资源简介

高二数学期中
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设复数 z1 5 i，z2 1 2i， i为虚数单位，则复数 z1 z2 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
2. 已知集合M x∣x ∣1 2 ,N {x∣ 1},则M N （ ）
x 2
A. , 1 3, B. , 1 3,
C. , 2 3, D. , 2 3,
3. 某新能源车型的续航里程 X 2（单位：公里）服从正态分布 N 400, ．若该车型中95%的车续航里程
介于 360公里与 440公里之间，则续航里程超过 420公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：
P( X ) 0.68， P( 2 X 2 ) 0.95， P( 3 X 3 ) 0.99)
A. 16% B. 34% C. 66% D. 84%
4. 已知函数 f (x 1) 2的定义域为 (0,2)，则函数 f (x) f x 1 的定义域为（ ）
A. (1, 2) B. (1, 3) C. ( 2,2) D. (1,8)
x2 2ax a, x 0
5. 已知函数 f (x) x 在 R上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A. ( ,0] B. [ 1,0] C. [ 1,1] D. [0, )
6. 若 a,b 0，且 a b 2，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A. ab 1 B. 2
a b
C. a
2 b2
1 D. a b 2
2
2 2
7. x y双曲线C： 1 a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F ,F ，左、右顶点分别为 A , A ，以 F F 为
a2 b2 1 2 1 2 1 2
2π
直径的圆与 C的一条渐近线交于 M，N两点，且 NA1M ,则 C的离心率为（ ）3
A. 2 B. 21 C. 2 D. 133
8. 定义在 (0, )上的三个函数 f x 2x x, g x x2 2x, h x ln x 3x，若 f (a) g(b) h(c)，
则 a,b,c的大小关系不可能是（ ）
A. c b a B. c a b
C. a c b D. b a c
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9. 已知 a,b,c,d R，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若a c b c ，则 a b
B. 若a b,c d ，则 ac bd
1 1
C. 若ab 0，且 a b，则
a b
a b c 0 a a cD. 若 ，则
b b c
10. 定义在R上的函数 f (x)满足 f (2x 1)为偶函数，且 f x 2 f x ，则下列说法中正确的有（ ）
1
A. 函数 f (x)的图象关于直线 x 对称
2
B. 函数 f (x)的图象关于直线 x 3对称
C. 函数 f (x)的图象关于 (2,0)成中心对称
D. f (2026) 0
11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指
三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A. 三组对棱长度分别为 5，6，7的“等腰四面体”的体积为 2 95
B.“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为 a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 a2 b2 c2
D.“等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
n
12. 若 x
2
的展开式的二项式系数和为 32，且 x
2 的系数为__________．
x
13. 已知变量 x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现 y与 x之间具有线性相关关系，利用最小
二乘法，计算得到经验回归直线方程为 y b x a ，且当 x=9时，残差为-0.1．则当 x=11时，y的预测值为
___________．
x 5 6 7 8 9
y 3.5 4 5 6 6.5
14. 现有一盒子里装有序号分别为1,2,3, 4,5,6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不
放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为 a1,a2 ,a3，
则满足∣a2 a∣1 ∣a3 a∣2 ∣a3 a∣1 8的情况有______种．
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量m a, 3b 与n cos A,sin B 平行.
（1）求 A；
（2）若a 7 ，b 2，求△ABC的面积.
16. 已知函数 f x 2x3 3ax2 1 a R ．
（1）当 a 1时，求 f x 的单调区间；
（2）求 f x 在区间 0,2 上的最小值．
17. 已知 an 是等差数列，其前 n项和为 Sn , bn 是等比数列，已知 a1 1,S3 6,b1 a2 ,a8是a4和b4的等
比中项．
（1）求 an 和 bn 的通项公式；
1
（2）求数列 1 n log b 2 n 的前 n项和
T．
3an 1 3a
n
n 1 1
18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的
可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正
常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为 p，一个乙型部件的可靠度为 q，且
p q 5 ，系统能正常运行称为试验成功.
3
（1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒 9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在
30,60 内甲型部件可以正常工作.
盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42
盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34
盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64
盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57
盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59
盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度 p；
（ii）若 p取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作
的概率；
（2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的
部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化
方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
2
19. 已知 F1，F
x
2是椭圆C： y 2 1上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点．2
（1）设R x0 ,y0 y0 0 ，点 R处的切线 l的斜率为 k1，请用 R的坐标表示 k1．
（2）（i）求 PQR的面积的最大值；
（ii）当 PQR的面积取最大值时，求 PQR的重心的坐标．高二数学期中
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设复数 z1 5 i，z2 1 2i， i为虚数单位，则复数 z1 z2 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】因为 z1 z2 5 i 1 2i 4 i，在复平面上对应的点为 4,1 ，位于第一象限，故 A正确.
2. 已知集合M x∣x ∣1 2 ,N {x 1∣ 1},则M N （ ）
x 2
A. , 1 3, B. , 1 3,
C. , 2 3, D. , 2 3,
【答案】D
【解析】
【详解】由 x 1 2，解得 x 3或 x 1，所以M {x∣x 1或 x 3}，
1 1 1 1 x 1由 ，所以 0 x 1 x 2 0，解得 x 2或 x 1，
x 2 x 2 x 2
所以 N ={x∣x < -2或 x 1}，所以M N {x∣x 2或 x 3}．
3. 某新能源车型的续航里程 X 2（单位：公里）服从正态分布 N 400, ．若该车型中95%的车续航里程
介于 360公里与 440公里之间，则续航里程超过 420公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：
P( X ) 0.68， P( 2 X 2 ) 0.95， P( 3 X 3 ) 0.99)
A. 16% B. 34% C. 66% D. 84%
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知的概率正态分布的均值和方差，再利用正态分布的对称性求出概率即可.
2
【详解】因为续航里程 X 服从正态分布 N 400, ，即 400，
由题意 P(360 X 440) 0.95，又 P( 2 X 2 ) 0.95，
所以 2 400 2 360, 2 400 2 440，所以 20，
P(X 420) P(X ) 1 P( X )所以 0.16 16% .
2
故选：A.
4. 已知函数 f (x 1)的定义域为 (0,2)，则函数 f (x) f x2 1 的定义域为（ ）
A. (1, 2) B. (1, 3) C. ( 2,2) D. (1,8)
【答案】C
【解析】
【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 .
【详解】函数 f (x 1)的定义域为 (0,2)，则1 x 1 3，所以函数 f x 的定义域为 (1,3)；
若函数 f (x) f 2 1 x 3x 1 有意义，则 2 ，解得1 x 1 3 2 x 2．
则函数 f x f x2 1 的定义域为 ( 2,2) .
x2 2ax a, x 0
5. 已知函数 f (x) x 在 R上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A. ( ,0] B. [ 1,0] C. [ 1,1] D. [0, )
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 f x x在R 上单调递增，且 x 0时， f x e ln x 1 单调递增，
2a
0
则需满足 2 1 ，解得 1 a 0，

