108 C．1.6×108 D．1.6×107
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．4a4-a3=3a B．a3÷a2=1
C．（a+b）2=a2+b2 D．（ab2）2=a2b4
4．珐华器是山西传统工艺美术珍品之一，其造型典雅、釉色艳丽，因在晋南地区盛行烧制而得名.如图为一件法华器长颈瓶作品，关于该作品的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同
5．在2021年的生物操作模拟考试中，甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差分别为： ， ， ， ，则四个班体考成绩最稳定的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
6．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3
C．x≠－1 D．x≠－1且x≠3
7．下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
B．两组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
8．当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　）
A．y=-3x B．
C．y=3x+1 D．y=-（x-1）2-3
9． 若关于X的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
10．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　）
A． B． C．2 D．
12．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①5a+b＜0；②若（4，y1），（-1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根；④对于任意实数m，a（m2-1）≤b（1-m）总成立； ⑤.其中结论正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
13．把因式分解的结果是　 　．
14． 已知一元二次方程 的两个根分别是 和 ，则代数式 的值是　 　 .
15．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为　 　 .
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，-3），则点N的坐标为　 　 .
17．如图，正方形ABCD的边长为，E为边AB的中点，连接CE，过点D作DF⊥CE，垂足为F，G为DF上一点，且DG=CF，则CG的长为　 　 .
三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18． 计算：.
19．化简：.
20．今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x=_▲_，y=_▲_，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是　 　；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
21．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
22．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i=1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°.（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，，≈1.41）
（1）求点D到FC的距离；
（2）求塔AB的高度.（结果精确到0.1米）
23．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式.
（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围.
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD=BE；
（3）若cos∠DBA=，CG=10，求BD的长．
25．如图，直线y=2x-10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为.
①求点D的坐标；
②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：一个数的绝对值是这个数在数轴上对应点到原点的距离，因此的绝对值是100．
故选：C．
【分析】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合性质即可计算出结果.
2．【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将16000000用科学记数法表示，首先确定a，满足1≤a<10，则a=1.6；
原数16000000变为1.6，小数点向左移动了7位，因此n=7。
所以16000000=1.6×107。
故答案为：D .
【分析】科学记数法的形式为a×10n(1≤∣a∣<10，n为整数)，需确定a和n的值，n由原数的位数或小数点移动的位数决定。
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：逐一分析选项，选项 A：4a4和a3不是同类项，无法合并，4a4 a3≠3a，A 错误；选项 B：根据同底数幂除法法则，a3÷a2=a3 2=a，B 错误；选项 C：由完全平方公式可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，C 错误；选项 D：根据积的乘方和幂的乘方法则，(ab2)2=a2 (b2)2=a2b4，D 正确。
故答案为：D.
【分析】 这道题考查整式的运算，核心是准确运用幂的运算法则、合并同类项法则、完全平方公式来逐一判断每个选项的正确性。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个法华器长颈瓶为轴对称的旋转体：主视图（从正面看）：呈现瓶身的纵向轮廓，包含瓶口、长颈、圆腹、底座的形状。左视图（从左面看）：因几何体左右对称，观察到的轮廓与主视图完全一致。俯视图（从上面看）：呈现为圆形（瓶口、瓶腹的俯视图均为圆），和主、左视图的纵向轮廓完全不同。因此主视图和左视图相同，俯视图不同。
故答案为：C .
【分析】这个长颈瓶是轴对称几何体，主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，二者形状、大小完全一致；俯视图是从上方观察，呈现为圆形，与主、左视图不同，据此判断选项。
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为： ， ， ， ，
∴甲班的方差最小，
∴甲班体育考试成绩最稳定．
故答案为：A．
【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳的班级。
6．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得： 且
解得： 且
即自变量x的取值范围为：x≥－1且x≠3
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数≥零，分母不等于零，可以求出X的范围。
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A：矩形的判定要求是对角线相等的平行四边形或三个角是直角的四边形，仅“有一个直角+对角线相等”的四边形不一定是矩形（可构造反例：一个直角、对角线相等但不互相平分的四边形），故A是假命题；
选项B：菱形的判定要求是四条边相等或一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直平分，仅“两组邻边相等”的四边形不一定是菱形（如筝形，仅两组邻边相等，对边不平行），故B是假命题；
选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，该四边形是菱形，故C是真命题；
选项D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，而非正方形（正方形还需对角线互相垂直、邻边相等），故D是假命题。
故答案为：C .
