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第六章 §1 基本立体图形 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 旋转体的形成条件——直角三角形必须绕直角边所在直线旋转才能得到圆锥，绕斜边旋转得到的是两个圆锥的组合体.圆台的截面必须平行于底面.
2. 棱台的定义辨析——棱台不仅需要两底面平行且相似，还要求各侧棱延长后交于一点.仅满足“两个面平行其余面是梯形”不一定是棱台.
3. 棱柱的包含关系——直四棱柱不一定是长方体（底面还需是矩形），正四棱柱一定是长方体.各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体.
训练目标：
1. 能够准确辨析棱柱、棱锥、棱台及旋转体的定义和结构特征，在正误判断题中识别典型反例.
2. 能够运用欧拉公式 进行简单多面体的面数、顶点数或棱数的计算.
3. 能够利用轴截面图形和勾股定理、相似三角形等工具，解决旋转体和棱台的高、母线长等基本计算问题.
4. 能够通过展开图或截面作图，解决空间几何体中的最短路径问题和截面形状判断问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A 见解析 B 三棱锥（四面体） B C C B AB ABC 8 （1）轴对称图形，呈十字或中心对称的花瓣状（2）C （1）（2） 高，母线，两底半径和
一、空间几何体的分类与识别
1.（单选）（5分）
请给以下各图分类：
（1）为球体；（2）为圆柱体；（3）为圆锥体；（4）为圆台体；（5）为棱锥体；（6）为棱柱体；（7）为两棱锥的组合体.
A. 以上分类全部正确
B. 以上分类全部错误
C. 部分分类有误
D. 无法判断
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求对图示几何体进行分类匹配.读题时，各选项后标注的几何体名称（球体、圆柱体、圆锥体、圆台体、棱锥体、棱柱体等）直接触发调用各类基本立体图形的结构特征定义.解题方向是根据图形形状，与教材介绍的各类几何体的结构特征逐一比对，判断给出的分类是否全部正确.
■ 推导过程：
第1步：观察图形（1）和（8），形状为圆球状，符合球体的定义，分类正确.
第2步：观察图形（2），上、下底面为两个全等的圆面，侧面为曲面且母线平行于轴，符合圆柱体的结构特征，分类正确.
第3步：观察图形（3），底面为一个圆面，侧面为曲面且母线交汇于顶点，符合圆锥体的结构特征，分类正确.
第4步：观察图形（4），上、下底面为两个相似的圆面，侧面为曲面，符合圆台体的结构特征，分类正确.
第5步：观察图形（5），底面为多边形，其余各面为有一个公共顶点的三角形，符合棱锥体的结构特征，分类正确.
第6步：观察图形（6），上、下底面为两个全等的多边形，侧面均为平行四边形，符合棱柱体的结构特征，分类正确.
第7步：观察图形（7），由两个棱锥底面重合拼接而成，符合两棱锥的组合体特征，分类正确.
第8步：综上，所有分类均正确，故选A.
【规律总结】 识别空间几何体的基本方法是观察底面形状与个数、侧面形状以及侧棱（或母线）的延伸趋势，这是几何体分类的通性通法，适用于所有基本立体图形的初步识别.
2.（解答）（12分）
如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？
【答案速览】 此几何体是由两个四棱锥组成，有8个面，6个顶点，12条棱组成.
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出了一个所有棱长都相等的几何体图示，要求分析其构成并计数面、顶点和棱.关键信号是“所有棱长都相等”以及图形的对称结构——上下各有一个顶点，中间由一圈四边形围成.这触发调用组合体的分析方法：将复杂图形拆分为基本几何体，分别观察各部分的结构特征，再进行面、顶点、棱的计数.
■ 推导过程：
第1步：观察几何体的整体形态.该几何体由上下两个完全对称的部分构成，中间有一圈水平的棱边将两部分隔开.
第2步：分析上半部分.以顶部尖端为顶点向下观察，顶点向周围引出若干条棱，与中间一圈顶点相连，形成若干个共顶点的三角形面.上半部分恰好构成一个底面为正方形、侧面为正三角形的四棱锥.
第3步：同理，下半部分也是由一个顶点向中间一圈顶点连线构成的正四棱锥.上、下两个四棱锥的底面完全重合.
第4步：计数面数.上四棱锥有4个侧面和1个底面；下四棱锥有4个侧面和1个底面.两个底面在组合后重合为一个面，故总面数为 个.
第5步：计数顶点数.上四棱锥有1个顶点+4个底面顶点=5个；下四棱锥同样有5个.重合的底面4个顶点共享，故总顶点数 个.
第6步：计数棱数.上四棱锥有8条棱（4条侧棱+4条底棱），下四棱锥同理.中间一圈的4条底棱为两棱锥共享，故总棱数 条.
第7步：整理答案.此几何体由两个四棱锥组成，有8个面，6个顶点，12条棱.
【规律总结】 分析组合体的构成时，应采用“先拆分、再合并、重叠部分扣除”的计数原则.先识别各基本几何体的面数、顶点数和棱数，再减去重合部分的数量，即可得到组合体的面、顶点和棱数.
二、棱锥的结构特征
3.（单选）（5分）
由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是（ 　　）
A. 三棱柱
B. 三棱台
C. 三棱锥
D. 四棱锥
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
题目描述了一个多面体的特征：由5个面围成，上下两个面是相似三角形，其余三个面是梯形，且梯形的腰延长线交于一点.关键信号词“相似三角形”“梯形腰延长后相交于一点”触发调用棱台的定义——棱台是由棱锥被平行于底面的平面截得的，两底面平行且相似，侧面均为梯形，且所有侧棱延长后交于同一点.根据面数可匹配三棱台.
■ 推导过程：
第1步：由“上、下两个面是相似三角形”且“其余三个面都是梯形”，推断该多面体有2个三角形面和3个梯形面，合计5个面.
第2步：由“梯形的腰延长后能相交于一点”可知，相邻侧面梯形的公共腰（即侧棱）延长后汇聚于一点，这是棱台的结构特征.
第3步：结合“上、下两个面相似”，判定该几何体由三棱锥被一个平行于底面的平面截切所得，即为三棱台.
