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第五章 2.1 复数的加法与减法 课时同步练习（教师版）
卷首导学
核心易错点：
1. 虚部概念——复数 的虚部是实数 ，而不是 ，混淆虚部与虚数单位是高频错误.
2. 纯虚数条件——复数 为纯虚数的充要条件是 且 ，易遗漏“虚部不为零”而导致错误.
3. 复数相等与模的运算——两个复数相等需实部、虚部分别相等，含模的方程常需转化为实部、虚部满足的条件，不可直接约简.
4. 模的几何意义—— 表示两点间的距离，动点轨迹为圆时，距离最值需借助圆心到定点距离加减半径，代数与几何转化时易错.
训练目标：
1. 能够熟练进行复数的加法与减法运算，掌握运算律，并在运算后准确求复数的模.
2. 能够清晰辨析复数的实部、虚部、纯虚数、共轭复数等基本概念，避免常见概念性错误.
3. 能够运用复数相等的充要条件建立关于实部、虚部的方程组，解决求参数问题.
4. 能够利用复数加、减法的几何意义，将代数问题转化为复平面内点或向量的几何问题，解决距离最值等综合问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
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C A A A,D B B B D D
一、复数代数形式的加减运算
1.（单选）（5分）
若复数 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题直接给出两个复数的代数形式，求它们的和.识别到“求和”这一关键词，应立即调用复数代数形式的加法法则：实部与实部相加，虚部与虚部相加，结果仍为一个复数.
■ 推导过程：
第1步：写出加法表达式 .
第2步：依据复数的加法法则，将实部与实部合并，虚部与虚部合并，即 .
第3步：分别计算实部与虚部，得到结果 .故选项C正确.
【规律总结】 复数加减法的核心是“合并同类项”：实部与实部相加减作为新的实部，虚部与虚部相加减作为新的虚部.这是所有复数运算的基础，务必熟练掌握.
2.（填空）（5分）
已知复数 ， ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题同样是求两个复数的和，且复数已给出标准代数形式.与选择题不同，填空题需要自己算出结果并准确书写.解题思路与第1题完全一致，直接使用加法法则.
■ 推导过程：
第1步：写出加法表达式 .
第2步：按法则合并同类项，即 .
第3步：分别计算实部与虚部，得到结果 ，即 .
【规律总结】 复数的加减运算可以类比多项式的合并同类项，其中虚数单位 相当于字母变量，但要注意 这一特殊性（本题未涉及）.
3.（填空）（5分）
若 （ ），则 ____, ____.
【答案速览】 ，
【深度解析】
■ 思路分析：本题将复数加法与“复数相等”的充要条件结合起来考查.观察到等式两边均是复数的标准形式，左边是一个加法算式，右边是一个含参复数.解题方向是：先算出左边的和，得到一个确定的复数，再利用复数相等则实部、虚部分别对应相等的原则，建立方程组求参数.
■ 推导过程：
第1步：计算等式左边两个复数的和..
第2步：题干已知该和等于 ，因此得到等式 .
第3步：根据复数相等的充要条件：两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等.由此得到方程组 .故 ，.
【规律总结】 解决“已知含参复数等式求参数”问题的标准程序是：先对一边进行加减运算化简，使其化为 的标准形式，再利用复数相等的充要条件，分别令实部相等、虚部相等，从而将复数问题转化为实数方程组来解决.这是“化虚为实”思想的重要体现.
4.（填空）（5分）
已知复数 ，且 ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题已知一个加数 与和，求另一个加数 ，是加法运算的逆向运用.根据加法中各部分的关系，加数等于和减去另一个加数，从而将问题转化为复数的减法运算.
■ 推导过程：
第1步：由等式 ，移项得到 .
第2步：代入 ，得到 .
第3步：依据复数的减法法则，将实部与实部相减，虚部与虚部相减.注意减去负的虚部等于加上正的虚部.即 .故 .
【规律总结】 复数加减法互为逆运算，其运算法则与实数、多项式的加减法一致.处理逆向问题时，可以通过移项将其转化为熟悉的运算形式，这是代数中常见的化归思想.
二、复数基本概念辨析
5.（单选）（5分）
已知 ，则 的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求复数的“虚部”，但给出的复数形式不是标准的 ，而是通过对已知等式移项才能得到标准形式.识别到“虚部”这一关键词，必须立即警觉：虚部是一个实数，是 中的实数 ，它不包括虚数单位 .这是本章最高频的易错点.
■ 推导过程：
第1步：由等式 ，移项求 .将被减数等于差加减数，即 .
第2步：依据复数加法法则，计算 的值：.
第3步：将 化为标准形式 .此时需注意， 是虚部吗？根据定义，复数 的虚部是实数 .所以，此复数的虚部是 ，而不是 .故选项A正确.
【易错警示】 本题最大的陷阱是混淆“虚部”与“虚数部分”.许多同学看到 会直接选择D.请牢记：对于复数 ，实部是 ，虚部是 （一个实数），整个 则称为“虚数部分”.区分“虚部”和“虚数部分”是正确解题的关键.
6.（单选）（5分）
已知 ，若 为纯虚数，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是纯虚数概念与模的计算的综合.看到“纯虚数”这一条件，要立刻想到两个必须同时满足的子条件：实部为0，且虚部不为0.利用第一个条件可解出参数 ，再利用模长公式计算即可.
■ 推导过程：
第1步：由复数 为纯虚数，列出条件组：实部 ，且虚部 .解实部方程得 ，代入虚部检验，得 ，符合纯虚数定义.故 .
第2步：将 代入 ，得 .
第3步：题目所求为 ，即 .化为标准形式 .
第4步：代入复数模长公式 ，得 .
【易错警示】 本题在第一步极易出错，即遗漏纯虚数定义中“虚部不为0”的限制条件.本题中 恰好成立，但如果解出 使虚部为0，则该复数不是纯虚数，需要舍去.解题时必须养成同时验证两个条件的习惯.
【规律总结】 处理纯虚数问题的标准流程是：第一步，令实部为零解出参数；第二步，将参数代回虚部，验证其是否不为零.缺一不可.这体现了数学定义的严谨性.
7.（填空）（5分）
已知复数 ，则 的虚部为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道创新性较强的求和问题，题干是一长串含有 的幂次的求和.解题的关键是识别出虚数单位 的幂次具有周期性：.可利用这一性质将数列的项分组求和.
■ 推导过程：
第1步：观察到通项为 .先分析 的周期性，周期为4.考察连续四项 的和.
第2步：代入周期性化简： .这表明每连续4项的和是一个定值.
第3步：确定总项数.共有2023项.计算 ，说明有505个完整的周期（每组4项），外加最后3项.
第4步：前505组的和为 .
第5步：计算最后3项的和：第2021项为 ，第2022项为 ，第2023项为 .它们的和为 .
第6步：总和 .
