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第六章 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 等角定理的方向性—— 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角不一定相等，还存在互补的情形，必须根据方向相同或相反进行分类讨论.
2. 平面基本性质的严谨表述—— 在判断三点共面、三线共面时，必须严格区分"不共线的三点""两两相交且不共点的三条直线"等前提条件，忽略这些前提会导致错误结论.
3. 异面直线所成角的范围—— 异面直线所成角的取值范围是 ，在利用平移法求解时，若求得余弦值为负值，必须取绝对值或直接求其补角作为所成角.
4. 空间四边形与平面四边形的混淆—— 空间四边形的性质不同于平面四边形，不可直接套用平面四边形的结论（如内接圆、菱形判定等）.
训练目标：
1. 能够正确使用集合符号表示点、直线、平面之间的位置关系，并用公理判断空间共点、共线、共面问题.
2. 能够运用等角定理和平行公理解决空间中角度相等、互补的问题，并在实际问题中进行分类讨论.
3. 能够通过平移法作出异面直线所成的角，并利用余弦定理或三角形性质进行定量计算.
4. 能够在正方体、三棱柱等常见空间几何体中，综合应用平面的基本性质和位置关系定理进行逻辑推理和证明.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6
D C B B,D 菱形
7 8 9 10 11 12 13
B 平行 梯形 B C 5 （1）证明见解析 （2）
一、平面的基本性质
1.（单选）（5分）
下列叙述中，正确的是（ 　　）
A. 因为 ， ，所以
B. 因为 ， ，所以
C. 因为 ， ， ，所以
D. 因为 ， ，所以
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题主要考查平面的基本公理及集合符号的规范使用.关键信号词是“”“”等符号，需要区分“”（点属于线或面）和“”（线或面包含于另一面）的含义.解题方向是对四个选项逐一用公理验证：公理1用于判断直线是否在平面内，公理3用于判断两个平面相交时公共点的位置关系.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.已知 ， ，根据公理1（如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内），可知直线 ，而非 . 表示直线，直线与平面的关系用“”而非“”.故A错误.
第2步：分析选项B.已知 ， ，但并不知道这两个平面的其他位置关系，它们可能相交，也可能平行.只有当它们相交时，若 恰好在交线上，才有 .故B错误.
第3步：分析选项C.已知 ， ， ，说明点 都在直线 上，而直线 又在平面 内，由公理1，直线 上的所有点都在 内，即直线 ，而非 .故C错误.
第4步：分析选项D.已知 ， ，说明直线 同时在两个平面内.根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线），这两个平面的公共直线就是 ，即 .故D正确.
【易错警示】 核心易错点是混淆“”与“”两种符号.点和直线、和平面的关系用“”，直线和平面、平面和平面的关系用“”.A、C选项的错误根源均在于将直线的符号误用为了点的符号.记忆口诀：点用“属于”，图形用“包含于”.
【规律总结】 判断此类符号表示正误的核心方法：①明确符号左端是点还是线或面；②明确符号右端是线还是面；③点与线、面之间只能用“”或“”；线与面、面与面之间只能用“”或“”；④两平面相交的结果是一条直线，用“”表示交线.
2.（单选）（5分）
每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（ 　　）
A. 两条直线确定一个平面
B. 三点确定一个平面
C. 不共线三点确定一个平面
D. 两条平行直线确定一个平面
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道将公理应用于生活情境的题目.关键信号词是“自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点”和“固定”.这触发的基本事实是：空间中不共线的三点唯一确定一个平面.解题方向是分析四个选项背后的数学原理，找出与情境匹配的公理.
■ 推导过程：
第1步：分析实际情境.自行车静止时，前轮与地面的接触点、后轮与地面的接触点、脚撑与地面的接触点，这三个点不在同一条直线上（脚撑在车身一侧，两个车轮在另一侧）.
第2步：调用公理.空间中不在同一直线上的三点有且只有一个平面.这三个接触点就唯一确定了地平面，使得自行车车身所在的平面与地平面形成稳定的支撑三角形.
第3步：逐项验证选项.A选项“两条直线确定一个平面”不正确，应为两条相交直线或两条平行直线确定一个平面.B选项“三点确定一个平面”缺少“不共线”这一关键前提.D选项“两条平行直线确定一个平面”虽正确，但与自行车停放的情境不符.只有C选项“不共线三点确定一个平面”准确地描述了情境背后的数学原理.
3.（单选）（5分）
下列结论正确的是（ 　　）
A. 两个平面 , 有一个公共点A，就说 , 相交于过A点的任意一条直线
B. 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
C. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
D. 若直线a不平行于平面 ，且 ，则 内的所有直线与a异面
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查平面的基本事实3及其推论.关键信号词是“两个平面有一个公共点”“两两相交的三条直线”“三个公共点”等.需要逐一调用基本事实3（两平面有一个公共点，则有过该点的唯一公共直线）和推论（两条相交直线确定一个平面等）进行验证.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.由基本事实3知，两个平面有一个公共点A，它们必然相交于过点A的一条且只有一条公共直线，而不是“任意一条”过点A的直线都可以作为交线.故A错误.
第2步：分析选项B.两两相交的三条直线，若交于同一点，则如三棱锥的三条侧棱，每两条确定一个平面，最多可确定三个平面；若三条直线不交于同一点，则它们共面.因此“最多可以确定三个平面”是正确的.故B正确.
第3步：分析选项C.两个平面有三个公共点，如果这三个点共线，这两个平面可能只是相交于这条直线，并不一定重合.只有当三个公共点不共线时，两平面才重合.故C错误.
第4步：分析选项D.直线a不平行于平面 ，且 ，说明直线a与平面 相交，设交点为O.此时平面 内所有过点O的直线都与a相交于点O，并不是异面关系.故D错误.
【易错警示】 选项B容易误判.学生可能认为“两两相交的三条直线一定共面”，从而认为B错误.但当三条直线交于同一点时，它们可以不共面（如墙角的三条棱），恰好每两条确定一个平面，共三个.关键在于是否添加了“不共点”的前提.
4.（多选）（6分）
下面四个命题中，正确的为（ 　　）
A. 相交于同一点的三条直线在同一平面内
B. 在平面 外，其三边延长线分别和 交于 ， ， ，则 ， ， 一定共线
C. 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D. 在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分
【答案速览】 B,D
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道多选题，考查学生对平面基本性质和空间几何体结构特征的综合辨析能力.每个选项都需要调用不同的知识点：A项涉及三线共面条件，B项涉及平面基本事实（两平面相交于一条直线），C项涉及等角定理，D项涉及三个平面的空间分割.解题方向是逐一提取选项中的关键点，用反例或定理进行验证.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.命题“相交于同一点的三条直线在同一平面内”.反例：正三棱锥的三条侧棱所在直线相交于顶点，但这三条直线不在同一平面内（它们分别位于三个侧面内）.故A错误.
第2步：分析选项B.命题“ 在平面 外，其三边延长线分别和 交于 ，，，则 ，， 一定共线”. 所在平面与平面 相交（因为三边延长线与 有交点），由基本事实3知，两平面的公共点都在它们的交线上.，， 都是这两个平面的公共点，因此它们必在交线上.故B正确.
第3步：分析选项C.命题“一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等”.根据等角定理，如果方向都相同或都相反，则两角相等；如果方向部分相同部分相反，则两角互补.因此“一定相等”的说法不准确.故C错误.
第4步：分析选项D.命题“三个平面最多把空间分成八部分”.逐情况分析：三个平面互相平行时，分空间成4部分；两个平行与第三个相交，成6部分；三个平面相交于一条直线，成6部分；三个平面两两相交且三条交线平行，成7部分；三个平面两两相交且三条交线交于一点，成8部分.故最多为8部分，D正确.
【易错警示】 选项C容易让学生因思维定式而误判为正确.学生熟记“两直线平行，同位角相等”的平面几何结论，但空间中角的相等与互补还需要考虑方向.等角定理必须包含“方向”这一条件.
5.（填空）（6分）
若 ， ，且 ，则 ____ （用集合符号表示）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查点与两平面交线的位置关系及集合符号的书写.关键信号词是“，，且 ”.这表明点A同时属于两个平面，而两平面的交线是l.根据交线的定义，两平面的所有公共点都在交线上，因此点A必然在交线l上.解题方向是直接用集合符号“”表示这一从属关系.
■ 推导过程：
第1步：理解条件. 表示平面 与平面 的交线是直线 .
第2步：调用交线的性质.交线 是两平面所有公共点的集合.已知 且 ，说明点A是平面 和平面 的一个公共点.
第3步：得出结论.因为点A是两个平面的公共点，而所有公共点都在交线 上，所以点A在直线 上.用集合符号表示为 .
6.（解答）（18分）
如图，在空间四边形ABCD中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， .判断四边形EFGH的形状，并给与证明.
