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第六章 4.1 直线与平面平行 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 误认为线面平行则线平行于面内任意直线——线面平行的性质定理只能得出该线与过该线的平面与已知平面的交线平行，并非面内所有直线.
2. 判定定理条件遗漏——判定线面平行需同时满足“线在面外、线在面内、线线平行”三个条件，缺一不可.
3. 混淆判定定理与性质定理的使用场景——判定定理用于证线面平行，性质定理用于由线面平行得线线平行，证明时不可混淆方向.
4. 几何图形中点、线位置关系误判——在复杂图形中，易将异面直线误判为平行，或将线误判在平面内，需紧扣公理与定理严格推证.
训练目标：
1. 能够准确辨析线面平行的定义、判定定理和性质定理的条件与结论，识别真伪命题.
2. 能够在具体几何体中正确运用三角形中位线、平行四边形的性质等构造平行关系，规范书写线面平行的证明过程.
3. 能够利用线面平行的性质定理，推导出线线平行，并结合比例关系、三角形重心等知识求解线段比值或长度.
4. 能够在较复杂情境中（如动点轨迹、存在性探究）综合运用判定与性质定理，分析动点位置及几何量的最值.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6
D D A A B，D
7 8 9 10 11 12
证明见解析 B 平行； 证明见解析
一、直线与平面平行的定义辨析
1.（单选）（6分）
下列命题中，正确的是（ 　　）
A.若直线a与平面α平行，则a平行于α内的任何直线
B.若两直线a，b都与平面α平行，则a b
C.若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则a b
D.若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与l平行
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目问的是空间中直线与平面平行的正确命题.看到“直线a与平面α平行”这个条件，应联想到线面平行的定义（直线与平面无公共点）和相关性质（线面平行则线平行于过线的面与已知面的交线）.解题方向是用线面平行的定义和性质，结合反例法，逐一检验选项，排除错误命题.
■ 推导过程：
第1步：对于选项A，若直线a与平面α平行，根据线面平行性质，a可平行于α内过a的平面与α的交线，但a可能与α内其他直线异面（无公共点也不平行），不一定平行于任何直线.故A错误.
第2步：对于选项B，两直线a，b都与平面α平行，可以在α外不同位置，它们可以平行、相交或异面.故B错误.
第3步：对于选项C，若a α，b在α内，则a与b可能异面.b不一定是交线，所以a不一定平行于b.故C错误.
第4步：对于选项D，若l α，在α内存在一条直线m与l平行（线面平行性质定理），而平面内与m平行的直线有无数条（平行线的传递性），这些直线都与l平行.故D正确.答案为D.
【易错警示】
学生易误选A，认为“线面平行则线平行于面内所有直线”，这是将线面平行与线线平行的概念混淆.线面平行只保证线与面内“某一方向”的直线平行，不保证与所有直线平行.避免错误的办法是牢记线面平行性质定理的准确表述：若a α，a在β内，α∩β=l，则a l.
【规律总结】
判断空间中平行关系的命题正误，常用“反例法”：构造一个符合条件但结论不成立的例子（如正方体或长方体中的特例），即可否定全称命题.
2.（单选）（6分）
下列命题一定正确的是（ 　　）
A.一条直线和一个点确定一个平面
B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D.若直线 与平面 平行，则直线 与平面 内任意一条直线都没有公共点
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
看到四个选项分别考查平面的确定、线面平行的性质、线线垂直与平行的关系，需要调用平面的基本性质（不共线三点确定一个平面）、线面平行的定义（无公共点）.解题方向是逐一用反例法或直接依据定义判断.
■ 推导过程：
第1步：对于A，一条直线和该直线外一点确定一个平面，若点在直线上则不能确定唯一平面.故A错误.
第2步：对于B，两条平行线中的一条平行于一个平面，另一条可能与平面平行，也可能在平面内.故B错误.
第3步：对于C，空间中垂直于同一条直线的两条直线，它们的位置关系可以是平行、相交或异面.故C错误.
第4步：对于D，若l α，由线面平行定义，l与α无公共点，则l与α内任意一条直线都没有公共点.故D正确.答案为D.
【易错警示】
学生易误判B：习惯将平面几何的结论（平行于同一直线的两直线平行）直接迁移到立体几何中，忽略了线与面的包含关系.空间中的平行关系必须考虑线与面的相对位置.
3.（单选）（6分）
已知l、m是不重合的两条直线， 、 是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ 　　）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ，则
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出了涉及面面交线、线面平行、线面垂直的符号命题，看到“l m”且m在面α内，想到线面平行的判定定理：若面外一直线平行于面内一直线，则该线与面平行.解题方向是严格依据定理的条件与结论逐一判断.
