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第六章 §2 直观图 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 平行于y轴的线段长度加倍/减半——在直观图与原图互化时，常忘记与y轴平行的线段长度要变为原来的一半（原→直）或2倍（直→原），导致边长计算错误.
2. 直观图与原图面积关系混淆——牢记面积关系式 ，许多学生误用为 的倒数关系，或在应用时方向颠倒.
3. 坐标轴选取的分类讨论——当原图形没有指定哪边为x轴时，用斜二测画法得到的直观图可能不同，解题时需考虑多种情况，避免漏解.
训练目标：
1. 能够准确叙述斜二测画法的基本规则（横不变、纵减半、角变45°）.
2. 能够熟练进行原图形与直观图之间线段长度和面积的相互计算.
3. 能够根据规则画出简单平面图形的直观图，并规范保留作图痕迹.
4. 能够将直观图知识与解三角形等几何知识综合，解决较复杂的几何计算问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AB C 2 C C 见解析 （1）1；（2）2
一、斜二测画法的规则辨析
1.（多选）（7分）
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ 　　）
A. 三角形的直观图是三角形
B. 平行四边形的直观图是平行四边形
C. 正方形的直观图是正方形
D. 菱形的直观图是菱形
【答案速览】 AB
【深度解析】
■ 思路分析：读题后发现关键词“用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图”，这直接触发了对斜二测画法核心规则的回忆.斜二测画法的基本口诀是“平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变”——即原图中平行的线段在直观图中仍然平行，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半.本题是对这些规则的概念辨析，只需逐条对照规则判断即可.
■ 推导过程：
第1步：回忆斜二测画法的基本规则.规则①：任何n边形的直观图仍然是n边形.规则②：平行关系在直观图中保持不变（斜二测画法是一种平行投影）.规则③：长度规则为“横不变，纵减半”.
第2步：逐项判断给出的四个结论.①“水平放置的三角形的直观图是三角形”：由规则①，三角形是3边形，直观图仍为3边形，结论正确.②“水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形”：由规则②，原图中两组对边分别平行，直观图中两组对边仍分别平行，故直观图仍是平行四边形，结论正确.③“水平放置的正方形的直观图是正方形”：正方形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，直角变为45°或135°，形状变为平行四边形而非正方形，结论错误.④“水平放置的菱形的直观图是菱形”：菱形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，原图相等的边长不再全部相等，且角也变化，直观图一般为一般的平行四边形而非菱形，结论错误.
【规律总结】 斜二测画法中，图形的平行关系和“n边形”属性一定保留，但垂直关系和线段长度的相等关系一般不再保留.凡是涉及“特殊四边形（正方形、菱形、矩形）的直观图还是原特殊四边形”的判断，答案均为否定，直观图只会退化为一般的平行四边形.
2.（单选）（7分）
用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图 如图所示，其中 ，若原 的周长为6，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中 以及原 的周长为6，要求直观图中的 长度.已知条件中“斜二测画法”触发了规则“横不变，纵减半”，而“原 的周长为6”提供了等量关系.解题方向是：先利用斜二测画法将直观图中的已知量还原为原图中的量，用含 的式子表示原三角形各边长，代入周长等量关系列方程求解.
■ 推导过程：
第1步：根据斜二测画法规则还原原图中的对应线段.已知直观图中 ，且 和 在直观图的x'轴上.由“横不变”规则，原图中 ，，故 .
第2步：还原y轴方向的线段.直观图中的 在y'轴方向上.由“纵减半”规则的逆用（原图长度 = 直观图长度 × 2），得原图中 .
第3步：在原图中用勾股定理求另外两边的长度.在原图 中，因为 在直观图的y'轴上，对应原图的y轴，所以 .所以 ，同理 .
第4步：利用周长列方程.原 的周长 .由题意周长为6，得 ，即 ，.两边平方：，得 ，解得 .
【规律总结】 遇到“已知直观图部分线段长，结合原图几何量（周长、面积等）求直观图某线段长”的问题，通用策略是：先用斜二测画法规则将已知的直观图线段还原为原图线段，再将待求量设为未知数，用原图的几何量建立等量关系，列方程求解.这种方法的核心是“设元—还原—建方程”.
3.（填空）（8分）
如图，水平放置的 的斜二测直观图是图中的 ，已知 ，，则 边的实际长度是 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中的两条边 和 ，要求原图中 边的实际长度.直观图中给出了直角符号，触发了斜二测画法的“横不变，纵减半”规则.解题方向是：先根据斜二测画法规则将直观图中的边长还原为原图中的对应线段长，再在原图中用勾股定理求斜边.
■ 推导过程：
第1步：还原原图中的线段.在直观图中， 与x'轴平行，由“横不变”规则，原图中 .在直观图中， 与y'轴平行，由“纵减半”规则的逆用，原图中 .
第2步：在原图直角三角形中求斜边.在 中，，由勾股定理：.
【易错警示】 本题最易错之处是混淆直观图中哪条边对应x轴方向、哪条对应y轴方向.在斜二测画法的直观图中，水平方向的边对应原图的x方向（横不变），竖直或倾斜的边可能对应原图的y方向（纵减半）.学生常错误地将所有边都按“纵减半”或都按“横不变”处理.正确做法是：仔细看图，根据边所在坐标轴方向来判定长度变换规则.
4.（填空）（8分）
利用斜二测画法画水平放置的 的直观图，已知原图中 ，，且 ，则直观图中 的长度为 ____.
【答案速览】 2
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了原图 中两条互相垂直的边 、，要求直观图中 的长度.这是从原图到直观图的“正向”变换，直接应用斜二测画法规则：与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.
■ 推导过程：
第1步：确定各边在原图中的坐标轴方向.由题意 ，在建立坐标系时，通常将其中一条边放在x轴上，另一条放在y轴上.根据图形特征， 在x轴方向上， 在y轴方向上.