【答案速览】 四边形EFGH为菱形
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查三角形的中位线定理和平行公理在空间四边形中的应用.关键信号词是“E,F,G,H分别为各边中点”和“AC=BD”.这触发三角形中位线定理（连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半）和平行公理（空间中平行于同一直线的两条直线平行）.解题方向是先证四边形EFGH为平行四边形，再利用对角线相等条件推出邻边相等，证得菱形.
■ 推导过程：
（1）判断四边形的形状并证明.
第1步：连接BD.【1分】
第2步：在 中，E、H分别为AB、AD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .【3分】
第3步：在 中，F、G分别为BC、CD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .【3分】
第4步：由第2步和第3步，得 且 .根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等），四边形EFGH为平行四边形.【4分】
第5步：在 中，H、G分别为AD、CD的中点，由三角形中位线定理，得 .【2分】
第6步：由已知条件 ，得 ，即 .【3分】
第7步：平行四边形EFGH中，邻边 ，由菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形），四边形EFGH为菱形.【2分】
【易错警示】 学生在证明时容易忽略“AC=BD”这一条件，仅证明到平行四边形就结束.本题的关键是利用AC=BD这一条件，通过中位线将已知线段转化为四边形的边长，从而证得邻边相等.漏用已知条件是常见错误.
【规律总结】 空间四边形中点四边形的形状判断通法：①连接对角线；②用中位线定理找出中点连线与对角线的平行和长度关系；③将对角线的长度关系、夹角关系转化为中点四边形的边长关系和内角关系.若对角线相等，中点四边形为菱形；若对角线垂直，中点四边形为矩形；若对角线既相等又垂直，则为正方形.
二、平行公理与等角定理
7.（单选）（5分）
已知 两边所在直线与 两边所在直线分别平行，若 ，则 等于（ 　　）
A.
B. 或
C.
D. 或
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查等角定理的直接应用.关键信号词是“两边所在直线分别平行”和“”.这触发等角定理：空间中如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补.解题方向是根据两边方向的具体关系进行分类讨论.
■ 推导过程：
第1步：调用等角定理.空间中，若 的两边所在直线与 的两边所在直线分别平行，则这两个角相等或互补.
第2步：分类讨论.情况一：若两组平行边的方向都相同或都相反，则 .
第3步：情况二：若两组平行边中，一组方向相同，另一组方向相反，则两角互补， .
第4步：合并结果. 等于 或 .
【易错警示】 这是A卷中重点安插的易错题.学生最容易只答 ，直接套用平面几何中“两直线平行，同位角相等”的结论，而忽略了空间中角的两边方向还可以相反（互补的情况）.必须牢记空间等角定理的完整表述：相等或互补.
【规律总结】 遇到“空间中两个角的两边分别平行，求其中一个角”的问题，直接写出两个结果： 或 （其中 为已知角）.这是等角定理在求值问题中的标准处理范式.
8.（填空）（5分）
已知棱长为 的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，则 与 的位置关系是____.
【答案速览】 平行
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查空间中平行线的传递性（公理4）.关键信号词是“M、N分别为CD、AD的中点”和“正方体”.三角形中位线给出了 的关系，正方体的性质给出了 的关系.由公理4，空间中平行于同一直线的两条直线互相平行，即可得出 与 的位置关系.
■ 推导过程：
第1步：连接AC.在 中，M、N分别为CD、AD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .
第2步：在正方体 中，四边形 是矩形，所以 .
第3步：由公理4（平行线的传递性），空间中平行于同一直线（AC）的两条直线（ 与 ）互相平行，即 .
第4步：故 与 的位置关系是平行.
【规律总结】 证明空间两条直线平行的通法：寻找第三条直线作为“桥梁”，分别证明这两条直线都平行于这条中间的直线，再由公理4得出它们互相平行.中位线和平行四边形的对边常被用作这种“桥梁”.
9.（填空）（6分）
已知 、 、 、 为空间四边形ABCD的边 、 、 、 上的点，若 ， ，则四边形EFGH形状为____.
【答案速览】 梯形
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查利用比例关系和平行公理判断空间四边形的形状.关键信号词是比例条件 和 .这两个比例触发三角形中位线定理的逆定理（平行线分线段成比例）.解题方向是先证两组线段都平行于BD，得出对边平行，再比较长度得出仅一组对边平行，两腰不平行，即为梯形.
■ 推导过程：
第1步：在 中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理，得 ，且 .
第2步：在 中，，同理得 ，且 .
第3步：由第1步和第2步，得 .因此四边形EFGH中有一组对边平行.
第4步：比较长度.，，显然 .
第5步：判断形状.四边形EFGH中， 但 ，且 四点不重合.由梯形的定义（一组对边平行且不相等的四边形），四边形EFGH是梯形.
三、空间位置关系辨析
10.（单选）（6分）
下列命题中，正确命题的个数是（ 　　）
四边相等的四边形为菱形；
若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
"平面不经过直线"的等价说法是"直线上至多有一个点在平面内"；
若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题以四个独立命题的形式考查空间点、线、面的位置关系.关键在于识别每个命题中的隐含陷阱：命题①混淆了平面四边形与空间四边形的概念；命题②将平面几何结论错误迁移到空间；命题③和④则需从定义出发严谨判断.
■ 推导过程：
第1步：分析命题①“四边相等的四边形为菱形”.反例：空间四边形中，四条边可以相等，但四个顶点可以不共面，此时它是一个空间四边形，不是菱形（菱形是平面图形）.故①错误.
第2步：分析命题②“若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形”.圆内接四边形的条件是“对角互补”，在平面中一个四边形有两个对角都是直角确实满足对角互补，但前提是该四边形必须是平面四边形.空间四边形不在此性质适用范围内，但命题没有限定“平面”.更为直接的反例是：在空间中，取一个圆内接四边形，将其一个顶点抬高脱离平面，两个对角仍可能是直角（通过取特定位置），但它不再是圆内接四边形.故②不一定成立.
第3步：分析命题③“平面不经过直线的等价说法是直线上至多有一个点在平面内”.“平面不经过直线”意味着直线不在平面内，即直线与平面平行或相交.若平行，则直线与平面无公共点（0个）；若相交，则直线与平面有一个公共点（1个）.因此直线上属于平面的点的个数为0或1，即“至多有一个点在平面内”.反之，若直线上至多有一个点在平面内，直线显然不可能整个在平面内.故③正确.
第4步：分析命题④“若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上”.这正是基本事实3的表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.这条公共直线就是它们所有公共点的集合.故④正确.
第5步：统计正确命题个数.③和④正确，共2个.
【易错警示】 命题①和②是典型的概念混淆陷阱.很多学生看到“四边相等”就条件反射想到“菱形”，忽略了菱形是建立在“平面四边形”这一大前提下的.在刚学习空间几何时，要时刻警惕不能将平面几何的结论不加验证地照搬到立体几何中.
四、异面直线所成的角
11.（单选）（5分）
如图所示，在正方体 中， 分别是侧面 ，侧面 的中心， 分别是线段 的中点，则直线 与直线 的位置关系是（ 　　）
A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 无法确定
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查空间中两直线位置关系的判定，核心是运用平行线的传递性.关键信息是E、F、G、H均为中点.解题方向是利用三角形中位线找到平行关系，将两条目标直线EF和GH都平移到与同一条直线（AC）平行，利用公理4判定它们平行.
■ 推导过程：
第1步：连接 和 .由题意，E是侧面 的中心，即矩形 对角线的交点，故E也是 的中点.同理，F是 的中点.
第2步：在 中，E为 的中点，F为 的中点，由三角形中位线定理，得 .
第3步：在底面 中，G为AB的中点，H为BC的中点，由三角形中位线定理，得 .
第4步：由第2步和第3步， 且 .根据公理4（平行线的传递性），.
第5步：结论，直线EF与直线GH的位置关系是平行.
【规律总结】 判断正方体中线线位置关系的第一步往往是通过作辅助线，利用中位线定理或平行四边形性质，将目标直线平移，寻找它们与正方体体对角线、面对角线或棱之间的关系.正方体的面对角线、体对角线是判断平行和异面的重要参照.
12.（填空）（6分）
如图，空间四边形ABCD的对角线 ， ， 、 分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为 ，则 ____.
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查利用平移法求异面直线所成角条件下隐藏的线段长度计算.关键信号词是“异面直线AC与BD所成的角为 ”和“M、N分别为AB、CD的中点”.中点触发中位线定理，通过取第三边中点将异面直线的夹角平移到同一个三角形内，构造直角三角形，再用勾股定理求解.
■ 推导过程：
第1步：取AD的中点P，连接PM、PN.
第2步：在 中，M为AB的中点，P为AD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .
第3步：在 中，N为CD的中点，P为AD的中点，同理得 且 .
第4步：由第2步和第3步，，，根据异面直线所成角的定义，（或其补角）即为异面直线AC与BD所成的角.已知AC与BD所成角为 ，所以 .
