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第五章 2.2 复数的乘法与除法 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 复数的大小比较陷阱——两个复数中只要有一个不是实数，就不能比较大小.任何看似比较大小的式子（如 ）都隐含了它们均为实数的前提.
2. 复数模的平方与复数平方的混淆—— 是实数，等于 ；而 仍是复数.两者一般不等，如 ，而 .
3. 纯虚数条件的遗漏——纯虚数不仅要求实部为零，还必须虚部不为零.列式求解时务必检查“虚部 ”这一条件.
4. 共轭复数与模长性质的误用—— 不一定是纯虚数（当 时为0）.分母实数化时分子分母须同乘分母的共轭复数，注意符号.
训练目标：
1. 能够熟练、准确地对复数的乘法与除法进行代数形式的运算，理解分母实数化的原理.
2. 能够准确判断复数的实部、虚部，并能利用纯虚数、实数等条件建立方程或不等式求解参数.
3. 能够熟练计算复数的模，并理解复数模与共轭复数、乘法、除法之间的关系.
4. 能够将复数的代数运算与复平面内的点或向量对应，解决简单的几何问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
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D A A D B -2 BCD BD 5 （1） （2） （3） 或
一、复数乘除法运算
1.（单选）（5分）
已知复数 ， 为虚数单位，则复数 的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 的表达式是两个复数的乘积形式 ，触发使用复数乘法法则（即多项式乘法，注意 ）将其展开化为 的标准形式.然后根据虚部的定义（标准形式 中虚部为 ，不带 ）即可得到结果.
■ 推导过程：
第1步：使用多项式乘法法则展开 .
第2步：合并各项.
第3步：利用 化简实部.
第4步：将复数 与标准形式 对比，其虚部为 .
2.（单选）（2026·张家口模拟）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：题目求 的值，需要先计算 ，再求倒数.求复数倒数的方法是分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数，或在本例中分母为纯虚数 ，可直接分子分母同乘 或 消去分母中的虚数单位.
■ 推导过程：
第1步：由 ，计算 .
第2步：代入目标式 .
第3步：分母实数化，分子分母同乘 （或 ）.
3.（单选）（5分）
复数 的虚部是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：题目求复数 的虚部.因为分母中含有虚数，需要先通过分母实数化（分子分母同乘分母的共轭复数 ）将其化为标准形式 ，再根据虚部定义（，不含 ）读出结果.
■ 推导过程：
第1步：确定分母 的共轭复数为 .
第2步：分子分母同乘 .
第3步：计算分母（利用平方差公式 ）.
第4步：展开分子.
第5步：写出化简结果.
第6步：标准形式为 ，所以虚部为 .
【易错警示】
学生常见错误是将 整体误认为虚部，或把虚部写成 .务必牢记：复数 的虚部是实数 ，不带虚数单位 .
4.（填空）（5分）
计算： ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目是计算一个分子为复数、分母为纯虚数的除法表达式.分母为 ，可以分子分母同乘 （或 ）消去分母的虚数单位.优先选择同乘 可使结果直接呈现为较简形式.
■ 推导过程：
第1步：分子分母同乘 （分母实数化的标准操作）.
第2步：计算分母.
第3步：展开分子，注意 .
第4步：代入 化简.
第5步：结果已是最简的标准形式 .
二、复数基本概念辨析
5.（单选）（5分）
复数 的实部与虚部之和为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目要求先化简复数 ，通过乘法展开化为标准形式，分别找出实部和虚部，再求它们的和.
■ 推导过程：
第1步：去括号，逐项相乘.
第2步：代入 .
第3步：标准形式为 ，实部 ，虚部 .
第4步：计算实部与虚部之和.
【易错警示】
部分学生可能在去括号时漏掉负号，写成 时忘记 的符号，或将虚部误认为 而非 .
6.（单选）（5分）
（i为虚数单位）的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目求 的虚部.分母为纯虚数 ，通过分子分母同乘 完成分母实数化，化为标准形式后读取虚部.
■ 推导过程：
第1步：分子分母同乘 （或同乘 ，此处选 可使实部为正）.
第2步：分母化简.
第3步：分子展开并代入 .
第4步：复数已化为标准形式 ，其虚部为 .
7.（填空）（5分）
已知复数 ，则 的虚部为 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目求 的虚部.分母 不是纯虚数，需用共轭复数 进行分母实数化，展开后整理为标准形式.
■ 推导过程：
第1步：分母 的共轭复数为 .
第2步：分子分母同乘 .
第3步：分母利用平方差公式.
第4步：分子展开.
第5步：代入 合并.
第6步：写出标准形式.
第7步：虚部为 .
8.（填空）（5分）
已知i为虚数单位，若复数 为纯虚数，则a的值为 ____
【答案速览】 -2
【深度解析】
■ 思路分析：题目条件为复数 是纯虚数.先按乘法法则展开化为标准形式，再根据纯虚数的充要条件（实部为零且虚部不为零）列方程组，解出参数 .
■ 推导过程：
第1步：展开 .
第2步：代入 合并实部与虚部.
第3步：由纯虚数定义，得方程组.
实部为零：
虚部不为零：
第4步：解实部方程得 .代入虚部检验：，满足条件.
第5步：故 .
【易错警示】
学生常见的典型错误是只列实部为零 解出 ，忽略对虚部不为零 的检验.本题中 恰好满足虚部不为零，但养成检验习惯至关重要.
