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第五章 §3 复数的三角表示 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 辐角主值的范围与唯一性——辐角主值范围是 ，一个复数有且仅有一个辐角主值，而辐角有无穷多个.学生常误以为辐角唯一或主值范围是 .
2. 非标准三角形式的标准化——形如 的表达式不是三角形式，必须利用诱导公式化为 的形式，学生常忽略这一点直接运算导致错误.
3. 复数相等的条件——两个非零复数相等，并不意味着它们的模与辐角分别相等.模相等是必要条件，但辐角可以相差 ，学生易将其混淆为充要条件.
4. 零的处理——辐角主值概念仅适用于非零复数，涉及零的三角形式运算时需特别注意，零没有辐角.
训练目标：
1. 能够准确识别辐角与辐角主值，并解释它们的区别.
2. 能够熟练地在复数的代数形式与三角形式之间进行互化.
3. 能够运用三角形式进行复数乘除运算，并理解其几何意义.
4. 能够综合运用三角形式解决复数运算中的复合问题，包括求模、辐角及参数取值范围.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6
B AD B 1 D
7 8 9 10 11
B （1） （2）
一、辐角与三角形式的概念
1.（单选）（8分）
如果非零复数有一个辐角为 ，那么该复数的（ 　　）
A.辐角唯一
B.辐角主值唯一
C.辐角主值为
D.辐角主值为
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查辐角与辐角主值的概念辨析.关键信号是“有一个辐角为 ”，这要求我们明确辐角的周期性和辐角主值的唯一性及取值范围 .
■ 推导过程：
第1步：回顾辐角的定义——一个非零复数的辐角有无穷多个，它们之间相差 的整数倍，即若 是辐角，则 都是辐角.故 A 项“辐角唯一”错误.
第2步：回顾辐角主值的定义——在 范围内的辐角称为辐角主值，任何一个非零复数有且仅有一个辐角主值.故 B 项“辐角主值唯一”正确.
第3步：将给定辐角 转化为 内的角：.故辐角主值为 ，C 项和 D 项均错误.
【易错警示】 学生容易混淆辐角与辐角主值的概念.典型错误是认为一个复数的辐角唯一（选 A），或是将给定的任意辐角当作辐角主值（选 C）.务必牢记辐角主值的范围是 ，需要将角度通过加减 调整到该范围内.
2.（多选）（8分）
设 ：两个复数 ， 的模与辐角分别相等，：，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 AD
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道易错题，考查模、辐角相等与复数相等的逻辑关系.关键是要明确充分性与必要性是否成立.
■ 推导过程：
第1步：分析 .若 与 的模相等且辐角也相等，则根据复数三角形式的定义，，直接可得 .故 成立.A 正确，B 错误.
第2步：分析 .若 ，则它们的模必定相等.但是辐角不一定相等，例如 和 表示同一个复数，但辐角分别为 和 ，并不相等.故 不成立.C 错误，D 正确.
【易错警示】 最典型的错误是误认为复数相等与“模和辐角分别相等”是充要条件.实际上，复数相等时辐角可以相差 .这是充分但不必要条件.
【规律总结】 两个非零复数相等的充要条件是模相等且辐角相差 （），而非辐角本身相等.这是复数三角形式中极易混淆的辨析点.
二、两种形式的相互转化
3.（单选）（8分）
将复数 化成代数形式，正确的是（ 　　）
A.4
B.-4
C.4i
D.-4i
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查复数三角形式化为代数形式，直接代入特殊角的三角函数值即可.
■ 推导过程：
第1步：计算 和 .
第2步：代入原式.
第3步：因此该复数的代数形式为 ，对应选项B.
【易错警示】 注意三角形式 中余弦和正弦的顺序固定，且当 时，，结果应为实数，而非纯虚数.避免误记三角函数值导致选错.
4.（填空）（8分）
已知复数 ，则 ____
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查复数求模.直接计算实部和虚部，再代入模的计算公式.
■ 推导过程：
第1步：写出复数的实部和虚部..
第2步：代入模的计算公式 .
【规律总结】 复数求模直接使用公式 即可，无论复数以何种形式给出，总能归化为实部与虚部的平方和开方.
5.（单选）（8分）
在复平面内，复数 对应的点位于（ 　　）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查复数在复平面内的象限判断.先写出复数的实部与虚部，再判断它们的符号.
■ 推导过程：
第1步：确定实部和虚部..
第2步：计算三角函数值.，.
第3步：判断象限.实部 ，虚部 .在复平面内，点 位于第四象限.
【规律总结】 判断复数在复平面内的象限，只需将复数写成 的标准形式，再根据实部和虚部的正负符号确定象限.