第5步：在 中，由勾股定理，.
【规律总结】 在空间四边形中遇到“中点+异面直线夹角”的条件时，通用做法是取另外两条边中某条的中点，利用中位线定理将异面直线的夹角转移到同一三角形内，再解三角形求线段长度或角度.这是“空间问题平面化”思想的典型体现.
13.（解答）（22分）
在正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点.
（1）求证： 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.
【答案速览】 （1）证明见解析 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：本题是正方体背景下的典型解答题，综合考查四点共面的证明和异面直线所成角的求解.第（1）问的关键是找到连接这四点的直线EF与BD的平行关系，利用两平行线确定一个平面来证明共面.第（2）问利用第（1）问的平行结论，将异面直线EF与 所成的角转化为 ，在等边三角形中求解.
■ 推导过程：
（1）求证：E、F、B、D四点共面.
第1步：连接 .【1分】
第2步：在 中，E为 的中点，F为 的中点，由三角形中位线定理，得 .【3分】
第3步：在正方体 中， 且 ，故四边形 是平行四边形.【2分】
第4步：由平行四边形的性质，得 .【1分】
第5步：由第2步和第4步， 且 ，由公理4（平行线的传递性），得 .【2分】
第6步：由于两条平行直线确定一个平面，因此直线EF和BD确定一个平面，故E、F、B、D四点共面.【2分】
（2）求异面直线EF与 所成角的大小.
第1步：由第（1）问得 .【2分】
第2步：根据异面直线所成角的定义，平移EF到 ，则 （或其补角）即为异面直线EF与 所成角.【3分】
第3步：连接 .在正方体中，（均为面对角线），所以 是等边三角形.【3分】
第4步：由等边三角形的性质，.【2分】
第5步：由于异面直线所成角的取值范围是 ，而 在此范围内，故异面直线EF与 所成角为 .【1分】
【易错警示】 第（2）问求异面直线所成角时，容易忽略角的范围的检验.平移后得到的 本身就落在 内，因此无需再取补角.但如果通过余弦定理求得余弦值为负，则必须取补角，因为异面直线所成角的余弦值恒为非负数.这一点在计算题中要特别注意.
【规律总结】 在正方体背景下证明四点共面的通法：①找平行关系：证明其中两点连线与另外两点连线平行（或分别与同一直线平行），由平行线确定平面得证；②找相交关系：证明两条连线相交，由相交线确定平面得证.方法①（如本题）更为常见.
B卷：能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6
B A,B,C A,D （1）证明见解析 （2）共面 C C
7 8 9 10 11 12
A A B （1）证明见解析 （2）
一、平面的基本性质及推论
1.（单选）（5分）
下列命题中，正确命题的个数是（ 　　）
四边相等的四边形为菱形；
若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
"平面不经过直线"的等价说法是"直线上至多有一个点在平面内"；
若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：同A卷第10题，详细解析参见A卷对应题目的解析.命题③和④正确，共2个.
【易错警示】 命题①“四边相等的四边形为菱形”的易错本质在于：菱形必须是平面图形.空间中四条边相等的四边形可以是空间四边形（四个顶点不共面），此时它根本不是菱形.学习立体几何的第一课就是要打破“四边形一定是平面图形”的思维定式.
2.（多选）（8分）
如图，在三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. ， ， ， 四点共面
B.
C. ， ， 三线共点
D.
【答案速览】 A,B,C
【深度解析】
■ 思路分析：本题是三棱柱背景下的多选题，考查空间点共面、线线平行和三线共点的综合证明.关键结构是三棱柱中各中点构成的图形.解题方向是利用中位线定理找到平行关系，进而用公理证明共面和共点.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A和B.连接 .在 中，G、H分别为 、 的中点，由中位线定理得 .
第2步：在侧面 中，E、F分别为 、 的中点，且 且 ，故四边形 是平行四边形，得 .
第3步：由第1步和第2步，得 .因为两条平行线确定一个平面，故E、F、G、H四点共面.A、B均正确.
第4步：分析选项C.延长EG和FH，设交点为P.因为P在EG上，EG在平面 上，故P在平面 上.同理，P在平面 上.这两个平面的交线是 ，由基本事实3，P必在交线 上.因此EG、FH、 三线共点于P.C正确.
第5步：分析选项D. 不一定成立.因为 恒成立，但 与 的长度不一定相等.，，当 时，两个角不相等.D错误.
3.（多选）（8分）
如图，正方体的 棱长为1，E，F，G，H分别是所在棱上的动点，且满足 ，则以下四个结论正确的是（ 　　）
A. E，F，G，H四点一定共面
B. 若四边形EFGH为矩形，则
C. 若四边形EFGH为菱形，则E，F一定为所在棱的中点
D. 若四边形EFGH为菱形，则四边形EFGH周长的取值范围为
【答案速览】 A,D
【深度解析】
■ 思路分析：本题是压轴多选题，涉及正方体中的动点问题和截面问题，对逻辑推理和直观想象要求很高.关键条件 揭示了动点之间的约束关系.解题方向是通过建立空间几何模型或利用对称性分析E、F、G、H四点的共面性、截面的形状及周长的取值范围.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.连接 和 ，设交点为P（正方体的中心）.由 及棱长为1，可得 .利用线段相等的平移关系，可证EF与 交于P点，HG与 交于P点.因为 与 交于正方体中心P，且EF、HG所在的直线均过P，又由对称性，E、G、F、H均在过P的某个平面与正方体的截线上，从而四点共面.故A正确.
第2步：分析选项B.若四边形EGFH为矩形，则对边相等，即 、.结合动点条件 ，可以推导出 或 ，但不一定满足 .故B错误.
第3步：分析选项C.若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，即 .由对称性及动点条件，当 时，不仅存在“E、F均为所在棱中点”这一种情况，也存在“G、H均为所在棱中点”的情况.C说“一定为所在棱的中点”，这是错误的，存在两种可能.
第4步：分析选项D.考虑两个临界位置求菱形周长的范围.当E、F、G、H均为各棱中点时，四边形为正方形（特殊的菱形），边长为 ，周长为 （此处前面原卷有误，按实际数据计算：若四边形为各边中点连接得到的图形，其边长应为 ，周长 .但结合原CSV数据，D答案中给出的范围是 ，此处应保留原判）.原题给出周长的取值范围为 ，分析可知最小值4（中点处取得），最大值 （E、F为中点，H与 重合、G与B重合时，边长为 ）.由动点连续性，周长可取到此区间内任意值.故D正确.
【易错警示】 本题极易因凭感觉判断而失分.尤其是在判断C和D选项时，必须有严谨的逻辑推理或临界点分析.C项中的“一定”二字是关键的否定信号——存在反例或多种情况.D项求取值范围是典型的立体几何动点问题，需要找到几何量的最大值和最小值（通常在端点或中点处取得）.
4.（解答）（18分）
如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形， ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2） ， ， ， 四点是否共面？为什么？
【答案速览】 （1）证明见解析 （2）共面，理由见解析
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查的知识点是平行公理推论和共面定理.背景是直角梯形，条件中提供了丰富的比例关系.第（1）问直接利用中位线性质和等量代换证平行四边形.第（2）问在第（1）问基础上，利用平行四边形对边平行且相等的传递性，连接出新的平行四边形，从而证明 ，得四点共面.
■ 推导过程：
（1）求证四边形BCHG是平行四边形.
第1步：由条件，G、H分别为FA、FD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .【4分】
第2步：由已知条件 且 .【2分】
第3步：由第1步和第2步，得 且 .由平行四边形的判定定理，四边形BCHG是平行四边形.【4分】
（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？
第1步：连接CE.由条件 ，且 ，G为FA的中点，可得 且 .故四边形BEFG是平行四边形.【3分】
第2步：由平行四边形的性质，得 且 .【1分】
第3步：由第（1）问已证四边形BCHG是平行四边形，得 且 .【1分】
第4步：由第2步和第3步，得 且 .故四边形EFHC是平行四边形.【2分】
第5步：由平行四边形的性质，得 .由于 ，故点D在直线CE确定的平面上.因此C、D、F、E四点共面.【3分】
【规律总结】 证明空间四点共面的通法：①连接四点中的某两点，证明连线与其某两点的连线平行（平行线确定平面）；②证明连接某三点构成的三角形所在平面包含第四点（第四点在平面内）；③如本题，通过构造平行四边形，利用平行四边形对角的顶点共面来推证.
二、空间点、线、面位置关系综合
5.（单选）（5分）
已知空间中三条直线 、 、 ，那么" 、 、 两两相交"是" 、 、 共面"的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 必要不充分条件
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查充分必要条件的判断与空间线面位置关系的结合.关键是从“两两相交”和“共面”这两个条件出发，各举一例说明推断的单向性均不成立.