9.（解答）（15分）
已知复数 ，其中 ，设 .
（1）若 是纯虚数，求实数 的值；
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题为解答题，综合考查复数乘法与纯虚数条件.先按乘法法则计算 ，化为标准形式，再利用纯虚数的充要条件列方程组求参数 .
■ 推导过程：
第1步：将 代入 ，展开乘法.
第2步：逐项相乘并合并.
第3步：代入 ，合并实部与虚部.【3分】
第4步： 是纯虚数，则实部为零且虚部不为零，列方程组.【5分】
第5步：解实部方程得 .【3分】
第6步：检验虚部，当 时，，满足条件.【2分】
第7步：综上，实数 的值为 .【2分】
【易错警示】
学生容易在展开 时忘记系数相乘得到 ，或者在代入 时符号处理错误.解出 后务必代入虚部检验是否为零，这是纯虚数问题的必要步骤.
三、模与共轭的性质
10.（多选）（5分）
已知复数 均不为0，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 BCD
【深度解析】
■ 思路分析：本题为多选题，考查复数模与共轭复数的基本性质.需对每个选项逐一验证，举反例排除错误选项，用代数推导确认正确选项.设 ，利用 这一核心恒等式作为判断依据.
■ 推导过程：
选项A：取 ，则左边 ，右边 ，故A错误.
选项B：设 ，则 .等式恒成立，故B正确.
选项C：设 ，通过计算 与 ，可证两者相等.这是复数模的基本性质：积的模等于模的积.故C正确.
选项D：由C可知 （），这是商的模等于模的商这一性质的直接推论.故D正确.
结论：真命题为BCD.
【易错警示】
选项A是高频错误选项.学生常误认为 ，实际上 永远是实数，而 一般是复数，两者概念截然不同.
11.（多选）（5分）
已知 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案速览】 BD
【深度解析】
■ 思路分析：本题为多选题，考查复数的模、大小比较等核心概念辨析.关键突破口在于理解“复数之间不能直接比较大小，除非它们都是实数”.选项A和C可通过举反例排除，B通过模的非负性推导，D利用“能比较大小则必为实数”这一隐含条件判断.
■ 推导过程：
选项A：取 ，则 成立，但 不是实数，无法与实数 和 比较大小.故A错误.
选项B：由 ，而模是非负实数，两个非负数之和为零当且仅当各自为零，故 ，从而 .故B正确.
选项C：取 ，则 ，但 ，两者不等.故C错误.
选项D：由 可知 与 能够比较大小，这意味着两者必为实数.实数间的减法保持大小关系，故 成立.故D正确.
结论：真命题为BD.
【易错警示】
本题每个选项都对应一个典型易错点：A项是“用模的范围代替复数的范围”；B项如学生误以为模为零时复数不一定为零则易选错；C项是“模相等推不出平方相等”；D项是“忽视大小比较对实数的隐含要求”.解题时必须对复数与实数的本质区别有清晰认识.
【规律总结】
处理复数概念类多选题的心法是：①凡是涉及复数之间大小比较的命题，首先要判断这些复数是否全为实数；②模的性质判断题，举反例是最有效的方法， 和 是一对常用的模相等但平方不等的反例.
12.（填空）（5分）
若 ，那么 ____
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：题目直接给出复数的标准形式 ，求其模.直接调用复数模长公式 代入计算即可.
■ 推导过程：
第1步：识别复数的实部 ，虚部 .
第2步：代入模长公式.
第3步：计算平方和.
13.（解答）（30分）
已知复数 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 ；
（3）若 ，且 是纯虚数，求 .
【答案速览】 （1） （2） （3） 或
【深度解析】
■ 思路分析：本题三道小问逐层递进.（1）已知标准形式直接求模；（2）进行复数除法运算，分母实数化后化简；（3）设 ，利用“模长条件”和“纯虚数条件”列方程组解出 .
■ 推导过程：
（1） 第1步：由 ，得实部 ，虚部 .【1分】
第2步：代入模长公式 .【2分】
（2） 第1步：代入 .
第2步：分母 的共轭复数为 ，分子分母同乘.【3分】
第3步：计算分母 .【2分】
第4步：计算分子.
第5步：代入 合并.
第6步：化简结果.
【3分】
（3） 第1步：设 （）.【1分】
第2步：由模长条件 ，得 ①.【3分】
第3步：计算 并化为标准形式.
第4步：由 是纯虚数，得实部为零且虚部不为零.【4分】
第5步：由 得 ，代入①得 ，即 ，，.【3分】
第6步：当 时，，检验虚部 ，满足条件.
当 时，，检验虚部 ，满足条件.【2分】
第7步：所以 或 .【2分】
【易错警示】
第（3）问中，由纯虚数条件列出 后，切不可遗漏虚部不为零 的检验，否则可能导致多解或漏判.联立方程组时注意代入消元的计算准确性.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B 一 C B CD 2 BCD ACD （1） ， （2） 或 （1） （2） 见解析
一、概念与运算精练
1.（单选）（5分）
设复数 ，（）.若 为实数，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目条件“ 为实数”是核心突破点.需先执行复数除法运算，将商化为标准形式，再令其虚部为零，解出参数 .
■ 推导过程：
第1步：代入 ，.
第2步：分母实数化，分子分母同乘共轭复数 .
第3步：分母化简 .
第4步：分子展开并代入 .
第5步：写出标准形式 .
第6步：由商为实数，虚部为零.