6.（填空）（8分）
若 ，，则复数 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是由模和辐角主值求复数，直接代入三角形式 即可.
■ 推导过程：
第1步：由条件知 ，.
第2步：代入三角形式公式.
第3步：计算三角函数值并化简.
三、三角形式下的代数运算
7.（解答）（18分）
设 满足 ，，求 .
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：条件给出了复数的模和辐角主值，可以将复数 表示成三角形式，再通过恒等变形求解 .关键信号是 和 ，这两个条件恰好给出了复数 的模和辐角主值.
■ 推导过程：
第1步：由已知条件，复数 的模为 ，辐角主值为 ，故可写成三角形式：
【2分】
第2步：计算三角函数值：
【2分】
第3步：将等式左边变形：
【2分】
第4步：移项解出 ：
【2分】
第5步：取倒数求 ：
【4分】
第6步：分母实数化：
【6分】
【规律总结】 当题目同时给出一个复数的模和辐角主值时，优先将其写成三角形式 ，这是沟通模、辐角与代数形式的桥梁，是此类问题的通用入口.
四、旋转与除法运算
8.（单选）（8分）
（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查三角形式的除法.分子 1 可看作复数 ，其三角形式为 ，再用模相除、辐角相减的法则.
■ 推导过程：
第1步：将分子写成三角形式..
第2步：应用三角形式除法公式 .
第3步：计算辐角差并写出结果.
【规律总结】 任何实数 都可以写为三角形式 （当 ）或 （当 ），这是处理实数除以复数三角形式问题的关键一步.
9.（填空）（8分）
将复数 对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：将复数 写成三角形式，按顺时针（负方向）旋转 ，等价于将辐角减去 .
■ 推导过程：
第1步：将 写成三角形式..
第2步：顺时针旋转 ，即辐角减少 .
第3步：化为代数形式.
【规律总结】 向量绕原点旋转在复数域中对应乘以（或除以）一个模为1的复数.逆时针旋转 对应乘以 ，顺时针旋转 对应乘以 或辐角直接相减.
10.（填空）（8分）
如图所示，等边三角形 ABC 的两个顶点 A，B 所表示的复数分别是 和 2，则点 C 所表示的复数为____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：复数几何意义的综合应用.等边三角形中，边 逆时针（或顺时针）旋转 得到边 （或 ），从而利用复数乘法的几何意义求出点 C.
■ 推导过程：
第1步：计算 对应的复数..
第2步：将 逆时针旋转 得到 .
第3步：展开计算.
第4步：求 .
【规律总结】 平面几何中的旋转问题在复数中通过乘以模为1的复数来优雅解决.旋转变换 是复数几何意义的核心应用之一.
11.（解答）（10分）
计算：
（1）；（5分）
（2）.（5分）
【答案速览】 （1） （2）
【深度解析】
■ 思路分析：复数三角形式乘除法的直接操练.第（1）题是乘法，法则为模相乘、辐角相加.第（2）题是除法，法则为模相除、辐角相减.
■ 推导过程：
（1）
第1步：模相乘，辐角相加，代入三角形式乘法公式.【2分】
原式
第2步：计算特殊角三角函数值并化简.【3分】
，
原式
（2）
第1步：将分子整理为标准的三角形式.注意负角转化为正角：
【2分】
第2步：模相除，辐角相减，代入三角形式除法公式.【3分】
原式
第3步：计算得最终结果.
，，原式
【易错警示】 第（2）题中，分子含有“”而非“”，必须先用诱导公式转化为 再应用除法公式.学生常忽视这个符号变化直接套用公式.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5
B 见详解 B ACD
6 7 8 9 10
（1） （2） 见详解 C （1） （2） （3）见详解
一、辐角概念与运算综合
1.（单选）（6分）
如果 ，那么复数 的辐角的主值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：含参复数乘法运算及辐角主值判断.先将 写成三角形式，再与 相乘，最后根据 的范围确定辐角主值.
■ 推导过程：
第1步：将 写成三角形式.，.故 .
第2步：应用乘法公式，模相乘，辐角相加.
第3步：判断辐角主值.由 ，得 .该区间完全包含在 内，故辐角主值就是 .
【易错警示】 学生可能没有将 先转化为三角形式，导致无法直接看出辐角的叠加关系.也可能在确定主值时，对 的范围判断出错，误以为需要再加减 进行调整.
2.（解答）（10分）
若复平面内单位圆上三点所对应的复数 ，满足 且 ，求复数 .
【答案速览】 ，， 或 ，，
【深度解析】
■ 思路分析：“复平面内单位圆上”是关键词，这意味着可设 .再利用三角形式进行方程组的转化与求解.