a e
0 ln1
即 a的范围是[ 1,0] .
故选：B.
6. 若 a,b 0，且 a b 2，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A. ab 1 B. 2
a b
C. a
2 b2
1 D. a b 2
2
【答案】C
【解析】
【详解】因为 a b 2 ab ， a b 2，而 ab 1不一定成立，例如 a 0.5，b 2，故 A不正确；
a b a b 4
1 1
因为 ab a b a b，
a b 2
2
4 1 1 4 4
若 a b 2，则 2， ，而 不一定小于 2，比如 a 0.1，b 2，故 B不正确；
a b a b a b a b
a2 b2 a b a2 b2
因为 ，若 a b 2，则 1，故 C正确；
2 2 2
a b a b a b
因为 ，若 a b 2 1，
2 2 2
a b
不一定大于 1，例如a 2，b 0.01，故 D不正确．
2
2
7. C x y
2
双曲线 ： 1 a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1,F2 ，左、右顶点分别为 A1, A2 ，以 F1F2 为a2 b2
2π
直径的圆与 C的一条渐近线交于 M，N两点，且 NA1M ,则 C的离心率为（ ）3
A. 2 B. 21 C. 2 D. 133
【答案】B
【解析】
M a,b MA A A NAM 2π【分析】联立圆与双曲线渐近线方程得出 ，知 2 1 2 ，又由 1 确定 A1MA
π