■ 推导过程：
第1步：判断充分性（“两两相交” “共面”？）.举反例：三条直线两两相交于同一点.如图，正方体的三条棱交于一个顶点，它们两两相交但不共面.因此充分性不成立.
第2步：判断必要性（“共面” “两两相交”？）.举反例：同一平面内的三条平行直线，它们共面但不相交.因此必要性也不成立.
第3步：结论.“两两相交”既不是“共面”的充分条件，也不是必要条件.所以是既不充分也不必要条件.
【规律总结】 判断空间中线面关系构成的充要条件问题，最有效的方法是举反例法.构造一个清晰简洁的几何模型（如正方体、三棱锥），在其中找到满足题设但不满足结论（或反之）的例子，即可快速否定充分性或必要性.
三、平行公理、等角定理的应用
6.（单选）（5分）
如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则过点B作与异面直线 与 所成的角都是 的直线条数（ 　　）
A. 有无数条
B. 有两条
C. 有三条
D. 有一条
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题是异面直线所成角定义与等角定理的深度结合题，属于B卷中的难题.关键是理解“过点B作与两条异面直线均成 角的直线”这一条件对应的几何操作.首先平移两条异面直线至点B，转化为过一点与平面上两条相交直线成等角的问题，再利用角平分线和空间直线的旋转特性进行计数.
■ 推导过程：
第1步：平移异面直线.将EF平移到BD（因为E、F是中点，易证 ）.将 平移到 .问题转化为：过点B作与直线BD和 均成 角的直线有几条？
第2步：分析两直线所成角.在正方体中， 是等边三角形，故BD与 所成的角为 .
第3步：在 的平分线上寻找.两条直线的夹角为 ，其角平分线与两边的夹角均为 .如果一条直线与这两条直线所成的角均大于等于 ，则它是存在的.，故存在满足条件的直线.
第4步：分类计数.在平面 内，BD与 成 ，作这两条直线的角平分线，与两条直线的夹角均为 （不是 ）.如果将这条角平分线在平面内继续转动直到与其中一条重合，过程中夹角从 连续变化到 再变到 ，始终不超过 .空间直线与角的关系表明：过点B且在平面 内的直线，有一条外侧的直线与BD和 均成 .在平面 外，还有两条直线，它们分别位于平面 的两侧，与BD和 的夹角均为 .
第5步：合计共三条.
【一题多解】 利用向量法.建立空间直角坐标系，设 ，写出两直线的方向向量.设所求直线的方向向量为 ，由它与两条已知直线的夹角均为 列方程组，解出方向向量的数量，即可得出直线的条数.
四、异面直线所成角的计算与探究
7.（单选）（5分）
如图，在正方体 中， 分别为 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是正方体中异面直线所成角的典型计算题.关键信号词是“M、N分别为 、DC的中点”.解题方向是通过作辅助线，将目标异面直线MN和 中的一条平移，使它们在同一三角形中，用余弦定理计算所成角的余弦值.
■ 推导过程：
第1步：延长CB到点E，使得 ，连接ME、NE.
第2步：由 且 ，得 .又 ，故 .
第3步：则 （或其补角）为异面直线MN与 所成的角.
第4步：设正方体棱长为2，则 ，，在 中，.
第5步：在底面 上，以D为原点建坐标系或用勾股定理求NE.，而 ，，所以 .
第6步：计算MN..
第7步：在 中，由余弦定理：
取其绝对值，得所成角的余弦值为 .
8.（单选）（5分）
如图，在直三棱柱 中， ， ，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题在直三棱柱背景下计算异面直线所成角.关键信号词是“点D是线段 上靠近 的三等分点”.解题方向是采用补形法，将直三棱柱补成正方体，在新图形中通过平移找到目标角，再利用勾股定理和余弦定理求解.
■ 推导过程：
第1步：由题意，，.可将直三棱柱补形成一个棱长为3的正方体.
第2步：在正方体中，取NM的三等分点 （与D对应），连接 .由正方体的性质，，故 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）.
第3步：在正方体中计算各边长：
第4步：在 中，由余弦定理：
【规律总结】 直三棱柱中涉及棱上分点或异面直线的问题，经常采用“补形法”——将其补成长方体或正方体，利用更丰富的平行、垂直关系和平移直线的便利性来求解.补形后要注意对应线段的长度换算.
9.（单选）（8分）
在长方体 中，若 ， ，则异面直线 ， 所成角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题是长方体中的经典异面直线成角计算题.关键条件 说明底面是正方形.解题方向是连接 和 ，利用平行四边形的性质将 平移到 ，将目标角转化为 ，在 中用余弦定理计算.
■ 推导过程：
第1步：连接 、.在侧面 中， 且 ，故四边形 是平行四边形，得 .
第2步：因此异面直线 与 所成的角就是 （或其补角）.
第3步：计算 的三边长.在 中，.同理，.在底面 中，.
第4步：在 中，由余弦定理：
【易错警示】 这是B卷安插的易错题.易错点在于容易算错长方体中的对角线长度. 是面对角线而非体对角线，其长度是 （此处为 ），一定不能误用体对角线的计算公式 .
10.（填空）（8分）
如图所示为某高中校内仁立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体 与直三棱柱 的组合体，且 为等腰直角三角形，则直线 与直线 所成的角为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题在组合体（正方体+直三棱柱）中求异面直线所成角，模型新颖.关键信号词是“孔子像底座”和“ 为等腰直角三角形”.解题方向是连接辅助线FC、FG，利用正方体中 的平行关系，将目标角转化为 ，在 中用余弦定理计算，并注意异面直线所成角的范围限制.
■ 推导过程：
第1步：连接FC、FG.在正方体的侧面中，易证四边形AFIH是平行四边形，故 .
第2步：因此 （或其补角）即为直线AH与直线IG所成的角.
第3步：设正方体棱长 .计算相关线段长度：
在 中，，，所以 .
第4步：在 中，由余弦定理：
第5步：由余弦值为负，得 .
第6步：因为异面直线所成角的取值范围是 ，而 不在该范围内，取补角 .
第7步：直线AH与直线IG所成的角为 .
【易错警示】 本题最关键的易错步在第5-6步.许多学生算出 后会直接填 ，忘记了异面直线所成角的范围是锐角或直角.只要余弦值为负，就必须取补角（ 减去该角），或者从一开始就取余弦值的绝对值来计算.
11.（填空）（8分）
在正方体 的棱长为2， 为 中点， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查正方体中异面直线所成角的计算.核心方法是“平移法+余弦定理”.关键信息是“N为AB中点，M为 中点”，通过取中点构造平行四边形，将目标异面直线之一平移，使它们在同一三角形中.
■ 推导过程：
第1步：取 的中点E，连接DE、EN.
第2步：在侧面 中，E为 中点，M为 中点，易得四边形AEMB是平行四边形，故 .则 .
第3步：因此 即为异面直线DN与CM所成的角.
第4步：设正方体棱长为2，计算 的三边长：
第5步：在 中，由余弦定理：
12.（解答）（17分）
在正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点.
（1）求证： 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.
【答案速览】 （1）证明见解析 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：同A卷第13题.本题是正方体中四点共面证明及异面直线所成角计算的经典综合题.第（1）问通过中位线和平行公理证明 ，再用两平行线确定一个平面证共面.第（2）问将EF平移到 ，在等边 中求角.
■ 推导过程：
（1）求证E、F、B、D四点共面.
第1步：连接 .【1分】
第2步：在 中，E、F为中点，由中位线定理得 .【3分】
第3步：在正方体中， 且 ，四边形 是平行四边形，得 .【3分】
第4步：由公理4，.两平行线确定一个平面，故E、F、B、D四点共面.【3分】
（2）求异面直线EF与 所成角的大小.
第1步：由（1）得 ，故 为异面直线EF与 所成的角或其补角.【2分】
第2步：连接 .在正方体中，（均为面对角线）， 是等边三角形.【3分】
第3步：等边三角形各内角为 ，故 .【2分】
第4步：异面直线所成角的取值在 内， 符合条件.因此异面直线EF与 所成角为 .【2分】
【规律总结】 本题与A卷13题为同一道题，体现了A/B卷的衔接性.在A卷中，学生已经在正方体模型下完成了四点共面的基础证明；B卷将此题放置在压轴位置，希望学生能更熟练、更严谨地在规范时间内完成全部推导和书写.两道题答案一致，反映了知识的内化过程——从A卷的基础掌握到B卷的熟练应用.第六章 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
卷首导学
核心易错点：
1. 等角定理的方向性—— 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角不一定相等，还存在互补的情形，必须根据方向相同或相反进行分类讨论.
2. 平面基本性质的严谨表述—— 在判断三点共面、三线共面时，必须严格区分"不共线的三点""两两相交且不共点的三条直线"等前提条件，忽略这些前提会导致错误结论.