■ 推导过程：
第1步：由单位圆条件，设 ，，.【2分】
第2步：由 得 .代入三角形式并分离实部与虚部.【2分】
得方程组：
第3步：利用 消去 .【2分】
，，，得 .
第4步：由 ，根据单位圆条件得 .【2分】
当 时，.代回方程得 .
当 时，.代回方程得 .
第5步：利用 求出 .【2分】两种情况下均可解得 .
二、三角形式与代数形式的互化及综合应用
3.（单选）（6分）
复数 的三角形式为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：易错题.底数 不是标准的三角形式 ，必须先利用诱导公式化为标准形式，再应用乘方公式 计算.
■ 推导过程：
第1步：将底数化为标准的三角形式.利用 ，：
第2步：应用棣莫弗定理（复数乘方公式）.此处模 ，：
第3步：验证结果. 已是标准的三角形式，对应选项B.
【易错警示】 本题最大陷阱是底数为 ，余弦和正弦的位置颠倒.学生极易直接套用乘方公式得 而误选A，或错误地将辐角当作 计算而误选C.必须牢记：只有化为 的标准形式后，才能使用棣莫弗定理.
【规律总结】 形如 或 的表达式均非标准三角形式，必须先通过诱导公式（如 ）统一改写为 ，其中 为转化后的辐角.这是复数三角形式运算的通用前提.
4.（多选）（8分）
已知复数 ，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.若 ，则
C.若 ，则 ， 中至少有1个是0
D.若 且 ，则
【答案速览】 ACD
【深度解析】
■ 思路分析：综合考察复数模的不等式性质、虚数不可比大小、复数乘积为零的条件以及共轭复数的性质.逐一判断各个命题.
■ 推导过程：
第1步：判断 A 选项.这是模的不等式：.由于 ，由三角不等式得 .A 正确.
第2步：判断 B 选项.复数是不能直接比较大小的，除非它们都是实数.如果两个复数中至少有一个含有非零虚部，则无法比较大小.B 错误.
第3步：判断 C 选项.若 ，则 ，所以 或 ，即 或 .C 正确.
第4步：判断 D 选项.由 ，移项得 ，即 .因为 ，故 ，由 C 选项结论得 ，即 .D 正确.
【易错警示】 B 选项是高频易错点，许多学生习惯于实数的大小比较，容易误认为模大的复数就“大”.务必牢记复数不能比较大小，除非都是实数.
5.（解答）（12分）
已知复数 ，（其中 是虚数单位，）.若 ，求实数 的取值范围.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：由复数相等的充要条件——实部与实部相等、虚部与虚部相等，建立方程组.将 表示成 的函数，最终转化为求三角函数的最值问题.
■ 推导过程：
第1步：由 得方程组.【2分】
第2步：由第二个方程解出 .【2分】，得 ，即 .
第3步：将 代入第一个方程.【2分】
第4步：将 表示为 的函数.【2分】
第5步：配方求最值.【4分】
由 ：
当 时，；
当 时，.
故 的取值范围是 .
【规律总结】 复数相等问题，基本思路是分离实部和虚部，得到实数方程组.若遇参数问题，往往需要消元，将目标参数表示为单变量的函数，最终转化为函数在区间上的最值问题.
三、三角形式的拓展与证明
6.（解答）（10分）
任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式，即 ，其中 为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令 ，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：
计算： 的值.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：压轴题.从二倍角公式或三倍角公式出发，反复进行降幂或升幂变形，并利用 的性质简化求和.
■ 推导过程：
第1步：利用恒等式 .【2分】
证明：
第2步：由三倍角公式 ，得 .【2分】
第3步：两边同乘 得：.
利用积化和差公式 和二倍角公式 ，得：【2分】
第4步：将 分别换为 和 写出类似表达式.【2分】
第5步：将三个表达式相加，并利用第1步的结论（分别对 和 使用）.【2分】
【规律总结】 处理三角函数的高次幂和特定角度差的求和问题，通常有两种路径：其一是利用高次幂降维公式降次，其二是化为复数的三角形式，利用复数乘方和单位根的性质求和.本题展示的是纯三角恒等变换的路径，而用棣莫弗定理的复数方法也同样简捷.
7.（解答）（14分）
请用棣莫弗定理及复数乘方公式解决以下问题：
（1）试将 写成三角形式；（6分）
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；.（8分）
【答案速览】 （1） （2）证明略
【深度解析】
■ 思路分析：（1）是标准的代数形式化三角形式，先求模再确定辐角.（2）是利用复数乘方公式推导三倍角公式，核心是令 ，计算 的两种表达形式并比较实部与虚部.