第7步：分母 恒成立，故分子为零 ，解得 .
2.（填空）（5分）
设i为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，若 ，则 在复平面内对应的点位于第____象限.
【答案速览】 一
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出 的表达式，要求 在复平面内对应的点所在象限.首先利用 的幂次周期性化简 ，然后化简 ，再求共轭得 ，最后根据 的实部和虚部符号判断象限.
■ 推导过程：
第1步：利用 的周期性.，计算 ，所以 .
第2步：代入化简 .
第3步：分母实数化，分子分母同乘 .
第4步：由共轭关系得 .
第5步：复数 对应复平面内的点 ，实部 ，虚部 ，该点位于第一象限.
【规律总结】
处理含 （ 较大）的式子时，务必先用 的周期性化简幂次：.再按常规流程进行复数运算.
3.（填空）（5分）
已知复数 ，若 在复平面内对应的点位于第四象限，则 的取值范围是 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目中 的表达式含有 的高次幂，首先利用周期性化简 和 ，将 化为标准形式.再根据点位于第四象限的条件（实部 ，虚部 ）列不等式组，解出 的取值范围.
■ 推导过程：
第1步：利用 的周期性化简幂次.
.
.
第2步：代入 的表达式.
第3步：第四象限的点满足 ，列不等式组.
第4步：解不等式组.
由 得 .
由 得 ，解得 .
第5步：取交集得 .
第6步：取值范围用区间表示为 .
4.（填空）（5分）
已知复数 ，若 是关于 的方程 的一个根，则实数 ____ ， ____
【答案速览】 ，
【深度解析】
■ 思路分析：题目分两阶段.第一阶段将 化简为标准形式（分母实数化）；第二阶段把 代入一元二次方程，利用“复数等于零则实部、虚部均为零”的条件建立方程组，解出实数 .
■ 推导过程：
第1步：化简 .分母实数化，分子分母同乘 .
第2步：分母 .
第3步：分子展开 .
第4步：写出标准形式 .
第5步：将 代入方程 .
第6步：计算各项.
第7步：合并实部和虚部.
第8步：由复数等于零，实部和虚部均为零.
第9步：解第二个方程得 .代入第一个得 ，解得 .
二、模与几何意义探究
5.（单选）（5分）
已知 （ 是虚数单位），则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出一个关于 的一次方程 ，先解出 ，再通过分母实数化得到 的标准形式，最后用模长公式求 .
■ 推导过程：
第1步：由 ，解得 .
第2步：分母实数化，同乘共轭复数 .
第3步：分母化简 .
第4步：分子展开 .
第5步：写出标准形式 .
第6步：代入模长公式.
6.（单选）（5分）
当 时，复数 在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出含参数 的复数表达式，限定 ，要求判断该复数在复平面内对应点所在的象限.先合并化简为标准形式 ，根据 的范围判定实部 和虚部 的正负，再对应到象限.
■ 推导过程：
第1步：展开表达式.
第2步：合并实部与虚部.
第3步：分析给定范围 下实部和虚部的符号.
实部：.因为 ，所以 ，即 .
虚部：.因为 ，所以 .
第4步：实部为负，虚部为正，即 ，对应复平面内的点位于第二象限.
7.（多选）（5分）
已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 的虚部为
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 为方程 的一个根
【答案速览】 CD
【深度解析】
■ 思路分析：先利用 化简复数 ，分母实数化后得到标准形式，进而可得其共轭复数.然后对每个选项逐一计算验证.
■ 推导过程：
第1步：化简 ，所以 .
第2步：得共轭复数 .
选项A： 的虚部应为 （不带 ），A项写成 错误，故A错误.
选项B：计算 .
故B错误.
选项C： 对应点 ，实部为负、虚部为正，在第二象限，故C正确.
选项D：将 代入方程 检验.
计算 .
代入得 .等式成立，故D正确.
结论：正确选项为CD.
【规律总结】
涉及复数作为方程根的题目，直接将复数代入方程验证是最直接的方法.在处理含 的表达式时， 是必须掌握的简化技巧.
8.（填空）（5分）
若复数 满足 ，则 的最大值为 ____
【答案速览】 2
【深度解析】
■ 思路分析：条件 的几何意义是复数 在复平面内对应的点到点 的距离恒为1，即点 的轨迹是以 为圆心、1为半径的圆. 表示该点到原点的距离，其最大值等于圆心到原点的距离加半径.
■ 推导过程：
第1步：（几何视角）设 ，条件 即 ，化为 .这表示以 为圆心、半径 的圆.
第2步：问题化为求该圆上任意点到原点 距离的最大值.
第3步：计算圆心到原点的距离 .
第4步：圆上点到 的最大距离 .即 .
【规律总结】
形如 的条件，其几何意义是复数 的对应点位于以 为圆心、 为半径的圆上.处理此类模的最值问题，“以形助数”是核心策略：先将模条件转化为几何轨迹，再将目标模转化为几何距离，利用平面几何知识求最值.
三、综合应用与思维拓展
9.（多选）（5分）
已知 ， 是复数，则下列命题错误的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案速览】 BCD
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求选出“错误的命题”，四个选项分别考查模的三角不等式逆命题、复数比较大小、模相等与平方的关系、以及平方和为零的含义.逐个分析，构造反例是判断错误命题的关键.
■ 推导过程：
选项A：若 即 .在复平面上， 与 关于原点对称，两者模长相等.所以 恒成立.A正确.