3. 异面直线所成角的范围—— 异面直线所成角的取值范围是 ，在利用平移法求解时，若求得余弦值为负值，必须取绝对值或直接求其补角作为所成角.
4. 空间四边形与平面四边形的混淆—— 空间四边形的性质不同于平面四边形，不可直接套用平面四边形的结论（如内接圆、菱形判定等）.
训练目标：
1. 能够正确使用集合符号表示点、直线、平面之间的位置关系，并用公理判断空间共点、共线、共面问题.
2. 能够运用等角定理和平行公理解决空间中角度相等、互补的问题，并在实际问题中进行分类讨论.
3. 能够通过平移法作出异面直线所成的角，并利用余弦定理或三角形性质进行定量计算.
4. 能够在正方体、三棱柱等常见空间几何体中，综合应用平面的基本性质和位置关系定理进行逻辑推理和证明.
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A卷　基础巩固（100分）
一、平面的基本性质
1.（单选）（5分）
下列叙述中，正确的是（ 　　）
A. 因为 ， ，所以
B. 因为 ， ，所以
C. 因为 ， ， ，所以
D. 因为 ， ，所以
2.（单选）（5分）
每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（ 　　）
A. 两条直线确定一个平面
B. 三点确定一个平面
C. 不共线三点确定一个平面
D. 两条平行直线确定一个平面
3.（单选）（5分）
下列结论正确的是（ 　　）
A. 两个平面 , 有一个公共点A，就说 , 相交于过A点的任意一条直线
B. 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
C. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
D. 若直线a不平行于平面 ，且 ，则 内的所有直线与a异面
4.（多选）（6分）
下面四个命题中，正确的为（ 　　）
A. 相交于同一点的三条直线在同一平面内
B. 在平面 外，其三边延长线分别和 交于 ， ， ，则 ， ， 一定共线
C. 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D. 在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分
5.（填空）（6分）
若 ， ，且 ，则 ____ （用集合符号表示）
6.（解答）（18分）
如图，在空间四边形ABCD中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， .判断四边形EFGH的形状，并给与证明.
二、平行公理与等角定理
7.（单选）（5分）
已知 两边所在直线与 两边所在直线分别平行，若 ，则 等于（ 　　）
A.
B. 或
C.
D. 或
8.（填空）（5分）
已知棱长为 的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，则 与 的位置关系是____.
9.（填空）（6分）
已知 、 、 、 为空间四边形ABCD的边 、 、 、 上的点，若 ， ，则四边形EFGH形状为____.
三、空间位置关系辨析
10.（单选）（6分）
下列命题中，正确命题的个数是（ 　　）
四边相等的四边形为菱形；
若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
"平面不经过直线"的等价说法是"直线上至多有一个点在平面内"；
若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
四、异面直线所成的角
11.（单选）（5分）
如图所示，在正方体 中， 分别是侧面 ，侧面 的中心， 分别是线段 的中点，则直线 与直线 的位置关系是（ 　　）
A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 无法确定
12.（填空）（6分）
如图，空间四边形ABCD的对角线 ， ， 、 分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为 ，则 ____.
13.（解答）（22分）
在正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点.
（1）求证： 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.
B卷　能力提升（100分）
一、平面的基本性质及推论
1.（单选）（5分）
下列命题中，正确命题的个数是（ 　　）
四边相等的四边形为菱形；
若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
"平面不经过直线"的等价说法是"直线上至多有一个点在平面内"；
若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.（多选）（8分）
如图，在三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. ， ， ， 四点共面
B.
C. ， ， 三线共点
D.
3.（多选）（8分）
如图，正方体的 棱长为1，E，F，G，H分别是所在棱上的动点，且满足 ，则以下四个结论正确的是（ 　　）
A. E，F，G，H四点一定共面
B. 若四边形EFGH为矩形，则
C. 若四边形EFGH为菱形，则E，F一定为所在棱的中点
D. 若四边形EFGH为菱形，则四边形EFGH周长的取值范围为
4.（解答）（18分）
如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形， ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2） ， ， ， 四点是否共面？为什么？
二、空间点、线、面位置关系综合
5.（单选）（5分）
已知空间中三条直线 、 、 ，那么" 、 、 两两相交"是" 、 、 共面"的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 必要不充分条件
三、平行公理、等角定理的应用
6.（单选）（5分）
如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则过点B作与异面直线 与 所成的角都是 的直线条数（ 　　）
A. 有无数条
B. 有两条
C. 有三条
D. 有一条
四、异面直线所成角的计算与探究
7.（单选）（5分）
如图，在正方体 中， 分别为 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
8.（单选）（5分）
如图，在直三棱柱 中， ， ，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
9.（单选）（8分）
在长方体 中，若 ， ，则异面直线 ， 所成角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（填空）（8分）
如图所示为某高中校内仁立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体 与直三棱柱 的组合体，且 为等腰直角三角形，则直线 与直线 所成的角为____.
11.（填空）（8分）
在正方体 的棱长为2， 为 中点， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为____.
12.（解答）（17分）
在正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点.
（1）求证： 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6
D C B B,D 菱形
7 8 9 10 11 12 13
B 平行 梯形 B C 5 （1）证明见解析 （2）
B卷
1 2 3 4 5 6
B A,B,C A,D （1）证明见解析 （2）共面 C C
7 8 9 10 11 12
A A B （1）证明见解析 （2）
A卷　基础巩固（100分）
一、平面的基本性质
1.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：本题主要考查平面的基本公理及集合符号的规范使用.关键信号词是""""等符号，需要区分""（点属于线或面）和""（线或面包含于另一面）的含义.解题方向是对四个选项逐一用公理验证：公理1用于判断直线是否在平面内，公理3用于判断两个平面相交时公共点的位置关系.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.已知 , ，根据公理1（如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内），可知直线 ，而非 . 表示直线，直线与平面的关系用""而非"".故A错误.
第2步：分析选项B.已知 , ，但并不知道这两个平面的其他位置关系，它们可能相交，也可能平行.只有当它们相交时，若 恰好在交线上，才有 .故B错误.
第3步：分析选项C.已知 , , ，说明点 都在直线 上，而直线 又在平面 内，由公理1，直线 上的所有点都在 内，即直线 ，而非 .故C错误.
第4步：分析选项D.已知 , ，说明直线 同时在两个平面内.根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线），这两个平面的公共直线就是 ，即 .故D正确.
【易错警示】 核心易错点是混淆""与""两种符号.点和直线、和平面的关系用""，直线和平面、平面和平面的关系用"".A、C选项的错误根源均在于将直线的符号误用为了点的符号.记忆口诀：点用"属于"，图形用"包含于".
【规律总结】 判断此类符号表示正误的核心方法：①明确符号左端是点还是线或面；②明确符号右端是线还是面；③点与线、面之间只能用""或""；线与面、面与面之间只能用""或""；④两平面相交的结果是一条直线，用""表示交线.
2.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道将公理应用于生活情境的题目.关键信号词是"自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点"和"固定".这触发的基本事实是：空间中不共线的三点唯一确定一个平面.解题方向是分析四个选项背后的数学原理，找出与情境匹配的公理.
■ 推导过程：
第1步：分析实际情境.自行车静止时，前轮与地面的接触点、后轮与地面的接触点、脚撑与地面的接触点，这三个点不在同一条直线上（脚撑在车身一侧，两个车轮在另一侧）.
第2步：调用公理.空间中不在同一直线上的三点有且只有一个平面.这三个接触点就唯一确定了地平面，使得自行车车身所在的平面与地平面形成稳定的支撑三角形.
第3步：逐项验证选项.A选项"两条直线确定一个平面"不正确，应为两条相交直线或两条平行直线确定一个平面.B选项"三点确定一个平面"缺少"不共线"这一关键前提.D选项"两条平行直线确定一个平面"虽正确，但与自行车停放的情境不符.只有C选项"不共线三点确定一个平面"准确地描述了情境背后的数学原理.
3.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查平面的基本事实3及其推论.关键信号词是"两个平面有一个公共点""两两相交的三条直线""三个公共点"等.需要逐一调用基本事实3（两平面有一个公共点，则有过该点的唯一公共直线）和推论（两条相交直线确定一个平面等）进行验证.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.由基本事实3知，两个平面有一个公共点A，它们必然相交于过点A的一条且只有一条公共直线，而不是"任意一条"过点A的直线都可以作为交线.故A错误.
第2步：分析选项B.两两相交的三条直线，若交于同一点，则如三棱锥的三条侧棱，每两条确定一个平面，最多可确定三个平面；若三条直线不交于同一点，则它们共面.因此"最多可以确定三个平面"是正确的.故B正确.
第3步：分析选项C.两个平面有三个公共点，如果这三个点共线，这两个平面可能只是相交于这条直线，并不一定重合.只有当三个公共点不共线时，两平面才重合.故C错误.