■ 推导过程：
（1）
第1步：求模 .【2分】
第2步：确定辐角.由 ，，知 为第四象限角，取 .【2分】
第3步：写出三角形式：.【2分】
（2）
第1步：设 （模为1），计算 .【2分】
由复数代数运算法则（二项式展开）：
整理实部与虚部：
实部 .
虚部 .
故 .【4分】
第2步：由复数乘方公式，直接可得 .【1分】
第3步：根据复数相等的定义，两个复数的实部与虚部分别相等，得：
，【1分】
证毕.
四、乘除运算与几何变换
8.（单选）（6分）
则 （ 　　）
A.3
B.12
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：左侧用乘方公式展开为 ，右侧用诱导公式化为标准的三角形式，再由复数相等条件建立三角方程.
■ 推导过程：
第1步：左边 （乘方公式）.
第2步：右边 （诱导公式）.
第3步：由复数相等，得方程组：
第4步：解三角方程.，即 .
【规律总结】 处理涉及复数 次方的等式，核心手段是两边同时写成标准的三角形式，再比较模与辐角.注意辐角相等可能需要加 ，体现了三角函数的周期性.
9.（填空）（6分）
已知三个复数 ，且 ，， 所对应的向量 满足 ，则 的最大值为____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：由向量的点积为零可得复数 与 在复平面内对应的向量互相垂直.目标是求 的最大值，这是典型的几何最值问题，可转化为点 到定点 的最大距离.
■ 推导过程：
第1步：由 且 ，可设 ，（满足模为2且垂直）.【1分】
第2步：由 ，可设 ，对应点在以原点为圆心、半径为 的圆上.【1分】
第3步：计算 ，对应定点 .【1分】
第4步：表示要求的模：，即点 到点 的距离 .【1分】
第5步：求最大距离.点 在圆 上运动，点 在 .则圆心 到 的距离 .最大距离 .【2分】
【规律总结】 复数模的最值问题常与几何意义挂钩. 表示两点间距离，若 满足 （圆），则问题转化为圆上动点到定点的距离最值，运用“定点到圆心的距离 半径”即可解决.
五、复数的几何意义综合
10.（解答）（22分）
已知非零复数 满足 ，且 ，求：
（1） 的取值范围；（6分）
（2）复数 的模（用 表示）；（6分）
（3）复数 的辐角.（10分）
【答案速览】 （1） （2） （3）
【深度解析】
■ 思路分析：以 为核心条件，表示复数 在复平面上是以 为圆心、半径为 1 的圆上运动.由此出发，可结合图形逐问解决辐角范围、模的长度，以及复合表达式 的辐角.
■ 推导过程：
（1）
第1步：由 ，点 在以 为圆心、1 为半径的圆上.【2分】
第2步： 表示过原点引向圆上动点 的射线与 轴正半轴的夹角.由于 为非零复数（即不过原点），观察图形：从原点向圆引两条切线，切线的倾斜角即为 的边界.原点 到圆心 距离为 1，恰好在圆上.但题目限定 为非零复数，因此 的范围是开区间 .【4分】
（2）
第1步：在复平面中画出图形.连接 ，.作直径 ，连接 .【2分】
第2步：在 中，，，.则 .【2分】
第3步：无论 是锐角还是钝角，上述关系均成立.故 .【2分】
（3）
第1步：设 ，由 ，可设 .【2分】
第2步：则 .由 （2） 知 ，.【2分】
按复数乘法，辐角相加： 的辐角 .【2分】
第3步：寻找 与 的关系.由 .
故 .【3分】
第4步：代入得 .故辐角为 .【1分】
【规律总结】 复数轨迹问题“以形助数”是突破关键. 表示圆，复数乘法写成三角形式后，模相乘，辐角相加，这两条基本原则是处理复合表达式辐角问题的根本路径.
【易错警示】 第（3）问极易出错的地方是在计算 的三角形式时，没有正确地将虚部提取出来并和余弦/正弦函数对应.务必注意 对应的是余弦， 必须通过诱导公式清晰地写成 的形式，这是数形结合与解析结合的分水岭.第五章 §3 复数的三角表示 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 辐角主值的范围与唯一性——辐角主值范围是 ，一个复数有且仅有一个辐角主值，而辐角有无穷多个.学生常误以为辐角唯一或主值范围是 .
2. 非标准三角形式的标准化——形如 的表达式不是三角形式，必须利用诱导公式化为 的形式，学生常忽略这一点直接运算导致错误.
3. 复数相等的条件——两个非零复数相等，并不意味着它们的模与辐角分别相等.模相等是必要条件，但辐角可以相差 ，学生易将其混淆为充要条件.