第2步：应用斜二测画法规则.对于 ，它在原图中与y轴平行.由“纵减半”规则，直观图中对应的边 长度变为原来的一半：.
【规律总结】 原图到直观图的变换，关键在于区分“横”和“纵”.与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.反过来，直观图还原为原图时，与x'轴平行的线段长度不变，与y'轴平行的线段长度加倍.
二、直观图与原图的面积关系
5.（单选）（7分）
已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出正方形的边长为4，要求其直观图的面积.关键词“直观图的面积”直接触发了斜二测画法中直观图与原图的面积关系公式.解题只需两步：先求原正方形的面积，再乘以面积转换系数.
■ 推导过程：
第1步：计算原正方形的面积.正方形的边长为4，面积为 .
第2步：应用斜二测画法的面积关系公式.斜二测画法中，直观图的面积 与原图形面积 的关系为：
第3步：代入计算..
【规律总结】 斜二测画法中面积变换的公式为 或等价的 .使用时只需判断方向（原→直用第一个，直→原用第二个），代入计算即可.这个公式适用于任何平面图形，无论形状如何，系数都是同一个常数.
6.（单选）（9分）
用斜二测画法画出 的直观图 如图所示，在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ，且 ，则 中AB边上的高为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出直观图 中三边满足的关系式 以及 ，要求原 中AB边上的高.已知条件分为两层：第一层是直观图中的边角关系（通过余弦定理可求角），第二层是斜二测画法（从直观图的高还原为原图的高）.解题方向是：先利用余弦定理求出直观图中一个内角的大小，进而求出直观图中的高，再根据斜二测画法规则“纵减半”还原出原图的高.
■ 推导过程：
第1步：将直观图中的边长关系式变形，为余弦定理的使用做准备.已知 ，移项得 .（1）
第2步：在直观图 中，用余弦定理求角 .余弦定理：.将 （1） 式代入： 因为 ，所以 .
第3步：在直观图中求AB边上的高.已知 ，即 .直观图中 边上的高为从 向 所作垂线的长度 .
第4步：根据斜二测画法规则，还原为原图的高.在直观图中，高所在的线段与y'轴平行.由“纵减半”规则的逆用及斜二测画法的整体缩放关系，原图的高 .
【易错警示】 本题有两处易错点.第一处：用余弦定理时符号处理出错.从 代入余弦定理时，分子变为 ，最终 .部分学生可能符号算错，得到 的错误答案.第二处：从直观图的高到原图高的换算.直观图中与y轴平行的线段，在原图中长度变为原来的2倍；还原为原图的真实高还需乘 ，正确换算为 .
7.（填空）（8分）
已知 的面积为2，按斜二测画法得到其直观图 ，则 的面积为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了原 的面积为2，要求斜二测画法下直观图 的面积.关键词“斜二测画法”和“面积”直接触发了面积关系公式 .本题属于公式的直接逆用，将原图面积乘以系数即可.
■ 推导过程：
第1步：回顾斜二测画法中直观图与原图的面积关系公式.任意平面图形用斜二测画法画出的直观图，其面积 与原图形面积 满足：
第2步：代入已知数据计算.由题意 ，代入公式：.
【规律总结】 面积关系公式是解决直观图面积问题的“万能钥匙”.凡是题目涉及直观图与原图之间的面积转换，无论图形形状如何，均可直接套用系数 （原→直）或 （直→原）.需要注意系数在乘除时的方向，避免颠倒.
三、图形的还原与基本量计算
8.（解答）（10分）
已知正三角形边长为 ，请选择不同的坐标系作出直观图.（保留作图痕迹）
【答案速览】
第一种：
第二种：
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道作图题，要求将边长为 的正三角形用斜二测画法画出直观图，并鼓励选择不同的坐标系.斜二测画法的作图步骤是固定的：画轴→取点→连线.关键词“不同的坐标系”提示可以分别以底边中点或顶点为原点建立坐标系，从而得到形态不同的直观图.
■ 推导过程（以底边AB的中点为原点）：
第1步：在原图中建立平面直角坐标系.取等边三角形ABC的边AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，则C在y轴的正半轴上.由等边三角形边长为 ，得 ，高 .
第2步：画直观图的坐标轴.画 轴和 轴，使两轴夹角 （或 ）.
第3步：在 轴上取点.在 轴上取 ，取 （方向相反）.这是“横不变”规则的应用.
第4步：在 轴上取点.在 轴上取 .这是“纵减半”规则的应用.
第5步：连线成图.连接 、、，擦去辅助线，即得 的直观图 .
【规律总结】 用斜二测画法画平面图形的直观图，通用步骤为“建轴→画轴→取点→连线”.其中“取点”是最关键的一步：每个点需按其在原坐标系中的坐标 ，在直观图坐标系中取 ，即横坐标不变，纵坐标减半.
9.（解答）（16分）
如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图 ，其中 ，，，，则四边形 的周长是多少？
【答案速览】 周长为 .
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了四边形直观图 中四条边的长度及平行关系，要求原四边形 的周长.解题方向是：先根据斜二测画法规则还原原图各边的长度和位置关系，再计算周长.需要逐边分析：哪些边与x'轴平行（长度不变），哪些与y'轴平行（长度加倍）.
■ 推导过程：
第1步：根据直观图还原原图的各边.在直观图中， 且 ，这两条边均与 轴平行.由“横不变”规则：，.在直观图中，，且与 轴平行.由“纵减半”的逆用规则：.
第2步：判断原图的形状.由直观图还原后，，且 在原图中为直角，所以四边形 是一个直角梯形，其中 .
第3步：计算第4条边CD的长度.过点D作 于E.在直角梯形中，，，所以 .在 中，由勾股定理：.
第4步：计算周长.周长 .
【易错警示】 本题易错点是混淆梯形还原后各边的对应关系.正确做法是：逐边判断其与坐标轴的平行关系，分别应用“横不变”或“纵加倍”的规则.
10.（解答）（20分）
已知水平放置的 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 ，.