第7步：根据虚部定义，复数 的虚部为实数 .
【规律总结】 对于含有 的高次幂的求和问题，解题的通法就是利用 的幂的周期性（周期为4）进行分组求和.首先找到连续四项和的规律，然后确定总项数由多少个周期和余项组成，再分别求和.这是处理周期性数列求和的“分组求和法”.
8.（多选）
若 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 为实数，则
B. 若 ，则
C. 若 在复平面内对应的点位于第一象限，则
D. 若 ，则
【答案速览】 A, D
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道多选题，需要逐一验证每个选项.A、D涉及复数为实数的条件和模长、共轭等相对直接的运算，而B、C则需要通过复数相等或几何意义来建立不等式或方程求解参数 .解题策略是：逐个选项判断其命题的真伪.
■ 推导过程：
选项A：若 为实数，则其虚部必为0，即 .此时 是实数.故A正确.
选项D：若 ，即 .解方程 ，即 ，得 .代入 得 .求模得 .故D正确.
选项B：由 ，计算左边 .根据复数相等，得方程组 .由第一式得 ，代入第二式验证，，符合.因此结论应为 ，而不是 .故B错误.
选项C：若 在复平面内对应的点位于第一象限，则实部 且虚部 .解不等式 得 或 .结合 ，取交集得 ，而不是 .故C错误.
综合以上分析，正确的选项为A、D.
【易错警示】 对于选项B，学生容易在计算 时出错，或者在解方程组后忘记检验两个方程是否同时成立，导致对 的值判断错误.对于选项C，容易忘记需要同时满足实部和虚部两个不等式，或者解二次不等式出错.解决这类问题，必须严谨地进行代数变形和运算.
9.（解答）（8分）
设 ，复数 ， ，若 是虚数，求实数 的取值范围.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道解答题，要求出使两个复数之和为虚数的参数取值范围.首先要进行加法运算，得到和复数的标准形式.然后，根据“是虚数”这一条件，转化为和复数的虚部不为0.同时，还需关注题目隐含条件：复数 的表达式中含有分母，因此分母 也构成限制条件.
■ 推导过程：
第1步：计算 【1分】..
第2步：合并实部与虚部【2分】.实部为 .虚部为 .所以，.
第3步：根据 是虚数的定义，其虚部必须不为零，且有意义的条件是分母不为零【2分】.因此，得到约束条件组：① ，② .
第4步：解不等式组【2分】.由①式分解因式得 ，解得 且 .由②式得 .综合以上， 不能取 -3, -2, 5 这三个实数.
第5步：用区间表示出最终结果【1分】.实数 的取值范围是 .
【易错警示】 本题学生最易犯的错误是遗漏分母不为零的条件 .看到分式复数，应立刻警惕分母对参数的约束.另一个错误是得到“虚数 虚部不为0”之后，混淆了与实数条件的区别.平时训练要养成全面考虑定义域和约束条件的习惯.
三、复数模的计算
10.（单选）（5分）
若复数 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求两复数差的模.解题路径非常明确：先用减法法则求出 ，再对所得结果用模长公式计算.
■ 推导过程：
第1步：计算两复数的差 .
第2步：计算该结果的模长.代入模长公式 ，得 .故选项B正确.
【规律总结】 求复数加减结果的模，一般分两步：先加减化为标准形式，再代入模长公式.这两步是复数运算最基本的操作，需保证计算零失误.
11.（单选）（5分）
若复数 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题的表达式比上一题略复杂，出现了一个复数与其模长相加的情形.正确计算流程是：首先单独求出 的值，然后将它作为一个实数与复数的实部合并，从而将 化为标准形式，最后再求 的模.
■ 推导过程：
第1步：先求 .由模长公式得 .
第2步：将模长值代回表达式求 .
第3步：求 的模长..故选项B正确.
【易错警示】 学生在这里容易误以为 就是 本身，从而导致错误运算.请牢记：模长是一个非负实数，是复数“大小”的度量.遇到复数的模，必须先算出这个实数，才能进行后续的加减运算.
12.（填空）（5分）
已知 ， ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题与第10题同类，是先加后求模的问题.遵照标准流程：先进行加法运算，再对运算结果求模长.
■ 推导过程：
第1步：计算 .
第2步：求模 .故答案为 .
【规律总结】 复数加减法与模的综合计算，牢记“先化简，后求模”的原则，能有效提高正确率.
13.（解答）（12分）
已知复数 满足 （ 为虚数单位），求复数 .
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一个复数方程问题，方程中含有 和它的模 .已知模长和复数本身同时出现，通常的做法是设出复数的代数形式 ，代入方程，利用复数相等将问题转化为实数方程组.
■ 推导过程：
第1步：设所求复数 ，其中 【1分】.
第2步：将 及 代入方程 ，得 【2分】.
第3步：合并实部与虚部，得 【2分】.注意， 可以看作复数 .
第4步：利用复数相等的充要条件，两个复数相等当且仅当实部为零且虚部为零.因此建立方程组【3分】：
第5步：由（2）式解得 .将 代入（1）式，得 ，即 【3分】.
第6步：分析此方程.等式左边为非负根式，故右边 ，得 .两边平方得 ，化简为 ，解得 .结合 ，取 .
第7步：综合得 ，所求复数 【1分】.
【易错警示】 在解方程 时，许多同学会忽略根式的非负性，直接平方得到 后不检验，导致产生增根 .遇到根式方程，平方前必须考虑符号，平方后必须检验根.
【规律总结】 解决“复数方程求复数”问题，最常用的通法就是“设元法”.设 ，利用复数模的定义、复数相等的充要条件，将复数方程转化为关于实数 的方程组.这是将“虚”化“实”思想的核心体现.
四、复数加减法的几何意义
14.（单选）（5分）
已知复数 ， ，则 在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求判断复数差在复平面内对应点所在的象限.解题路径是先计算出 的值，得到点的坐标，再根据坐标的正负判断象限.
■ 推导过程：
第1步：计算 .
第2步：该复数在复平面内对应的点的坐标为 .横坐标为负，纵坐标为正.
第3步：根据象限特征（第二象限：横坐标负，纵坐标正），该点位于第二象限.故选项B正确.
【规律总结】 复数 与复平面上的点 一一对应.判断复数对应的点所在的象限，只需看实部 和虚部 的正负.解决此类问题，快速准确地进行加减运算找到对应点是关键.
15.（单选）（5分）
在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为 ， ， ， ，则实数 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题将向量、复数、几何图形（平行四边形）结合在一起.在平行四边形OABC中，向量 与 相等，这是解决问题的关键.由此可建立复数等式，进而利用复数相等求参数.
■ 推导过程：
第1步：根据题意，各点对应的复数即为该点对应的位置向量.即 ，，.
第2步：在平行四边形OABC中，.代入已知得：.
第3步：计算右侧的差：.
第4步：根据复数相等，建立方程组：
第5步：解第二个方程：.