4. 零的处理——辐角主值概念仅适用于非零复数，涉及零的三角形式运算时需特别注意，零没有辐角.
训练目标：
1. 能够准确识别辐角与辐角主值，并解释它们的区别.
2. 能够熟练地在复数的代数形式与三角形式之间进行互化.
3. 能够运用三角形式进行复数乘除运算，并理解其几何意义.
4. 能够综合运用三角形式解决复数运算中的复合问题，包括求模、辐角及参数取值范围.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
一、辐角与三角形式的概念
1.（单选）（8分）
如果非零复数有一个辐角为 ，那么该复数的（ 　　）
A.辐角唯一
B.辐角主值唯一
C.辐角主值为
D.辐角主值为
2.（多选）（8分）
设 ：两个复数 ， 的模与辐角分别相等，：，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
二、两种形式的相互转化
3.（单选）（8分）
将复数 化成代数形式，正确的是（ 　　）
A.4
B.-4
C.4i
D.-4i
4.（填空）（8分）
已知复数 ，则 ____
5.（单选）（8分）
在复平面内，复数 对应的点位于（ 　　）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.（填空）（8分）
若 ，，则复数 ____
三、三角形式下的代数运算
7.（解答）（18分）
设 满足 ，，求 .
四、旋转与除法运算
8.（单选）（8分）
（ 　　）
A.
B.
C.
D.
9.（填空）（8分）
将复数 对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是____
10.（填空）（8分）
如图所示，等边三角形 ABC 的两个顶点 A，B 所表示的复数分别是 和 2，则点 C 所表示的复数为____
11.（解答）（10分）
计算：
（1）；（5分）
（2）.（5分）
B卷　能力提升（100分）
一、辐角概念与运算综合
1.（单选）（6分）
如果 ，那么复数 的辐角的主值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（解答）（10分）
若复平面内单位圆上三点所对应的复数 ，满足 且 ，求复数 .
二、三角形式与代数形式的互化及综合应用
3.（单选）（6分）
复数的三角形式为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（8分）
已知复数 ，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.若 ，则
C.若 ，则 ， 中至少有1个是0
D.若 且 ，则
5.（解答）（12分）
已知复数 ，（其中 是虚数单位，）.若 ，求实数 的取值范围.
三、三角形式的拓展与证明
6.（解答）（10分）
任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式，即 ，其中 为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令 ，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：
计算： 的值.
7.（解答）（14分）
请用棣莫弗定理及复数乘方公式解决以下问题：
（1）试将 写成三角形式；（6分）
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；.（8分）
四、乘除运算与几何变换
8.（单选）（6分）
则 （ 　　）
A.3
B.12
C.
D.
9.（填空）（6分）
已知三个复数 ，且 ，， 所对应的向量 满足 ，则 的最大值为____
五、复数的几何意义综合
10.（解答）（22分）
已知非零复数 满足 ，且 ，求：
（1） 的取值范围；（6分）
（2）复数 的模（用 表示）；（6分）
（3）复数 的辐角.（10分）
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6
B AD B 1 D
7 8 9 10 11
B （1） （2）
B卷
1 2 3 4 5
B 见详解 B ACD
6 7 8 9 10
（1） （2） 见详解 C （1） （2） （3）见详解
A卷　基础巩固（100分）
一、辐角与三角形式的概念
1.（8分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查辐角与辐角主值的概念辨析.关键信号是“有一个辐角为 ”，这要求我们明确辐角的周期性和辐角主值的唯一性及取值范围 .
■ 推导过程：
第1步：回顾辐角的定义——一个非零复数的辐角有无穷多个，它们之间相差 的整数倍，即若 是辐角，则 都是辐角.故 A 项“辐角唯一”错误.
第2步：回顾辐角主值的定义——在 范围内的辐角称为辐角主值，任何一个非零复数有且仅有一个辐角主值.故 B 项“辐角主值唯一”正确.
第3步：将给定辐角 转化为 内的角：.故辐角主值为 ，C 项和 D 项均错误.
【易错警示】 学生容易混淆辐角与辐角主值的概念.典型错误是认为一个复数的辐角唯一（选 A），或是将给定的任意辐角当作辐角主值（选 C）.务必牢记辐角主值的范围是 ，需要将角度通过加减 调整到该范围内.
2.（8分）
【答案速览】 AD
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道易错题，考查模、辐角相等与复数相等的逻辑关系.关键是要明确充分性与必要性是否成立.
■ 推导过程：
第1步：分析 .若 与 的模相等且辐角也相等，则根据复数三角形式的定义，，直接可得 .故 成立.A 正确，B 错误.