3 2 3
2a 2
得 3 b ，最后根据 e 1
b
求得离心率 .
a
【详解】如图所示：
以 F1,F
b
2 为直径的圆的方程为 x2 y2 c2，双曲线的渐近线为 y x，a
b2
联立圆的方程与渐近线方程得 x2 2 x
2 c2，
a
c2
化简得 x2 c2，解得M a,b ，所以MA2 x轴，a2
又因为MN与 A1A2 相互平分，所以四边形MA1NA2 为平行四边形，
2π π
又因为 NA1M ，所以 A3 1
MA2 ，3
A1A2 3 2a所以 MA ，即 3，2 b
b 2 b2 7
所以 ，所以 e2a 1 e
21
，从而 ．
3 a2 3 3
8. 定义在 (0, ) x上的三个函数 f x 2 x, g x x2 2x, h x ln x 3x，若 f (a) g(b) h(c)，
则 a,b,c的大小关系不可能是（ ）
A. c b a B. c a b
C. a c b D. b a c
【答案】D
【解析】
【详解】采用描点法作出草图如下表：
x 1 2 3 4 5 6
f x 3 6 11 20 37 70
g x 3 8 15 24 35 48
h x 3 6 ln2 9 ln3 12 2ln2 15 ln5 18 ln6
函数图象如下：
令 f a g b h c k，
当 k 40时， c b a，故 A正确；
当 k 4时， a c b，故 C正确；
当 k 12时， c a b，故 B正确．
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9. 已知 a,b,c,d R，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若a c b c ，则 a b
B. 若a b,c d ，则 ac bd
1 1
C. 若ab 0，且 a b，则
a b
a a c
D. 若a b c 0，则
b b c
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项 B通过举出反例来说明其错误，选项 A、C、D利用不等式的性质来说明其正确．
【详解】选项 A： a c b c ，所以 c 0，所以 c 0，故 a b，故 A正确；
选项 B：当 a 3,b 2,c 1,d 2时，ac bd，故 B错误；
1 1
对于 C：因为 ab 0，所以a，b同号，故 a b时， ，故 C正确；
a b
对于 D：由糖水不等式0 b b c a a c，所以 ，故 D正确．
a a c b b c
10. 定义在R上的函数 f (x)满足 f (2x 1)为偶函数，且 f x 2 f x ，则下列说法中正确的有（ ）
1
A. 函数 f (x)的图象关于直线 x 对称
2
B. 函数 f (x)的图象关于直线 x 3对称
C. 函数 f (x)的图象关于 (2,0)成中心对称
D. f (2026) 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据 f (2x 1)为偶函数，可得到 f (x)的图象关于直线 x 1对称，再根据 f x 2 f x 可
得到 f (x)的图象关于直线 x 3对称，进而可得到 f (x)的周期，再判断各个选项的正确性.
【详解】 y f 2x 1 为偶函数， f 2x 1 f 2x 1 ，
即 f t 1 f t 1 ， y f t 的图象关于直线 t 1对称，
即函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，故 A错误；
又 f x 2 f x , f x f (2 x)， f 2 x f 2 x 0，
故函数 f x 关于 (2,0)中心对称，故 C正确；
而函数 f x 有对称轴 x 1，有对称中心点 (2,0)，由对称性可得函数 f x 关于直线 x 3对称，故 B正确；
又 f x 2 f x ， f (x 4) f (x 2), f (x 4) f (x)，
所以函数 f x 为周期函数，周期是4, f 2026 f 2 0，故 D正确．
11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指
三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A. 三组对棱长度分别为 5，6，7的“等腰四面体”的体积为 2 95
B.“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为 a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 a2 b2 c2
D.“等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合
【答案】ABD
【解析】
【分析】将“等腰四面体”放入长方体内，分别对选项进行一一求解. 选项 A，长方体的三条面对角线分
别为 a 5,b 6,c 7，设长方体的长宽高分别为 x, y, z，列出关于 x, y, z的方程组，从而求出 x, y, z的值，
则“等腰四面体”的体积V xyz 4 1 1 xyz，代入数值得解；选项 B，用 x, y, z表示“等腰四面体”
3 2
的每个面的三条棱长，得到四个面全等，求出任意两条边的平方和大于第三边的平方，从而得到“等腰四
面体”的每个面均为锐角三角形，从而得到结论；选项 C，球的直径 2R x2 y2 z2 计算得解；选项 D，
“等腰四面体”的外接球球心O为体对角线的中点，由四面体O ACD1,O ACB1,O CB1D1,O AB1D1
是全等的四面体，得到O到面 ACD1，面 ACB1,面CB1D1，面 AB1D1的距离相等，从而得到O也为“等腰
四面体”的内切球球心，从而得到结论．
【详解】如图所示，可将“等腰四面体”放入长方体内，
选项 A，长方体的三条面对角线分别为 a 5,b 6,c 7，
x2 y2 25
x, y, z y2 z2设长方体的长宽高分别为 ，所以有 36，
x2 z
2 49
x 19