第4步：对比选项，选B.
【易错警示】 常见的错误是混淆三棱台和三棱锥.三棱锥仅有一个底面和三个侧面，且所有侧棱直接交于锥顶；而三棱台有两个平行的三角形底面，侧面为梯形.本题中“上、下两个面”和“梯形侧面”是排除三棱锥的关键依据.
4.（填空）（5分）
如图所示，正方形ABCD中，， 分别为 ， 的中点，沿 ，， 将其折成一个多面体，则此多面体是 ____.
【答案速览】 三棱锥（四面体）
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出正方形中沿 、、 折起，使 、、 三点重合为一点 .关键信号“折叠”与“三点重合”触发折叠问题的分析方法：比较折叠前后不变的量，判断围成的多面体形状.
■ 推导过程：
第1步：在正方形 中，、 分别为 、 的中点，折痕将正方形分割为四个三角形区域.
第2步：沿折痕折起后，、、 三点重合于一点 ，正方形的四个顶点仅剩 和 两个不同的空间位置.
第3步：折叠后，原来三个三角形变成了以 为一个顶点、以 为另一个顶点的四个三角形面，每个面都是三角形，且四个面围成一个封闭图形.
第4步：四个面均为三角形的多面体为四面体，即三棱锥.
【规律总结】 折叠问题中，原平面图形被折痕分割成若干区域，折叠后各区域在空间中围成新的多面体.解题关键是明确折叠后哪些点重合，进而判断围成的面数和形状.折叠前后，折痕长度和各三角形区域内的边长保持不变.
三、棱柱的结构特征
5.（单选）（5分）
下列说法正确的是（ 　　）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为判断正误的单选题，各选项涉及正方体、球、圆锥、圆台等多种几何体的定义.关键信号触发对应的定义对照，需逐一判断条件是否充分.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.各侧面均为正方形只能保证侧棱与底面边长相等，但底面可能不是正方形，故A错误.
第2步：分析B选项.球的直径定义准确，故B正确.
第3步：分析C选项.绕斜边旋转得到两个圆锥的组合体，故C错误.
第4步：分析D选项.截面必须平行于底面才能截得圆台，故D错误.
第5步：综上，选B.
【易错警示】 C选项是典型易错点.务必记住绕直角边得圆锥，绕斜边得两个共底圆锥的组合体.
【规律总结】 几何体定义判断题的核心通法是“定义对照法”：逐一提取选项中每个说法的条件与结论，与教材严格比对.条件不足或存在反例即可判定错误.
6.（单选）（5分）
下列命题中为真命题的是（ 　　）
A. 有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
B. 棱柱的每个面都是平行四边形
C. 正四棱柱是平行六面体
D. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题考点为棱柱及其特殊类型的包含关系.解题方向是回忆各概念的定义及相互间的逻辑关系，必要时构造反例.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.斜四棱柱也可以有两个相对侧面为矩形，故A错误.
第2步：分析B选项.三棱柱的底面是三角形，不是平行四边形，故B错误.
第3步：分析C选项.正四棱柱的六个面均为矩形，满足平行六面体的定义，故C正确.
第4步：分析D选项.直四棱柱的底面若不是矩形，则不是长方体，故D错误.
第5步：选C.
【规律总结】 四棱柱、直四棱柱、平行六面体、长方体、正方体的包含关系为逐层缩小.抓住“底面形状”和“侧棱与底面的位置关系”这两个核心要素即可准确判定.
四、棱台的结构特征
7.（单选）（5分）
下列命题中为真命题的是（ 　　）
A. 圆台的侧面展开图是一个扇形
B. 用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D. 五棱锥共有6个顶点，11条棱
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为判断正误的选择题，分别考察圆台、棱台、棱柱、棱锥的基本概念.需逐项对照教材定义，重点关注各说法的条件限定是否准确.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.圆台的侧面展开图是扇环，不是扇形，故A错误.
第2步：分析B选项.棱台要求截面平行于底面，故B错误.
第3步：分析C选项.这正是棱柱定义的完整表述，故C正确.
第4步：分析D选项.五棱锥有6个顶点，10条棱，故D错误.
第5步：选C.
【规律总结】 解答此类概念辨析题，需对教材定义进行精确记忆：圆台侧面展开图是扇环；棱台截面必须平行于底面；棱锥的棱数为 ，顶点数为 .
8.（填空）（6分）
已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
关键信号“正四棱台”触发轴截面法.通过画轴截面等腰梯形，在其中构造直角三角形，利用已知边长和勾股定理求高.
■ 推导过程：
第1步：上底面对角线的一半 ，下底面对角线的一半 .
第2步：在轴截面中，过 作 于 ，则 .
第3步：在 中，高 .
【规律总结】 求棱台的高通常借助轴截面法：在等腰梯形中构造直角三角形，利用勾股定理求解.此法适用于所有正棱台的高度计算.
五、旋转体的结构特征
9.（单选）（5分）
下列说法中正确的是（ 　　）
A. 圆柱的母线和它的轴可以不平行
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱、两个圆锥
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
涉及旋转体的形成与性质，需逐项对照定义.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.圆柱母线与轴始终平行，故A错误.
第2步：分析B选项.旋转体的底面均为圆面，正确.
第3步：分析C选项.绕斜边旋转例外，故C错误.
第4步：分析D选项.等腰梯形绕较长底边旋转确实得到圆柱和两个圆锥，说法正确但题干为单选，依据标准答案选B.
【规律总结】 旋转体判断题通法：明确旋转的平面图形和旋转轴，想象各边扫过的轨迹.
10.（多选）（6分）
以下结论正确的有（ 　　）
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
【答案速览】 AB
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为多选题，考察直棱柱定义、柱体体积公式、圆锥截面性质及棱台定义.逐项运用定义判断或寻找反例验证.
■ 推导过程：
第1步：A选项符合直棱柱定义，正确.
第2步：B选项由柱体体积公式可知正确.
第3步：C选项中，当轴截面顶角大于 时，存在顶角为 的截面面积更大，故C错误.
第4步：D选项缺少侧棱延长线交于一点的条件，错误.
第5步：选AB.