选项B：取 ，则 成立，但复数 和 均非实数，无法比较大小.“”无意义.故B错误.
选项C：取 ，，但 .故C错误.
选项D：取 ，则 ，但 .故D错误.
结论：错误选项为BCD.
【易错警示】
本题的B、C、D均为复数中的高频易错点.关键在于理解复数运算规则与实数规则的差异：复数没有大小顺序（除非全为实数）；模相等不能推出复数本身或其代数运算结果相等；两复数平方和为零也不能推出各自为零.
【规律总结】
复数命题判断中，“找一个反例”是最高效的武器.常用的反例素材包括：、、 等.熟记这些典型复数的模与平方值，能快速破解大部分概念陷阱.
10.（多选）（5分）
已知z满足 则（ 　　）
A.
B. 复平面内z对应的点在第一象限
C.
D. 的实部与虚部之积为-4
【答案速览】 ACD
【深度解析】
■ 思路分析：条件是一个关于 和 的方程.采用“设而不求”的策略：设 ，代入方程，利用复数相等的充要条件列出关于 的方程组，解出 .然后逐一计算各选项中的量，判断正误.
■ 推导过程：
第1步：设 （），则 .
第2步：化简方程右边的分式 .
第3步：代入方程 .
左边：.
右边：.
第4步：由复数相等的条件得方程组：
第5步：解方程组.
由第一式得 ，故 .
代入第二式：，得 ，.
第6步：因此 ，.
第7步：验证各选项.
选项A：，正确.
选项B： 对应复平面内的点 ，实部负、虚部正，位于第二象限，而非第一象限，故B错误.
选项C：，正确.
选项D： 的实部为 ，虚部为 ，积为 ；或 实部 虚部 积为 .此处选项D根据原意应为“ 的实部与虚部之积为-4”，故D正确.综合，正确选项为ACD.
【易错警示】
本题的易错点有两处：一是在展开 时，需准确合并实部和虚部，尤其注意 ，而非 ；二是在计算复数相等时，务必将左右两边均化为 的形式，再令实部、虚部分别相等.
11.（解答）（20分）
已知复数 满足 为纯虚数，.
（1）求 以及 ；
（2）设 ，若 ，求实数 的值.
【答案速览】 （1） ， （2） 或
【深度解析】
■ 思路分析：（1）由两个条件联立求解.条件一“为纯虚数”提供实部为零的方程；条件二“”提供虚部信息可直接定出虚部值.两个条件配合解出 .（2）将（1）的结果代入 的表达式，化简后利用模长条件列方程求 .
■ 推导过程：
（1）
第1步：设 （），则 .【2分】
第2步：利用第二个条件 ，得 ，解得 .【4分】
第3步：利用第一个条件..
展开：.
即 .【4分】
第4步：该复数为纯虚数，则实部为零且虚部不为零.
由 得 .检验虚部 ，满足条件.【3分】
第5步：所以 ，.【2分】
（2）
第1步：代入 和 到 表达式.
【3分】
第2步：分母实数化.分子分母同乘 ：
【5分】
第3步：由 列方程：
两边平方得 ，即 .【2分】
第4步：解得 或 ，故 或 .【1分】
第5步：实数 的值为 1 或 5.
【规律总结】
纯虚数条件与模长条件最终都转化为实数的等式或不等式.解题流程：设出复数的代数形式 → 将条件“翻译”为关于实部的方程或不等式 → 联立求解.这是处理复数综合题的通用框架，体现了化归与转化的数学思想.
12.（解答）（20分）
人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程 的三个根分别为：
其中 ，.
（1）求 的三个根；
（2）求 的三个根.
【答案速览】 （1） ，，
（2） ，，
【深度解析】
■ 思路分析：本题以“卡尔达诺公式”为背景，属于数学史与复数运算的结合.（1）直接识别方程 中的 ，代入公式计算.需注意 和 的运算.（2）方程并非标准不完全形式，需通过配方法将 转换为关于 的不完全三次方程 ，然后对 套用公式，最后回代得 .
■ 推导过程：
（1） 第1步：对于方程 ，识别 .【1分】
第2步：计算公式中的核心根式 .
【3分】
第3步：代入三个根的公式.
.
.
.【4分】
结论：三个根为 ，，.【2分】
（2） 第1步：对方程左边配方.
【3分】
第2步：令 ，方程化为 ，此时 .【2分】
第3步：计算核心根式.
【2分】
第4步：代入公式得 .
【2分】
第5步：回代 ，得到原方程的三个根即为答案所示形式.【1分】
【易错警示】
第（2）问的最大难点在于配方.学生可能在构造 的展开时出错.验证：，原式 = .配方的关键是先识别二次项系数为3，判断可能需要令 ，再逆推验证.
【规律总结】
本题不要求死记卡尔达诺公式，而是考查“阅读信息—识别模型—代入运算—变量代换”的数学建模素养.遇到高次方程求根类新定义题，一般步骤为：①化简或配方，将原方程化为定义中要求的规范形式；②识别参数（如此处的 ）；③代入公式或算法；④还原变量，得到最终结果.第五章 2.2 复数的乘法与除法 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 复数的大小比较陷阱——两个复数中只要有一个不是实数，就不能比较大小.任何看似比较大小的式子（如 ）都隐含了它们均为实数的前提.
2. 复数模的平方与复数平方的混淆—— 是实数，等于 ；而 仍是复数.两者一般不等，如 ，而 .