第2步：分析 .若 ，则它们的模必定相等.但是辐角不一定相等，例如 和 表示同一个复数，但辐角分别为 和 ，并不相等.故 不成立.C 错误，D 正确.
【易错警示】 最典型的错误是误认为复数相等与“模和辐角分别相等”是充要条件.实际上，复数相等时辐角可以相差 .这是充分但不必要条件.
【规律总结】 两个非零复数相等的充要条件是模相等且辐角相差 （），而非辐角本身相等.这是复数三角形式中极易混淆的辨析点.
二、两种形式的相互转化
3.（8分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：易错题.底数 不是标准的三角形式 ，必须先利用诱导公式化为标准形式，再应用乘方公式 计算.
■ 推导过程：
第1步：将底数化为标准的三角形式.利用 ，：
第2步：应用棣莫弗定理（复数乘方公式）.此处模 ，：
第3步：验证结果. 已是标准的三角形式，对应选项B.
【易错警示】 本题最大陷阱是底数为 ，余弦和正弦的位置颠倒.学生极易直接套用乘方公式得 而误选A，或错误地将辐角当作 计算而误选C.必须牢记：只有化为 的标准形式后，才能使用棣莫弗定理.
【规律总结】 形如 或 的表达式均非标准三角形式，必须先通过诱导公式（如 ）统一改写为 ，其中 为转化后的辐角.这是复数三角形式运算的通用前提.
4.（8分）
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查复数求模.直接计算实部和虚部，再代入模的计算公式.
■ 推导过程：
第1步：写出复数的实部和虚部..
第2步：代入模的计算公式 .
【规律总结】 复数求模直接使用公式 即可，无论复数以何种形式给出，总能归化为实部与虚部的平方和开方.
5.（8分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查复数在复平面内的象限判断.先写出复数的实部与虚部，再判断它们的符号.
■ 推导过程：
第1步：确定实部和虚部..
第2步：计算三角函数值.，.
第3步：判断象限.实部 ，虚部 .在复平面内，点 位于第四象限.
【规律总结】 判断复数在复平面内的象限，只需将复数写成 的标准形式，再根据实部和虚部的正负符号确定象限.
6.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题是由模和辐角主值求复数，直接代入三角形式 即可.
■ 推导过程：
第1步：由条件知 ，.
第2步：代入三角形式公式.
第3步：计算三角函数值并化简.
三、三角形式下的代数运算
7.（18分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：条件给出了复数的模和辐角主值，可以将复数 表示成三角形式，再通过恒等变形求解 .关键信号是 和 ，这两个条件恰好给出了复数 的模和辐角主值.
■ 推导过程：
第1步：由已知条件，复数 的模为 ，辐角主值为 ，故可写成三角形式：
【2分】
第2步：计算三角函数值：
【2分】
第3步：将等式左边变形：
【2分】
第4步：移项解出 ：
【2分】
第5步：取倒数求 ：
【4分】
第6步：分母实数化：
【6分】
【规律总结】 当题目同时给出一个复数的模和辐角主值时，优先将其写成三角形式 ，这是沟通模、辐角与代数形式的桥梁，是此类问题的通用入口.
四、旋转与除法运算
8.（8分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查三角形式的除法.分子 1 可看作复数 ，其三角形式为 ，再用模相除、辐角相减的法则.
■ 推导过程：
第1步：将分子写成三角形式..
第2步：应用三角形式除法公式 .
第3步：计算辐角差并写出结果.
【规律总结】 任何实数 都可以写为三角形式 （当 ）或 （当 ），这是处理实数除以复数三角形式问题的关键一步.
9.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：将复数 写成三角形式，按顺时针（负方向）旋转 ，等价于将辐角减去 .
■ 推导过程：
第1步：将 写成三角形式..
第2步：顺时针旋转 ，即辐角减少 .
第3步：化为代数形式.
【规律总结】 向量绕原点旋转在复数域中对应乘以（或除以）一个模为1的复数.逆时针旋转 对应乘以 ，顺时针旋转 对应乘以 或辐角直接相减.
10.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：复数几何意义的综合应用.等边三角形中，边 逆时针（或顺时针）旋转 得到边 （或 ），从而利用复数乘法的几何意义求出点 C.
■ 推导过程：
第1步：计算 对应的复数..
第2步：将 逆时针旋转 得到 .
第3步：展开计算.
第4步：求 .
【规律总结】 平面几何中的旋转问题在复数中通过乘以模为1的复数来优雅解决.旋转变换 是复数几何意义的核心应用之一.
