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浙江浙东北联盟2025-2026学年高二下学期5月学科练习数学试题
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.72
3．已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
5．已知函数，是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．从4名男生和3名女生中选3人去参加比赛，若3人中既有女生又有男生的选法共有（ ）
A．18种 B．20种 C．30种 D．60种
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，则（ ）
A．50 B．55 C．99 D．101
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组数据的线性回归方程为，若，则
B．若随机变量X的数学期望，则
C．若随机变量X的方差，则
D．若随机变量，则
10．对于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数有三个零点
B．是函数的极小值点
C．点是曲线的对称中心
D．，成立，则
11．已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．
13．某班一天上午4节课，下午2节课，现要安排语文、数学、外语、物理、化学、体育6堂课的课程表，要求数学排在上午，体育不排在第一、二节，不同排法种数是______．（用数字作答）
14．假设一个随机数选择器每次等可能地从到这个数字中选一个数，那么在次选择后（数字可重复），选出的个数的乘积能被整除的概率为______．
四、解答题
15．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 20 30
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小．
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)判断函数的单调性，并求出的极值．
17．已知．
(1)求n的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．现有张相同的卡片，分别标有数字．
(1)从中不放回地随机取次，每次取张卡片，求标有数字的卡片被取到的概率；
(2)从中有放回地随机取次，每次取张卡片，
（ⅰ）求这次取到的卡片数各不相同的概率；
（ⅱ）记为这张卡片中从未被取到的卡片的张数，求的分布列和数学期望．
19．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求m的值；
(2)当时，求证：；
(3)若有两个不同的零点和，且，求证：．
参考答案
1．D
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以所求定义域为.
故选：D
2．A
【详解】由题意.
3．B
【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ .
∵ 是偶函数，∴ .
∵ 当时，，∴ ，即.
4．B
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
5．B
【详解】∵ ，根据导数的商运算法则，对 求导可得
∴
∵ ，∴ ，
6．C
【详解】方法1、间接法：
∵ 从7名学生中任选3人的总选法共有 种，
选3人全为男生的选法有 种，选3人全为女生的选法有 种，
∴ 3人中既有男生又有女生的选法为总选法减去全为男生、全为女生的选法，即 种.
方法二、直接法：
∵ 3人中既有男生又有女生包含两类情况：1名男生2名女生、2名男生1名女生，
选1名男生2名女生的选法有 种，
选2名男生1名女生的选法有 种，
∴ 总选法共有 种.
7．C
【详解】函数，则 ，
因为在上存在单调递增区间，所以在上有解，
所以当时，有解，
令，而当时，令 ，
即为，
此时(此时)，所以，
故实数a的取值范围为.
8．D
【详解】解法一：（赋值）令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以．
解法二：（赋值递推）令得，所以，
所以，累加得，
所以．
解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且，
所以．
9．AB
【详解】对于A，线性回归方程为一定过样本中心点，
已知，所以；
对于B，已知，则；
对于C，已知，则；
对于D，已知随机变量，
则.
10．BCD
【详解】∵ ，对其求导得 ，令 ，解得 或 .
当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.
对各选项逐一判断：
A选项：的极大值，
的极小值，画出函数的草图如下：
观察图像可得，仅个不同零点，故A错误.
B选项：∵ 时 单调递减， 时 单调递增，
∴ 是函数 的极小值点，故B正确.
C选项：三次函数 的对称中心横坐标为 ，代入得 ，
验证可得
，
∴ 点 是曲线 的对称中心，故C正确.
D选项：当 时，，其中 ，，故 ，当且仅当 或 时取等号，
∵ ， 恒成立，即 小于 在区间内的最小值，∴ ，故D正确.
11．ACD
【详解】对于A，由概率的乘法公式得，所以A正确；
对于B，由全概率公式得
，故B错误；
对于C，由贝叶斯公式得，故C正确；
对于D，由条件概率公式得，
，因，故D正确．
12．1
【详解】因为函数是奇函数，所以，
即，化简整理，得，即，
所以，解得.
所以实数a的值为.
故答案为：.
13．336
【详解】可分体育排在上午和下午两类情况：
①若体育排在上午：先排体育，有2种方法，再排数学，有3种方法，最后排其它4科，有种方法,
故体育排在上午的不同排法种数为；
②若体育排在下午：先排体育，有2种方法，再排数学，有4种方法，最后排其它4科，有种方法,
故体育排在下午的不同排法种数为；
故不同排法种数为.
14．
解析：解法一：（正面考虑）要能被整除，这三个数至少有一个和一个偶数，所以
第一类：个，个偶数，个其他（不是且不是偶数），共有种，
第二类：个，个相同偶数，共有种，
第三类：个，个不同偶数，共有种，
第四类：个，个偶数，共有种，
所以选出的个数的乘积能被整除的概率为．
解法二：（反面考虑）要不能被整除，这三个数没有或没有偶数，
没有共有种，没有偶数共有种，没有且没有偶数共有种，
所以选出的个数的乘积能被整除的概率为．
15．(1)与性别有关联；
(2)．
【详解】（1）零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关．
根据列联表中的数据得，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联，此推断错误的概率不大于0.001．
（2）方法一：依据题意，
方法二：由条件概率公式得．
16．(1)
(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；有极小值，无极大值．
【详解】（1）函数的定义域为，，
在点处的切线斜率，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）令，解得．
当x变化时，，的变化情况如下表所示，
单调递减 单调递增
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，有极小值，无极大值．
17．(1)6；
(2)3270；
(3)．
【详解】（1）令得，，所以；
（2）因为的展开式为，
当k为奇数时，的系数均为负，所以，即，
当k为偶数时，的系数均为正，所以，即，
所以，
令得，
所以；
即.
（3）因为的展开式为，
的值为展开式中项的系数之和,
即当时，其对应项系数并求和即可，
即的项为，
所以．
18．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列：
期望为．
【详解】（1）设“标有数字的卡片被取到”，依题意．
（2）（ⅰ）设“这次取到的卡片数各不相同”，依题意．
（ⅱ）易知的所有可能取值为
此时，，，
所以X的分布列为：
则．
19．(1)；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1），
因为是函数的极值点，则，得，
经检验，当，，当，，
所以是函数的极小值点，符合题意．
（2）证明：当时，，
若证，只需证，
所以，
因为，所以在上单调递增，
又因为，，所以存在，使得，
则，即，
当，，当，，
则在单调递减，在单调递增，
所以，即，
所以当时，.
（3）证明：，则（为函数的导函数），
知在区间内单调递增，所以在区间内存在唯一的零点，
即，
所以，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因为有两个不同的零点和，且，
所以，解得．
所以，
所以，所以，
令，
要证，即证，
即证．
令，
在上单调递增，且，
所以，在上单调递增，
所以．得证．

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