【分析】本题考查特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理，需逐一验证每个选项是否符合对应判定定理，找出真命题。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：选项A：y=-3x是正比例函数，k=-3<0，y随x的增大而减小，不符合题意；
选项B： 是反比例函数，k=3>0，在x>1的分支上，y随×的增大而减小，不符合题意；
选项c：y=3x+1是一次函数，k=3>0，y随x的增大而增大，符合题意；
选项D：y=－(x－1)2－3是二次函数，开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧（即x > 1）时，y随x的增大而减小，不符合题意。
故答案为： C.
【分析】本题考查一次函数、反比例函数与二次函数的增减性，重点关注 x>1 的区间内，函数值 y 是否随 x 增大而增大。
9．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程的分母为x-3，令x-3=0，得增根为x=3，
方程两边同乘(x-3)，得2+m=x-3，
将增根x=3代入整式方程：2+m=3-3，
解得m=-2.
故答案为：B .
【分析】分式方程有增根，意味着去分母后整式方程的解使原分式分母为 0。先确定增根 x=3，再将分式方程化为整式方程，把增根代入即可求出 m 的值。
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
由勾股定理得对角线。
因为矩形对角线相等且互相平分，
所以OB=OC=AC=5，△BOC的面积为矩形面积的四分之一，即。
连接OE，△BOC的面积可拆分为S△BOE+ S△COE，
即。
代入OB= OC=5，S△BOC=12，
得，
化简得，
解得。
故答案为：A .
【分析】利用矩形性质求出对角线长度与△BOC的面积，再将EF+EG转化为点E到两对角线的距离和，通过面积分割法列方程求解。
11．【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE||CD，连接AE，
则∠APD=∠ABE，
在网络中用勾股定理可得：，，，
则，
由勾股定理逆定理可得是直角三角形，，
则
故答案为： C.
【分析】利用平移的方法作BE||CD，然后构造三角形ABE，利用勾股定理求出BE，AE的长度，用勾股定理的逆定理判断∠AEB为直角，最后利用正切的定义求值即可.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，顶点为(1，n)，
因此抛物线的对称轴为，即b=-2a；
由抛物线与×轴的交点对称性，另一个交点为(3，0)，
因此抛物线可表示为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a，故c=-3a，顶点纵坐标n=a(1+1)(1-3)=-4a。
又抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），即2≤c≤3，代入c=-3a得2≤-3a≤3，
解得，且抛物线开口向下，a<0。
①验证5a+b<0：
由b=-2a，得5a+b=5a-2a=3a，因a<0，故3a<0，结论①正确。
②比较y1与y2的大小：
抛物线对称轴为x=1，开口向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小。
点(4，y1)到对称轴的距离为|4-1|=3，点(-1.5，y2)到对称轴的距离为|-1.5-1|=2.5，
因为3>2.5，故y1③判断方程ax2+bx+c=n+1的根的情祝：
抛物线顶点纵坐标为n，即函数的最大值为n，因此y=n+1>n，直线y=n+1在抛物线顶点上方
故方程ax2+bx+c=n+1无实数根，结论③错误。
④验证a(m2-1)≤b(1-m)对任意实数m恒成立：
将不等式整理为am2-a≤-2a(1-m)，即am2-2am+a≤0，进一步化为a(m-1)2≤0。
因a<0，(m-1)2≥0，故a(m-1)2≤0对任意实数m恒成立，结论④正确。
⑥验证
由2≤c=-3a≤3，解得，结论⑤正确。
综上，①②④⑤正确，共4个正确结论，答案选D。
故答案为：D .
【分析】先根据抛物线的顶点坐标、与 x 轴的交点，确定抛物线的开口方向、对称轴、系数关系，再结合 y 轴交点的范围，逐一验证 5 个结论的正确性，统计正确结论的个数。
13．【答案】2b（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2b（a+2b）（a-2b）．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
14．【答案】-2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于 一元二次方程 的两个根分别是 和 ，
则可得x1+x2=2026，x1x2=-1，
代数式。
故答案为：-2026 .
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和 x1 +x2 与两根之积 x1 x2 ，再将所求代数式 因式分解、变形，用两根和、积表示后代入计算。
15．【答案】11
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组得：，
因为不等式组有且只有4个整数解，
所以可知，
解得，
故满足条件的整数a的和为5+6=11.