第6步：将 代入第一个方程：.
第7步：求 .故选项D正确.
【规律总结】 处理复数在几何图形中的应用问题，关键在于建立图形几何关系（如向量相等、向量加法）与复数运算的对应.将向量的和、差、相等同于复数的加、减、相等，是连接“数”与“形”的桥梁.
五、综合应用
16.（单选）（7分）
已知 ，且 ，则 的最小值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题求模的最小值，且已知条件是一个模为定值的等式，这强烈暗示我们使用复数模的几何意义. 表示动点 到定点 的距离恒为1，即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.而 表示圆上动点 到定点 的距离.问题转化为求圆上一点到圆外一定点 距离的最小值.
■ 推导过程：
第1步：将已知条件几何化.设复数 对应的点为 .则 等价于 ，即点 的轨迹是：以点 为圆心，半径 的圆.
第2步：将所求几何化.，表示点 到定点 的距离.
第3步：在复平面中分析.点 和点 的纵坐标相同，均位于直线 上.它们之间的距离 .显然，点 在圆外.
第4步：求圆上动点到圆外定点距离的最小值.根据几何性质，该最小值等于定点到圆心的距离减去半径.即 .
第5步：综合以上， 的最小值为 3.故选项D正确.
【规律总结】 形如“已知 ，求 的最值”是经典的几何法求模的问题.通用解法是：将已知等式视为动点 的圆轨迹，将所求目标视为圆上点到定点 的距离.利用“圆心到定点的距离加减半径”即可求得距离的最大和最小值.这避免了复杂的代数运算，体现了数形结合思想的强大威力.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B,C,E A D B A （1） （2） 存在， （1） （2）最大值2
一、复数基本概念辨析
（多选）已知复数 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 的虚部是
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 是纯虚数
E. 的共轭复数为
【答案速览】 B, C, E
【深度解析】
■ 思路分析：本题是多选题，全面考查了复数 的虚部、模、几何意义、纯虚数及共轭复数等概念.需要对这些基本概念有清晰、准确的辨析，逐一验证选项.
■ 推导过程：
对于A选项：复数 的虚部是实数 3，而不是 .因此A错误.
对于B选项：由模长公式 .因此B正确.
对于C选项： 对应的点为 ，横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限.因此C正确.
对于D选项：，这是一个实数（负实数），而不是纯虚数.因此D错误.
对于E选项：复数 的共轭复数为 .因此 的共轭复数为 .因此E正确.
综上所述，正确的选项为 B, C, E.
【易错警示】 A选项再次考查了“虚部是实数”这一核心概念.D选项考查了纯虚数与实数的区别，复数域中的实数也是复数的一种形式，不能将除纯虚数外的其他复数都归为纯虚数.本题要求同学们对复数的相关概念要做到精准记忆，不可模糊混淆.
二、复数代数形式的加减运算
（单选）（5分）
已知 为虚数单位，复数 ， ，若它们的和 为实数，差 为纯虚数，则 ， 的值分别为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道利用和、差的特殊属性（实数、纯虚数）来反推参数的典型题目.解题思路是：先分别计算出 与 ，再根据“是实数则虚部为零”、“是纯虚数则实部为零且虚部不为零”列出方程组求解.
■ 推导过程：
第1步：计算和 .由和为实数，得虚部为零：.
第2步：计算差 .由差为纯虚数，得实部为零且虚部不为零：.由 得 .将 代入虚部检验，，符合纯虚数条件.
第3步：综合解得 .故选项A正确.
【规律总结】 本题是复数概念与加减运算的完美结合.对于“反推参数”类问题，方法论是：先进行加减运算，用一个含参复数表示出和或差，然后根据复数分类（实数、虚数、纯虚数）的充要条件，对实部和虚部设置方程或不等式.这是待定系数法在复数中的典型应用.
（单选）（5分）
复数 ，则 的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出的复数不是标准的代数形式，而是带有 的高次幂.因此，处理的第一步是利用虚数单位 的性质（）将其化简为标准形式，再根据定义判断虚部.
■ 推导过程：
第1步：根据 的幂的性质，，.
第2步：代入原式进行化简：.
第3步：合并同类项，化为标准形式：.
第4步：根据虚部定义，复数 的虚部是实数 .故选项D正确.
【规律总结】 在复数运算中，遇到 的高次幂，应立刻利用 进行降次化简，这是最基本且重要的运算习惯.将复杂表达式转化为 的标准形式是解题的起点.
三、复数模的计算
（填空）（5分）
若复数 ， ， ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是三个复数连加再求模.按照“先加减，后求模”的原则，先算出总和，再代入模长公式.
■ 推导过程：
第1步：计算三个复数的和..
第2步：合并实部与虚部.实部为 ，虚部为 .故和为 .
第3步：求模长..故答案为 .
（填空）（5分）
设复数 满足 ， ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题已知两个模长为1的复数及其差，求它们和的模.这里无法直接求出每个复数，但可以通过设元法，利用模长关系和复数相等建立方程组，间接求出和的模.
■ 推导过程：
第1步：设 , .由 ，得 .
第2步：由 ，得 .根据复数相等，有：
第3步：由 和 ，得 ，即 或 .由于 ，所以 不成立，只能是 .再结合 ，解得 , .
第4步：将 代入 ，得 ，所以 .
第5步：计算 .
第6步：求模 .故答案为 1.
【规律总结】 对于已知模长与和差关系求模的问题，设元法结合复数相等是普适性最广的方法.此外，利用公式 可一步求出：.此法值得了解.
（填空）（5分）
已知复数 满足 ， ，且 ，则 的最小值为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求一个复数在实部、虚部非负条件下的模的最小值.已知条件是模的等式 .处理此类模的等式，标准方法是设 ，代入模长公式，平方后化简，从而找到 与 的线性关系，进而将模表示为单变量函数求最值.
■ 推导过程：
第1步：设 ().
第2步：代入等式并平方..展开得 .
第3步：化简得 ，即线性关系 .
第4步：由 .结合约束 ，得 .
第5步：目标的模表示为单变量函数..对根号内的二次函数 .
第6步：在 上，当 时 取最小值 .因此 .故答案为 .
【规律总结】 处理形如 的方程，设 并两边平方，可消去二次项，得到 的线性关系，即线段 的垂直平分线方程.这一方法将复数的模等式转化为了直线的轨迹方程，是解决此类问题的关键一步.
四、复数加减法的几何意义
（单选）（5分）
复平面内的平行四边形 的顶点 和 （ 是坐标原点）对应的复数分别为 和 ，则点 对应的复数为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题是复数加法几何意义的直接应用.在平行四边形OABC中，根据向量加法的平行四边形法则，有 .这对应着复数关系 .
■ 推导过程：
第1步：根据题意，顶点A和C对应的复数分别为 ，.