3. 纯虚数条件的遗漏——纯虚数不仅要求实部为零，还必须虚部不为零.列式求解时务必检查“虚部 ”这一条件.
4. 共轭复数与模长性质的误用—— 不一定是纯虚数（当 时为0）.分母实数化时分子分母须同乘分母的共轭复数，注意符号.
训练目标：
1. 能够熟练、准确地对复数的乘法与除法进行代数形式的运算，理解分母实数化的原理.
2. 能够准确判断复数的实部、虚部，并能利用纯虚数、实数等条件建立方程或不等式求解参数.
3. 能够熟练计算复数的模，并理解复数模与共轭复数、乘法、除法之间的关系.
4. 能够将复数的代数运算与复平面内的点或向量对应，解决简单的几何问题.
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A卷　基础巩固（100分）
一、复数乘除法运算
1.（单选）（5分）
已知复数 ， 为虚数单位，则复数 的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（单选）（2026·张家口模拟）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
3.（单选）（5分）
复数 的虚部是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（填空）（5分）
计算： ____
二、复数基本概念辨析
5.（单选）（5分）
复数 的实部与虚部之和为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
6.（单选）（5分）
（i为虚数单位）的虚部为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
7.（填空）（5分）
已知复数 ，则 的虚部为 ____
8.（填空）（5分）
已知i为虚数单位，若复数 为纯虚数，则a的值为 ____
9.（解答）（15分）
已知复数 ，其中 ，设 .
（1）若 是纯虚数，求实数 的值；
三、模与共轭的性质
10.（多选）（5分）
已知复数 均不为0，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
11.（多选）（5分）
已知 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
12.（填空）（5分）
若 ，那么 ____
13.（解答）（30分）
已知复数 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 ；
（3）若 ，且 是纯虚数，求 .
B卷　能力提升（100分）
一、概念与运算精练
1.（单选）（5分）
设复数 ，（）.若 为实数，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（填空）（5分）
设i为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，若 ，则 在复平面内对应的点位于第____象限.
3.（填空）（5分）
已知复数 ，若 在复平面内对应的点位于第四象限，则 的取值范围是 ____
4.（填空）（5分）
已知复数 ，若 是关于 的方程 的一个根，则实数 ____ ， ____
二、模与几何意义探究
5.（单选）（5分）
已知 （ 是虚数单位），则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
6.（单选）（5分）
当 时，复数 在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
7.（多选）（5分）
已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 的虚部为
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 为方程 的一个根
8.（填空）（5分）
若复数 满足 ，则 的最大值为 ____
三、综合应用与思维拓展
9.（多选）（5分）
已知 ， 是复数，则下列命题错误的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10.（多选）（5分）
已知z满足 则（ 　　）
A.
B. 复平面内z对应的点在第一象限
C.
D. 的实部与虚部之积为-4
11.（解答）（20分）
已知复数 满足 为纯虚数，.
（1）求 以及 ；
（2）设 ，若 ，求实数 的值.
12.（解答）（20分）
人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程 的三个根分别为：
其中 ，.
（1）求 的三个根；
（2）求 的三个根.
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D A A D B -2 BCD BD 5 （1） （2） （3） 或
B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B 一 C B CD 2 BCD ACD （1） ， （2） 或 （1） （2） 见解析
A卷　基础巩固（100分）
一、复数乘除法运算
1.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 的表达式是两个复数的乘积形式 ，触发使用复数乘法法则（即多项式乘法，注意 ）将其展开化为 的标准形式.然后根据虚部的定义（标准形式 中虚部为 ，不带 ）即可得到结果.
■ 推导过程：
第1步：使用多项式乘法法则展开 .
第2步：合并各项.
第3步：利用 化简实部.
第4步：将复数 与标准形式 对比，其虚部为 .
2.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：题目求 的值，需要先计算 ，再求倒数.求复数倒数的方法是分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数，或在本例中分母为纯虚数 ，可直接分子分母同乘 或 消去分母中的虚数单位.
■ 推导过程：
第1步：由 ，计算 .
第2步：代入目标式 .
第3步：分母实数化，分子分母同乘 （或 ）.
3.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：题目求复数 的虚部.因为分母中含有虚数，需要先通过分母实数化（分子分母同乘分母的共轭复数 ）将其化为标准形式 ，再根据虚部定义（，不含 ）读出结果.
■ 推导过程：
第1步：确定分母 的共轭复数为 .
第2步：分子分母同乘 .
第3步：计算分母（利用平方差公式 ）.
第4步：展开分子.
第5步：写出化简结果.
第6步：标准形式为 ，所以虚部为 .
【易错警示】
学生常见错误是将 整体误认为虚部，或把虚部写成 .务必牢记：复数 的虚部是实数 ，不带虚数单位 .
4.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目是计算一个分子为复数、分母为纯虚数的除法表达式.分母为 ，可以分子分母同乘 （或 ）消去分母的虚数单位.优先选择同乘 可使结果直接呈现为较简形式.
■ 推导过程：
第1步：分子分母同乘 （分母实数化的标准操作）.
第2步：计算分母.
第3步：展开分子，注意 .
第4步：代入 化简.
第5步：结果已是最简的标准形式 .
二、复数基本概念辨析
5.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目要求先化简复数 ，通过乘法展开化为标准形式，分别找出实部和虚部，再求它们的和.
■ 推导过程：
第1步：去括号，逐项相乘.
第2步：代入 .