故答案为： 11.
【分析】分别解两个一元一次不等式，然后根据题目中只有4个整数解，可以得到关于a的不等式组，解之可得a的取值范围，进而求出满足条件的整数a的和。
16．【答案】（9，0）
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，连接 PN。
因为⊙P 与 y 轴相切于点 Q，点 P 坐标为 (5，-3)，
所以圆 P 的半径 r=5，且 PA=3。
在 Rt△PAN 中，PN=5，PA=3，由勾股定理得：，
因为点 P 的横坐标为 5，所以点 A 的坐标为 (5，0)。
点 N 在 x 轴正半轴，且 AN=4，故点 N 的横坐标为 5+4=9，纵坐标为 0，即点 N 的坐标为 (9，0)。
故答案为：（9，0） .
【分析】 由⊙P 与 y 轴相切且 P (5，-3)，得圆的半径为 5；过 P 作 PA⊥x 轴于 A，由垂径定理得 AN=AM，再用勾股定理求 AN，结合 P 的横坐标得 N 的坐标。
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在正方形 ABCD 中，CD=BC= ，∠B=∠BCD=90°，E 是 AB 中点，
所以 BE= 。
因为 DF⊥CE，
所以∠DFC=90°，
于是∠CDF+∠DCF=90°，
又∠BCE+∠DCF=90°，可得∠CDF=∠BCE。
在△CDF 和△ECB 中，∠DFC=∠B=90°，∠CDF=∠BCE，
所以△CDF∽△ECB。
由相似得比例关系：。
在 Rt△EBC 中，。
代入得 DF=4，CF=2，
已知 DG=CF，所以GF=2，
在 Rt△DFC 中，∠DFC=90°，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】 先由正方形和垂直条件证明△CDF∽△ECB，利用相似对应边成比例求出 CF、DF；再根据 DG=CF 得出GF的长，最后在△CDG 中用勾股定理算出 CG。
18．【答案】解： 原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】 本题考查实数的混合运算，需依次化简二次根式、立方根、特殊角的三角函数值及零次幂，再按运算顺序进行加减运算。
19．【答案】解：
.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约去公因式，完成化简。
20．【答案】（1）解：已知80≤a<90（良好）的频数为23，占比46%，因此抽取的总人数23÷46%=50人。
60≤a<70（较差）的频数为4，占比y=4÷50×100%=8%；
90≤a≤100（优秀）的频数为8，占比y=8÷50×100%=16%；
因此70≤a<80（一般）的占比x=1 8% 46% 16%=30%，对应频数为50×30%=15，补全直方图时在70 80组画高度为15的直条即可。
所以x=30%，y=16%。
补全直方图，如图即为所求；
故答案为：30%，16%；
（2）95
（3）解：样本中优秀（90≤a≤100）的占比为16%，该校共有1200人，
因此估计优秀人数为1200×16%=192人。
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人；
（4）解：设3名女生为A，B，C，1名男生为D，列表如下：
A B C D
A - (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) - (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) - (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) -
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生的结果有6种，
因此概率为。
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】（2）将这8个数据从小到大排序：91，93，94，94，96，98，99，100。
中位数为第4、5个数的平均数，即(94+96)÷2 =95，因此中位数为95。
故答案为：95。
【分析】(1)先由 “良好” 组的频数和占比求出抽取的总人数，再用各组频数除以总人数得到对应百分比，算出x、y，最后用总人数减去已知三组频数，得到 “一般” 组频数，补全直方图；
(2) 先将 8 个数据从小到大排序，再根据中位数定义（偶数个数据取中间两数的平均数）计算中位数；
(3)用样本中 “优秀” 的占比，乘以全校总人数，估计全校达到优秀的人数；
(4)用列表法列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽中 2 名女生的结果数，根据概率公式计算概率。
21．【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
22．【答案】（1）解：过点D作DG⊥AB于G，作DH⊥BF于H。
已知斜坡CE的坡度 i=1： ，即 ，
因此∠DCH=30 。
又CD=10米，
在Rt△DCH中，米，
答：点D到FC的距离为5米；
（2）解：在Rt△DCH中，米，
由题意，四边形DHBG为矩形，因此BG=DH=5米，DG=BH。
设塔高AB=x米，在Rt△ABC中，∠ACB=45 ，故BC=AB=x米，
因此BH=BC+CH=米，即DG=米，AG=AB BG=x 5米。
在Rt△ADG中，∠ADG=31 ，由 ，代入参考数据tan31 ≈0.60，得：

解得：x≈0.410.19 ≈25.5