第2步：利用平行四边形法则，对角线OB对应的复数等于两邻边对应复数的和，即点B对应的复数 .
第3步：计算 .故选项B正确.
【规律总结】 复数的加减法与向量的加减法完全对应，这是学习复数几何意义的基石.特别地，在平行四边形或三角形中，运用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，可以方便地求出各点对应的复数.数形结合，直观且高效.
（单选）（6分）
已知复数 满足 ，则 的最小值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题同样是利用复数的几何意义求最值. 表示动点 在圆 上，半径为1.而所求的 表示圆上点 到定点 的距离.求最小值即判断定点与圆的位置关系并求最短距离.
■ 推导过程：
第1步：已知 ，设 ，则动点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆.
第2步：所求式子 ，表示点 到定点 的距离.
第3步：计算定点 到圆心 的距离..
第4步：分析位置关系.由于 到圆心的距离等于半径 ，所以定点 恰好在这个圆上.
第5步：因此，圆上动点 到定点 的距离最小值为 （当 与 重合时）.故选项A正确.
【规律总结】 本题再次印证了“复数的模的几何意义是距离”这一解题利器.解决形如 及求 最值的问题，解法已固化为“一看圆心半径，二看定点，三判位置求最值”.定点在圆内、圆上、圆外，其最值情况不同，需结合图形具体分析.
五、综合应用
（解答）（16分）
已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点.
（1）求 的取值范围；（8分）
（2）当A、B、C三点共线时，求三角形AOB的面积.（8分）
【答案速览】 （1）；（2）
【深度解析】
■ 思路分析：本题为综合解答题.（1）问求模的取值范围，首先需要运用复数加法计算出 ，然后表示出它的模，此时会发现模是关于参数 的函数.求取值范围需要用到基本不等式求最值这一重要工具.（2）问涉及三点共线和三角形面积.三点共线在坐标系中通常等价于相应点连线的斜率相等，据此可解出 ，然后利用向量数量积或三角形面积坐标公式求面积.
■ 推导过程：
（1）
第1步：计算 【1分】.（注意 ）【2分】.
第2步：表示出模【1分】.【2分】.
第3步：对根号内部分运用基本不等式求最值【2分】.由 ，根据基本不等式 ，有 ，当且仅当 即 时等号成立.
第4步：所以 .故取值范围是 【1分】.
（2）
第1步：表示出点坐标【1分】.，，.
第2步：由三点共线，各点连线斜率相等，即 【2分】.代入坐标得 ，即 .
第3步：解关于 的方程【2分】.由 ，由于 ，两边同乘 得 ，解得 .检验 使三点不重合，符合.
第4步：代入求A、B坐标【1分】.，.进而得向量 ，.
第5步：计算三角形面积【2分】.用向量积的坐标公式 ，得 .
【规律总结】 本题完美融合了复数、向量与解析几何.第（1）问展示了构建关于实参的模的函数，并利用不等式求值域的方法.第（2）问展示了用坐标法处理几何中“三点共线”问题的方法.这体现了复数作为解决综合问题工具的强大功能.
（解答）（9分）
已知i是虚数单位， ，设复数 ， ， ，且 . 是否存在实数 ，使向量 逆时针旋转 后与向量 重合？如果存在，求出实数 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案速览】 存在，，
【深度解析】
■ 思路分析：本题将复数与向量的旋转变换结合，难度较大.解题的关键是将“向量 逆时针旋转 后与 重合”这个几何条件，转化为代数的方程组.这需要两个条件：1. 旋转后长度不变，即两向量模长相等；2. 旋转 ，即两向量垂直，数量积为零.结合已知 ，三个方程联立可解.
■ 推导过程：
第1步：由复数得到对应向量【1分】.，.且 ，由 得 ，即 （方程①）【1分】.
第2步：将几何条件代数化【2分】.“向量 逆时针旋转 后与 重合”，意味着 （长度相等），且 （方向垂直）.于是有：
（方程②）
（方程③）
第3步：解方程组【2分】.联立①②解 .①+②得 .③式表明 同号.由①-②得 .因为 同号，所以有两组解： 或 .
第4步：确定唯一的解【2分】.题目要求旋转后重合，在坐标平面上，从 逆时针转 应到 （因为 逆时针转 得 ）.由于 ，令其相等：.解得 .因此，该组解符合所有条件.
第5步：结论【1分】.存在实数 满足题意.
【规律总结】 在处理向量旋转的问题时，无需使用复杂的旋转角度公式，应将其拆解为“模长相等”和“方向垂直”这两个核心数量关系.对于旋转 的特殊情况，还可以用坐标变换 快速求解.总之，将几何条件转化为代数方程组是解决此类问题的核心思想.
（填空）（6分）
已知复数 ，则 的虚部为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
（本题与A卷第7题完全相同，解析请参考A卷第7题的深度学习型解析.）
（解答）（17分）
已知i是虚数单位， ，设复数 ， ， ，且 ，O、A、B三点不共线，记三角形ABO的面积为 .
（1）求 的表达式；（8分）
（2）求 的最大值.（9分）
【答案速览】 （1）；（2）最大值为2
【深度解析】
■ 思路分析：本题（1）要求用参数表示格三角形面积.已知两点和原点，求三角形面积，最直接的方法是利用向量 和 的坐标，结合向量积的坐标公式 .（2）问求该面积的最大值，观察表达式 ，可将它看作两个向量 与 点积的绝对值.由 知 ，从而可以用向量数量积的性质 求最大值.
■ 推导过程：
（1）
第1步：写出向量坐标【2分】.，.
第2步：代入三角形面积坐标公式【3分】.【3分】.
（2）
第1步：构造向量【2分】.注意到 .可看作向量 与 的点积的绝对值 .
第2步：使用限制条件【1分】.由已知 ，得 .
第3步：应用柯西-施瓦茨不等式（或向量数量积性质）求最值【3分】..
第4步：等号成立条件分析【2分】.等号当且仅当 与 共线且同向，即 （）.由模长为1得 .解得 .此时面积 取得最大值 2.考虑到 O, A, B 三点不共线，.最大值 2 可以达到.
结论【1分】： 的最大值为 2.
【规律总结】 本题是数形结合与转化思想的典范.将看似复杂的面积问题，通过坐标公式转化为简单的代数表达式 ，再联系向量点积，利用模长为1的条件和向量数量积的性质（或柯西不等式）漂亮地求出了最大值.其中，“构造向量及其内积”是处理形如 在 为定值条件下的最值问题的通法.第五章 2.1 复数的加法与减法 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 虚部概念——复数 的虚部是实数 ，而不是 ，混淆虚部与虚数单位是高频错误.
2. 纯虚数条件——复数 为纯虚数的充要条件是 且 ，易遗漏“虚部不为零”而导致错误.
3. 复数相等与模的运算——两个复数相等需实部、虚部分别相等，含模的方程常需转化为实部、虚部满足的条件，不可直接约简.