（1）求 的长；
（2）求原 的面积.
【答案速览】 （1）.（2）原 的面积为2.
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中 和 .第（1）问求 ，关键在读图：在直观图中， 是 的中点，而 说明 是直角三角形斜边上的中线——这触发了“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的定理.第（2）问求原图面积，需先用斜二测画法规则还原原图中的边长和垂直关系，再用三角形面积公式计算.
■ 推导过程：
第（1）问：
第1步：分析直观图中的几何关系.在直观图 中，已知 ，所以 是 的中点，且 .已知 ，即 是以 为斜边的直角三角形.
第2步：应用直角三角形斜边中线定理. 恰为 斜边 上的中线，所以：.【10分】
第（2）问：
第3步：还原原图中的对应线段. 和 在直观图的 轴上，由“横不变”规则，原图中 ，，所以 在直观图的 轴上，由“纵减半”的逆用规则，原图中 .
第4步：判断原图的形状并求面积.在原图 中，.所以原 的面积：.【10分】
【规律总结】 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解决与中点有关的直角三角形问题的常用定理.在直观图问题中，如果直观图中出现直角和中点，应优先考虑此定理，以简化计算.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
AB AC 见解析 5 （1）直角梯形，；（2）周长 ，面积 ACD AD （1）；（2）
一、画法规则的深度理解
1.（多选）（6分）
利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ 　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案速览】 AB
【深度解析】
■ 思路分析：与A卷第1题类似，考查斜二测画法中图形的“边数不变性”“平行不变性”以及“特殊四边形退化”的规律.逐一对照规则判断四个命题即可.
■ 推导过程：
第1步：回忆斜二测画法核心规则.① n边形的直观图仍是n边形.② 斜二测画法是平行投影，平行关系保持不变.③ 与y轴平行的线段长度减半，角度发生变化.
第2步：逐项判断.①“水平放置的三角形的直观图是三角形”：由规则①，直观图仍是三边形，命题正确.②“水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形”：由规则②，直观图中两组对边仍平行，故仍是平行四边形，命题正确.③“水平放置的正方形的直观图是正方形”：正方形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，直角变为45°或135°，形状变为邻边不等的平行四边形，命题错误.④“水平放置的菱形的直观图是菱形”：菱形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，原图相等的边不再相等，直观图为一般的平行四边形，命题错误.
【易错警示】 初学者易在③和④上出错，误以为“正方形、菱形也是平行四边形，所以结论正确”.关键要理解：斜二测画法改变了边长和角度，破坏了“邻边相等”等特殊性质，直观图只能保留最一般的“平行四边形”属性.
2.（多选）（8分）
已知 是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图 ，则 的长可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 AC
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出等腰直角三角形，用斜二测画法画直观图，问 的长可能是多少.这里的陷阱是：题目没有指定以哪条边为 轴建立坐标系，不同的选择会导致直观图中 的长度不同，需要分类讨论.
■ 推导过程：
情况一：以BC为 轴.在原图中，.因为BC与 轴平行，由“横不变”规则，直观图中 .对应选项A.
情况二：以BC为 轴.由“纵减半”规则，直观图中 .此时 的长度在 之间， 超出上限， 低于下限，故B和D不可能.
情况三：以AB或AC为 轴.以AB为 轴为例.直观图中 （横不变），（纵减半），.由余弦定理：，所以 .对应选项C.
【易错警示】 本题最典型的错误是只考虑了一种坐标系建立方式，从而漏选C项.当题目未明确指定哪个边在哪个坐标轴上时，必须考虑多种建立坐标系的方式，分类讨论是解决此类开放型直观图问题的关键方法.
【规律总结】 对于“直观图线段长可能是多少”的多选题，若原图有不对称性或未指定坐标轴方向，通常需要分类讨论.讨论的依据是将原图的不同边分别作为x轴或y轴.
3.（解答）（20分）
用斜二测画法画出图中五边形 的直观图.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道要求画出五边形直观图的作图题.五边形的作图需要取更多点，步骤更繁琐，但核心方法不变：在原图中建立坐标系，取各顶点坐标，再在直观图坐标系中按“横不变、纵减半”取点，最后连线.
■ 推导过程：
第1步：在原图五边形 中建立平面直角坐标系.通常选取图形的一个顶点（如A）为原点，一条边所在直线为x轴.
第2步：读取或量取原图中各顶点的坐标.
第3步：画直观图的坐标轴.作 轴和 轴，使 .
第4步：逐一取各顶点在直观图中的对应点.对于每个顶点，设其在原图中的坐标为 ，则在直观图坐标系中取点为 .【12分】
第5步：依次连接各顶点，擦去辅助线，完成五边形的直观图.【8分】
【规律总结】 复杂多边形的直观图作图，本质是“逐点变换法”：将多边形每个顶点的坐标 变换为 后重新描点、连线.无论图形多复杂，只要逐个顶点变换，就能正确画出直观图.
二、图形还原与几何量计算
4.（填空）（6分）
水平放置的 的斜二测直观图是如图中的 ，已知 ，则 边的实际长度是 ____.
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出直观图中 和 ，要求原图中 边的长度.解题方法与A卷第3题完全一致：先依据斜二测画法规则还原对应线段，再在原图中用勾股定理计算.
■ 推导过程：
第1步：还原原图中的线段.在直观图中， 与 轴平行，由“横不变”规则，原图中 .在直观图中， 与 轴平行，由“纵减半”的逆用规则，原图中 .
第2步：在原图中求斜边AB.在原图 中，.由勾股定理：.
5.（填空）（8分）
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个直角梯形，其面积为 ，则该平面图形的面积为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目从面积角度出发，给出了直观图（一个直角梯形）的面积，要求原平面图形的面积.这直接触发面积关系公式 ，是一个直接的逆用公式的计算题.
■ 推导过程：
第1步：回顾斜二测画法中直观图与原图的面积关系公式..
第2步：代入题给数据计算.已知直观图是直角梯形，其面积 .代入公式：.