答：塔AB的高度为25.5米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据斜坡CE的坡度 i=1： ，结合CD=10米，求出D点到水平面BF的垂直高度DH和水平距离CH；
（2）过D作DG⊥AB、DH⊥BF，构造矩形DHBG，将AB设为未知数x，利用∠ACB=45得到AB=BC=C，从而表示出DG和AG的长度；然后在Rt△ADG中，利用tan31°的参考数据列方程，求解x得到塔高AB。
23．【答案】（1）解：∵C（1，4）在反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：，
∵D（4，m）在反比例函数图象上，
∴m=1，D（4，1），
∵C（1，4），D（4，1）在一次函数y=ax+b的图象上，
，解得：
∴一次函数解析式为：y=-x+5；
（2）解：根据图像，不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜1或x＞4；
（3）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为y=-x+5-m，
联立两个函数得：，整理得：x2-（5-m）x+4=0，
Δ=（5-m）2-4×1×4=0，
∴5-m=±4，
m=9或1，
∴直线AB向下平移1或9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】 (1) 将 C 点坐标代入反比例函数解析式求 k，再将 D 点代入反比例函数求 m，最后利用 C、D 两点坐标用待定系数法求一次函数解析式；
(2) 结合函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的 x 的取值范围；
(3) 设平移后的解析式，联立一次函数与反比例函数，利用判别式Δ=0求解平移的单位长度。
24．【答案】（1）证明：如图，连接OC，OD，
∵BC=CD，
∴∠BOC=∠COD=∠BOD，
又∵∠BAH=∠BOD，
∴∠BAH=∠BOC，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴OC⊥CH，
∵OC是⊙O的半径，
∴CH是⊙O的切线
（2）解：如图，连接AC，
∵BC=CD，
，
∴∠BAC=∠CAH，
又∵CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CE=CH，
∵BC=CD，
∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），
∴BE=DH，
∵点D为AH的中点，
∴AD=DH，
∴AD=BE；
（3）解：如图，延长CE交⊙O于点F，
∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
，
∴∠BCE=∠CBD，
∴GB=GC=10，
在中，，
，，
，
，，
，
，即，
，
∴AB=AE+BE=32+8=40，
在中，，
.
【知识点】切线的判定；切线的判定与性质；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接OC，OD，利用弧、弦、圆心角关系证∠BAH=∠BOC，得AH∥OC，结合AH⊥CH证OC⊥CH，从而判定 CH 为切线；
(2) 连接 AC，证Rt△CDA Rt△CEB（HL），或利用矩形、全等性质，推得AD=BE。
(3) 利用三角函数设未知数，结合切线长、相似三角形或勾股定理列方程，求解 BD 的长度。
25．【答案】（1）解：当y=0时，2x-10=0，解得x=5，则A（5，0），
当x=0时，y=2x-10=-10，则B（0，-10）
∵点C为OB的中点，
∴C（0，-5），
把A（5，0），C（0，-5）代入y=-x2+bx+c
得，
解得
∴抛物线解析式为y=-x2+6x-5；
（2）解：①过D作DE∥y轴交AB于E，如图，
设D(， )，则E(， )，
，
整理得，解得，
；
②抛物线解析式为，
抛物线的顶点为M(3，4)，
，，，
∴MD2+AD2=AM2，
∴MD⊥AD，
若D为直角顶点，则P与M点重合，即P（3，4），如图，
此时P点到抛物线对称轴的距离为0；
若P为直角顶点，如图，
过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，
∵∠APD=90°，
∴△DGP∽△PHA，
设，则：
，
，
，
，
，
，
点坐标为或；
若P点坐标为(，)，则P点到抛物线对称轴的距离为，
若P点坐标为(，)，则P点到抛物线对称轴的距离为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出A、B两点坐标，再根据中点公式得C点坐标，最后用待定系数法代入A、C坐标求抛物线解析式；
(2)①设D点坐标，表示△ABD的面积，列方程求解D的横坐标，进而得D点坐标；
②分两种直角情况（∠ADP=90°和∠APD=90)，构造一线三直角相似，设P点坐标列方程求解，再计算P到对称轴x=3的距离。
1 / 1四川省泸州市江阳七中2026年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（　　）
A． B． C．100 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：一个数的绝对值是这个数在数轴上对应点到原点的距离，因此的绝对值是100．
故选：C．
【分析】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合性质即可计算出结果.