4. 模的几何意义—— 表示两点间的距离，动点轨迹为圆时，距离最值需借助圆心到定点距离加减半径，代数与几何转化时易错.
训练目标：
1. 能够熟练进行复数的加法与减法运算，掌握运算律，并在运算后准确求复数的模.
2. 能够清晰辨析复数的实部、虚部、纯虚数、共轭复数等基本概念，避免常见概念性错误.
3. 能够运用复数相等的充要条件建立关于实部、虚部的方程组，解决求参数问题.
4. 能够利用复数加、减法的几何意义，将代数问题转化为复平面内点或向量的几何问题，解决距离最值等综合问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
一、复数代数形式的加减运算
1.（单选）（5分）
若复数 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（填空）（5分）
已知复数 ， ，则 ____.
3.（填空）（5分）
若 （ ），则 ____, ____.
4.（填空）（5分）
已知复数 ，且 ，则 ____.
二、复数基本概念辨析
5.（单选）（5分）
已知 ，则 的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
6.（单选）（5分）
已知 ，若 为纯虚数，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
7.（填空）（5分）
已知复数 ，则 的虚部为 ____.
8.（多选）（8分，部分选对得4分）
若 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 为实数，则
B. 若 ，则
C. 若 在复平面内对应的点位于第一象限，则
D. 若 ，则
9.（解答）（8分）
设 ，复数 ， ，若 是虚数，求实数 的取值范围.
三、复数模的计算
10.（单选）（5分）
若复数 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
11.（单选）（5分）
若复数 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
12.（填空）（5分）
已知 ， ，则 ____.
13.（解答）（12分）
已知复数 满足 （ 为虚数单位），求复数 .
四、复数加减法的几何意义
14.（单选）（5分）
已知复数 ， ，则 在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
15.（单选）（5分）
在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为 ， ， ， ，则实数 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
五、综合应用
16.（单选）（7分）
已知 ，且 ，则 的最小值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
B卷　能力提升（100分）
一、复数基本概念辨析
（多选）（8分）
已知复数 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 的虚部是
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 是纯虚数
E. 的共轭复数为
二、复数代数形式的加减运算
（单选）（5分）
已知 为虚数单位，复数 ， ，若它们的和 为实数，差 为纯虚数，则 ， 的值分别为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
（单选）（5分）
复数 ，则 的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
三、复数模的计算
（填空）（5分）
若复数 ， ， ，则 ____.
（填空）（5分）
设复数 满足 ， ，则 ____.
（填空）（5分）
已知复数 满足 ， ，且 ，则 的最小值为 ____.
四、复数加减法的几何意义
（单选）（5分）
复平面内的平行四边形 的顶点 和 （ 是坐标原点）对应的复数分别为 和 ，则点 对应的复数为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
（单选）（6分）
已知复数 满足 ，则 的最小值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
五、综合应用
（解答）（16分）
已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点.
（1）求 的取值范围；（8分）
（2）当A、B、C三点共线时，求三角形AOB的面积.（8分）
（解答）（9分）
已知i是虚数单位， ，设复数 ， ， ，且 . 是否存在实数 ，使向量 逆时针旋转 后与向量 重合？如果存在，求出实数 的值；如果不存在，请说明理由.
（填空）（6分）
已知复数 ，则 的虚部为 ____.
（解答）（17分）
已知i是虚数单位， ，设复数 ， ， ，且 ，O、A、B三点不共线，记三角形ABO的面积为 .
（1）求 的表达式；（8分）
（2）求 的最大值.（9分）
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
C A A A,D B B B D D
B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B,C,E A D B A （1） （2） 存在， （1） （2）最大值2
A卷　基础巩固（100分）
一、复数代数形式的加减运算
1.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题直接给出两个复数的代数形式，求它们的和.识别到“求和”这一关键词，应立即调用复数代数形式的加法法则：实部与实部相加，虚部与虚部相加，结果仍为一个复数.
■ 推导过程：
第1步：写出加法表达式 .
第2步：依据复数的加法法则，将实部与实部合并，虚部与虚部合并，即 .
第3步：分别计算实部与虚部，得到结果 .故选项C正确.
【规律总结】 复数加减法的核心是“合并同类项”：实部与实部相加减作为新的实部，虚部与虚部相加减作为新的虚部.这是所有复数运算的基础，务必熟练掌握.
2.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题同样是求两个复数的和，且复数已给出标准代数形式.与选择题不同，填空题需要自己算出结果并准确书写.解题思路与第1题完全一致，直接使用加法法则.
■ 推导过程：
第1步：写出加法表达式 .
第2步：按法则合并同类项，即 .
第3步：分别计算实部与虚部，得到结果 ，即 .
【规律总结】 复数的加减运算可以类比多项式的合并同类项，其中虚数单位 相当于字母变量，但要注意 这一特殊性（本题未涉及）.
3.（5分）
【答案速览】 ，
【深度解析】
■ 思路分析：本题将复数加法与“复数相等”的充要条件结合起来考查.观察到等式两边均是复数的标准形式，左边是一个加法算式，右边是一个含参复数.解题方向是：先算出左边的和，得到一个确定的复数，再利用复数相等则实部、虚部分别对应相等的原则，建立方程组求参数.
■ 推导过程：
第1步：计算等式左边两个复数的和..
第2步：题干已知该和等于 ，因此得到等式 .
第3步：根据复数相等的充要条件：两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等.由此得到方程组 .故 ，.
【规律总结】 解决“已知含参复数等式求参数”问题的标准程序是：先对一边进行加减运算化简，使其化为 的标准形式，再利用复数相等的充要条件，分别令实部相等、虚部相等，从而将复数问题转化为实数方程组来解决.这是“化虚为实”思想的重要体现.
4.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题已知一个加数 与和，求另一个加数 ，是加法运算的逆向运用.根据加法中各部分的关系，加数等于和减去另一个加数，从而将问题转化为复数的减法运算.
■ 推导过程：
第1步：由等式 ，移项得到 .
第2步：代入 ，得到 .
第3步：依据复数的减法法则，将实部与实部相减，虚部与虚部相减.注意减去负的虚部等于加上正的虚部.即 .故 .
【规律总结】 复数加减法互为逆运算，其运算法则与实数、多项式的加减法一致.处理逆向问题时，可以通过移项将其转化为熟悉的运算形式，这是代数中常见的化归思想.
二、复数基本概念辨析
5.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求复数的“虚部”，但给出的复数形式不是标准的 ，而是通过对已知等式移项才能得到标准形式.识别到“虚部”这一关键词，必须立即警觉：虚部是一个实数，是 中的实数 ，它不包括虚数单位 .这是本章最高频的易错点.
■ 推导过程：
第1步：由等式 ，移项求 .将被减数等于差加减数，即 .
第2步：依据复数加法法则，计算 的值：.