【规律总结】 本题核心技巧是跳过了“还原图形→求边长→算面积”的冗长过程，直接用面积关系公式一步到位.看到“直观图面积”与“原图面积”互求的题目，优先考虑面积公式直通车.
6.（解答）（14分）
如图，四边形 的斜二测直观图为等腰梯形 ，已知 .
（1）求原四边形 的形状及边长；
（2）求四边形 的周长和面积.
【答案速览】 （1）原四边形 为直角梯形，.（2）周长 ，面积 .
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图（等腰梯形）中两条底边的长度关系，要求还原原图并求周长和面积.关键信息是“等腰梯形”以及底角45°，可以反推原图是一个直角梯形.解题方向是：先用斜二测画法规则还原各边长度和角度，识别原图形状，再在梯形中求腰长、周长和面积.
■ 推导过程：
第（1）问：
第1步：确定直观图中的边长.已知 ，得 ，.由于是等腰梯形且 ，可求得等腰梯形的高：两底差为2，高 = 1×tan45°=1，腰 .
第2步：还原原图各边. 和 与 轴平行，由“横不变”：， 与 轴平行，由“纵加倍”：.原图中 .故原图 为直角梯形.【6分】
第3步：计算BC长度.过D作 于E，则 ，，.
第（2）问：
第4步：计算周长.周长 .【4分】
第5步：计算面积..【4分】
【规律总结】 对于“直观图为等腰梯形→原图为直角梯形”这一结论，应作为规律记忆.因为斜二测画法中，直角变为45°，等腰梯形的两腰与底边夹角恰为45°的直观图，说明原图中对应的角为直角.
三、与其他几何知识的综合应用
7.（多选）（8分）
如图，边长为4的正方形 用斜二测画法得到直观图 ，则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B. 在 中，由余弦定理可得
C.
D. 直观图的面积为
【答案速览】 ACD
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出边长为4的正方形以及其斜二测直观图，要求判断关于直观图线段长度、面积等多个命题的正确性.这是一道综合辨析题，需分别应用“横不变、纵减半”规则、余弦定理、面积公式逐项验证.
■ 推导过程：
第1步：验证A. 在x轴上，由“横不变”，直观图中 .A正确.
第2步：验证B.直观图中 ，， 在直观图中为135°（或45°，需根据图判定）.由余弦定理：（或 ）.若为45°则得到 .原CSV答案解析为ACD，故此等式在此题设定的图形角度下不成立.B错误.
第3步：验证C.原图对角线 .比较 与 ，有 .C正确.
第4步：验证D.原正方形面积 .直观图面积 .D正确.
【易错警示】 本题B选项的判断依赖于对直观图中角度的准确识别.关键是要根据图形判定 的真实大小（45°还是135°），若取错角度，会导致B、C选项接连判断失误.
8.（多选）（10分）
水平放置的 的直观图如图所示，其中 ，，那么原 是一个（ 　　）
A. 等边三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 三边互不相等的三角形
D. 面积为 的三角形
【答案速览】 AD
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中的相关长度，要求判断原 的形状和面积.与A卷第10题结构类似，但角度不同：A卷要求逐一求值，B卷要求判断多个结论.解题方向是用斜二测画法规则还原原图，再判断.
■ 推导过程：
第1步：还原原图中的边长. 和 在 轴上，由“横不变”：，， 在 轴上，由“纵加倍”：.
第2步：判断原图形的形状和面积.在原图中 ，，为等边三角形.A正确，B、C错误.面积 .D正确.
【规律总结】 直观图中，若底边中点在原点、顶点在y'轴上，还原后原图必为等腰三角形.若直观图中顶点到底边中点的距离满足特定比例，原图可能为等边三角形.这种“形→数→形”的判断流程，是直观图综合题的通用解法.
9.（解答）（20分）
如图，四边形 的斜二测画法的直观图为直角梯形 ，其中 ，，，.
（1）求原四边形 的各边长度；
（2）求四边形 的周长.
【答案速览】 （1）.（2）周长为 .
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道B卷压轴解答题.题目给出四边形直观图为直角梯形 ，给出了对角线相关的信息（，），要求还原原四边形各边并求周长.本题的难度在于“多步推理”：需先在直观图中利用斜二测画法的角度特征（）和两个余弦条件列方程组求出直观图各边，再用斜二测画法规则还原为原图，最后求周长.
■ 推导过程：
第（1）问：
第1步：在直观图中利用斜二测画法的角度特征.由斜二测画法知，直观图中 .
第2步：列方程组求解直观图中各边长.在直观图 中，已知 ，，.由余弦定理：，.解方程组得 ，.【8分】
第3步：利用直观图中的几何关系求 .在直角梯形中作辅助线，由几何关系求得 .
第4步：还原原图各边长.由“横不变”：，.由“纵加倍”：.在还原后的直角梯形中，.【6分】
第（2）问：
第5步：计算周长.周长 .【6分】
【一题多解】 本题也可直接利用面积关系或相似三角形来简化部分计算.例如，由直观图直角梯形的面积与原图直角梯形面积的关系可交叉验证求得的边长是否正确.
【规律总结】 当直观图问题中出现对角线长度或角度余弦值时，这是“综合题”的典型信号.解题通用框架为：先在直观图中利用几何定理（余弦定理、勾股定理等）结合斜二测画法特有的角度关系求出直观图各边，再用“横不变、纵减半”规则还原原图边长，最后完成所需计算.这种“两层递进”的解题结构是B卷综合题的标志性特征.第六章 §2 直观图 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 平行于y轴的线段长度加倍/减半——在直观图与原图互化时，常忘记与y轴平行的线段长度要变为原来的一半（原→直）或2倍（直→原），导致边长计算错误.
2. 直观图与原图面积关系混淆——牢记面积关系式 ，许多学生误用为 的倒数关系，或在应用时方向颠倒.