第3步：标准形式为 ，实部 ，虚部 .
第4步：计算实部与虚部之和.
【易错警示】
部分学生可能在去括号时漏掉负号，写成 时忘记 的符号，或将虚部误认为 而非 .
6.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目求 的虚部.分母为纯虚数 ，通过分子分母同乘 完成分母实数化，化为标准形式后读取虚部.
■ 推导过程：
第1步：分子分母同乘 （或同乘 ，此处选 可使实部为正）.
第2步：分母化简.
第3步：分子展开并代入 .
第4步：复数已化为标准形式 ，其虚部为 .
7.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目求 的虚部.分母 不是纯虚数，需用共轭复数 进行分母实数化，展开后整理为标准形式.
■ 推导过程：
第1步：分母 的共轭复数为 .
第2步：分子分母同乘 .
第3步：分母利用平方差公式.
第4步：分子展开.
第5步：代入 合并.
第6步：写出标准形式.
第7步：虚部为 .
8.（5分）
【答案速览】 -2
【深度解析】
■ 思路分析：题目条件为复数 是纯虚数.先按乘法法则展开化为标准形式，再根据纯虚数的充要条件（实部为零且虚部不为零）列方程组，解出参数 .
■ 推导过程：
第1步：展开 .
第2步：代入 合并实部与虚部.
第3步：由纯虚数定义，得方程组.
实部为零：
虚部不为零：
第4步：解实部方程得 .代入虚部检验：，满足条件.
第5步：故 .
【易错警示】
学生常见的典型错误是只列实部为零 解出 ，忽略对虚部不为零 的检验.本题中 恰好满足虚部不为零，但养成检验习惯至关重要.
9.（15分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题为解答题，综合考查复数乘法与纯虚数条件.先按乘法法则计算 ，化为标准形式，再利用纯虚数的充要条件列方程组求参数 .
■ 推导过程：
第1步：将 代入 ，展开乘法.
第2步：逐项相乘并合并.
第3步：代入 ，合并实部与虚部.【3分】
第4步： 是纯虚数，则实部为零且虚部不为零，列方程组.【5分】
第5步：解实部方程得 .【3分】
第6步：检验虚部，当 时，，满足条件.【2分】
第7步：综上，实数 的值为 .【2分】
【易错警示】
学生容易在展开 时忘记系数相乘得到 ，或者在代入 时符号处理错误.解出 后务必代入虚部检验是否为零，这是纯虚数问题的必要步骤.
三、模与共轭的性质
10.（5分）
【答案速览】 BCD
【深度解析】
■ 思路分析：本题为多选题，考查复数模与共轭复数的基本性质.需对每个选项逐一验证，举反例排除错误选项，用代数推导确认正确选项.设 ，利用 这一核心恒等式作为判断依据.
■ 推导过程：
选项A：取 ，则左边 ，右边 ，故A错误.
选项B：设 ，则 .等式恒成立，故B正确.
选项C：设 ，通过计算 与 ，可证两者相等.这是复数模的基本性质：积的模等于模的积.故C正确.
选项D：由C可知 （），这是商的模等于模的商这一性质的直接推论.故D正确.
结论：真命题为BCD.
【易错警示】
选项A是高频错误选项.学生常误认为 ，实际上 永远是实数，而 一般是复数，两者概念截然不同.
11.（5分）
【答案速览】 BD
【深度解析】
■ 思路分析：本题为多选题，考查复数的模、大小比较等核心概念辨析.关键突破口在于理解“复数之间不能直接比较大小，除非它们都是实数”.选项A和C可通过举反例排除，B通过模的非负性推导，D利用“能比较大小则必为实数”这一隐含条件判断.
■ 推导过程：
选项A：取 ，则 成立，但 不是实数，无法与实数 和 比较大小.故A错误.
选项B：由 ，而模是非负实数，两个非负数之和为零当且仅当各自为零，故 ，从而 .故B正确.
选项C：取 ，则 ，但 ，两者不等.故C错误.
选项D：由 可知 与 能够比较大小，这意味着两者必为实数.实数间的减法保持大小关系，故 成立.故D正确.
结论：真命题为BD.
【易错警示】
本题每个选项都对应一个典型易错点：A项是“用模的范围代替复数的范围”；B项如学生误以为模为零时复数不一定为零则易选错；C项是“模相等推不出平方相等”；D项是“忽视大小比较对实数的隐含要求”.解题时必须对复数与实数的本质区别有清晰认识.
【规律总结】
处理复数概念类多选题的心法是：①凡是涉及复数之间大小比较的命题，首先要判断这些复数是否全为实数；②模的性质判断题，举反例是最有效的方法， 和 是一对常用的模相等但平方不等的反例.
12.（5分）
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：题目直接给出复数的标准形式 ，求其模.直接调用复数模长公式 代入计算即可.
■ 推导过程：
第1步：识别复数的实部 ，虚部 .
第2步：代入模长公式.
第3步：计算平方和.
13.（30分）
【答案速览】 （1） （2） （3） 或
【深度解析】
■ 思路分析：本题三道小问逐层递进.（1）已知标准形式直接求模；（2）进行复数除法运算，分母实数化后化简；（3）设 ，利用“模长条件”和“纯虚数条件”列方程组解出 .
■ 推导过程：
（1） 第1步：由 ，得实部 ，虚部 .【1分】
第2步：代入模长公式 .【2分】
（2） 第1步：代入 .