第3步：将 化为标准形式 .此时需注意， 是虚部吗？根据定义，复数 的虚部是实数 .所以，此复数的虚部是 ，而不是 .故选项A正确.
【易错警示】 本题最大的陷阱是混淆“虚部”与“虚数部分”.许多同学看到 会直接选择D.请牢记：对于复数 ，实部是 ，虚部是 （一个实数），整个 则称为“虚数部分”.区分“虚部”和“虚数部分”是正确解题的关键.
6.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是纯虚数概念与模的计算的综合.看到“纯虚数”这一条件，要立刻想到两个必须同时满足的子条件：实部为0，且虚部不为0.利用第一个条件可解出参数 ，再利用模长公式计算即可.
■ 推导过程：
第1步：由复数 为纯虚数，列出条件组：实部 ，且虚部 .解实部方程得 ，代入虚部检验，得 ，符合纯虚数定义.故 .
第2步：将 代入 ，得 .
第3步：题目所求为 ，即 .化为标准形式 .
第4步：代入复数模长公式 ，得 .
【易错警示】 本题在第一步极易出错，即遗漏纯虚数定义中“虚部不为0”的限制条件.本题中 恰好成立，但如果解出 使虚部为0，则该复数不是纯虚数，需要舍去.解题时必须养成同时验证两个条件的习惯.
【规律总结】 处理纯虚数问题的标准流程是：第一步，令实部为零解出参数；第二步，将参数代回虚部，验证其是否不为零.缺一不可.这体现了数学定义的严谨性.
7.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道创新性较强的求和问题，题干是一长串含有 的幂次的求和.解题的关键是识别出虚数单位 的幂次具有周期性：.可利用这一性质将数列的项分组求和.
■ 推导过程：
第1步：观察到通项为 .先分析 的周期性，周期为4.考察连续四项 的和.
第2步：代入周期性化简： .这表明每连续4项的和是一个定值.
第3步：确定总项数.共有2023项.计算 ，说明有505个完整的周期（每组4项），外加最后3项.
第4步：前505组的和为 .
第5步：计算最后3项的和：第2021项为 ，第2022项为 ，第2023项为 .它们的和为 .
第6步：总和 .
第7步：根据虚部定义，复数 的虚部为实数 .
【规律总结】 对于含有 的高次幂的求和问题，解题的通法就是利用 的幂的周期性（周期为4）进行分组求和.首先找到连续四项和的规律，然后确定总项数由多少个周期和余项组成，再分别求和.这是处理周期性数列求和的“分组求和法”.
8.（8分，部分选对得4分）
【答案速览】 A, D
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道多选题，需要逐一验证每个选项.A、D涉及复数为实数的条件和模长、共轭等相对直接的运算，而B、C则需要通过复数相等或几何意义来建立不等式或方程求解参数 .解题策略是：逐个选项判断其命题的真伪.
■ 推导过程：
选项A：若 为实数，则其虚部必为0，即 .此时 是实数.故A正确.
选项D：若 ，即 .解方程 ，即 ，得 .代入 得 .求模得 .故D正确.
选项B：由 ，计算左边 .根据复数相等，得方程组 .由第一式得 ，代入第二式验证，，符合.因此结论应为 ，而不是 .故B错误.
选项C：若 在复平面内对应的点位于第一象限，则实部 且虚部 .解不等式 得 或 .结合 ，取交集得 ，而不是 .故C错误.
综合以上分析，正确的选项为A、D.
【易错警示】 对于选项B，学生容易在计算 时出错，或者在解方程组后忘记检验两个方程是否同时成立，导致对 的值判断错误.对于选项C，容易忘记需要同时满足实部和虚部两个不等式，或者解二次不等式出错.解决这类问题，必须严谨地进行代数变形和运算.
9.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道解答题，要求出使两个复数之和为虚数的参数取值范围.首先要进行加法运算，得到和复数的标准形式.然后，根据“是虚数”这一条件，转化为和复数的虚部不为0.同时，还需关注题目隐含条件：复数 的表达式中含有分母，因此分母 也构成限制条件.
■ 推导过程：
第1步：计算 【1分】..
第2步：合并实部与虚部【2分】.实部为 .虚部为 .所以，.
第3步：根据 是虚数的定义，其虚部必须不为零，且有意义的条件是分母不为零【2分】.因此，得到约束条件组：① ，② .
第4步：解不等式组【2分】.由①式分解因式得 ，解得 且 .由②式得 .综合以上， 不能取 -3, -2, 5 这三个实数.
第5步：用区间表示出最终结果【1分】.实数 的取值范围是 .
【易错警示】 本题学生最易犯的错误是遗漏分母不为零的条件 .看到分式复数，应立刻警惕分母对参数的约束.另一个错误是得到“虚数 虚部不为0”之后，混淆了与实数条件的区别.平时训练要养成全面考虑定义域和约束条件的习惯.
三、复数模的计算
10.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求两复数差的模.解题路径非常明确：先用减法法则求出 ，再对所得结果用模长公式计算.
■ 推导过程：
第1步：计算两复数的差 .
第2步：计算该结果的模长.代入模长公式 ，得 .故选项B正确.
【规律总结】 求复数加减结果的模，一般分两步：先加减化为标准形式，再代入模长公式.这两步是复数运算最基本的操作，需保证计算零失误.
11.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题的表达式比上一题略复杂，出现了一个复数与其模长相加的情形.正确计算流程是：首先单独求出 的值，然后将它作为一个实数与复数的实部合并，从而将 化为标准形式，最后再求 的模.
■ 推导过程：
第1步：先求 .由模长公式得 .
第2步：将模长值代回表达式求 .
第3步：求 的模长..故选项B正确.
【易错警示】 学生在这里容易误以为 就是 本身，从而导致错误运算.请牢记：模长是一个非负实数，是复数“大小”的度量.遇到复数的模，必须先算出这个实数，才能进行后续的加减运算.
12.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题与第10题同类，是先加后求模的问题.遵照标准流程：先进行加法运算，再对运算结果求模长.
■ 推导过程：
第1步：计算 .
第2步：求模 .故答案为 .
【规律总结】 复数加减法与模的综合计算，牢记“先化简，后求模”的原则，能有效提高正确率.
13.（12分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一个复数方程问题，方程中含有 和它的模 .已知模长和复数本身同时出现，通常的做法是设出复数的代数形式 ，代入方程，利用复数相等将问题转化为实数方程组.
■ 推导过程：
第1步：设所求复数 ，其中 【1分】.
第2步：将 及 代入方程 ，得 【2分】.
第3步：合并实部与虚部，得 【2分】.注意， 可以看作复数 .
第4步：利用复数相等的充要条件，两个复数相等当且仅当实部为零且虚部为零.因此建立方程组【3分】：
第5步：由（2）式解得 .将 代入（1）式，得 ，即 【3分】.