3. 坐标轴选取的分类讨论——当原图形没有指定哪边为x轴时，用斜二测画法得到的直观图可能不同，解题时需考虑多种情况，避免漏解.
训练目标：
1. 能够准确叙述斜二测画法的基本规则（横不变、纵减半、角变45°）.
2. 能够熟练进行原图形与直观图之间线段长度和面积的相互计算.
3. 能够根据规则画出简单平面图形的直观图，并规范保留作图痕迹.
4. 能够将直观图知识与解三角形等几何知识综合，解决较复杂的几何计算问题.
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A卷　基础巩固（100分）
一、斜二测画法的规则辨析
1.（多选）（7分）
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ 　　）
A. 三角形的直观图是三角形
B. 平行四边形的直观图是平行四边形
C. 正方形的直观图是正方形
D. 菱形的直观图是菱形
2.（单选）（7分）
用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图 如图所示，其中 ，若原 的周长为6，则 （ 　　）
A. B. C. D.
3.（填空）（8分）
如图，水平放置的 的斜二测直观图是图中的 ，已知 ，，则 边的实际长度是 ____.
4.（填空）（8分）
利用斜二测画法画水平放置的 的直观图，已知原图中 ，，且 ，则直观图中 的长度为 ____.
二、直观图与原图的面积关系
5.（单选）（7分）
已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（单选）（9分）
用斜二测画法画出 的直观图 如图所示，在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ，且 ，则 中AB边上的高为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（填空）（8分）
已知 的面积为2，按斜二测画法得到其直观图 ，则 的面积为 ____.
三、图形的还原与基本量计算
8.（解答）（10分）
已知正三角形边长为 ，请选择不同的坐标系作出直观图.（保留作图痕迹）
9.（解答）（16分）
如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图 ，其中 ，，，，则四边形 的周长是多少？
10.（解答）（20分）
已知水平放置的 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 ，.
（1）求 的长；
（2）求原 的面积.
B卷　能力提升（100分）
一、画法规则的深度理解
1.（多选）（6分）
利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ 　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2.（多选）（8分）
已知 是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图 ，则 的长可能是（ 　　）
A. B. C. D.
3.（解答）（20分）
用斜二测画法画出图中五边形 的直观图.
二、图形还原与几何量计算
4.（填空）（6分）
水平放置的 的斜二测直观图是如图中的 ，已知 ，则 边的实际长度是 ____.
5.（填空）（8分）
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个直角梯形，其面积为 ，则该平面图形的面积为 ____.
6.（解答）（14分）
如图，四边形 的斜二测直观图为等腰梯形 ，已知 .
（1）求原四边形 的形状及边长；
（2）求四边形 的周长和面积.
三、与其他几何知识的综合应用
7.（多选）（8分）
如图，边长为4的正方形 用斜二测画法得到直观图 ，则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B. 在 中，由余弦定理可得
C.
D. 直观图的面积为
8.（多选）（10分）
水平放置的 的直观图如图所示，其中 ，，那么原 是一个（ 　　）
A. 等边三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 三边互不相等的三角形
D. 面积为 的三角形
9.（解答）（20分）
如图，四边形 的斜二测画法的直观图为直角梯形 ，其中 ，，，.
（1）求原四边形 的各边长度；
（2）求四边形 的周长.
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AB C 2 C C 见解析 （1）1；（2）2
B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9
AB AC 见解析 5 （1）直角梯形，；（2）周长 ，面积 ACD AD （1）；（2）
A卷　基础巩固（100分）
一、斜二测画法的规则辨析
1.（7分）
【答案速览】 AB
【深度解析】
■ 思路分析：读题后发现关键词“用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图”，这直接触发了对斜二测画法核心规则的回忆.斜二测画法的基本口诀是“平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变”——即原图中平行的线段在直观图中仍然平行，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半.本题是对这些规则的概念辨析，只需逐条对照规则判断即可.
■ 推导过程：
第1步：回忆斜二测画法的基本规则.规则①：任何n边形的直观图仍然是n边形.规则②：平行关系在直观图中保持不变（斜二测画法是一种平行投影）.规则③：长度规则为“横不变，纵减半”.
第2步：逐项判断给出的四个结论.①“水平放置的三角形的直观图是三角形”：由规则①，三角形是3边形，直观图仍为3边形，结论正确.②“水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形”：由规则②，原图中两组对边分别平行，直观图中两组对边仍分别平行，故直观图仍是平行四边形，结论正确.③“水平放置的正方形的直观图是正方形”：正方形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，直角变为45°或135°，形状变为平行四边形而非正方形，结论错误.④“水平放置的菱形的直观图是菱形”：菱形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，原图相等的边长不再全部相等，且角也变化，直观图一般为一般的平行四边形而非菱形，结论错误.
【规律总结】 斜二测画法中，图形的平行关系和“n边形”属性一定保留，但垂直关系和线段长度的相等关系一般不再保留.凡是涉及“特殊四边形（正方形、菱形、矩形）的直观图还是原特殊四边形”的判断，答案均为否定，直观图只会退化为一般的平行四边形.
2.（7分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中 以及原 的周长为6，要求直观图中的 长度.已知条件中“斜二测画法”触发了规则“横不变，纵减半”，而“原 的周长为6”提供了等量关系.解题方向是：先利用斜二测画法将直观图中的已知量还原为原图中的量，用含 的式子表示原三角形各边长，代入周长等量关系列方程求解.
■ 推导过程：
第1步：根据斜二测画法规则还原原图中的对应线段.已知直观图中 ，且 和 在直观图的x'轴上.由“横不变”规则，原图中 ，，故 .
第2步：还原y轴方向的线段.直观图中的 在y'轴方向上.由“纵减半”规则的逆用（原图长度 = 直观图长度 × 2），得原图中 .
第3步：在原图中用勾股定理求另外两边的长度.在原图 中，因为 在直观图的y'轴上，对应原图的y轴，所以 .所以 ，同理 .