第2步：分母 的共轭复数为 ，分子分母同乘.【3分】
第3步：计算分母 .【2分】
第4步：计算分子.
第5步：代入 合并.
第6步：化简结果.
【3分】
（3） 第1步：设 （）.【1分】
第2步：由模长条件 ，得 ①.【3分】
第3步：计算 并化为标准形式.
第4步：由 是纯虚数，得实部为零且虚部不为零.【4分】
第5步：由 得 ，代入①得 ，即 ，，.【3分】
第6步：当 时，，检验虚部 ，满足条件.
当 时，，检验虚部 ，满足条件.【2分】
第7步：所以 或 .【2分】
【易错警示】
第（3）问中，由纯虚数条件列出 后，切不可遗漏虚部不为零 的检验，否则可能导致多解或漏判.联立方程组时注意代入消元的计算准确性.
B卷　能力提升（100分）
一、概念与运算精练
1.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目条件“ 为实数”是核心突破点.需先执行复数除法运算，将商化为标准形式，再令其虚部为零，解出参数 .
■ 推导过程：
第1步：代入 ，.
第2步：分母实数化，分子分母同乘共轭复数 .
第3步：分母化简 .
第4步：分子展开并代入 .
第5步：写出标准形式 .
第6步：由商为实数，虚部为零.
第7步：分母 恒成立，故分子为零 ，解得 .
2.（5分）
【答案速览】 一
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出 的表达式，要求 在复平面内对应的点所在象限.首先利用 的幂次周期性化简 ，然后化简 ，再求共轭得 ，最后根据 的实部和虚部符号判断象限.
■ 推导过程：
第1步：利用 的周期性.，计算 ，所以 .
第2步：代入化简 .
第3步：分母实数化，分子分母同乘 .
第4步：由共轭关系得 .
第5步：复数 对应复平面内的点 ，实部 ，虚部 ，该点位于第一象限.
【规律总结】
处理含 （ 较大）的式子时，务必先用 的周期性化简幂次：.再按常规流程进行复数运算.
3.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目中 的表达式含有 的高次幂，首先利用周期性化简 和 ，将 化为标准形式.再根据点位于第四象限的条件（实部 ，虚部 ）列不等式组，解出 的取值范围.
■ 推导过程：
第1步：利用 的周期性化简幂次.
.
.
第2步：代入 的表达式.
第3步：第四象限的点满足 ，列不等式组.
第4步：解不等式组.
由 得 .
由 得 ，解得 .
第5步：取交集得 .
第6步：取值范围用区间表示为 .
4.（5分）
【答案速览】 ，
【深度解析】
■ 思路分析：题目分两阶段.第一阶段将 化简为标准形式（分母实数化）；第二阶段把 代入一元二次方程，利用“复数等于零则实部、虚部均为零”的条件建立方程组，解出实数 .
■ 推导过程：
第1步：化简 .分母实数化，分子分母同乘 .
第2步：分母 .
第3步：分子展开 .
第4步：写出标准形式 .
第5步：将 代入方程 .
第6步：计算各项.
第7步：合并实部和虚部.
第8步：由复数等于零，实部和虚部均为零.
第9步：解第二个方程得 .代入第一个得 ，解得 .
二、模与几何意义探究
5.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出一个关于 的一次方程 ，先解出 ，再通过分母实数化得到 的标准形式，最后用模长公式求 .
■ 推导过程：
第1步：由 ，解得 .
第2步：分母实数化，同乘共轭复数 .
第3步：分母化简 .
第4步：分子展开 .
第5步：写出标准形式 .
第6步：代入模长公式.
6.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出含参数 的复数表达式，限定 ，要求判断该复数在复平面内对应点所在的象限.先合并化简为标准形式 ，根据 的范围判定实部 和虚部 的正负，再对应到象限.
■ 推导过程：
第1步：展开表达式.
第2步：合并实部与虚部.
第3步：分析给定范围 下实部和虚部的符号.
实部：.因为 ，所以 ，即 .
虚部：.因为 ，所以 .
第4步：实部为负，虚部为正，即 ，对应复平面内的点位于第二象限.
7.（5分）
【答案速览】 CD
【深度解析】
■ 思路分析：先利用 化简复数 ，分母实数化后得到标准形式，进而可得其共轭复数.然后对每个选项逐一计算验证.
■ 推导过程：
第1步：化简 ，所以 .
第2步：得共轭复数 .
选项A： 的虚部应为 （不带 ），A项写成 错误，故A错误.
选项B：计算 .
故B错误.
选项C： 对应点 ，实部为负、虚部为正，在第二象限，故C正确.
选项D：将 代入方程 检验.
计算 .
代入得 .等式成立，故D正确.
结论：正确选项为CD.
【规律总结】
涉及复数作为方程根的题目，直接将复数代入方程验证是最直接的方法.在处理含 的表达式时， 是必须掌握的简化技巧.
8.（5分）
【答案速览】 2
【深度解析】
■ 思路分析：条件 的几何意义是复数 在复平面内对应的点到点 的距离恒为1，即点 的轨迹是以 为圆心、1为半径的圆. 表示该点到原点的距离，其最大值等于圆心到原点的距离加半径.
■ 推导过程：
第1步：（几何视角）设 ，条件 即 ，化为 .这表示以 为圆心、半径 的圆.
第2步：问题化为求该圆上任意点到原点 距离的最大值.
第3步：计算圆心到原点的距离 .