2 2
累加得 2 x y z2 110 ，解得 y 6 ，

z 30
1 1 1
所以“等腰四面体”的体积V xyz 4 xyz xyz 2 95 ，故 A正确；
3 2 3
选项 B，“等腰四面体”的每个面的三条棱长分别为 x2 y2 , x2 z2 , y2 z2 ，
故四个面全等，
2 2 2x2 y2 x2 z2 2x2 y2 z2 y2 z2


又 2 2 2x2 y2 y2 z2 x2 2y2 z2 x2 z2 ，

2 2 22 2 y z x2 z2 x2 y2 2z2 x2 y2
“等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，故 B正确；
x2 y2 a2

C y2选项 ，可知 z2 b2 2 2 2 2 2 2，累加得 2 x y z a b c ，

x
2 z2 c2
2 2 2
球的直径 2R x2 y2 z 2 a b c ，故 C错误；
2
选项 D，因为“等腰四面体”的外接球球心O为体对角线的中点，
故OA OC OD1 OB1 R （ R为外接球的半径），
从而四面体O ACD1,O ACB1,O CB1D1,O AB1D1是全等的四面体，
故O到平面 ACD1，平面 ACB1,面CB1D1，平面 AB1D1的距离相等，
故O也为“等腰四面体”的内切球球心，故 D正确．
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
n
12. 若 x
2
的展开式的二项式系数和为 32，且 x
2 的系数为__________．
x
【答案】 80
【解析】
【分析】由二项式系数和求得 n 5，再由通项公式即可求解.
【详解】由题意可得 2n 32，即 n 5，
k
5 k 2 5 3k
通项公式Tk 1 C
k
5 x Ck 2 k x 25 ，
x
5 3k
令 2，可得： k 3，
2
所以 x 2 的系数为C35 2
3 80，
故答案为： 80
13. 已知变量 x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现 y与 x之间具有线性相关关系，利用最小
二乘法，计算得到经验回归直线方程为 y b x a ，且当 x=9时，残差为-0.1．则当 x=11时，y的预测值为
___________．
x 5 6 7 8 9
y 3.5 4 5 6 6.5
【答案】8.2
【解析】
【分析】经验回归直线方程 y b x a 过样本点的中心 x , y ，所以把 x , y 代入 y b x a ，结合残差公
式联立方程组可求得 a的值，再代入 x 11求解即可.