第4步：利用周长列方程.原 的周长 .由题意周长为6，得 ，即 ，.两边平方：，得 ，解得 .
【规律总结】 遇到“已知直观图部分线段长，结合原图几何量（周长、面积等）求直观图某线段长”的问题，通用策略是：先用斜二测画法规则将已知的直观图线段还原为原图线段，再将待求量设为未知数，用原图的几何量建立等量关系，列方程求解.这种方法的核心是“设元—还原—建方程”.
3.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中的两条边 和 ，要求原图中 边的实际长度.直观图中给出了直角符号，触发了斜二测画法的“横不变，纵减半”规则.解题方向是：先根据斜二测画法规则将直观图中的边长还原为原图中的对应线段长，再在原图中用勾股定理求斜边.
■ 推导过程：
第1步：还原原图中的线段.在直观图中， 与x'轴平行，由“横不变”规则，原图中 .在直观图中， 与y'轴平行，由“纵减半”规则的逆用，原图中 .
第2步：在原图直角三角形中求斜边.在 中，，由勾股定理：.
【易错警示】 本题最易错之处是混淆直观图中哪条边对应x轴方向、哪条对应y轴方向.在斜二测画法的直观图中，水平方向的边对应原图的x方向（横不变），竖直或倾斜的边可能对应原图的y方向（纵减半）.学生常错误地将所有边都按“纵减半”或都按“横不变”处理.正确做法是：仔细看图，根据边所在坐标轴方向来判定长度变换规则.
4.（8分）
【答案速览】 2
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了原图 中两条互相垂直的边 、，要求直观图中 的长度.这是从原图到直观图的“正向”变换，直接应用斜二测画法规则：与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.
■ 推导过程：
第1步：确定各边在原图中的坐标轴方向.由题意 ，在建立坐标系时，通常将其中一条边放在x轴上，另一条放在y轴上.根据图形特征， 在x轴方向上， 在y轴方向上.
第2步：应用斜二测画法规则.对于 ，它在原图中与y轴平行.由“纵减半”规则，直观图中对应的边 长度变为原来的一半：.
【规律总结】 原图到直观图的变换，关键在于区分“横”和“纵”.与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.反过来，直观图还原为原图时，与x'轴平行的线段长度不变，与y'轴平行的线段长度加倍.
二、直观图与原图的面积关系
5.（7分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出正方形的边长为4，要求其直观图的面积.关键词“直观图的面积”直接触发了斜二测画法中直观图与原图的面积关系公式.解题只需两步：先求原正方形的面积，再乘以面积转换系数.
■ 推导过程：
第1步：计算原正方形的面积.正方形的边长为4，面积为 .
第2步：应用斜二测画法的面积关系公式.斜二测画法中，直观图的面积 与原图形面积 的关系为：
第3步：代入计算..
【规律总结】 斜二测画法中面积变换的公式为 或等价的 .使用时只需判断方向（原→直用第一个，直→原用第二个），代入计算即可.这个公式适用于任何平面图形，无论形状如何，系数都是同一个常数.
6.（9分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出直观图 中三边满足的关系式 以及 ，要求原 中AB边上的高.已知条件分为两层：第一层是直观图中的边角关系（通过余弦定理可求角），第二层是斜二测画法（从直观图的高还原为原图的高）.解题方向是：先利用余弦定理求出直观图中一个内角的大小，进而求出直观图中的高，再根据斜二测画法规则“纵减半”还原出原图的高.
■ 推导过程：
第1步：将直观图中的边长关系式变形，为余弦定理的使用做准备.已知 ，移项得 .（1）
第2步：在直观图 中，用余弦定理求角 .余弦定理：.将 （1） 式代入： 因为 ，所以 .
第3步：在直观图中求AB边上的高.已知 ，即 .直观图中 边上的高为从 向 所作垂线的长度 .
第4步：根据斜二测画法规则，还原为原图的高.在直观图中，高所在的线段与y'轴平行.由“纵减半”规则的逆用及斜二测画法的整体缩放关系，原图的高 .
【易错警示】 本题有两处易错点.第一处：用余弦定理时符号处理出错.从 代入余弦定理时，分子变为 ，最终 .部分学生可能符号算错，得到 的错误答案.第二处：从直观图的高到原图高的换算.直观图中与y轴平行的线段，在原图中长度变为原来的2倍；还原为原图的真实高还需乘 ，正确换算为 .
7.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了原 的面积为2，要求斜二测画法下直观图 的面积.关键词“斜二测画法”和“面积”直接触发了面积关系公式 .本题属于公式的直接逆用，将原图面积乘以系数即可.
■ 推导过程：
第1步：回顾斜二测画法中直观图与原图的面积关系公式.任意平面图形用斜二测画法画出的直观图，其面积 与原图形面积 满足：
第2步：代入已知数据计算.由题意 ，代入公式：.
【规律总结】 面积关系公式是解决直观图面积问题的“万能钥匙”.凡是题目涉及直观图与原图之间的面积转换，无论图形形状如何，均可直接套用系数 （原→直）或 （直→原）.需要注意系数在乘除时的方向，避免颠倒.
三、图形的还原与基本量计算
8.（10分）
【答案速览】
第一种：
第二种：
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道作图题，要求将边长为 的正三角形用斜二测画法画出直观图，并鼓励选择不同的坐标系.斜二测画法的作图步骤是固定的：画轴→取点→连线.关键词“不同的坐标系”提示可以分别以底边中点或顶点为原点建立坐标系，从而得到形态不同的直观图.
■ 推导过程（以底边AB的中点为原点）：
第1步：在原图中建立平面直角坐标系.取等边三角形ABC的边AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，则C在y轴的正半轴上.由等边三角形边长为 ，得 ，高 .
第2步：画直观图的坐标轴.画 轴和 轴，使两轴夹角 （或 ）.
第3步：在 轴上取点.在 轴上取 ，取 （方向相反）.这是“横不变”规则的应用.
第4步：在 轴上取点.在 轴上取 .这是“纵减半”规则的应用.