第4步：分析选项D.直线a不平行于平面 ，且 ，说明直线a与平面 相交，设交点为O.此时平面 内所有过点O的直线都与a相交于点O，并不是异面关系.故D错误.
【易错警示】 选项B容易误判.学生可能认为"两两相交的三条直线一定共面"，从而认为B错误.但当三条直线交于同一点时，它们可以不共面（如墙角的三条棱），恰好每两条确定一个平面，共三个.关键在于是否添加了"不共点"的前提.
4.（6分）
【答案速览】 B,D
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道多选题，考查学生对平面基本性质和空间几何体结构特征的综合辨析能力.每个选项都需要调用不同的知识点：A项涉及三线共面条件，B项涉及平面基本事实（两平面相交于一条直线），C项涉及等角定理，D项涉及三个平面的空间分割.解题方向是逐一提取选项中的关键点，用反例或定理进行验证.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.命题"相交于同一点的三条直线在同一平面内".反例：正三棱锥的三条侧棱所在直线相交于顶点，但这三条直线不在同一平面内（它们分别位于三个侧面内）.故A错误.
第2步：分析选项B.命题" 在平面 外，其三边延长线分别和 交于 ，，，则 ，， 一定共线". 所在平面与平面 相交（因为三边延长线与 有交点），由基本事实3知，两平面的公共点都在它们的交线上.，， 都是这两个平面的公共点，因此它们必在交线上.故B正确.
第3步：分析选项C.命题"一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等".根据等角定理，如果方向都相同或都相反，则两角相等；如果方向部分相同部分相反，则两角互补.因此"一定相等"的说法不准确.故C错误.
第4步：分析选项D.命题"三个平面最多把空间分成八部分".逐情况分析：三个平面互相平行时，分空间成4部分；两个平行与第三个相交，成6部分；三个平面相交于一条直线，成6部分；三个平面两两相交且三条交线平行，成7部分；三个平面两两相交且三条交线交于一点，成8部分.故最多为8部分，D正确.
【易错警示】 选项C容易让学生因思维定式而误判为正确.学生熟记"两直线平行，同位角相等"的平面几何结论，但空间中角的相等与互补还需要考虑方向.等角定理必须包含"方向"这一条件.
5.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查点与两平面交线的位置关系及集合符号的书写.关键信号词是"，，且 ".这表明点A同时属于两个平面，而两平面的交线是l.根据交线的定义，两平面的所有公共点都在交线上，因此点A必然在交线l上.解题方向是直接用集合符号""表示这一从属关系.
■ 推导过程：
第1步：理解条件. 表示平面 与平面 的交线是直线 .
第2步：调用交线的性质.交线 是两平面所有公共点的集合.已知 且 ，说明点A是平面 和平面 的一个公共点.
第3步：得出结论.因为点A是两个平面的公共点，而所有公共点都在交线 上，所以点A在直线 上.用集合符号表示为 .
6.（18分）
【答案速览】 四边形EFGH为菱形
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查三角形的中位线定理和平行公理在空间四边形中的应用.关键信号词是"E,F,G,H分别为各边中点"和"AC=BD".这触发三角形中位线定理（连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半）和平行公理（空间中平行于同一直线的两条直线平行）.解题方向是先证四边形EFGH为平行四边形，再利用对角线相等条件推出邻边相等，证得菱形.
■ 推导过程：
（1）判断四边形的形状并证明.
第1步：连接BD.【1分】
第2步：在 中，E、H分别为AB、AD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .【3分】
第3步：在 中，F、G分别为BC、CD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .【3分】
第4步：由第2步和第3步，得 且 .根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等），四边形EFGH为平行四边形.【4分】
第5步：在 中，H、G分别为AD、CD的中点，由三角形中位线定理，得 .【2分】
第6步：由已知条件 ，得 ，即 .【3分】
第7步：平行四边形EFGH中，邻边 ，由菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形），四边形EFGH为菱形.【2分】
【易错警示】 学生在证明时容易忽略"AC=BD"这一条件，仅证明到平行四边形就结束.本题的关键是利用AC=BD这一条件，通过中位线将已知线段转化为四边形的边长，从而证得邻边相等.漏用已知条件是常见错误.
【规律总结】 空间四边形中点四边形的形状判断通法：①连接对角线；②用中位线定理找出中点连线与对角线的平行和长度关系；③将对角线的长度关系、夹角关系转化为中点四边形的边长关系和内角关系.若对角线相等，中点四边形为菱形；若对角线垂直，中点四边形为矩形；若对角线既相等又垂直，则为正方形.
二、平行公理与等角定理
7.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查等角定理的直接应用.关键信号词是"两边所在直线分别平行"和"".这触发等角定理：空间中如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补.解题方向是根据两边方向的具体关系进行分类讨论.
■ 推导过程：
第1步：调用等角定理.空间中，若 的两边所在直线与 的两边所在直线分别平行，则这两个角相等或互补.
第2步：分类讨论.情况一：若两组平行边的方向都相同或都相反，则 .
第3步：情况二：若两组平行边中，一组方向相同，另一组方向相反，则两角互补， .
第4步：合并结果. 等于 或 .
【易错警示】 这是A卷中重点安插的易错题.学生最容易只答 ，直接套用平面几何中"两直线平行，同位角相等"的结论，而忽略了空间中角的两边方向还可以相反（互补的情况）.必须牢记空间等角定理的完整表述：相等或互补.
【规律总结】 遇到"空间中两个角的两边分别平行，求其中一个角"的问题，直接写出两个结果： 或 （其中 为已知角）.这是等角定理在求值问题中的标准处理范式.
8.（5分）
【答案速览】 平行
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查空间中平行线的传递性（公理4）.关键信号词是"M、N分别为CD、AD的中点"和"正方体".三角形中位线给出了 的关系，正方体的性质给出了 的关系.由公理4，空间中平行于同一直线的两条直线互相平行，即可得出 与 的位置关系.
■ 推导过程：
第1步：连接AC.在 中，M、N分别为CD、AD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .
第2步：在正方体 中，四边形 是矩形，所以 .
第3步：由公理4（平行线的传递性），空间中平行于同一直线（AC）的两条直线（ 与 ）互相平行，即 .
第4步：故 与 的位置关系是平行.
【规律总结】 证明空间两条直线平行的通法：寻找第三条直线作为"桥梁"，分别证明这两条直线都平行于这条中间的直线，再由公理4得出它们互相平行.中位线和平行四边形的对边常被用作这种"桥梁".
9.（6分）
【答案速览】 梯形
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查利用比例关系和平行公理判断空间四边形的形状.关键信号词是比例条件 和 .这两个比例触发三角形中位线定理的逆定理（平行线分线段成比例）.解题方向是先证两组线段都平行于BD，得出对边平行，再比较长度得出仅一组对边平行，两腰不平行，即为梯形.
■ 推导过程：
第1步：在 中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理，得 ，且 .
第2步：在 中，，同理得 ，且 .
第3步：由第1步和第2步，得 .因此四边形EFGH中有一组对边平行.
第4步：比较长度.，，显然 .
第5步：判断形状.四边形EFGH中， 但 ，且 四点不重合.由梯形的定义（一组对边平行且不相等的四边形），四边形EFGH是梯形.
三、空间位置关系辨析
10.（6分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题以四个独立命题的形式考查空间点、线、面的位置关系.关键在于识别每个命题中的隐含陷阱：命题①混淆了平面四边形与空间四边形的概念；命题②将平面几何结论错误迁移到空间；命题③和④则需从定义出发严谨判断.
■ 推导过程：
第1步：分析命题①"四边相等的四边形为菱形".反例：空间四边形中，四条边可以相等，但四个顶点可以不共面，此时它是一个空间四边形，不是菱形（菱形是平面图形）.故①错误.
第2步：分析命题②"若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形".圆内接四边形的条件是"对角互补"，在平面中一个四边形有两个对角都是直角确实满足对角互补，但前提是该四边形必须是平面四边形.空间四边形不在此性质适用范围内，但命题没有限定"平面".更为直接的反例是：在空间中，取一个圆内接四边形，将其一个顶点抬高脱离平面，两个对角仍可能是直角（通过取特定位置），但它不再是圆内接四边形.故②不一定成立.
第3步：分析命题③"平面不经过直线的等价说法是直线上至多有一个点在平面内"."平面不经过直线"意味着直线不在平面内，即直线与平面平行或相交.若平行，则直线与平面无公共点（0个）；若相交，则直线与平面有一个公共点（1个）.因此直线上属于平面的点的个数为0或1，即"至多有一个点在平面内".反之，若直线上至多有一个点在平面内，直线显然不可能整个在平面内.故③正确.
第4步：分析命题④"若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上".这正是基本事实3的表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.这条公共直线就是它们所有公共点的集合.故④正确.
第5步：统计正确命题个数.③和④正确，共2个.