【详解】由已知得 x 7，y 5，所以5 7b a ，①
又因为 x 9时，残差为-0.1，故6.5 0.1 9b a ，②
联立①②得b 0.8，a 0.6；所以经验回归直线方程为 y 0.8x 0.6，
所以，当 x 11时， y 0.8 11 0.6 8.2．
14. 现有一盒子里装有序号分别为1,2,3, 4,5,6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不
放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为 a1,a2 ,a3，
则满足∣a2 a∣1 ∣a3 a∣2 ∣a3 a∣1 8的情况有______种．
【答案】36
【解析】
【分析】由题设条件得max a1，a2，a3 min a1，a2，a3 =4，设min a1，a2，a3 x，则
max a1，a2，a3 x 4，还有一个数为 x d ，则 x 1,2 ，d 1,2,3 ，讨论 d 并结合排列数，即可
求所有情况数.
【详解】对 a1，a2，a3的大小进行讨论，设M a2 a1 a3 a2 a3 a1 ，
① a1 a2 a3时，M a2 a1 a3 a2 a3 a1 2 a3 a1 ；
② a1 a3 a2时，M a2 a1 a2 a3 a3 a1 2 a2 a1 ；
③ a2 a1 a3 时，M a1 a2 a3 a2 a3 a1 2 a3 a2 ；
④ a2 a3 a1 时，M a1 a2 a3 a2 a1 a3 2 a1 a2 ；
⑤ a3 a1 a2 时，M a2 a1 a2 a3 a1 a3 2 a2 a3 ；
⑥ a3 a2 a1时，M a1 a2 a2 a3 a1 a3 2 a1 a3 ．
综上：M 2 max a1，a2，a3 min a1，a2，a3 ，
即max a1，a2，a3 min a1，a2，a3 =4，
不妨设min a1，a2，a3 x，则max a1，a2，a3 x 4，还有一个数为 x d ，
显然 x 1，2 ，d 1，2，3 ，对于任意 x取值，都有如下情况：
当 d 1 3时，三个数为 x，x 1，x 4，有A3 6种方法；
当 d 2时，三个数为 x，x 2，x 4 3，有A3 6种方法；
当 d 3时，三个数为 x，x 3，x 4 3，有A3 6种方法，
所以一共有 2 6 6 6 36种．
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
m a, 3b n 15.△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量 与 cos A,sin B 平行.
（1）求 A；
（2）若a 7 ，b 2，求△ABC的面积.
π
【答案】（1） A
3
3 3
（2）
2
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到 a sin B 3bcos A 0，利用正弦定理化简得到答案.
（2）利用余弦定理计算得到 c 3，再计算面积即可.
【小问 1详解】