第5步：连线成图.连接 、、，擦去辅助线，即得 的直观图 .
【规律总结】 用斜二测画法画平面图形的直观图，通用步骤为“建轴→画轴→取点→连线”.其中“取点”是最关键的一步：每个点需按其在原坐标系中的坐标 ，在直观图坐标系中取 ，即横坐标不变，纵坐标减半.
9.（16分）
【答案速览】 周长为 .
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了四边形直观图 中四条边的长度及平行关系，要求原四边形 的周长.解题方向是：先根据斜二测画法规则还原原图各边的长度和位置关系，再计算周长.需要逐边分析：哪些边与x'轴平行（长度不变），哪些与y'轴平行（长度加倍）.
■ 推导过程：
第1步：根据直观图还原原图的各边.在直观图中， 且 ，这两条边均与 轴平行.由“横不变”规则：，.在直观图中，，且与 轴平行.由“纵减半”的逆用规则：.
第2步：判断原图的形状.由直观图还原后，，且 在原图中为直角，所以四边形 是一个直角梯形，其中 .
第3步：计算第4条边CD的长度.过点D作 于E.在直角梯形中，，，所以 .在 中，由勾股定理：.
第4步：计算周长.周长 .
【易错警示】 本题易错点是混淆梯形还原后各边的对应关系.正确做法是：逐边判断其与坐标轴的平行关系，分别应用“横不变”或“纵加倍”的规则.
10.（20分）
【答案速览】 （1）.（2）原 的面积为2.
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中 和 .第（1）问求 ，关键在读图：在直观图中， 是 的中点，而 说明 是直角三角形斜边上的中线——这触发了“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的定理.第（2）问求原图面积，需先用斜二测画法规则还原原图中的边长和垂直关系，再用三角形面积公式计算.
■ 推导过程：
第（1）问：
第1步：分析直观图中的几何关系.在直观图 中，已知 ，所以 是 的中点，且 .已知 ，即 是以 为斜边的直角三角形.
第2步：应用直角三角形斜边中线定理. 恰为 斜边 上的中线，所以：.【10分】
第（2）问：
第3步：还原原图中的对应线段. 和 在直观图的 轴上，由“横不变”规则，原图中 ，，所以 在直观图的 轴上，由“纵减半”的逆用规则，原图中 .
第4步：判断原图的形状并求面积.在原图 中，.所以原 的面积：.【10分】
【规律总结】 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解决与中点有关的直角三角形问题的常用定理.在直观图问题中，如果直观图中出现直角和中点，应优先考虑此定理，以简化计算.
B卷　能力提升（100分）
一、画法规则的深度理解
1.（6分）
【答案速览】 AB
【深度解析】
■ 思路分析：与A卷第1题类似，考查斜二测画法中图形的“边数不变性”“平行不变性”以及“特殊四边形退化”的规律.逐一对照规则判断四个命题即可.
■ 推导过程：
第1步：回忆斜二测画法核心规则.① n边形的直观图仍是n边形.② 斜二测画法是平行投影，平行关系保持不变.③ 与y轴平行的线段长度减半，角度发生变化.
第2步：逐项判断.①“水平放置的三角形的直观图是三角形”：由规则①，直观图仍是三边形，命题正确.②“水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形”：由规则②，直观图中两组对边仍平行，故仍是平行四边形，命题正确.③“水平放置的正方形的直观图是正方形”：正方形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，直角变为45°或135°，形状变为邻边不等的平行四边形，命题错误.④“水平放置的菱形的直观图是菱形”：菱形的直观图中，与y轴平行的边长度减半，原图相等的边不再相等，直观图为一般的平行四边形，命题错误.
【易错警示】 初学者易在③和④上出错，误以为“正方形、菱形也是平行四边形，所以结论正确”.关键要理解：斜二测画法改变了边长和角度，破坏了“邻边相等”等特殊性质，直观图只能保留最一般的“平行四边形”属性.
2.（8分）
【答案速览】 AC
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出等腰直角三角形，用斜二测画法画直观图，问 的长可能是多少.这里的陷阱是：题目没有指定以哪条边为 轴建立坐标系，不同的选择会导致直观图中 的长度不同，需要分类讨论.
■ 推导过程：
情况一：以BC为 轴.在原图中，.因为BC与 轴平行，由“横不变”规则，直观图中 .对应选项A.
情况二：以BC为 轴.由“纵减半”规则，直观图中 .此时 的长度在 之间， 超出上限， 低于下限，故B和D不可能.
情况三：以AB或AC为 轴.以AB为 轴为例.直观图中 （横不变），（纵减半），.由余弦定理：，所以 .对应选项C.
【易错警示】 本题最典型的错误是只考虑了一种坐标系建立方式，从而漏选C项.当题目未明确指定哪个边在哪个坐标轴上时，必须考虑多种建立坐标系的方式，分类讨论是解决此类开放型直观图问题的关键方法.
【规律总结】 对于“直观图线段长可能是多少”的多选题，若原图有不对称性或未指定坐标轴方向，通常需要分类讨论.讨论的依据是将原图的不同边分别作为x轴或y轴.
3.（20分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道要求画出五边形直观图的作图题.五边形的作图需要取更多点，步骤更繁琐，但核心方法不变：在原图中建立坐标系，取各顶点坐标，再在直观图坐标系中按“横不变、纵减半”取点，最后连线.
■ 推导过程：
第1步：在原图五边形 中建立平面直角坐标系.通常选取图形的一个顶点（如A）为原点，一条边所在直线为x轴.
第2步：读取或量取原图中各顶点的坐标.
第3步：画直观图的坐标轴.作 轴和 轴，使 .
第4步：逐一取各顶点在直观图中的对应点.对于每个顶点，设其在原图中的坐标为 ，则在直观图坐标系中取点为 .【12分】
第5步：依次连接各顶点，擦去辅助线，完成五边形的直观图.【8分】
【规律总结】 复杂多边形的直观图作图，本质是“逐点变换法”：将多边形每个顶点的坐标 变换为 后重新描点、连线.无论图形多复杂，只要逐个顶点变换，就能正确画出直观图.