2． 2025年1月11日，由我国梁文锋团队开发的AI人工智能软件Deepseek在全球上线，其强大的搜索功能轰动全球，上线仅18天，累计下载量达16000000次，数据“16000000”用科学记数法表示为（　　）
A．16×106 B．0.16×108 C．1.6×108 D．1.6×107
【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将16000000用科学记数法表示，首先确定a，满足1≤a<10，则a=1.6；
原数16000000变为1.6，小数点向左移动了7位，因此n=7。
所以16000000=1.6×107。
故答案为：D .
【分析】科学记数法的形式为a×10n(1≤∣a∣<10，n为整数)，需确定a和n的值，n由原数的位数或小数点移动的位数决定。
3．下列运算中，正确的是（　　）
A．4a4-a3=3a B．a3÷a2=1
C．（a+b）2=a2+b2 D．（ab2）2=a2b4
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：逐一分析选项，选项 A：4a4和a3不是同类项，无法合并，4a4 a3≠3a，A 错误；选项 B：根据同底数幂除法法则，a3÷a2=a3 2=a，B 错误；选项 C：由完全平方公式可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，C 错误；选项 D：根据积的乘方和幂的乘方法则，(ab2)2=a2 (b2)2=a2b4，D 正确。
故答案为：D.
【分析】 这道题考查整式的运算，核心是准确运用幂的运算法则、合并同类项法则、完全平方公式来逐一判断每个选项的正确性。
4．珐华器是山西传统工艺美术珍品之一，其造型典雅、釉色艳丽，因在晋南地区盛行烧制而得名.如图为一件法华器长颈瓶作品，关于该作品的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个法华器长颈瓶为轴对称的旋转体：主视图（从正面看）：呈现瓶身的纵向轮廓，包含瓶口、长颈、圆腹、底座的形状。左视图（从左面看）：因几何体左右对称，观察到的轮廓与主视图完全一致。俯视图（从上面看）：呈现为圆形（瓶口、瓶腹的俯视图均为圆），和主、左视图的纵向轮廓完全不同。因此主视图和左视图相同，俯视图不同。
故答案为：C .
【分析】这个长颈瓶是轴对称几何体，主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，二者形状、大小完全一致；俯视图是从上方观察，呈现为圆形，与主、左视图不同，据此判断选项。
5．在2021年的生物操作模拟考试中，甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差分别为： ， ， ， ，则四个班体考成绩最稳定的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为： ， ， ， ，
∴甲班的方差最小，
∴甲班体育考试成绩最稳定．
故答案为：A．
【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳的班级。
6．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3
C．x≠－1 D．x≠－1且x≠3
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得： 且
解得： 且
即自变量x的取值范围为：x≥－1且x≠3
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数≥零，分母不等于零，可以求出X的范围。
7．下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
B．两组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A：矩形的判定要求是对角线相等的平行四边形或三个角是直角的四边形，仅“有一个直角+对角线相等”的四边形不一定是矩形（可构造反例：一个直角、对角线相等但不互相平分的四边形），故A是假命题；
选项B：菱形的判定要求是四条边相等或一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直平分，仅“两组邻边相等”的四边形不一定是菱形（如筝形，仅两组邻边相等，对边不平行），故B是假命题；
选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，该四边形是菱形，故C是真命题；
选项D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，而非正方形（正方形还需对角线互相垂直、邻边相等），故D是假命题。
故答案为：C .
【分析】本题考查特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理，需逐一验证每个选项是否符合对应判定定理，找出真命题。
8．当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　）
A．y=-3x B．
C．y=3x+1 D．y=-（x-1）2-3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：选项A：y=-3x是正比例函数，k=-3<0，y随x的增大而减小，不符合题意；
选项B： 是反比例函数，k=3>0，在x>1的分支上，y随×的增大而减小，不符合题意；
选项c：y=3x+1是一次函数，k=3>0，y随x的增大而增大，符合题意；
选项D：y=－(x－1)2－3是二次函数，开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧（即x > 1）时，y随x的增大而减小，不符合题意。
故答案为： C.
【分析】本题考查一次函数、反比例函数与二次函数的增减性，重点关注 x>1 的区间内，函数值 y 是否随 x 增大而增大。
9． 若关于X的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程的分母为x-3，令x-3=0，得增根为x=3，
方程两边同乘(x-3)，得2+m=x-3，
将增根x=3代入整式方程：2+m=3-3，
解得m=-2.