第4步：圆上点到 的最大距离 .即 .
【规律总结】
形如 的条件，其几何意义是复数 的对应点位于以 为圆心、 为半径的圆上.处理此类模的最值问题，“以形助数”是核心策略：先将模条件转化为几何轨迹，再将目标模转化为几何距离，利用平面几何知识求最值.
三、综合应用与思维拓展
9.（5分）
【答案速览】 BCD
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求选出“错误的命题”，四个选项分别考查模的三角不等式逆命题、复数比较大小、模相等与平方的关系、以及平方和为零的含义.逐个分析，构造反例是判断错误命题的关键.
■ 推导过程：
选项A：若 即 .在复平面上， 与 关于原点对称，两者模长相等.所以 恒成立.A正确.
选项B：取 ，则 成立，但复数 和 均非实数，无法比较大小.“”无意义.故B错误.
选项C：取 ，，但 .故C错误.
选项D：取 ，则 ，但 .故D错误.
结论：错误选项为BCD.
【易错警示】
本题的B、C、D均为复数中的高频易错点.关键在于理解复数运算规则与实数规则的差异：复数没有大小顺序（除非全为实数）；模相等不能推出复数本身或其代数运算结果相等；两复数平方和为零也不能推出各自为零.
【规律总结】
复数命题判断中，“找一个反例”是最高效的武器.常用的反例素材包括：、、 等.熟记这些典型复数的模与平方值，能快速破解大部分概念陷阱.
10.（5分）
【答案速览】 ACD
【深度解析】
■ 思路分析：条件是一个关于 和 的方程.采用“设而不求”的策略：设 ，代入方程，利用复数相等的充要条件列出关于 的方程组，解出 .然后逐一计算各选项中的量，判断正误.
■ 推导过程：
第1步：设 （），则 .
第2步：化简方程右边的分式 .
第3步：代入方程 .
左边：.
右边：.
第4步：由复数相等的条件得方程组：
第5步：解方程组.
由第一式得 ，故 .
代入第二式：，得 ，.
第6步：因此 ，.
第7步：验证各选项.
选项A：，正确.
选项B： 对应复平面内的点 ，实部负、虚部正，位于第二象限，而非第一象限，故B错误.
选项C：，正确.
选项D： 的实部为 ，虚部为 ，积为 ；或 实部 虚部 积为 .此处选项D根据原意应为“ 的实部与虚部之积为-4”，故D正确.综合，正确选项为ACD.
【易错警示】
本题的易错点有两处：一是在展开 时，需准确合并实部和虚部，尤其注意 ，而非 ；二是在计算复数相等时，务必将左右两边均化为 的形式，再令实部、虚部分别相等.
11.（20分）
【答案速览】 （1） ， （2） 或
【深度解析】
■ 思路分析：（1）由两个条件联立求解.条件一“为纯虚数”提供实部为零的方程；条件二“”提供虚部信息可直接定出虚部值.两个条件配合解出 .（2）将（1）的结果代入 的表达式，化简后利用模长条件列方程求 .
■ 推导过程：
（1）
第1步：设 （），则 .【2分】
第2步：利用第二个条件 ，得 ，解得 .【4分】
第3步：利用第一个条件..
展开：.
即 .【4分】
第4步：该复数为纯虚数，则实部为零且虚部不为零.
由 得 .检验虚部 ，满足条件.【3分】
第5步：所以 ，.【2分】
（2）
第1步：代入 和 到 表达式.
【3分】
第2步：分母实数化.分子分母同乘 ：
【5分】
第3步：由 列方程：
两边平方得 ，即 .【2分】
第4步：解得 或 ，故 或 .【1分】
第5步：实数 的值为 1 或 5.
【规律总结】
纯虚数条件与模长条件最终都转化为实数的等式或不等式.解题流程：设出复数的代数形式 → 将条件“翻译”为关于实部的方程或不等式 → 联立求解.这是处理复数综合题的通用框架，体现了化归与转化的数学思想.
12.（20分）
【答案速览】 （1） ，，
（2） ，，
【深度解析】
■ 思路分析：本题以“卡尔达诺公式”为背景，属于数学史与复数运算的结合.（1）直接识别方程 中的 ，代入公式计算.需注意 和 的运算.（2）方程并非标准不完全形式，需通过配方法将 转换为关于 的不完全三次方程 ，然后对 套用公式，最后回代得 .
■ 推导过程：
（1） 第1步：对于方程 ，识别 .【1分】
第2步：计算公式中的核心根式 .
【3分】
第3步：代入三个根的公式.
.
.
.【4分】
结论：三个根为 ，，.【2分】
（2） 第1步：对方程左边配方.
【3分】
第2步：令 ，方程化为 ，此时 .【2分】
第3步：计算核心根式.
【2分】
第4步：代入公式得 .
【2分】
第5步：回代 ，得到原方程的三个根即为答案所示形式.【1分】
【易错警示】
第（2）问的最大难点在于配方.学生可能在构造 的展开时出错.验证：，原式 = .配方的关键是先识别二次项系数为3，判断可能需要令 ，再逆推验证.
【规律总结】
本题不要求死记卡尔达诺公式，而是考查“阅读信息—识别模型—代入运算—变量代换”的数学建模素养.遇到高次方程求根类新定义题，一般步骤为：①化简或配方，将原方程化为定义中要求的规范形式；②识别参数（如此处的 ）；③代入公式或算法；④还原变量，得到最终结果.

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