【易错警示】 C选项是易错点.截面面积不仅取决于底面弦长，还与顶角有关，并非轴截面面积始终最大.
六、三种多面体的对比辨析
11.（多选）（6分）
如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（ 　　）
A. 三棱台
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：
利用多面体面数公式直接判断. 棱柱面数 ， 棱锥面数 ， 棱台面数 .分别计算各项面数比对即可.
■ 推导过程：
第1步：三棱台面数 ，可能.
第2步：四棱锥面数 ，可能.
第3步：三棱柱面数 ，可能.
第4步：四棱柱面数 ，不可能.
第5步：选ABC.
【规律总结】 多面体面数的通用公式： 棱柱、 棱台有 个面， 棱锥有 个面.
七、空间几何体的基本元素
12.（填空）（6分）
一个简单多面体的面都是三角形，顶点数 ，则它的面数为 ____ 个.
【答案速览】 8
【深度解析】
■ 思路分析：
由“面都是三角形”得出棱数 ，再结合欧拉公式 求解面数 .
■ 推导过程：
第1步：由每个面为三角形得 .
第2步：代入欧拉公式 ，解得 .
【规律总结】 已知面、棱等量关系时，先写出 与 的局部关系式，与欧拉公式联立即可求解.
八、空间几何体的展开与折叠
13.（解答）（18分）
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作.现有一张正方形纸片MNPQ（图1），将其沿对角线NQ对折得图2，再沿图2中的虚线对折得图3，然后用剪刀沿图3虚线裁剪.
（1）请描述图3展开后所得窗花的形状特征；（6分）
（2）判断该窗花形状对应下列选项中的哪一个.（12分）
A. B.
C. D.
【答案速览】 （1）轴对称图形，整体呈十字或中心对称的花瓣状，各边剪裁均匀，呈现传统剪纸艺术的镂空效果.（2）C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题以剪纸为背景，考查平面折叠与展开的空间想象能力.需逆向“展开还原”，利用每次对折产生的对称性还原裁剪痕迹.
■ 推导过程：
第1步：从图3开始逆向展开，第二步展开使裁剪痕迹关于第二步折痕对称复制.
第2步：再展开第一步，已有剪痕关于对角线NQ对称复制.
第3步：此时图案具有两条对称轴，呈现四个象限相似的放射状结构，类似窗花常见的十字对称或中心对称花卉形状.
第4步：对照选项，正确为C.
【规律总结】 “折剪问题”的通用解法是逆向思维与对称变换：每次展开等于将当前图形关于折痕作一次轴对称，折 次再展开的图案具有 条不同的对称轴.
九、旋转体的几何量计算
14.（解答）（12分）
一个圆台的母线长为 ，两底面面积分别为 和 .
（1）求圆台的高；（6分）
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.（6分）
【答案速览】 （1）（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1）由两底面面积反推半径，在轴截面中构造直角三角形用勾股定理求高.（2）将轴截面梯形补形成三角形，利用相似比建立方程求解原圆锥母线长.
■ 推导过程：
（1）由面积得上下底半径分别为 和 .轴截面中，腰长 ，两底半径差 ，由勾股定理得高 .
（2）设原圆锥母线长 ，由相似比例 ，解得 .
【规律总结】 处理圆台几何计算问题，“轴截面法”是核心通法，结合相似三角形可解决还原圆锥问题.
15.（解答）（10分）
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面面积是 ，母线与轴的夹角是 ，求这个圆台的高、母线和两底面的半径.
【答案速览】 高为 ，母线长为 ，两底半径分别是 和
【深度解析】
■ 思路分析：
看到“周长比为3”转化为半径比 ，看到“母线与轴夹角 ”在轴截面中构造等腰直角三角形，建立高与半径差的等式.再利用面积条件列方程求解.
■ 推导过程：
设上底半径为 ，则下底半径为 ，高 .轴截面面积 ，得 .进而下底半径 ，高 ，母线 .
【规律总结】 当轴截面中出现特殊角时，利用角度边比关系可直接建立变量间的线性等式，简化运算.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ABC BD C A 1 AC CD A （1）见解析（2） 7 （2） （1）见解析（2）
一、三种多面体的对比辨析
1.（单选）（5分）
下列关于几何体的描述错误的有（ 　　）
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求选出描述错误的选项.逐一对照定义，特别注意寻找反例.
■ 推导过程：
A项：反例为两个斜棱柱拼合，不满足棱柱定义，错误.
B项：缺少侧棱延长交于一点的条件，错误.
C项：直四棱柱底面不一定是矩形，错误.
D项：符合正棱锥定义，正确.
故错误的有ABC.
【易错警示】 B选项极易因忽略“侧棱延长交于一点”而误判为正确.
2.（多选）（7分）
下面关于空间几何体的叙述正确的是（ 　　）
A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B. 长方体是平行六面体
C. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D. 存在每个面都是直角三角形的四面体
【答案速览】 BD
【深度解析】
■ 思路分析：
多选题，逐项判断.A项缺少侧棱延长性质，错.B项长方体符合平行六面体定义，对.C项截面可为椭圆，错.D项存在直角四面体，对.故选BD.
二、棱柱的结构特征
3.（单选）（5分）
如图，在正方体 中，点 分别是 的中点，过点 的平面截该正方体所得的截面是（ 　　）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
过三点的正方体截面形状判断，使用延展平面法找到截面与各面的交线，确定边数.
■ 推导过程：
连接 并延长，分别交 、 延长线于 、.连接 交 于 ，连接 交 于 .截面为五边形 ，选C.
【规律总结】 正方体截面边数取决于截面与几个面相交.延展平面法可有效确定交线.
三、棱锥的结构特征与展开
4.（单选）（5分）
在三棱锥 中，底面 为斜边 的等腰直角三角形，顶点 在底面 上的射影为 的中点.若 ， 为线段 上的一个动点，则 的最小值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
动点在棱 上，求 最小值，用展开法将 和 展平，化折线为直线，再用余弦定理求 .
■ 推导过程：
计算得 为等边三角形，展开后 .由余弦定理求得 ，即为最小值.选A.
【规律总结】 空间最短路径问题通用“展开法”，将共棱的两个面展平，利用“两点之间线段最短”转化为平面线段长.