（1）向量m a, 3b 与 n cos A,sin B 平行，
所以 a sin B 3bcos A 0，
由正弦定理可知： sin Asin B 3 sin Bcos A 0 ，
B 0, π ， sin B 0，
所以 tan A 3， A 0,π ，
A π可得 ；
3
【小问 2详解】
a 7，b 2，
由余弦定理可得： a2 b2 c2 2bccos A，
可得7 4 c2 2c，
解得 c 3或 c 1（舍），
ABC S 1 bc sin A 1 3 3 3 的面积为 2 3 ．
2 2 2 2
16. 3 2已知函数 f x 2x 3ax 1 a R ．
（1）当 a 1时，求 f x 的单调区间；
（2）求 f x 在区间 0,2 上的最小值．
【答案】（1） f x 的单调递增区间为 , 1 , 0, ，单调递减区间为(-1,0)．
（2）当 a 0时， f x 1 f x 17 12a 3min ；当a 2时， min ；当 2 a 0时， f x a 1min ．
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果；
（2）求导，分 a 0、 a 0和 a 0三类情况进行讨论，对于 a 0的情况，再细分 a 2和 a 2
两种情况讨论可得结果.
【小问 1详解】
因为 a 1 3 2时， f x 2x 3x 1，
所以 f x 6x2 6x 6x x 1 ，
令 f x 0，解得 x1 0, x2 1，
所以 x , 1 , 0, 时， f x 0； x 1,0 时， f x 0，
所以 f x 的单调递增区间为 , 1 , 0, ，单调递减区间为(-1,0)．
【小问 2详解】
f x 6x2 6ax 6x x a ，令 f x 0，解得 x1 0, x2 a，
①当 a 0，即 a 0时，
f x 6x2 0, f x 在R上单调递增；所以 f x f 0 1min ；
②当 a 0，即 a 0时，
对于 x 0,2 ， f x 6x x a 0，故 f x 在 0,2 上单调递增，
所以 f x f 0 1min ；
③当 a 0，即 a 0时，
x ,0 时， f x 0, f x 单调递增；
x 0, a 时， f x 0, f x 单调递减；
x a, 时， f x 0, f x 单调递增，
若 a 2，即 a 2，则 f x 在 0,2 上单调递减，所以 f x f 2 17 12amin ；
若 a 2，即 2 a 0，则 f x 在 0, a 上单调递减， a, 2 上单调递增，
所以 f x f a a 3 1min ；
综上：当 a 0时， f x f 0 1min ；
当 a 2时， f x f 2min 17 12a；
当 2 a 0时， f x f amin a
3 1．
17. 已知 an 是等差数列，其前 n项和为 Sn , bn 是等比数列，已知 a1 1,S3 6,b1 a2 ,a8是a4和b4的等
比中项．
（1）求 an 和 bn 的通项公式；
1
（2）求数列 1 n log 2bn 的前 n项和Tn．
3an 1 3an 1 1
n
【答案】（1） an n，bn 2 ．
n n
n为偶数 ,
2 T 2 6n 4（ ） n
n 1 n n为奇数 . 2 6n 4
【解析】
【分析】（1）由 a1 1,S3 6求出 an 的通项公式，再由b1 a2 ,a8 是a4 和b4的等比中项可求出 bn 的通
项公式；
（2）利用裂项相消法和分组求和法求前 n项和.
【小问 1详解】
设等差数列 an 的公差为 d ，因为 a1 1,S3 6，
可得 S3 3a2 6，所以 a2 2，解得d a2 a1 1，
所以 an a1 n 1 d n，
则b1 a2 2,a4 4, a8 8，
a8是 a4和b
2
4的等比中项，可得 a8 a4b4 ，所以b4 16，
设等比数列 b 的公比为 q 3n ，则b4 b1q 2q3 16，解得q = 2，
b b qn 1 2 2n 1 n所以 n 1 2 ，
n
所以数列 an 的通项公式为 an n，数列 bn 的通项公式为bn 2 ．
【小问 2详解】
1 1 1 n log b n 3a 1 3a 1 2 n