第6步：分析此方程.等式左边为非负根式，故右边 ，得 .两边平方得 ，化简为 ，解得 .结合 ，取 .
第7步：综合得 ，所求复数 【1分】.
【易错警示】 在解方程 时，许多同学会忽略根式的非负性，直接平方得到 后不检验，导致产生增根 .遇到根式方程，平方前必须考虑符号，平方后必须检验根.
【规律总结】 解决“复数方程求复数”问题，最常用的通法就是“设元法”.设 ，利用复数模的定义、复数相等的充要条件，将复数方程转化为关于实数 的方程组.这是将“虚”化“实”思想的核心体现.
四、复数加减法的几何意义
14.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求判断复数差在复平面内对应点所在的象限.解题路径是先计算出 的值，得到点的坐标，再根据坐标的正负判断象限.
■ 推导过程：
第1步：计算 .
第2步：该复数在复平面内对应的点的坐标为 .横坐标为负，纵坐标为正.
第3步：根据象限特征（第二象限：横坐标负，纵坐标正），该点位于第二象限.故选项B正确.
【规律总结】 复数 与复平面上的点 一一对应.判断复数对应的点所在的象限，只需看实部 和虚部 的正负.解决此类问题，快速准确地进行加减运算找到对应点是关键.
15.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题将向量、复数、几何图形（平行四边形）结合在一起.在平行四边形OABC中，向量 与 相等，这是解决问题的关键.由此可建立复数等式，进而利用复数相等求参数.
■ 推导过程：
第1步：根据题意，各点对应的复数即为该点对应的位置向量.即 ，，.
第2步：在平行四边形OABC中，.代入已知得：.
第3步：计算右侧的差：.
第4步：根据复数相等，建立方程组：
第5步：解第二个方程：.
第6步：将 代入第一个方程：.
第7步：求 .故选项D正确.
【规律总结】 处理复数在几何图形中的应用问题，关键在于建立图形几何关系（如向量相等、向量加法）与复数运算的对应.将向量的和、差、相等同于复数的加、减、相等，是连接“数”与“形”的桥梁.
五、综合应用
16.（7分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题求模的最小值，且已知条件是一个模为定值的等式，这强烈暗示我们使用复数模的几何意义. 表示动点 到定点 的距离恒为1，即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.而 表示圆上动点 到定点 的距离.问题转化为求圆上一点到圆外一定点 距离的最小值.
■ 推导过程：
第1步：将已知条件几何化.设复数 对应的点为 .则 等价于 ，即点 的轨迹是：以点 为圆心，半径 的圆.
第2步：将所求几何化.，表示点 到定点 的距离.
第3步：在复平面中分析.点 和点 的纵坐标相同，均位于直线 上.它们之间的距离 .显然，点 在圆外.
第4步：求圆上动点到圆外定点距离的最小值.根据几何性质，该最小值等于定点到圆心的距离减去半径.即 .
第5步：综合以上， 的最小值为 3.故选项D正确.
【规律总结】 形如“已知 ，求 的最值”是经典的几何法求模的问题.通用解法是：将已知等式视为动点 的圆轨迹，将所求目标视为圆上点到定点 的距离.利用“圆心到定点的距离加减半径”即可求得距离的最大和最小值.这避免了复杂的代数运算，体现了数形结合思想的强大威力.
B卷　能力提升（100分）
一、复数基本概念辨析
（8分）
【答案速览】 B, C, E
【深度解析】
■ 思路分析：本题是多选题，全面考查了复数 的虚部、模、几何意义、纯虚数及共轭复数等概念.需要对这些基本概念有清晰、准确的辨析，逐一验证选项.
■ 推导过程：
对于A选项：复数 的虚部是实数 3，而不是 .因此A错误.
对于B选项：由模长公式 .因此B正确.
对于C选项： 对应的点为 ，横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限.因此C正确.
对于D选项：，这是一个实数（负实数），而不是纯虚数.因此D错误.
对于E选项：复数 的共轭复数为 .因此 的共轭复数为 .因此E正确.
综上所述，正确的选项为 B, C, E.
【易错警示】 A选项再次考查了“虚部是实数”这一核心概念.D选项考查了纯虚数与实数的区别，复数域中的实数也是复数的一种形式，不能将除纯虚数外的其他复数都归为纯虚数.本题要求同学们对复数的相关概念要做到精准记忆，不可模糊混淆.
二、复数代数形式的加减运算
（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道利用和、差的特殊属性（实数、纯虚数）来反推参数的典型题目.解题思路是：先分别计算出 与 ，再根据“是实数则虚部为零”、“是纯虚数则实部为零且虚部不为零”列出方程组求解.
■ 推导过程：
第1步：计算和 .由和为实数，得虚部为零：.
第2步：计算差 .由差为纯虚数，得实部为零且虚部不为零：.由 得 .将 代入虚部检验，，符合纯虚数条件.
第3步：综合解得 .故选项A正确.
【规律总结】 本题是复数概念与加减运算的完美结合.对于“反推参数”类问题，方法论是：先进行加减运算，用一个含参复数表示出和或差，然后根据复数分类（实数、虚数、纯虚数）的充要条件，对实部和虚部设置方程或不等式.这是待定系数法在复数中的典型应用.
（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出的复数不是标准的代数形式，而是带有 的高次幂.因此，处理的第一步是利用虚数单位 的性质（）将其化简为标准形式，再根据定义判断虚部.
■ 推导过程：
第1步：根据 的幂的性质，，.
第2步：代入原式进行化简：.
第3步：合并同类项，化为标准形式：.
第4步：根据虚部定义，复数 的虚部是实数 .故选项D正确.
【规律总结】 在复数运算中，遇到 的高次幂，应立刻利用 进行降次化简，这是最基本且重要的运算习惯.将复杂表达式转化为 的标准形式是解题的起点.
三、复数模的计算
（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是三个复数连加再求模.按照“先加减，后求模”的原则，先算出总和，再代入模长公式.
■ 推导过程：
第1步：计算三个复数的和..
第2步：合并实部与虚部.实部为 ，虚部为 .故和为 .
第3步：求模长..故答案为 .
（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题已知两个模长为1的复数及其差，求它们和的模.这里无法直接求出每个复数，但可以通过设元法，利用模长关系和复数相等建立方程组，间接求出和的模.
■ 推导过程：
第1步：设 , .由 ，得 .
第2步：由 ，得 .根据复数相等，有：
第3步：由 和 ，得 ，即 或 .由于 ，所以 不成立，只能是 .再结合 ，解得 , .
第4步：将 代入 ，得 ，所以 .
第5步：计算 .
第6步：求模 .故答案为 1.
【规律总结】 对于已知模长与和差关系求模的问题，设元法结合复数相等是普适性最广的方法.此外，利用公式 可一步求出：.此法值得了解.