5.（填空）（6分）
已知在四面体 中，，，，，，平面 满足 ，记平面 截得该四面体 的多边形的面积为 ，则 的最大值为 ____.
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：
对棱相等，可将四面体还原为长方体.设长方体棱长建立方程组解出 ，结合中点条件确定截面位置，从而得出面积最大值.
■ 推导过程：
由条件解出 为中点，可得 长方体某对角面，所以 与该对角面平行.当 过 中点时，截面面积最大，为 .
【规律总结】 “三组对棱相等”的四面体可还原为长方体，利用长方体的规则性解决截面或体积问题.
6.（填空）（6分）
甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 处，碳原子位于正四面体的中心 处.若正四面体 的棱长为1，则平面 和平面 位于正四面体内部的交线长度为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
利用正四面体的对称性，取对棱 、 的中点 、，则中心 在 上，判定交线为 ，再计算其长度.
■ 推导过程：
取 中点 ， 中点 ， 为 中点.两平面的交线即为 .在等腰三角形 中，求得 .
【规律总结】 处理正四面体内部问题时，对棱中点连线是重要辅助线，它们交于中心且互相垂直.
四、旋转体的结构特征
7.（多选）（5分）
下面关于空间几何体的表述，正确的是（ 　　）
A. 棱柱的侧面都是平行四边形
B. 直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C. 正四棱柱一定是长方体
D. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
【答案速览】 AC
【深度解析】
■ 思路分析：
根据棱柱、圆锥、正四棱柱以及棱台的概念逐项判断即可.
■ 推导过程：
A、棱柱的所有侧面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，故A正确；
B、只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错误；
C、正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确；
D、只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误.
故答案为：AC.
8.（多选）（7分）
下列说法正确的是（ 　　）
A. 棱柱的侧面一定是矩形
B. 三个平面至多将空间分为7个部分
C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D. 任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
【答案速览】 CD
【深度解析】
■ 思路分析：
A错（斜棱柱侧面为平行四边形）；B错（三个两两垂直平面分8个部分）；C正确；D正确（五边形分3个三角形）.选CD.
五、棱柱的截面问题
9.（多选）（7分）
如图，正三棱柱 的所有边长都相等， 为线段 的中点， 为侧面 内的一点（包括边界，异于点 ），过点 、、 作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ 　　）
A. 五边形
B. 四边形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
动点 在侧面内移动，分析截面边数的可能情况.截面只能与三个或四个面相交，故不可能为五边形.同时可构造等腰或直角三角形，因此选A.
■ 推导过程：
当 延长线与 相交时得四边形；与 或 相交时得三角形.特殊位置可证等腰和直角.故五边形不可能.
10.（填空）（6分）
如图，已知正方体的棱长为1，点 在棱上运动，过 三点作正方体的截面，若 为棱的中点，则截面的面积为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
为中点，截面为等腰梯形，计算其上下底和高，得面积.
■ 推导过程：
上底 ，下底 ，腰长 ，高 ，面积 .
11.（解答）（8分）
如图，正方体 的棱长为6， 是 的中点，点 在棱 上，且 .
（1）作出过点 的平面截正方体所得的截面，写出作法；（4分）
（2）求（1）中所得截面的周长.（4分）
【答案速览】 （1）见解析（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1）采用延展平面法作出五边形截面.（2）利用相似三角形求各边长度，再求和.
■ 推导过程：
（1）连接 延长交 于 ，连接 交 于 、交 延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，得截面五边形 .
（2）通过相似比求出各线段长 ，，，周长 .
12.（解答）（13分）
如图所示，在直三棱柱 中，，，，点 是线段 上的一动点，求线段 的最小值.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
动点在棱 上， 与 位于共棱的两个面，用展开法将相关三角形展平，直线段 即为最小值.
■ 推导过程：
计算得 ，， 为等边三角形.展平后 ，由余弦定理 ，即为最小值.
【规律总结】 利用展开法解决棱上动点到两定点距离和的最值问题，是空间几何中的通用方法.
六、棱台的结构特征
13.（填空）（6分）
已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为 ____.
【答案速览】 7
【深度解析】
■ 思路分析：
利用面积比等于相似比的平方求出相似比，得棱台高为3，代入棱台体积公式计算得体积为7.
七、旋转体的展开与最值
14.（解答）（8分）
一圆台上底半径为 ，下底半径为 ，母线 长为 ，其中 在上底面上， 在下底面上.从 中点 拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到 点.
（1）画出圆台的侧面展开示意图（还原为圆锥展开的扇形）；（3分）
（2）求这条绳子最短长为多少 ？（5分）
【答案速览】 （1）（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
将圆台侧面展开为扇环，还原为圆锥扇形.求出圆心角与半径后， 和 的位置确定，最短路径即线段 ，用勾股定理计算.
■ 推导过程：
设小圆锥母线 ，圆心角 .展开图中 ，，，故 .
【规律总结】 旋转体侧面最短路径问题通常通过展开成平面图形，转化为两点间线段长求解.
八、空间几何体的综合探究
15.（解答）（12分）
已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）.利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）.
（1）设正四面体 的棱长为 ，求证：正四面体的外接球半径 ；（6分）
（2）若勒洛四面体 能够容纳的最大球的表面积为 ，求正四面体 的内切球的半径.（6分）
【答案速览】 （1）见解析（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1）利用正四面体中心到顶点和底面中心的距离关系，通过勾股定理推导外接球半径公式.（2）由容纳球表面积得半径，结合勒洛四面体结构建立等式求棱长 ，进而求内切球半径.
■ 推导过程：
（1）设中心 ，底面中心 ，利用 推出 .
（2）容纳球半径 ，由 得 ，解得 ，代入内切球半径公式 ，得 .
【规律总结】 正四面体的外接球半径 和内切球半径 是重要结论，可直接记忆或利用中心在高上的比例关系推导.第六章 §1 基本立体图形 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 旋转体的形成条件——直角三角形必须绕直角边所在直线旋转才能得到圆锥，绕斜边旋转得到的是两个圆锥的组合体.圆台的截面必须平行于底面.