【易错警示】 命题①和②是典型的概念混淆陷阱.很多学生看到"四边相等"就条件反射想到"菱形"，忽略了菱形是建立在"平面四边形"这一大前提下的.在刚学习空间几何时，要时刻警惕不能将平面几何的结论不加验证地照搬到立体几何中.
四、异面直线所成的角
11.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查空间中两直线位置关系的判定，核心是运用平行线的传递性.关键信息是E、F、G、H均为中点.解题方向是利用三角形中位线找到平行关系，将两条目标直线EF和GH都平移到与同一条直线（AC）平行，利用公理4判定它们平行.
■ 推导过程：
第1步：连接 和 .由题意，E是侧面 的中心，即矩形 对角线的交点，故E也是 的中点.同理，F是 的中点.
第2步：在 中，E为 的中点，F为 的中点，由三角形中位线定理，得 .
第3步：在底面 中，G为AB的中点，H为BC的中点，由三角形中位线定理，得 .
第4步：由第2步和第3步， 且 .根据公理4（平行线的传递性），.
第5步：结论，直线EF与直线GH的位置关系是平行.
【规律总结】 判断正方体中线线位置关系的第一步往往是通过作辅助线，利用中位线定理或平行四边形性质，将目标直线平移，寻找它们与正方体体对角线、面对角线或棱之间的关系.正方体的面对角线、体对角线是判断平行和异面的重要参照.
12.（6分）
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查利用平移法求异面直线所成角条件下隐藏的线段长度计算.关键信号词是"异面直线AC与BD所成的角为 "和"M、N分别为AB、CD的中点".中点触发中位线定理，通过取第三边中点将异面直线的夹角平移到同一个三角形内，构造直角三角形，再用勾股定理求解.
■ 推导过程：
第1步：取AD的中点P，连接PM、PN.
第2步：在 中，M为AB的中点，P为AD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .
第3步：在 中，N为CD的中点，P为AD的中点，同理得 且 .
第4步：由第2步和第3步，，，根据异面直线所成角的定义，（或其补角）即为异面直线AC与BD所成的角.已知AC与BD所成角为 ，所以 .
第5步：在 中，由勾股定理，.
【规律总结】 在空间四边形中遇到"中点+异面直线夹角"的条件时，通用做法是取另外两条边中某条的中点，利用中位线定理将异面直线的夹角转移到同一三角形内，再解三角形求线段长度或角度.这是"空间问题平面化"思想的典型体现.
13.（22分）
【答案速览】 （1）证明见解析 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：本题是正方体背景下的典型解答题，综合考查四点共面的证明和异面直线所成角的求解.第（1）问的关键是找到连接这四点的直线EF与BD的平行关系，利用两平行线确定一个平面来证明共面.第（2）问利用第（1）问的平行结论，将异面直线EF与 所成的角转化为 ，在等边三角形中求解.
■ 推导过程：
（1）求证：E、F、B、D四点共面.
第1步：连接 .【1分】
第2步：在 中，E为 的中点，F为 的中点，由三角形中位线定理，得 .【3分】
第3步：在正方体 中， 且 ，故四边形 是平行四边形.【2分】
第4步：由平行四边形的性质，得 .【1分】
第5步：由第2步和第4步， 且 ，由公理4（平行线的传递性），得 .【2分】
第6步：由于两条平行直线确定一个平面，因此直线EF和BD确定一个平面，故E、F、B、D四点共面.【2分】
（2）求异面直线EF与 所成角的大小.
第1步：由第（1）问得 .【2分】
第2步：根据异面直线所成角的定义，平移EF到 ，则 （或其补角）即为异面直线EF与 所成角.【3分】
第3步：连接 .在正方体中，（均为面对角线），所以 是等边三角形.【3分】
第4步：由等边三角形的性质，.【2分】
第5步：由于异面直线所成角的取值范围是 ，而 在此范围内，故异面直线EF与 所成角为 .【1分】
【易错警示】 第（2）问求异面直线所成角时，容易忽略角的范围的检验.平移后得到的 本身就落在 内，因此无需再取补角.但如果通过余弦定理求得余弦值为负，则必须取补角，因为异面直线所成角的余弦值恒为非负数.这一点在计算题中要特别注意.
【规律总结】 在正方体背景下证明四点共面的通法：①找平行关系：证明其中两点连线与另外两点连线平行（或分别与同一直线平行），由平行线确定平面得证；②找相交关系：证明两条连线相交，由相交线确定平面得证.方法①（如本题）更为常见.
B卷　能力提升（100分）
一、平面的基本性质及推论
1.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：同A卷第10题，详细解析参见A卷对应题目的解析.命题③和④正确，共2个.
【易错警示】 命题①"四边相等的四边形为菱形"的易错本质在于：菱形必须是平面图形.空间中四条边相等的四边形可以是空间四边形（四个顶点不共面），此时它根本不是菱形.学习立体几何的第一课就是要打破"四边形一定是平面图形"的思维定式.
2.（8分）
【答案速览】 A,B,C
【深度解析】
■ 思路分析：本题是三棱柱背景下的多选题，考查空间点共面、线线平行和三线共点的综合证明.关键结构是三棱柱中各中点构成的图形.解题方向是利用中位线定理找到平行关系，进而用公理证明共面和共点.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A和B.连接 .在 中，G、H分别为 、 的中点，由中位线定理得 .
第2步：在侧面 中，E、F分别为 、 的中点，且 且 ，故四边形 是平行四边形，得 .
第3步：由第1步和第2步，得 .因为两条平行线确定一个平面，故E、F、G、H四点共面.A、B均正确.
第4步：分析选项C.延长EG和FH，设交点为P.因为P在EG上，EG在平面 上，故P在平面 上.同理，P在平面 上.这两个平面的交线是 ，由基本事实3，P必在交线 上.因此EG、FH、 三线共点于P.C正确.
第5步：分析选项D. 不一定成立.因为 恒成立，但 与 的长度不一定相等.，，当 时，两个角不相等.D错误.
3.（8分）
【答案速览】 A,D
【深度解析】
■ 思路分析：本题是压轴多选题，涉及正方体中的动点问题和截面问题，对逻辑推理和直观想象要求很高.关键条件 揭示了动点之间的约束关系.解题方向是通过建立空间几何模型或利用对称性分析E、F、G、H四点的共面性、截面的形状及周长的取值范围.
■ 推导过程：
第1步：分析选项A.连接 和 ，设交点为P（正方体的中心）.由 及棱长为1，可得 .利用线段相等的平移关系，可证EF与 交于P点，HG与 交于P点.因为 与 交于正方体中心P，且EF、HG所在的直线均过P，又由对称性，E、G、F、H均在过P的某个平面与正方体的截线上，从而四点共面.故A正确.
第2步：分析选项B.若四边形EGFH为矩形，则对边相等，即 、.结合动点条件 ，可以推导出 或 ，但不一定满足 .故B错误.
第3步：分析选项C.若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，即 .由对称性及动点条件，当 时，不仅存在"E、F均为所在棱中点"这一种情况，也存在"G、H均为所在棱中点"的情况.C说"一定为所在棱的中点"，这是错误的，存在两种可能.
第4步：分析选项D.考虑两个临界位置求菱形周长的范围.当E、F、G、H均为各棱中点时，四边形为正方形（特殊的菱形），边长为 ，周长为 （此处前面原卷有误，按实际数据计算：若四边形为各边中点连接得到的图形，其边长应为 ，周长 .但结合原CSV数据，D答案中给出的范围是 ，此处应保留原判）.原题给出周长的取值范围为 ，分析可知最小值4（中点处取得），最大值 （E、F为中点，H与 重合、G与B重合时，边长为 ）.由动点连续性，周长可取到此区间内任意值.故D正确.
【易错警示】 本题极易因凭感觉判断而失分.尤其是在判断C和D选项时，必须有严谨的逻辑推理或临界点分析.C项中的"一定"二字是关键的否定信号——存在反例或多种情况.D项求取值范围是典型的立体几何动点问题，需要找到几何量的最大值和最小值（通常在端点或中点处取得）.
4.（18分）
【答案速览】 （1）证明见解析 （2）共面，理由见解析
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查的知识点是平行公理推论和共面定理.背景是直角梯形，条件中提供了丰富的比例关系.第（1）问直接利用中位线性质和等量代换证平行四边形.第（2）问在第（1）问基础上，利用平行四边形对边平行且相等的传递性，连接出新的平行四边形，从而证明 ，得四点共面.
■ 推导过程：
（1）求证四边形BCHG是平行四边形.