11.（10分）
【答案速览】 （1） （2）
【深度解析】
■ 思路分析：复数三角形式乘除法的直接操练.第（1）题是乘法，法则为模相乘、辐角相加.第（2）题是除法，法则为模相除、辐角相减.
■ 推导过程：
（1）
第1步：模相乘，辐角相加，代入三角形式乘法公式.【2分】
原式
第2步：计算特殊角三角函数值并化简.【3分】
，
原式
（2）
第1步：将分子整理为标准的三角形式.注意负角转化为正角：
【2分】
第2步：模相除，辐角相减，代入三角形式除法公式.【3分】
原式
第3步：计算得最终结果.
，，原式
【易错警示】 第（2）题中，分子含有“”而非“”，必须先用诱导公式转化为 再应用除法公式.学生常忽视这个符号变化直接套用公式.
B卷　能力提升（100分）
一、辐角概念与运算综合
1.（6分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：含参复数乘法运算及辐角主值判断.先将 写成三角形式，再与 相乘，最后根据 的范围确定辐角主值.
■ 推导过程：
第1步：将 写成三角形式.，.故 .
第2步：应用乘法公式，模相乘，辐角相加.
第3步：判断辐角主值.由 ，得 .该区间完全包含在 内，故辐角主值就是 .
【易错警示】 学生可能没有将 先转化为三角形式，导致无法直接看出辐角的叠加关系.也可能在确定主值时，对 的范围判断出错，误以为需要再加减 进行调整.
2.（10分）
【答案速览】 ，， 或 ，，
【深度解析】
■ 思路分析：“复平面内单位圆上”是关键词，这意味着可设 .再利用三角形式进行方程组的转化与求解.
■ 推导过程：
第1步：由单位圆条件，设 ，，.【2分】
第2步：由 得 .代入三角形式并分离实部与虚部.【2分】
得方程组：
第3步：利用 消去 .【2分】
，，，得 .
第4步：由 ，根据单位圆条件得 .【2分】
当 时，.代回方程得 .
当 时，.代回方程得 .
第5步：利用 求出 .【2分】两种情况下均可解得 .
二、三角形式与代数形式的互化及综合应用
3.（6分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：易错题，关键在于将 转化为标准的三角形式 .
■ 推导过程：
第1步：将 化为余弦， 化为正弦，利用诱导公式.
，
故原式 .
第2步：应用乘方公式 .
【易错警示】 最典型的错误是直接将原式 当作三角形式去套用公式.三角形式的标准格式必须是余弦在前、正弦在后，且两者角度相同.忽视这一点将导致辐角计算完全错误.
【规律总结】 形如 或 的表达式都不是标准的三角形式，必须先通过诱导公式统一改写为 ，其中 是某个确定的角.
4.（8分）
【答案速览】 ACD
【深度解析】
■ 思路分析：综合考察复数模的不等式性质、虚数不可比大小、复数乘积为零的条件以及共轭复数的性质.逐一判断各个命题.
■ 推导过程：
第1步：判断 A 选项.这是模的不等式：.由于 ，由三角不等式得 .A 正确.
第2步：判断 B 选项.复数是不能直接比较大小的，除非它们都是实数.如果两个复数中至少有一个含有非零虚部，则无法比较大小.B 错误.
第3步：判断 C 选项.若 ，则 ，所以 或 ，即 或 .C 正确.
第4步：判断 D 选项.由 ，移项得 ，即 .因为 ，故 ，由 C 选项结论得 ，即 .D 正确.
【易错警示】 B 选项是高频易错点，许多学生习惯于实数的大小比较，容易误认为模大的复数就“大”.务必牢记复数不能比较大小，除非都是实数.
5.（12分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：由复数相等的充要条件——实部与实部相等、虚部与虚部相等，建立方程组.将 表示成 的函数，最终转化为求三角函数的最值问题.
■ 推导过程：
第1步：由 得方程组.【2分】
第2步：由第二个方程解出 .【2分】，得 ，即 .
第3步：将 代入第一个方程.【2分】
第4步：将 表示为 的函数.【2分】
第5步：配方求最值.【4分】
由 ：
当 时，；
当 时，.
故 的取值范围是 .
【规律总结】 复数相等问题，基本思路是分离实部和虚部，得到实数方程组.若遇参数问题，往往需要消元，将目标参数表示为单变量的函数，最终转化为函数在区间上的最值问题.
三、三角形式的拓展与证明
6.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：压轴题.从二倍角公式或三倍角公式出发，反复进行降幂或升幂变形，并利用 的性质简化求和.
■ 推导过程：
第1步：利用恒等式 .【2分】
证明：
第2步：由三倍角公式 ，得 .【2分】
第3步：两边同乘 得：.