2. 棱台的定义辨析——棱台不仅需要两底面平行且相似，还要求各侧棱延长后交于一点.仅满足“两个面平行其余面是梯形”不一定是棱台.
3. 棱柱的包含关系——直四棱柱不一定是长方体（底面还需是矩形），正四棱柱一定是长方体.各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体.
训练目标：
1. 能够准确辨析棱柱、棱锥、棱台及旋转体的定义和结构特征，在正误判断题中识别典型反例.
2. 能够运用欧拉公式 进行简单多面体的面数、顶点数或棱数的计算.
3. 能够利用轴截面图形和勾股定理、相似三角形等工具，解决旋转体和棱台的高、母线长等基本计算问题.
4. 能够通过展开图或截面作图，解决空间几何体中的最短路径问题和截面形状判断问题.
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A卷　基础巩固（100分）
一、空间几何体的分类与识别
1.（单选）（5分）
请给以下各图分类：
（1）为球体；（2）为圆柱体；（3）为圆锥体；（4）为圆台体；（5）为棱锥体；（6）为棱柱体；（7）为两棱锥的组合体.
A. 以上分类全部正确
B. 以上分类全部错误
C. 部分分类有误
D. 无法判断
2.（解答）（12分）
如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？
二、棱锥的结构特征
3.（单选）（5分）
由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是（ 　　）
A. 三棱柱
B. 三棱台
C. 三棱锥
D. 四棱锥
4.（填空）（5分）
如图所示，正方形ABCD中，， 分别为 ， 的中点，沿 ，， 将其折成一个多面体，则此多面体是 ____.
三、棱柱的结构特征
5.（单选）（5分）
下列说法正确的是（ 　　）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
6.（单选）（5分）
下列命题中为真命题的是（ 　　）
A. 有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
B. 棱柱的每个面都是平行四边形
C. 正四棱柱是平行六面体
D. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
四、棱台的结构特征
7.（单选）（5分）
下列命题中为真命题的是（ 　　）
A. 圆台的侧面展开图是一个扇形
B. 用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D. 五棱锥共有6个顶点，11条棱
8.（填空）（6分）
已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 ____.
五、旋转体的结构特征
9.（单选）（5分）
下列说法中正确的是（ 　　）
A. 圆柱的母线和它的轴可以不平行
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱、两个圆锥
10.（多选）（6分）
以下结论正确的有（ 　　）
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
六、三种多面体的对比辨析
11.（多选）（6分）
如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（ 　　）
A. 三棱台
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱
七、空间几何体的基本元素
12.（填空）（6分）
一个简单多面体的面都是三角形，顶点数 ，则它的面数为 ____ 个.
八、空间几何体的展开与折叠
13.（解答）（18分）
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作.现有一张正方形纸片MNPQ（图1），将其沿对角线NQ对折得图2，再沿图2中的虚线对折得图3，然后用剪刀沿图3虚线裁剪.
（1）请描述图3展开后所得窗花的形状特征；（6分）
（2）判断该窗花形状对应下列选项中的哪一个.（12分）
A. B.
C. D.
九、旋转体的几何量计算
14.（解答）（12分）
一个圆台的母线长为 ，两底面面积分别为 和 .
（1）求圆台的高；（6分）
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.（6分）
15.（解答）（10分）
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面面积是 ，母线与轴的夹角是 ，求这个圆台的高、母线和两底面的半径.
B卷　能力提升（100分）
一、三种多面体的对比辨析
1.（单选）（5分）
下列关于几何体的描述错误的有（ 　　）
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
2.（多选）（7分）
下面关于空间几何体的叙述正确的是（ 　　）
A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B. 长方体是平行六面体
C. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D. 存在每个面都是直角三角形的四面体
二、棱柱的结构特征
3.（单选）（5分）
如图，在正方体 中，点 分别是 的中点，过点 的平面截该正方体所得的截面是（ 　　）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
三、棱锥的结构特征与展开
4.（单选）（5分）
在三棱锥 中，底面 为斜边 的等腰直角三角形，顶点 在底面 上的射影为 的中点.若 ， 为线段 上的一个动点，则 的最小值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
5.（填空）（6分）
已知在四面体 中，，，，，，平面 满足 ，记平面 截得该四面体 的多边形的面积为 ，则 的最大值为 ____.
6.（填空）（6分）
甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 处，碳原子位于正四面体的中心 处.若正四面体 的棱长为1，则平面 和平面 位于正四面体内部的交线长度为 ____.
四、旋转体的结构特征
7.（多选）（5分）
下面关于空间几何体的表述，正确的是（ 　　）
A. 棱柱的侧面都是平行四边形
B. 直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C. 正四棱柱一定是长方体
D. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
8.（多选）（7分）
下列说法正确的是（ 　　）
A. 棱柱的侧面一定是矩形
B. 三个平面至多将空间分为7个部分
C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D. 任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
五、棱柱的截面问题
9.（多选）（7分）
如图，正三棱柱 的所有边长都相等， 为线段 的中点， 为侧面 内的一点（包括边界，异于点 ），过点 、、 作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ 　　）
A. 五边形
B. 四边形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
10.（填空）（6分）
如图，已知正方体的棱长为1，点 在棱上运动，过 三点作正方体的截面，若 为棱的中点，则截面的面积为 ____.
11.（解答）（8分）
如图，正方体 的棱长为6， 是 的中点，点 在棱 上，且 .
（1）作出过点 的平面截正方体所得的截面，写出作法；（4分）
（2）求（1）中所得截面的周长.（4分）
12.（解答）（13分）
如图所示，在直三棱柱 中，，，，点 是线段 上的一动点，求线段 的最小值.
六、棱台的结构特征
13.（填空）（6分）
已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为 ____.
七、旋转体的展开与最值
14.（解答）（8分）
一圆台上底半径为 ，下底半径为 ，母线 长为 ，其中 在上底面上， 在下底面上.从 中点 拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到 点.
（1）画出圆台的侧面展开示意图（还原为圆锥展开的扇形）；（3分）
（2）求这条绳子最短长为多少 ？（5分）
八、空间几何体的综合探究
15.（解答）（12分）
已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）.利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）.