1 n
3n 1 3n 2 ．n n 1
1 1 1 1
又因为 3n 1 3n 2 3

3n 1 3n
，
2
1 n H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n所以 的前 项和

． 3n 1 3n 2
n 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 6 9n 6 6n 4
n
记 1 n 的前 n项和为Gn ，
当 n
n
为偶数时，Gn 1 2 3 4 n 1 n ；2
n n 1 n 1
当 n为奇数时，Gn Gn 1 1 n n ，2 2
n n
n为偶数 ,
T 2 6n 4综上： n
n 1 n n为奇数 .
2 6n 4
18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的
可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正
常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为 p，一个乙型部件的可靠度为 q，且
p q 5 ，系统能正常运行称为试验成功.
3
（1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒 9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在
30,60 内甲型部件可以正常工作.
盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42
盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34
盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64
盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57
盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59
盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度 p；
（ii）若 p取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作
的概率；
（2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的
部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化
方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
p= 42 = 7 P B A 35【答案】（1）可靠度
54 9 51
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据图表中的数据即可求出甲型部件的可靠度，再根据条件概率的定义即可求得这个系统中
两个甲型部件同时正常工作的概率；
（2）根据题干可得一共有两种分配方案，分别计算出他们的概率比较大小即可得到优化方案.
【小问 1详解】
（i）甲型部件的总数为6 9 54，根据题中表格统计指标在 30,60 的甲型部件个数为7+7+7+6+8+7=42，
42 7
故甲型部件的可靠度 p= = ；
54 9
5
（ii）又一个甲型部件的可靠度为 p，一个乙型部件的可靠度为 q，且 p q ，
3
5 7 8
故乙型部件的可靠度为 q= ，设“系统试验成功”为事件 A,“两个甲型部件同时工作”为事件 B，
3 9 9
设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件 C，
P C 8 8 7 7 8
2 72
则 ,
9 9 9 9 94
设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件 D，
P D C1 7 7 8 1 16 7
2
则 2 ,9 9 9 9 94
设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件 E，
2
则 P E C1 8 8 7 2 28 8 2 ,9 9 9 9 94
2 2 2 2
P A P C P D P E 8 7 16 7 28 8 ,
94
82 2 2P AB P C P D 7 16 7 ,
94
P B A P AB 8
2 72 16 72 3920 35
,
P A 82 72 16 72 28 82 5712 51
【小问 2详解】
（2）优化后系统可靠度提高了.
原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正
常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所
以可靠度提高了.
按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法：
方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，
设此时可靠度为 P3；
方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型
部件，设此时可靠度为 P4 .
P3 1 (1 p)
2 1 (1 q)
2 2p p2 2q q2
4pq 2pq2 2qp2 p2q2 pq(4 2p 2q pq) 2 pq p2q2 ；
3
P4 [1 (1 p)(1 q)]
2 ( p 25 10 q pq)2 pq p2q2 ,
9 3
P P 4pq 25
2
4p 5 p 253 4 4p
2 20p 25 5 4 p ,
9 3 9 3 9 6
2
因为 p 5 2 q ，所以 p 1 5，P3 P4 4
p 0，即 P3 P3 3 6 4
，

5
所以当 p q 时，两个方案都可以；
6
当 p q时，方案二可靠度更高.
2
19. 已知 F1，F
x
2是椭圆C： y 2 1上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点．2
（1）设R x0 ,y0 y0 0 ，点 R处的切线 l的斜率为 k1，请用 R的坐标表示 k1．
（2）（i）求 PQR的面积的最大值；
（ii）当 PQR的面积取最大值时，求 PQR的重心的坐标．
x0
【答案】（1） k1 2y0
3 6
（2）（i） ；（ii）O 0,0
4
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解.
（2）（i）分别按照直线 PQ的斜率不存在和存在这两种情况讨论求解，设出直线 PQ．通过联立椭圆方程，
通过整理得到 PQ，利用三角形的面积得到 S PQR ．通过构造函数，利用导数的单调性得到最大值.
（ii）分别按照直线 PQ的斜率不存在和存在这两种情况求解，通过（i）可以得到 R的坐标，PQ的中点M 的
坐标，从而得到O是 PQR的重心.
【小问 1详解】
1
2 2
当 y
2
0 时， y 1 x , y 1 x x 1 x ，R x0 ,y0 y0 0 ,2 2 2 2 y
x
R 0故 点处的切线的斜率 k1 2y ．0
1
2 2
y 0 x 1 x 2当 时， y 1 , y 1 x x ，
2 2 2 2 y
x
故 R 0点处的切线的斜率 k1 2y ，0
x0
综上可知， R处的切线 l的斜率为 k1,k1 2y ．0
【小问 2详解】
（i）①当 PQ的斜率不存在时，不妨设直线 PQ：x t 0 t 2 ．
x t 2
联立椭圆方程 ，整理得x2 2y2 y
2 2 t ，
2 2
2 t 2
因此 PQ 2 2 2 t 2 ，
2
当 R为椭圆的左端点， PQR的面积取最大值，
此时 R到直线 PQ的距离为 t 2，
1 2 2S 2 t
t
PQR t 2 2 2 t 2 1 1 ．2 2 2
t
设 x, x 0,1 ，
2
设 f x x 1 2 1 x2 , x [0,1），则 f x 2 x 1 2 1 2x ，
当 f x 0 1时，1 2x 0，解得 x ，则 f x 在 0, 1 上是单调递增函数，2 2
当 f x 1 0 1 时，1 2x 0，解得 x ，则 f x 在 , 上是单调递减函数，2 2
2 2
f x 1 f 1 1 1 1 1 27故 在 x 处取得最大值， ，2 2 2 2 16
1 27 t 1故 f x f 2 2 ，此时
，即 t ，
16 2 2 2
因此 S PQR 2 f
t 3 6 2
，当且仅当R 2,0 ,t 时取最大值；
2 4 2
②当 PQ的斜率存在时，设直线 PQ：y kx m，由对称性，不妨设 k 0,m 0，
2 2 2
联立 x2 2y2 2得 1 2k x 4kmx 2m 2 0，
Δ 16k 2m2 4 1 2k 2 2m2 2 8 2k 2则 1 m2 0，
4km 2m 2x x x x 21 2 ， ，1 2k 2 1 2 1 2k 2
2 2
故 PQ 1 k 2 x1 x2 1 k
2 2 2 2k 1 m ，
1 2k 2
先固定 P,Q，要使得 PQR的面积最大，
即 R x0 , y0 点处的切线 l与 PQ平行，即 k1 k，
x
1 k 0由（ ）可知 1 k2y ，则
x0 2ky0，
0
x2 2y2 1代入椭圆方程得到 0 0 2 y
2
，解得 0 ，2k 2 1
根据 k 0，m 0，可知 y0 0，
y 1故 0 2 ，（当m 0时，由椭圆的对称性，取 y2k 1 0
0），