故答案为：B .
【分析】分式方程有增根，意味着去分母后整式方程的解使原分式分母为 0。先确定增根 x=3，再将分式方程化为整式方程，把增根代入即可求出 m 的值。
10．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
由勾股定理得对角线。
因为矩形对角线相等且互相平分，
所以OB=OC=AC=5，△BOC的面积为矩形面积的四分之一，即。
连接OE，△BOC的面积可拆分为S△BOE+ S△COE，
即。
代入OB= OC=5，S△BOC=12，
得，
化简得，
解得。
故答案为：A .
【分析】利用矩形性质求出对角线长度与△BOC的面积，再将EF+EG转化为点E到两对角线的距离和，通过面积分割法列方程求解。
11．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE||CD，连接AE，
则∠APD=∠ABE，
在网络中用勾股定理可得：，，，
则，
由勾股定理逆定理可得是直角三角形，，
则
故答案为： C.
【分析】利用平移的方法作BE||CD，然后构造三角形ABE，利用勾股定理求出BE，AE的长度，用勾股定理的逆定理判断∠AEB为直角，最后利用正切的定义求值即可.
12．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①5a+b＜0；②若（4，y1），（-1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根；④对于任意实数m，a（m2-1）≤b（1-m）总成立； ⑤.其中结论正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数图象上点的坐标特征；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，顶点为(1，n)，
因此抛物线的对称轴为，即b=-2a；
由抛物线与×轴的交点对称性，另一个交点为(3，0)，
因此抛物线可表示为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a，故c=-3a，顶点纵坐标n=a(1+1)(1-3)=-4a。
又抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），即2≤c≤3，代入c=-3a得2≤-3a≤3，
解得，且抛物线开口向下，a<0。
①验证5a+b<0：
由b=-2a，得5a+b=5a-2a=3a，因a<0，故3a<0，结论①正确。
②比较y1与y2的大小：
抛物线对称轴为x=1，开口向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小。
点(4，y1)到对称轴的距离为|4-1|=3，点(-1.5，y2)到对称轴的距离为|-1.5-1|=2.5，
因为3>2.5，故y1③判断方程ax2+bx+c=n+1的根的情祝：
抛物线顶点纵坐标为n，即函数的最大值为n，因此y=n+1>n，直线y=n+1在抛物线顶点上方
故方程ax2+bx+c=n+1无实数根，结论③错误。
④验证a(m2-1)≤b(1-m)对任意实数m恒成立：
将不等式整理为am2-a≤-2a(1-m)，即am2-2am+a≤0，进一步化为a(m-1)2≤0。
因a<0，(m-1)2≥0，故a(m-1)2≤0对任意实数m恒成立，结论④正确。
⑥验证
由2≤c=-3a≤3，解得，结论⑤正确。
综上，①②④⑤正确，共4个正确结论，答案选D。
故答案为：D .
【分析】先根据抛物线的顶点坐标、与 x 轴的交点，确定抛物线的开口方向、对称轴、系数关系，再结合 y 轴交点的范围，逐一验证 5 个结论的正确性，统计正确结论的个数。
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
13．把因式分解的结果是　 　．
【答案】2b（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2b（a+2b）（a-2b）．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
14． 已知一元二次方程 的两个根分别是 和 ，则代数式 的值是　 　 .
【答案】-2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于 一元二次方程 的两个根分别是 和 ，
则可得x1+x2=2026，x1x2=-1，
代数式。
故答案为：-2026 .
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和 x1 +x2 与两根之积 x1 x2 ，再将所求代数式 因式分解、变形，用两根和、积表示后代入计算。
15．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为　 　 .
【答案】11
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组得：，
因为不等式组有且只有4个整数解，
所以可知，
解得，
故满足条件的整数a的和为5+6=11.
故答案为： 11.
【分析】分别解两个一元一次不等式，然后根据题目中只有4个整数解，可以得到关于a的不等式组，解之可得a的取值范围，进而求出满足条件的整数a的和。
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，-3），则点N的坐标为　 　 .