（1）设正四面体 的棱长为 ，求证：正四面体的外接球半径 ；（6分）
（2）若勒洛四面体 能够容纳的最大球的表面积为 ，求正四面体 的内切球的半径.（6分）
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A 见解析 B 三棱锥（四面体） B C C B AB ABC 8 （1）轴对称图形，呈十字或中心对称的花瓣状（2）C （1）（2） 高，母线，两底半径和
B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ABC BD C A 1 AC CD A （1）见解析（2） 7 （2） （1）见解析（2）
A卷　基础巩固（100分）
一、空间几何体的分类与识别
1.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求对图示几何体进行分类匹配.读题时，各选项后标注的几何体名称直接触发调用各类基本立体图形的结构特征定义.解题方向是根据图形形状，与教材介绍的各类几何体的结构特征逐一比对，判断给出的分类是否全部正确.
■ 推导过程：
第1步：观察图形（1）和（8），形状为圆球状，符合球体的定义，分类正确.
第2步：观察图形（2），上、下底面为两个全等的圆面，侧面为曲面且母线平行于轴，符合圆柱体的结构特征，分类正确.
第3步：观察图形（3），底面为一个圆面，侧面为曲面且母线交汇于顶点，符合圆锥体的结构特征，分类正确.
第4步：观察图形（4），上、下底面为两个相似的圆面，侧面为曲面，符合圆台体的结构特征，分类正确.
第5步：观察图形（5），底面为多边形，其余各面为有一个公共顶点的三角形，符合棱锥体的结构特征，分类正确.
第6步：观察图形（6），上、下底面为两个全等的多边形，侧面均为平行四边形，符合棱柱体的结构特征，分类正确.
第7步：观察图形（7），由两个棱锥底面重合拼接而成，符合两棱锥的组合体特征，分类正确.
第8步：综上，所有分类均正确，故选A.
【规律总结】 识别空间几何体的基本方法是观察底面形状与个数、侧面形状以及侧棱（或母线）的延伸趋势，这是几何体分类的通性通法，适用于所有基本立体图形的初步识别.
2.（12分）
【答案速览】 此几何体是由两个四棱锥组成，有8个面，6个顶点，12条棱组成.
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出了一个所有棱长都相等的几何体图示，要求分析其构成并计数面、顶点和棱.关键信号是“所有棱长都相等”以及图形的对称结构——上下各有一个顶点，中间由一圈四边形围成.这触发调用组合体的分析方法：将复杂图形拆分为基本几何体，分别观察各部分的结构特征，再进行面、顶点、棱的计数.
■ 推导过程：
第1步：观察几何体的整体形态.该几何体由上下两个完全对称的部分构成，中间有一圈水平的棱边将两部分隔开.
第2步：分析上半部分.以顶部尖端为顶点向下观察，上半部分构成一个底面为正方形、侧面为正三角形的四棱锥.
第3步：同理，下半部分也是由一个顶点向中间一圈顶点连线构成的正四棱锥.上、下两个四棱锥的底面完全重合.
第4步：计数面数.上四棱锥有4个侧面和1个底面，下四棱锥有4个侧面和1个底面.两个底面在组合后重合为一个面，故总面数为 个.
第5步：计数顶点数.上四棱锥有1个顶点加4个底面顶点，下四棱锥同样，重合的底面4个顶点共享，故总顶点数 个.
第6步：计数棱数.上四棱锥有8条棱（4条侧棱加4条底棱），下四棱锥同理.中间一圈的4条底棱为两棱锥共享，故总棱数 条.
第7步：整理答案.此几何体由两个四棱锥组成，有8个面，6个顶点，12条棱.
【规律总结】 分析组合体的构成时，应采用“先拆分、再合并、重叠部分扣除”的计数原则.先识别各基本几何体的面数、顶点数和棱数，再减去重合部分的数量，即可得到组合体的面、顶点和棱数.
二、棱锥的结构特征
3.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
题目描述了一个多面体的特征：由5个面围成，上下两个面是相似三角形，其余三个面是梯形，且梯形的腰延长线交于一点.关键信号词触发调用棱台的定义——棱台是由棱锥被平行于底面的平面截得的，两底面平行且相似，侧面均为梯形，且所有侧棱延长后交于同一点.根据面数可匹配三棱台.
■ 推导过程：
第1步：由“上、下两个面是相似三角形”且“其余三个面都是梯形”，推断该多面体有2个三角形面和3个梯形面，合计5个面.
第2步：由“梯形的腰延长后能相交于一点”可知，侧棱延长后汇聚于一点，这是棱台的结构特征.
第3步：结合“上、下两个面相似”，判定该几何体是由三棱锥被平行于底面的平面截切所得，即为三棱台.
第4步：对比选项，选B.
【易错警示】 常见的错误是混淆三棱台和三棱锥.三棱锥仅有一个底面和三个侧面，且所有侧棱直接交于锥顶；而三棱台有两个平行的三角形底面，侧面为梯形.本题中“上、下两个面”和“梯形侧面”是排除三棱锥的关键依据.
4.（5分）
【答案速览】 三棱锥（四面体）
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出正方形中沿 、、 折起，使 、、 三点重合为一点 .关键信号“折叠”与“三点重合”触发折叠问题的分析方法：比较折叠前后不变的量，判断围成的多面体形状.
■ 推导过程：
第1步：在正方形 中，、 分别为 、 的中点，折痕将正方形分割为四个三角形区域.
第2步：沿折痕折起后，、、 三点重合于一点 ，正方形的四个顶点仅剩 和 两个不同的空间位置.
第3步：折叠后，原来三个三角形变成了以 为一个顶点、以 为另一个顶点的四个三角形面，每个面都是三角形，且四个面围成一个封闭图形.
第4步：四个面均为三角形的多面体为四面体，即三棱锥.
【规律总结】 折叠问题中，原平面图形被折痕分割成若干区域，折叠后各区域在空间中围成新的多面体.解题关键是明确折叠后哪些点重合，折叠前后折痕长度和各三角形区域内的边长保持不变.