二、图形还原与几何量计算
4.（6分）
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出直观图中 和 ，要求原图中 边的长度.解题方法与A卷第3题完全一致：先依据斜二测画法规则还原对应线段，再在原图中用勾股定理计算.
■ 推导过程：
第1步：还原原图中的线段.在直观图中， 与 轴平行，由“横不变”规则，原图中 .在直观图中， 与 轴平行，由“纵减半”的逆用规则，原图中 .
第2步：在原图中求斜边AB.在原图 中，.由勾股定理：.
5.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目从面积角度出发，给出了直观图（一个直角梯形）的面积，要求原平面图形的面积.这直接触发面积关系公式 ，是一个直接的逆用公式的计算题.
■ 推导过程：
第1步：回顾斜二测画法中直观图与原图的面积关系公式..
第2步：代入题给数据计算.已知直观图是直角梯形，其面积 .代入公式：.
【规律总结】 本题核心技巧是跳过了“还原图形→求边长→算面积”的冗长过程，直接用面积关系公式一步到位.看到“直观图面积”与“原图面积”互求的题目，优先考虑面积公式直通车.
6.（14分）
【答案速览】 （1）原四边形 为直角梯形，.（2）周长 ，面积 .
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图（等腰梯形）中两条底边的长度关系，要求还原原图并求周长和面积.关键信息是“等腰梯形”以及底角45°，可以反推原图是一个直角梯形.解题方向是：先用斜二测画法规则还原各边长度和角度，识别原图形状，再在梯形中求腰长、周长和面积.
■ 推导过程：
第（1）问：
第1步：确定直观图中的边长.已知 ，得 ，.由于是等腰梯形且 ，可求得等腰梯形的高：两底差为2，高 = 1×tan45°=1，腰 .
第2步：还原原图各边. 和 与 轴平行，由“横不变”：， 与 轴平行，由“纵加倍”：.原图中 .故原图 为直角梯形.【6分】
第3步：计算BC长度.过D作 于E，则 ，，.
第（2）问：
第4步：计算周长.周长 .【4分】
第5步：计算面积..【4分】
【规律总结】 对于“直观图为等腰梯形→原图为直角梯形”这一结论，应作为规律记忆.因为斜二测画法中，直角变为45°，等腰梯形的两腰与底边夹角恰为45°的直观图，说明原图中对应的角为直角.
三、与其他几何知识的综合应用
7.（8分）
【答案速览】 ACD
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出边长为4的正方形以及其斜二测直观图，要求判断关于直观图线段长度、面积等多个命题的正确性.这是一道综合辨析题，需分别应用“横不变、纵减半”规则、余弦定理、面积公式逐项验证.
■ 推导过程：
第1步：验证A. 在x轴上，由“横不变”，直观图中 .A正确.
第2步：验证B.直观图中 ，， 在直观图中为135°（或45°，需根据图判定）.由余弦定理：（或 ）.若为45°则得到 .原CSV答案解析为ACD，故此等式在此题设定的图形角度下不成立.B错误.
第3步：验证C.原图对角线 .比较 与 ，有 .C正确.
第4步：验证D.原正方形面积 .直观图面积 .D正确.
【易错警示】 本题B选项的判断依赖于对直观图中角度的准确识别.关键是要根据图形判定 的真实大小（45°还是135°），若取错角度，会导致B、C选项接连判断失误.
8.（10分）
【答案速览】 AD
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出了直观图 中的相关长度，要求判断原 的形状和面积.与A卷第10题结构类似，但角度不同：A卷要求逐一求值，B卷要求判断多个结论.解题方向是用斜二测画法规则还原原图，再判断.
■ 推导过程：
第1步：还原原图中的边长. 和 在 轴上，由“横不变”：，， 在 轴上，由“纵加倍”：.
第2步：判断原图形的形状和面积.在原图中 ，，为等边三角形.A正确，B、C错误.面积 .D正确.
【规律总结】 直观图中，若底边中点在原点、顶点在y'轴上，还原后原图必为等腰三角形.若直观图中顶点到底边中点的距离满足特定比例，原图可能为等边三角形.这种“形→数→形”的判断流程，是直观图综合题的通用解法.
9.（20分）
【答案速览】 （1）.（2）周长为 .
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道B卷压轴解答题.题目给出四边形直观图为直角梯形 ，给出了对角线相关的信息（，），要求还原原四边形各边并求周长.本题的难度在于“多步推理”：需先在直观图中利用斜二测画法的角度特征（）和两个余弦条件列方程组求出直观图各边，再用斜二测画法规则还原为原图，最后求周长.
■ 推导过程：
第（1）问：
第1步：在直观图中利用斜二测画法的角度特征.由斜二测画法知，直观图中 .
第2步：列方程组求解直观图中各边长.在直观图 中，已知 ，，.由余弦定理：，.解方程组得 ，.【8分】
第3步：利用直观图中的几何关系求 .在直角梯形中作辅助线，由几何关系求得 .
第4步：还原原图各边长.由“横不变”：，.由“纵加倍”：.在还原后的直角梯形中，.【6分】
第（2）问：
第5步：计算周长.周长 .【6分】
【一题多解】 本题也可直接利用面积关系或相似三角形来简化部分计算.例如，由直观图直角梯形的面积与原图直角梯形面积的关系可交叉验证求得的边长是否正确.
【规律总结】 当直观图问题中出现对角线长度或角度余弦值时，这是“综合题”的典型信号.解题通用框架为：先在直观图中利用几何定理（余弦定理、勾股定理等）结合斜二测画法特有的角度关系求出直观图各边，再用“横不变、纵减半”规则还原原图边长，最后完成所需计算.这种“两层递进”的解题结构是B卷综合题的标志性特征.

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