【答案】（9，0）
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，连接 PN。
因为⊙P 与 y 轴相切于点 Q，点 P 坐标为 (5，-3)，
所以圆 P 的半径 r=5，且 PA=3。
在 Rt△PAN 中，PN=5，PA=3，由勾股定理得：，
因为点 P 的横坐标为 5，所以点 A 的坐标为 (5，0)。
点 N 在 x 轴正半轴，且 AN=4，故点 N 的横坐标为 5+4=9，纵坐标为 0，即点 N 的坐标为 (9，0)。
故答案为：（9，0） .
【分析】 由⊙P 与 y 轴相切且 P (5，-3)，得圆的半径为 5；过 P 作 PA⊥x 轴于 A，由垂径定理得 AN=AM，再用勾股定理求 AN，结合 P 的横坐标得 N 的坐标。
17．如图，正方形ABCD的边长为，E为边AB的中点，连接CE，过点D作DF⊥CE，垂足为F，G为DF上一点，且DG=CF，则CG的长为　 　 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在正方形 ABCD 中，CD=BC= ，∠B=∠BCD=90°，E 是 AB 中点，
所以 BE= 。
因为 DF⊥CE，
所以∠DFC=90°，
于是∠CDF+∠DCF=90°，
又∠BCE+∠DCF=90°，可得∠CDF=∠BCE。
在△CDF 和△ECB 中，∠DFC=∠B=90°，∠CDF=∠BCE，
所以△CDF∽△ECB。
由相似得比例关系：。
在 Rt△EBC 中，。
代入得 DF=4，CF=2，
已知 DG=CF，所以GF=2，
在 Rt△DFC 中，∠DFC=90°，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】 先由正方形和垂直条件证明△CDF∽△ECB，利用相似对应边成比例求出 CF、DF；再根据 DG=CF 得出GF的长，最后在△CDG 中用勾股定理算出 CG。
三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18． 计算：.
【答案】解： 原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】 本题考查实数的混合运算，需依次化简二次根式、立方根、特殊角的三角函数值及零次幂，再按运算顺序进行加减运算。
19．化简：.
【答案】解：
.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约去公因式，完成化简。
20．今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x=_▲_，y=_▲_，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是　 　；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
【答案】（1）解：已知80≤a<90（良好）的频数为23，占比46%，因此抽取的总人数23÷46%=50人。
60≤a<70（较差）的频数为4，占比y=4÷50×100%=8%；
90≤a≤100（优秀）的频数为8，占比y=8÷50×100%=16%；
因此70≤a<80（一般）的占比x=1 8% 46% 16%=30%，对应频数为50×30%=15，补全直方图时在70 80组画高度为15的直条即可。
所以x=30%，y=16%。
补全直方图，如图即为所求；
故答案为：30%，16%；
（2）95
（3）解：样本中优秀（90≤a≤100）的占比为16%，该校共有1200人，
因此估计优秀人数为1200×16%=192人。
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人；
（4）解：设3名女生为A，B，C，1名男生为D，列表如下：
A B C D
A - (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) - (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) - (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) -
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生的结果有6种，
因此概率为。
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】（2）将这8个数据从小到大排序：91，93，94，94，96，98，99，100。
中位数为第4、5个数的平均数，即(94+96)÷2 =95，因此中位数为95。
故答案为：95。
【分析】(1)先由 “良好” 组的频数和占比求出抽取的总人数，再用各组频数除以总人数得到对应百分比，算出x、y，最后用总人数减去已知三组频数，得到 “一般” 组频数，补全直方图；
(2) 先将 8 个数据从小到大排序，再根据中位数定义（偶数个数据取中间两数的平均数）计算中位数；
(3)用样本中 “优秀” 的占比，乘以全校总人数，估计全校达到优秀的人数；
(4)用列表法列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽中 2 名女生的结果数，根据概率公式计算概率。
21．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
22．如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i=1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°.（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，，≈1.41）
（1）求点D到FC的距离；
（2）求塔AB的高度.（结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：过点D作DG⊥AB于G，作DH⊥BF于H。
已知斜坡CE的坡度 i=1： ，即 ，
因此∠DCH=30 。
又CD=10米，
在Rt△DCH中，米，
答：点D到FC的距离为5米；
（2）解：在Rt△DCH中，米，
由题意，四边形DHBG为矩形，因此BG=DH=5米，DG=BH。
设塔高AB=x米，在Rt△ABC中，∠ACB=45 ，故BC=AB=x米，
因此BH=BC+CH=米，即DG=米，AG=AB BG=x 5米。
在Rt△ADG中，∠ADG=31 ，由 ，代入参考数据tan31 ≈0.60，得：

解得：x≈0.410.19 ≈25.5
答：塔AB的高度为25.5米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据斜坡CE的坡度 i=1： ，结合CD=10米，求出D点到水平面BF的垂直高度DH和水平距离CH；
（2）过D作DG⊥AB、DH⊥BF，构造矩形DHBG，将AB设为未知数x，利用∠ACB=45得到AB=BC=C，从而表示出DG和AG的长度；然后在Rt△ADG中，利用tan31°的参考数据列方程，求解x得到塔高AB。
23．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式.