kx m y m 2k
2 1 y 2
则点 R到直线 PQ的距离 d 0 0
0 2k 1 m
，
1 k 2 1 k 2 1 k 2
1 2 2 2S d PQ 1 2k 1 m 2 2 1 k 2k 1 m
2
此时 PQR 2 2 1 k 2 1 2 k 2
2 2k 2 1 m 2k 2 1 m2
．
1 2k 2
令 n 2k 2 1，
2 2 2 n m 32 n m n m n m 3则 S 2 1 m 1 m PQR n2 n2 n n
，

m
由Δ 0可知， 2k 2 1 m2 ，即 n m ，故 [0,1）．
n
m
设 x [0,1），设 f x x 1 3 1 x ，
n
f x 3 x 1 2 1 x x 1 3 2 2 3 3x2 1 2 1 2 2 1 ， x x x
当 f x 0 x 1 1时， 2x 1 0，解得 ，则 f x 在 0,
2 2
上是单调递增函数，

当 f x 1 0 1时， 2x 1 0，解得 x ，则 f x 在 ,
2 2
上是单调递减函数，

3
故 f x 在 x 1 处取得最大值， f 1 1 1 27 1

2 2 2
1
2
，
16
f x f 1 27故 2 ， 16
S 2 f m 3 6故 PQR ，
n 4
x 2ky m 1当且仅当 ，且 时取等，即 2k 20 0 n 2 1 4m
2时取等．
综上可知， PQR 3 6的面积的最大值为 .
4

（ii）由（i）可知，当 PQ斜率不存在时， R 2,0 ,PQ 2的中点为M ,0 , OR 2OM ，
2
所以O是 PQR的重心；
当 PQ斜率存在时，当 S 2 2 PQR 取最大值时， 2k 1 4m ，
且 R x0 , y0 坐标满足 x0 2ky0，
设 PQ的中点为M ，则（i）中由韦达定理可知，
x x 1 x2 2km 2km kM ，2 1 2k 2 4m2 2m
2 2 2
则 yM kxM m
k 2m k 1
m ，
2m 2m 4m
yM 1 y0 1 1 1
则 ，且 y0 2yx 2k x 2 2 M ，M 0 2k 1 4m 2m
即 R,O,M 三点共线，且满足 RO 2 OM ，因此O 0,0 为 PQR的重心．

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