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数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则M与N的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
5．如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
6．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，设函数的零点个数为，则（ ）
A．4049 B．4050 C．4051 D．4052
8．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．-1 D．
二、多选题
9．若随机变量X服从正态分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，成等比数列
B．若数列为等差数列，则数列为等比数列
C．若，则数列为等比数列
D．各项均为正数的数列满足（，且），，，则
11．如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（ ）
A．长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线
B．点P在底面上的轨迹是一条直线
C．若角是直线和平面所成角,则的最大值是
D．不存在点,使得
三、填空题
12．为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______.
13．已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______.
14．已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______.
四、解答题
15．已知函数.
(1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值；
(2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围.
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求B；
(2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积.
17．如图，已知在斜三棱柱中，是边长为2的菱形，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，，求与平面所成线面角的正弦值.
18．某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为.
(1)求与的值；
(2)求与的关系式；
(3)求.
19．对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”.
(1)若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程；
(2)在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由；
(3)已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：）
参考答案
1．D
【详解】已知集合，
因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足，
即，，所以集合，集合M中的元素是一个点.
集合，集合N中的元素是两个数0和1.
所以集合M与集合N没有公共元素，即.
2．C
【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误；
选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误；
选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确；
选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误.
3．C
【详解】由换底公式得，，，
所以，
所以.
故选：C.
4．A
【详解】对于A，，
又，因此，
与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线，
选项B，，，不存在实数使，不共线；
选项C：，，不存在实数使，不共线；
选项D：，，不存在实数使，不共线.
5．B
【详解】设圆柱的高为，底面半径为，可知，
则圆锥的母线长为，
所以剩下几何体的表面积为.
故选：B.
6．D
【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径，
而点在轴上，则，又，
于是，而不重合，即，
所以M点的轨迹方程为.
故选：D
7．C
【详解】的零点个数即为方程的解的个数，
即为函数与函数 的图象的交点个数.
函数的最小正周期为.所以.
又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可.
当时，，
结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以.
当时，，
结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以.
每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个，
所以数列是公差为2的等差数列，
所以.
所以.
8．A
【详解】函数的定义域为，.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值.
又当时，，且，
若，，则，
所以，即.
所以.
所以当，即时，取得最小值，最小值为.
9．ABD
【详解】随机变量X服从正态分布，所以
对于A，由正态分布的对称性，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
所以，故D正确.
10．BD
【详解】对于A，当时有，此时，，不成等比数列，故A错误；
对于B，若为等差数列，设其公差为，则此时有，
且，所以数列为等比数列，故B正确；
对于C，若，则，
（），
不满足，于是，
则，所以数列不是等比数列，故C错误；
对于D，令，由题意可知，
因为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
则，故D正确.
11．ABC
【详解】
对于A，长方体共有12条棱和4条体对角线，共16条直线，
总直线对：，
相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共；
体对角线相交于中心，共，每条体对角线与6条棱相交，共，总计，
平行直线对：每组平行棱有4条，共3组（长、宽、高），每组，共；体对角线无平行，
所以异面直线对：，A正确；
对于B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
，，，设，
，，
由，得，
化简得，在平面内，这是一条直线方程，
所以点P在底面上的轨迹是一条直线，B正确；
对于C，直线和平面所成角为，设，
，
要使最大，即求最小，
而是到原点的距离，
的最小值为原点到直线的距离，
，此时的最大值是，正确；
对于D，，，
若，则，即，
联立，消去，得，
，有实数解，
所以存在点，D错误．
12．/
【详解】由，则，
则，
由A，B，C，P四点共面，则，解得.
13．
【详解】由已知得：，
设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示），
因为在以为圆心，为半径的圆上，所以，
又为的中点，为的中点，所以，
由椭圆的定义知：.
14．
【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10，
其概率为，，
所以期望
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）函数的定义域为.
则.因为曲线在处的切线斜率为1，
所以 ，解得；
（2）函数的定义域为.
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则
，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，所以．
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以 ，
由正弦定理可得，
所以，所以，
又，则，所以，
则，，所以．
（2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，，
所以.
又，，，所以，
故，即.
又，所以，所以.
又，
所以的面积为.
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：如图，连接，取的中点，连接，
由为菱形，所以.
又由，且，平面，平面，
所以平面，故而①.
又由，所以为等边三角形，
所以.
由，所以，且，平面，平面，
所以平面，所以②，
由①②，平面，平面，所以平面平面，
故而平面平面.
（2）如图，取的中点，连接，
由（1）知：，
由为的中点，则，即，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由，
所以，
所以.
设，由，得：，
所以，所以.
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
令为与平面所成线面角，
所以，
所以与平面所成线面角的正弦值为.
18．(1)，；
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，；
（2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望，
第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望，
故有，，
若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变，
若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加，
故，
故，
即；
（3）由，
则，
即 ，
则 ，，
，，
则
，
即，则，
故，
故.
19．(1)
(2)的垂心在双曲线E上，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由“交换双曲线”的定义可知，即，
所以设双曲线的方程为，又因为过点，
所以，双曲线E的标准方程为：.
（2），设直线的方程为：，设，，
联立可得：，
直线与双曲线E的右支交于B，C两点，
所以，解得：，
又因为，
，
设垂心为，所以直线的方程为：，
又因为，所以直线的方程为：，
联立可得：，
则
因为，所以，
，
因为，所以，所以，又因为在，
所以，所以，
又因为：.故的垂心在双曲线E上.

（3）由长轴为，可得，由离心率，得，
所以，
不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为，
则椭圆的“交换椭圆”方程为，
所以曲线的方程为，
因为矩形关于对称，设在椭圆W上，
则在“交换椭圆”上，则，
又直线平行直线，则直线PN的斜率为1，
所以直线PN的方程为，即，
联立，得，
所以，得，
所以，
所以面积，
因为点P在椭圆W上，所以，
令，
代入可得
，
取，此时等号成立，
且当时，，
，
，满足，
故矩形的面积小于5.20.

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