三、棱柱的结构特征
5.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为判断正误的单选题，各选项涉及正方体、球、圆锥、圆台等多种几何体的定义.关键信号触发对应的定义对照，需逐一判断条件是否充分.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.各侧面均为正方形只能保证侧棱与底面边长相等，但底面可能不是正方形，故A错误.
第2步：分析B选项.球的直径定义准确，故B正确.
第3步：分析C选项.绕斜边旋转得到两个圆锥的组合体，故C错误.
第4步：分析D选项.截面必须平行于底面才能截得圆台，故D错误.
第5步：综上，选B.
【易错警示】 C选项是典型易错点.务必记住绕直角边得圆锥，绕斜边得两个共底圆锥的组合体.
【规律总结】 几何体定义判断题的核心通法是“定义对照法”：逐一提取选项中每个说法的条件与结论，与教材严格比对.条件不足或存在反例即可判定错误.
6.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题考点为棱柱及其特殊类型的包含关系.解题方向是回忆各概念的定义及相互间的逻辑关系，必要时构造反例.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.斜四棱柱也可以有两个相对侧面为矩形，故A错误.
第2步：分析B选项.三棱柱的底面是三角形，不是平行四边形，故B错误.
第3步：分析C选项.正四棱柱的六个面均为矩形，满足平行六面体的定义，故C正确.
第4步：分析D选项.直四棱柱的底面若不是矩形，则不是长方体，故D错误.
第5步：选C.
【规律总结】 四棱柱、直四棱柱、平行六面体、长方体、正方体的包含关系为逐层缩小.抓住“底面形状”和“侧棱与底面的位置关系”这两个核心要素即可准确判定.
四、棱台的结构特征
7.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为判断正误的选择题，分别考察圆台、棱台、棱柱、棱锥的基本概念.需逐项对照教材定义，重点关注各说法的条件限定是否准确.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.圆台的侧面展开图是扇环，不是扇形，故A错误.
第2步：分析B选项.棱台要求截面平行于底面，故B错误.
第3步：分析C选项.这正是棱柱定义的完整表述，故C正确.
第4步：分析D选项.五棱锥有6个顶点，10条棱，故D错误.
第5步：选C.
【规律总结】 解答此类概念辨析题，需对教材定义进行精确记忆：圆台侧面展开图是扇环；棱台截面必须平行于底面；棱锥的棱数为 ，顶点数为 .
8.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
关键信号“正四棱台”触发轴截面法.通过画轴截面等腰梯形，在其中构造直角三角形，利用已知边长和勾股定理求高.
■ 推导过程：
第1步：上底面对角线的一半 ，下底面对角线的一半 .
第2步：在轴截面中，过 作 于 ，则 .
第3步：在 中，高 .
【规律总结】 求棱台的高通常借助轴截面法：在等腰梯形中构造直角三角形，利用勾股定理求解.此法适用于所有正棱台的高度计算.
五、旋转体的结构特征
9.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
涉及旋转体的形成与性质，需逐项对照定义.
■ 推导过程：
第1步：分析A选项.圆柱母线与轴始终平行，故A错误.
第2步：分析B选项.旋转体的底面均为圆面，正确.
第3步：分析C选项.绕斜边旋转例外，故C错误.
第4步：分析D选项.等腰梯形绕较长底边旋转确实得到圆柱和两个圆锥，说法正确但题干为单选，依据标准答案选B.
【规律总结】 旋转体判断题通法：明确旋转的平面图形和旋转轴，想象各边扫过的轨迹.
10.（6分）
【答案速览】 AB
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为多选题，考察直棱柱定义、柱体体积公式、圆锥截面性质及棱台定义.逐项运用定义判断或寻找反例验证.
■ 推导过程：
第1步：A选项符合直棱柱定义，正确.
第2步：B选项由柱体体积公式可知正确.
第3步：C选项中，当轴截面顶角大于 时，存在顶角为 的截面面积更大，故C错误.
第4步：D选项缺少侧棱延长线交于一点的条件，错误.
第5步：选AB.
【易错警示】 C选项是易错点.截面面积不仅取决于底面弦长，还与顶角有关，并非轴截面面积始终最大.
六、三种多面体的对比辨析
11.（6分）
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：
利用多面体面数公式直接判断. 棱柱面数 ， 棱锥面数 ， 棱台面数 .分别计算各项面数比对即可.
■ 推导过程：
第1步：三棱台面数 ，可能.
第2步：四棱锥面数 ，可能.
第3步：三棱柱面数 ，可能.
第4步：四棱柱面数 ，不可能.
第5步：选ABC.
七、空间几何体的基本元素
12.（6分）
【答案速览】 8
【深度解析】
■ 思路分析：
由“面都是三角形”得出棱数 ，再结合欧拉公式 求解面数 .
■ 推导过程：
第1步：由每个面为三角形得 .
第2步：代入欧拉公式 ，解得 .
【规律总结】 已知面、棱等量关系时，先写出 与 的局部关系式，与欧拉公式联立即可求解.
八、空间几何体的展开与折叠
13.（18分）
【答案速览】 （1）轴对称图形，整体呈十字或中心对称的花瓣状，各边剪裁均匀，呈现传统剪纸艺术的镂空效果.（2）C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题以剪纸为背景，考查平面折叠与展开的空间想象能力.需逆向“展开还原”，利用每次对折产生的对称性还原裁剪痕迹.
■ 推导过程：
第1步：从图3开始逆向展开，第二步展开使裁剪痕迹关于第二步折痕对称复制.
第2步：再展开第一步，已有剪痕关于对角线NQ对称复制.
第3步：此时图案具有两条对称轴，呈现四个象限相似的放射状结构，类似窗花常见的十字对称或中心对称花卉形状.
第4步：对照选项，正确为C.
【规律总结】 “折剪问题”的通用解法是逆向思维与对称变换：每次展开等于将当前图形关于折痕作一次轴对称，折 次再展开的图案具有 条不同的对称轴.
九、旋转体的几何量计算
14.（12分）
【答案速览】 （1）（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1）由两底面面积反推半径，在轴截面中构造直角三角形用勾股定理求高.（2）将轴截面梯形补形成三角形，利用相似比建立方程求解原圆锥母线长.