（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求一个复数在实部、虚部非负条件下的模的最小值.已知条件是模的等式 .处理此类模的等式，标准方法是设 ，代入模长公式，平方后化简，从而找到 与 的线性关系，进而将模表示为单变量函数求最值.
■ 推导过程：
第1步：设 ().
第2步：代入等式并平方..展开得 .
第3步：化简得 ，即线性关系 .
第4步：由 .结合约束 ，得 .
第5步：目标的模表示为单变量函数..对根号内的二次函数 .
第6步：在 上，当 时 取最小值 .因此 .故答案为 .
【规律总结】 处理形如 的方程，设 并两边平方，可消去二次项，得到 的线性关系，即线段 的垂直平分线方程.这一方法将复数的模等式转化为了直线的轨迹方程，是解决此类问题的关键一步.
四、复数加减法的几何意义
（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题是复数加法几何意义的直接应用.在平行四边形OABC中，根据向量加法的平行四边形法则，有 .这对应着复数关系 .
■ 推导过程：
第1步：根据题意，顶点A和C对应的复数分别为 ，.
第2步：利用平行四边形法则，对角线OB对应的复数等于两邻边对应复数的和，即点B对应的复数 .
第3步：计算 .故选项B正确.
【规律总结】 复数的加减法与向量的加减法完全对应，这是学习复数几何意义的基石.特别地，在平行四边形或三角形中，运用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，可以方便地求出各点对应的复数.数形结合，直观且高效.
（6分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题同样是利用复数的几何意义求最值. 表示动点 在圆 上，半径为1.而所求的 表示圆上点 到定点 的距离.求最小值即判断定点与圆的位置关系并求最短距离.
■ 推导过程：
第1步：已知 ，设 ，则动点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆.
第2步：所求式子 ，表示点 到定点 的距离.
第3步：计算定点 到圆心 的距离..
第4步：分析位置关系.由于 到圆心的距离等于半径 ，所以定点 恰好在这个圆上.
第5步：因此，圆上动点 到定点 的距离最小值为 （当 与 重合时）.故选项A正确.
【规律总结】 本题再次印证了“复数的模的几何意义是距离”这一解题利器.解决形如 及求 最值的问题，解法已固化为“一看圆心半径，二看定点，三判位置求最值”.定点在圆内、圆上、圆外，其最值情况不同，需结合图形具体分析.
五、综合应用
（16分）
【答案速览】 （1）；（2）
【深度解析】
■ 思路分析：本题为综合解答题.（1）问求模的取值范围，首先需要运用复数加法计算出 ，然后表示出它的模，此时会发现模是关于参数 的函数.求取值范围需要用到基本不等式求最值这一重要工具.（2）问涉及三点共线和三角形面积.三点共线在坐标系中通常等价于相应点连线的斜率相等，据此可解出 ，然后利用向量数量积或三角形面积坐标公式求面积.
■ 推导过程：
（1）
第1步：计算 【1分】.（注意 ）【2分】.
第2步：表示出模【1分】.【2分】.
第3步：对根号内部分运用基本不等式求最值【2分】.由 ，根据基本不等式 ，有 ，当且仅当 即 时等号成立.
第4步：所以 .故取值范围是 【1分】.
（2）
第1步：表示出点坐标【1分】.，，.
第2步：由三点共线，各点连线斜率相等，即 【2分】.代入坐标得 ，即 .
第3步：解关于 的方程【2分】.由 ，由于 ，两边同乘 得 ，解得 .检验 使三点不重合，符合.
第4步：代入求A、B坐标【1分】.，.进而得向量 ，.
第5步：计算三角形面积【2分】.用向量积的坐标公式 ，得 .
【规律总结】 本题完美融合了复数、向量与解析几何.第（1）问展示了构建关于实参的模的函数，并利用不等式求值域的方法.第（2）问展示了用坐标法处理几何中“三点共线”问题的方法.这体现了复数作为解决综合问题工具的强大功能.
（9分）
【答案速览】 存在，，
【深度解析】
■ 思路分析：本题将复数与向量的旋转变换结合，难度较大.解题的关键是将“向量 逆时针旋转 后与 重合”这个几何条件，转化为代数的方程组.这需要两个条件：1. 旋转后长度不变，即两向量模长相等；2. 旋转 ，即两向量垂直，数量积为零.结合已知 ，三个方程联立可解.
■ 推导过程：
第1步：由复数得到对应向量【1分】.，.且 ，由 得 ，即 （方程①）【1分】.
第2步：将几何条件代数化【2分】.“向量 逆时针旋转 后与 重合”，意味着 （长度相等），且 （方向垂直）.于是有：
（方程②）
（方程③）
第3步：解方程组【2分】.联立①②解 .①+②得 .③式表明 同号.由①-②得 .因为 同号，所以有两组解： 或 .
第4步：确定唯一的解【2分】.题目要求旋转后重合，在坐标平面上，从 逆时针转 应到 （因为 逆时针转 得 ）.由于 ，令其相等：.解得 .因此，该组解符合所有条件.
第5步：结论【1分】.存在实数 满足题意.
【规律总结】 在处理向量旋转的问题时，无需使用复杂的旋转角度公式，应将其拆解为“模长相等”和“方向垂直”这两个核心数量关系.对于旋转 的特殊情况，还可以用坐标变换 快速求解.总之，将几何条件转化为代数方程组是解决此类问题的核心思想.
（6分）
【答案速览】
【深度解析】
（本题与A卷第7题完全相同，解析请参考A卷第7题的深度学习型解析.）
（17分）
【答案速览】 （1）；（2）最大值为2
【深度解析】
■ 思路分析：本题（1）要求用参数表示格三角形面积.已知两点和原点，求三角形面积，最直接的方法是利用向量 和 的坐标，结合向量积的坐标公式 .（2）问求该面积的最大值，观察表达式 ，可将它看作两个向量 与 点积的绝对值.由 知 ，从而可以用向量数量积的性质 求最大值.
■ 推导过程：
（1）
第1步：写出向量坐标【2分】.，.
第2步：代入三角形面积坐标公式【3分】.【3分】.
（2）
第1步：构造向量【2分】.注意到 .可看作向量 与 的点积的绝对值 .
第2步：使用限制条件【1分】.由已知 ，得 .
第3步：应用柯西-施瓦茨不等式（或向量数量积性质）求最值【3分】..
第4步：等号成立条件分析【2分】.等号当且仅当 与 共线且同向，即 （）.由模长为1得 .解得 .此时面积 取得最大值 2.考虑到 O, A, B 三点不共线，.最大值 2 可以达到.
结论【1分】： 的最大值为 2.
【规律总结】 本题是数形结合与转化思想的典范.将看似复杂的面积问题，通过坐标公式转化为简单的代数表达式 ，再联系向量点积，利用模长为1的条件和向量数量积的性质（或柯西不等式）漂亮地求出了最大值.其中，“构造向量及其内积”是处理形如 在 为定值条件下的最值问题的通法.

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