（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围.
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）解：∵C（1，4）在反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：，
∵D（4，m）在反比例函数图象上，
∴m=1，D（4，1），
∵C（1，4），D（4，1）在一次函数y=ax+b的图象上，
，解得：
∴一次函数解析式为：y=-x+5；
（2）解：根据图像，不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜1或x＞4；
（3）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为y=-x+5-m，
联立两个函数得：，整理得：x2-（5-m）x+4=0，
Δ=（5-m）2-4×1×4=0，
∴5-m=±4，
m=9或1，
∴直线AB向下平移1或9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】 (1) 将 C 点坐标代入反比例函数解析式求 k，再将 D 点代入反比例函数求 m，最后利用 C、D 两点坐标用待定系数法求一次函数解析式；
(2) 结合函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的 x 的取值范围；
(3) 设平移后的解析式，联立一次函数与反比例函数，利用判别式Δ=0求解平移的单位长度。
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD=BE；
（3）若cos∠DBA=，CG=10，求BD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC，OD，
∵BC=CD，
∴∠BOC=∠COD=∠BOD，
又∵∠BAH=∠BOD，
∴∠BAH=∠BOC，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴OC⊥CH，
∵OC是⊙O的半径，
∴CH是⊙O的切线
（2）解：如图，连接AC，
∵BC=CD，
，
∴∠BAC=∠CAH，
又∵CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CE=CH，
∵BC=CD，
∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），
∴BE=DH，
∵点D为AH的中点，
∴AD=DH，
∴AD=BE；
（3）解：如图，延长CE交⊙O于点F，
∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
，
∴∠BCE=∠CBD，
∴GB=GC=10，
在中，，
，，
，
，，
，
，即，
，
∴AB=AE+BE=32+8=40，
在中，，
.
【知识点】切线的判定；切线的判定与性质；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接OC，OD，利用弧、弦、圆心角关系证∠BAH=∠BOC，得AH∥OC，结合AH⊥CH证OC⊥CH，从而判定 CH 为切线；
(2) 连接 AC，证Rt△CDA Rt△CEB（HL），或利用矩形、全等性质，推得AD=BE。
(3) 利用三角函数设未知数，结合切线长、相似三角形或勾股定理列方程，求解 BD 的长度。
25．如图，直线y=2x-10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为.
①求点D的坐标；
②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离.
【答案】（1）解：当y=0时，2x-10=0，解得x=5，则A（5，0），
当x=0时，y=2x-10=-10，则B（0，-10）
∵点C为OB的中点，
∴C（0，-5），
把A（5，0），C（0，-5）代入y=-x2+bx+c
得，
解得
∴抛物线解析式为y=-x2+6x-5；
（2）解：①过D作DE∥y轴交AB于E，如图，
设D(， )，则E(， )，
，
整理得，解得，
；
②抛物线解析式为，
抛物线的顶点为M(3，4)，
，，，
∴MD2+AD2=AM2，
∴MD⊥AD，
若D为直角顶点，则P与M点重合，即P（3，4），如图，
此时P点到抛物线对称轴的距离为0；
若P为直角顶点，如图，
过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，
∵∠APD=90°，
∴△DGP∽△PHA，
设，则：
，
，
，
，
，
，
点坐标为或；
若P点坐标为(，)，则P点到抛物线对称轴的距离为，
若P点坐标为(，)，则P点到抛物线对称轴的距离为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出A、B两点坐标，再根据中点公式得C点坐标，最后用待定系数法代入A、C坐标求抛物线解析式；
(2)①设D点坐标，表示△ABD的面积，列方程求解D的横坐标，进而得D点坐标；
②分两种直角情况（∠ADP=90°和∠APD=90)，构造一线三直角相似，设P点坐标列方程求解，再计算P到对称轴x=3的距离。
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