利用积化和差公式 和二倍角公式 ，得：【2分】
第4步：将 分别换为 和 写出类似表达式.【2分】
第5步：将三个表达式相加，并利用第1步的结论（分别对 和 使用）.【2分】
【规律总结】 处理三角函数的高次幂和特定角度差的求和问题，通常有两种路径：其一是利用高次幂降维公式降次，其二是化为复数的三角形式，利用复数乘方和单位根的性质求和.本题展示的是纯三角恒等变换的路径，而用棣莫弗定理的复数方法也同样简捷.
7.（14分）
【答案速览】 （1） （2）证明略
【深度解析】
■ 思路分析：（1）是标准的代数形式化三角形式，先求模再确定辐角.（2）是利用复数乘方公式推导三倍角公式，核心是令 ，计算 的两种表达形式并比较实部与虚部.
■ 推导过程：
（1）
第1步：求模 .【2分】
第2步：确定辐角.由 ，，知 为第四象限角，取 .【2分】
第3步：写出三角形式：.【2分】
（2）
第1步：设 （模为1），计算 .【2分】
由复数代数运算法则（二项式展开）：
整理实部与虚部：
实部 .
虚部 .
故 .【4分】
第2步：由复数乘方公式，直接可得 .【1分】
第3步：根据复数相等的定义，两个复数的实部与虚部分别相等，得：
，【1分】
证毕.
四、乘除运算与几何变换
8.（6分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：左侧用乘方公式展开为 ，右侧用诱导公式化为标准的三角形式，再由复数相等条件建立三角方程.
■ 推导过程：
第1步：左边 （乘方公式）.
第2步：右边 （诱导公式）.
第3步：由复数相等，得方程组：
第4步：解三角方程.，即 .
【规律总结】 处理涉及复数 次方的等式，核心手段是两边同时写成标准的三角形式，再比较模与辐角.注意辐角相等可能需要加 ，体现了三角函数的周期性.
9.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：由向量的点积为零可得复数 与 在复平面内对应的向量互相垂直.目标是求 的最大值，这是典型的几何最值问题，可转化为点 到定点 的最大距离.
■ 推导过程：
第1步：由 且 ，可设 ，（满足模为2且垂直）.【1分】
第2步：由 ，可设 ，对应点在以原点为圆心、半径为 的圆上.【1分】
第3步：计算 ，对应定点 .【1分】
第4步：表示要求的模：，即点 到点 的距离 .【1分】
第5步：求最大距离.点 在圆 上运动，点 在 .则圆心 到 的距离 .最大距离 .【2分】
【规律总结】 复数模的最值问题常与几何意义挂钩. 表示两点间距离，若 满足 （圆），则问题转化为圆上动点到定点的距离最值，运用“定点到圆心的距离 半径”即可解决.
五、复数的几何意义综合
10.（22分）
【答案速览】 （1） （2） （3）
【深度解析】
■ 思路分析：以 为核心条件，表示复数 在复平面上是以 为圆心、半径为 1 的圆上运动.由此出发，可结合图形逐问解决辐角范围、模的长度，以及复合表达式 的辐角.
■ 推导过程：
（1）
第1步：由 ，点 在以 为圆心、1 为半径的圆上.【2分】
第2步： 表示过原点引向圆上动点 的射线与 轴正半轴的夹角.由于 为非零复数（即不过原点），观察图形：从原点向圆引两条切线，切线的倾斜角即为 的边界.原点 到圆心 距离为 1，恰好在圆上.但题目限定 为非零复数，因此 的范围是开区间 .【4分】
（2）
第1步：在复平面中画出图形.连接 ，.作直径 ，连接 .【2分】
第2步：在 中，，，.则 .【2分】
第3步：无论 是锐角还是钝角，上述关系均成立.故 .【2分】
（3）
第1步：设 ，由 ，可设 .【2分】
第2步：则 .由 （2） 知 ，.【2分】
按复数乘法，辐角相加： 的辐角 .【2分】
第3步：寻找 与 的关系.由 .
故 .【3分】
第4步：代入得 .故辐角为 .【1分】
【规律总结】 复数轨迹问题“以形助数”是突破关键. 表示圆，复数乘法写成三角形式后，模相乘，辐角相加，这两条基本原则是处理复合表达式辐角问题的根本路径.
【易错警示】 第（3）问极易出错的地方是在计算 的三角形式时，没有正确地将虚部提取出来并和余弦/正弦函数对应.务必注意 对应的是余弦， 必须通过诱导公式清晰地写成 的形式，这是数形结合与解析结合的分水岭.

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