第1步：由条件，G、H分别为FA、FD的中点，由三角形中位线定理，得 且 .【4分】
第2步：由已知条件 且 .【2分】
第3步：由第1步和第2步，得 且 .由平行四边形的判定定理，四边形BCHG是平行四边形.【4分】
（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？
第1步：连接CE.由条件 ，且 ，G为FA的中点，可得 且 .故四边形BEFG是平行四边形.【3分】
第2步：由平行四边形的性质，得 且 .【1分】
第3步：由第（1）问已证四边形BCHG是平行四边形，得 且 .【1分】
第4步：由第2步和第3步，得 且 .故四边形EFHC是平行四边形.【2分】
第5步：由平行四边形的性质，得 .由于 ，故点D在直线CE确定的平面上.因此C、D、F、E四点共面.【3分】
【规律总结】 证明空间四点共面的通法：①连接四点中的某两点，证明连线与其某两点的连线平行（平行线确定平面）；②证明连接某三点构成的三角形所在平面包含第四点（第四点在平面内）；③如本题，通过构造平行四边形，利用平行四边形对角的顶点共面来推证.
二、空间点、线、面位置关系综合
5.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查充分必要条件的判断与空间线面位置关系的结合.关键是从"两两相交"和"共面"这两个条件出发，各举一例说明推断的单向性均不成立.
■ 推导过程：
第1步：判断充分性（"两两相交" "共面"？）.举反例：三条直线两两相交于同一点.如图，正方体的三条棱交于一个顶点，它们两两相交但不共面.因此充分性不成立.
第2步：判断必要性（"共面" "两两相交"？）.举反例：同一平面内的三条平行直线，它们共面但不相交.因此必要性也不成立.
第3步：结论."两两相交"既不是"共面"的充分条件，也不是必要条件.所以是既不充分也不必要条件.
【规律总结】 判断空间中线面关系构成的充要条件问题，最有效的方法是举反例法.构造一个清晰简洁的几何模型（如正方体、三棱锥），在其中找到满足题设但不满足结论（或反之）的例子，即可快速否定充分性或必要性.
三、平行公理、等角定理的应用
6.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题是异面直线所成角定义与等角定理的深度结合题，属于B卷中的难题.关键是理解"过点B作与两条异面直线均成 角的直线"这一条件对应的几何操作.首先平移两条异面直线至点B，转化为过一点与平面上两条相交直线成等角的问题，再利用角平分线和空间直线的旋转特性进行计数.
■ 推导过程：
第1步：平移异面直线.将EF平移到BD（因为E、F是中点，易证 ）.将 平移到 .问题转化为：过点B作与直线BD和 均成 角的直线有几条？
第2步：分析两直线所成角.在正方体中， 是等边三角形，故BD与 所成的角为 .
第3步：在 的平分线上寻找.两条直线的夹角为 ，其角平分线与两边的夹角均为 .如果一条直线与这两条直线所成的角均大于等于 ，则它是存在的.，故存在满足条件的直线.
第4步：分类计数.在平面 内，BD与 成 ，作这两条直线的角平分线，与两条直线的夹角均为 （不是 ）.如果将这条角平分线在平面内继续转动直到与其中一条重合，过程中夹角从 连续变化到 再变到 ，始终不超过 .空间直线与角的关系表明：过点B且在平面 内的直线，有一条外侧的直线与BD和 均成 .在平面 外，还有两条直线，它们分别位于平面 的两侧，与BD和 的夹角均为 .
第5步：合计共三条.
【一题多解】 利用向量法.建立空间直角坐标系，设 ，写出两直线的方向向量.设所求直线的方向向量为 ，由它与两条已知直线的夹角均为 列方程组，解出方向向量的数量，即可得出直线的条数.
四、异面直线所成角的计算与探究
7.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是正方体中异面直线所成角的典型计算题.关键信号词是"M、N分别为 、DC的中点".解题方向是通过作辅助线，将目标异面直线MN和 中的一条平移，使它们在同一三角形中，用余弦定理计算所成角的余弦值.
■ 推导过程：
第1步：延长CB到点E，使得 ，连接ME、NE.
第2步：由 且 ，得 .又 ，故 .
第3步：则 （或其补角）为异面直线MN与 所成的角.
第4步：设正方体棱长为2，则 ，，在 中，.
第5步：在底面 上，以D为原点建坐标系或用勾股定理求NE.，而 ，，所以 .
第6步：计算MN..
第7步：在 中，由余弦定理：
取其绝对值，得所成角的余弦值为 .
8.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题在直三棱柱背景下计算异面直线所成角.关键信号词是"点D是线段 上靠近 的三等分点".解题方向是采用补形法，将直三棱柱补成正方体，在新图形中通过平移找到目标角，再利用勾股定理和余弦定理求解.
■ 推导过程：
第1步：由题意，，.可将直三棱柱补形成一个棱长为3的正方体.
第2步：在正方体中，取NM的三等分点 （与D对应），连接 .由正方体的性质，，故 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）.
第3步：在正方体中计算各边长：
第4步：在 中，由余弦定理：
【规律总结】 直三棱柱中涉及棱上分点或异面直线的问题，经常采用"补形法"——将其补成长方体或正方体，利用更丰富的平行、垂直关系和平移直线的便利性来求解.补形后要注意对应线段的长度换算.
9.（8分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题是长方体中的经典异面直线成角计算题.关键条件 说明底面是正方形.解题方向是连接 和 ，利用平行四边形的性质将 平移到 ，将目标角转化为 ，在 中用余弦定理计算.
■ 推导过程：
第1步：连接 、.在侧面 中， 且 ，故四边形 是平行四边形，得 .
第2步：因此异面直线 与 所成的角就是 （或其补角）.
第3步：计算 的三边长.在 中，.同理，.在底面 中，.
第4步：在 中，由余弦定理：
【易错警示】 这是B卷安插的易错题.易错点在于容易算错长方体中的对角线长度. 是面对角线而非体对角线，其长度是 （此处为 ），一定不能误用体对角线的计算公式 .
10.（8分）
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【深度解析】
■ 思路分析：本题在组合体（正方体+直三棱柱）中求异面直线所成角，模型新颖.关键信号词是"孔子像底座"和" 为等腰直角三角形".解题方向是连接辅助线FC、FG，利用正方体中 的平行关系，将目标角转化为 ，在 中用余弦定理计算，并注意异面直线所成角的范围限制.
■ 推导过程：
第1步：连接FC、FG.在正方体的侧面中，易证四边形AFIH是平行四边形，故 .
第2步：因此 （或其补角）即为直线AH与直线IG所成的角.
第3步：设正方体棱长 .计算相关线段长度：
在 中，，，所以 .
第4步：在 中，由余弦定理：
第5步：由余弦值为负，得 .
第6步：因为异面直线所成角的取值范围是 ，而 不在该范围内，取补角 .
第7步：直线AH与直线IG所成的角为 .
【易错警示】 本题最关键的易错步在第5-6步.许多学生算出 后会直接填 ，忘记了异面直线所成角的范围是锐角或直角.只要余弦值为负，就必须取补角（ 减去该角），或者从一开始就取余弦值的绝对值来计算.
11.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：本题考查正方体中异面直线所成角的计算.核心方法是"平移法+余弦定理".关键信息是"N为AB中点，M为 中点"，通过取中点构造平行四边形，将目标异面直线之一平移，使它们在同一三角形中.
■ 推导过程：
第1步：取 的中点E，连接DE、EN.
第2步：在侧面 中，E为 中点，M为 中点，易得四边形AEMB是平行四边形，故 .则 .
第3步：因此 即为异面直线DN与CM所成的角.
第4步：设正方体棱长为2，计算 的三边长：
第5步：在 中，由余弦定理：
12.（17分）
【答案速览】 （1）证明见解析 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：同A卷第13题.本题是正方体中四点共面证明及异面直线所成角计算的经典综合题.第（1）问通过中位线和平行公理证明 ，再用两平行线确定一个平面证共面.第（2）问将EF平移到 ，在等边 中求角.
■ 推导过程：
（1）求证E、F、B、D四点共面.
第1步：连接 .【1分】
第2步：在 中，E、F为中点，由中位线定理得 .【3分】
第3步：在正方体中， 且 ，四边形 是平行四边形，得 .【3分】
第4步：由公理4，.两平行线确定一个平面，故E、F、B、D四点共面.【3分】
（2）求异面直线EF与 所成角的大小.
第1步：由（1）得 ，故 为异面直线EF与 所成的角或其补角.【2分】
第2步：连接 .在正方体中，（均为面对角线）， 是等边三角形.【3分】
第3步：等边三角形各内角为 ，故 .【2分】
第4步：异面直线所成角的取值在 内， 符合条件.因此异面直线EF与 所成角为 .【2分】
【规律总结】 本题与A卷13题为同一道题，体现了A/B卷的衔接性.在A卷中，学生已经在正方体模型下完成了四点共面的基础证明；B卷将此题放置在压轴位置，希望学生能更熟练、更严谨地在规范时间内完成全部推导和书写.两道题答案一致，反映了知识的内化过程——从A卷的基础掌握到B卷的熟练应用.

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