■ 推导过程：
（1）由面积得上下底半径分别为 和 .轴截面中，腰长 ，两底半径差 ，由勾股定理得高 .
（2）设原圆锥母线长 ，由相似比例 ，解得 .
【规律总结】 处理圆台几何计算问题，“轴截面法”是核心通法，结合相似三角形可解决还原圆锥问题.
15.（10分）
【答案速览】 高为 ，母线长为 ，两底半径分别是 和
【深度解析】
■ 思路分析：
看到“周长比为3”转化为半径比 ，看到“母线与轴夹角 ”在轴截面中构造等腰直角三角形，建立高与半径差的等式.再利用面积条件列方程求解.
■ 推导过程：
设上底半径为 ，则下底半径为 ，高 .轴截面面积 ，得 .进而下底半径 ，高 ，母线 .
【规律总结】 当轴截面中出现特殊角时，利用角度边比关系可直接建立变量间的线性等式，简化运算.
B卷　能力提升（100分）
一、三种多面体的对比辨析
1.（5分）
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求选出描述错误的选项.逐一对照定义，特别注意寻找反例.
■ 推导过程：
A项：反例为两个斜棱柱拼合，不满足棱柱定义，错误.
B项：缺少侧棱延长交于一点的条件，错误.
C项：直四棱柱底面不一定是矩形，错误.
D项：符合正棱锥定义，正确.
故错误的有ABC.
【易错警示】 B选项极易因忽略“侧棱延长交于一点”而误判为正确.
2.（7分）
【答案速览】 BD
【深度解析】
■ 思路分析：
多选题，逐项判断.A项缺少侧棱延长性质，错.B项长方体符合平行六面体定义，对.C项截面可为椭圆，错.D项存在直角四面体，对.故选BD.
二、棱柱的结构特征
3.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
过三点的正方体截面形状判断，使用延展平面法找到截面与各面的交线，确定边数.
■ 推导过程：
连接 并延长，分别交 、 延长线于 、.连接 交 于 ，连接 交 于 .截面为五边形 ，选C.
【规律总结】 正方体截面边数取决于截面与几个面相交.延展平面法可有效确定交线.
三、棱锥的结构特征与展开
4.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
动点在棱 上，求 最小值，用展开法将 和 展平，化折线为直线，再用余弦定理求 .
■ 推导过程：
计算得 为等边三角形，展开后 .由余弦定理求得 ，即为最小值.选A.
【规律总结】 空间最短路径问题通用“展开法”，将共棱的两个面展平，利用“两点之间线段最短”转化为平面线段长.
5.（6分）
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：
对棱相等，可将四面体还原为长方体.设长方体棱长建立方程组解出 ，结合中点条件确定截面位置，从而得出面积最大值.
■ 推导过程：
由条件解出 为中点，可得 长方体某对角面，所以 与该对角面平行.当 过 中点时，截面面积最大，为 .
【规律总结】 “三组对棱相等”的四面体可还原为长方体，利用长方体的规则性解决截面或体积问题.
6.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
利用正四面体的对称性，取对棱 、 的中点 、，则中心 在 上，判定交线为 ，再计算其长度.
■ 推导过程：
取 中点 ， 中点 ， 为 中点.两平面的交线即为 .在等腰三角形 中，求得 .
【规律总结】 处理正四面体内部问题时，对棱中点连线是重要辅助线，它们交于中心且互相垂直.
四、旋转体的结构特征
7.（5分）
【答案速览】 AC
【深度解析】
■ 思路分析：
根据棱柱、圆锥、正四棱柱以及棱台的概念逐项判断即可.
■ 推导过程：
A、棱柱的所有侧面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，故A正确；
B、只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错误；
C、正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确；
D、只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误.
故答案为：AC.
五、棱柱的截面问题
9.（7分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
动点 在侧面内移动，分析截面边数的可能情况.截面只能与三个或四个面相交，故不可能为五边形.同时可构造等腰或直角三角形，因此选A.
■ 推导过程：
当 延长线与 相交时得四边形；与 或 相交时得三角形.特殊位置可证等腰和直角.故五边形不可能.
10.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
为中点，截面为等腰梯形，计算其上下底和高，得面积.
■ 推导过程：
上底 ，下底 ，腰长 ，高 ，面积 .
11.（8分）
【答案速览】 （1）见解析（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1）采用延展平面法作出五边形截面.（2）利用相似三角形求各边长度，再求和.
■ 推导过程：
（1）连接 延长交 于 ，连接 交 于 、交 延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，得截面五边形 .
（2）通过相似比求出各线段长 ，，，周长 .
12.（13分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
动点在棱 上， 与 位于共棱的两个面，用展开法将相关三角形展平，直线段 即为最小值.
■ 推导过程：
计算得 ，， 为等边三角形.展平后 ，由余弦定理 ，即为最小值.
【规律总结】 利用展开法解决棱上动点到两定点距离和的最值问题，是空间几何中的通用方法.
六、棱台的结构特征
13.（6分）
【答案速览】 7
【深度解析】
■ 思路分析：
利用面积比等于相似比的平方求出相似比，得棱台高为3，代入棱台体积公式计算得体积为7.
七、旋转体的展开与最值
14.（8分）
【答案速览】 （1）（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
将圆台侧面展开为扇环，还原为圆锥扇形.求出圆心角与半径后， 和 的位置确定，最短路径即线段 ，用勾股定理计算.
■ 推导过程：
设小圆锥母线 ，圆心角 .展开图中 ，，，故 .
【规律总结】 旋转体侧面最短路径问题通常通过展开成平面图形，转化为两点间线段长求解.
八、空间几何体的综合探究
15.（12分）
【答案速览】 （1）见解析（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1）利用正四面体中心到顶点和底面中心的距离关系，通过勾股定理推导外接球半径公式.（2）由容纳球表面积得半径，结合勒洛四面体结构建立等式求棱长 ，进而求内切球半径.
■ 推导过程：
（1）设中心 ，底面中心 ，利用 推出 .
（2）容纳球半径 ，由 得 ，解得 ，代入内切球半径公式 ，得 .
【规律总结】 正四面体的外接球半径 和内切球半径 是重要结论，可直接记忆或利用中心在高上的比例关系推导.

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