■ 推导过程：
第1步：对于A，由α∩β=l，知l在β内；由m α，l m，知m不交β（因m平行于β内的l且m不在β内），满足线面平行判定条件，故m β.A正确.
第2步：对于B，l α，m β，α β，则l与m无公共点，但可能平行也可能异面，不一定平行.B错误.
第3步：对于C，α∩β=l，m α，m⊥l，这只说明m垂直于交线，不能推出α⊥β（面面垂直的判定需线面垂直）.C错误.
第4步：对于D，l⊥m，m α，l可以在α内，可以与α斜交，无法推出l⊥α.D错误.答案为A.
二、线面平行判定定理的简单应用
4.（填空）（8分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 上的动点，当 ____ 时， 平面 .
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
条件是四棱锥底面为平行四边形，E是PC上的动点，要求当PA 平面BDE时PE与PC的比值.看到“PA 平面BDE”，应想到线面平行性质定理：若PA平行于平面BDE，又PA在平面PAC内，且平面PAC∩平面BDE=OE（O为AC中点），则PA OE.由此将线面平行转化为线线平行，利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过中位线逆推，得到E为PC中点，从而求出比值.
■ 推导过程：
第1步：设AC∩BD = O，因为底面ABCD是平行四边形，对角线互相平分，所以O是AC的中点.
第2步：若PA 平面BDE，且PA 平面PAC，平面PAC∩平面BDE = OE，根据线面平行性质定理，得PA OE.
第3步：在△PAC中，O是AC的中点，且OE PA，由三角形中位线逆定理，得E是PC的中点，即PE = EC.
第4步：因此PE = PC.故当PE = PC时，PA 平面BDE.答案为.
【规律总结】
“中点找中点”是立体几何平行证明的常用策略.当遇到“过某点证平行”的问题时，可优先考虑构造以该点为中位线的三角形.
5.（单选）（6分）
若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（ 　　）
A.平行
B.相交
C.AC在此平面内
D.平行或相交
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
看到三条线段不在同一平面内，过它们的中点作平面，求证该平面与第四条线段的位置关系.中点条件强烈暗示三角形中位线定理.解题方向是构造多个三角形，利用中位线得到线线平行，再通过线面平行判定定理得出结论.
■ 推导过程：
第1步：设AB，BC，CD的中点分别为E，F，G，H，它们确定一个平面（记为α）.连接EF.
第2步：在△ABC中，E是AB中点，F是BC中点，由三角形中位线定理得EF AC.
第3步：EF在平面α内，AC在平面α外，且EF AC，根据线面平行判定定理，得AC 平面α.故选A.
6.（多选）（6分）
已知 是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，在下列说法正确的是（ 　　）
A.若l α，α β，则l β
B.若α β，m α，则m β
C.若l α，m α，则l m
D.若α β = l，m l，则m至少与α，β中一个平行
【答案速览】 B，D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目考查面面平行、线面平行条件下的线线、线面关系.需要调用面面平行的定义（两平面无公共点，则一平面内的任意直线都平行于另一平面）和线面平行的判定与性质.解题方向是结合图形（可借助正方体模型）逐一判断，用反例法排除错误选项.
■ 推导过程：
第1步：对于A，若l α，α β，则l可能在β内.如正方体中，上底面内的一条线平行于下底面，但它不一定平行于前面.故A错误.
第2步：对于B，若α β，m α，由面面平行定义，m与β无公共点，故m β.B正确.
第3步：对于C，l α，m α，则l与m可能平行、相交或异面.如正方体上底面的两条相交线都与下底面平行.C错误.
第4步：对于D，α∩β=l，m l，若m不在α内，则m α；若m不在β内，则m β；若m同时含于α和β，则m与l重合，不矛盾.故m至少与α，β中一个平行.D正确.答案为B，D.
【易错警示】
学生易认为“两个平面平行，分别在两平面内的两条直线一定平行”，忽略了异面的可能.避免此错误的关键是牢记面面平行只保证无公共点，不保证所有线都同向.
【规律总结】
对于空间位置关系的多选题，可心中构建正方体模型，将符号语言转为图形语言，逐一举反例验证.
7.（解答）（10分）
如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
（1）求证：PA 平面BDE；
（2）求证：F为PD的中点.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问证PA 平面BDE，条件有“底面为平行四边形”“E为PC中点”，这些是中点找中位线的强烈信号.应连接底面矩形的对角线交点（中点），构造△PAC的中位线GE，从而得到PA GE，用线面平行判定定理完成证明.
第（2）问由平面ABE与棱PD交于点F，证F为PD中点.条件提示使用线面平行的性质：由AB CD得出CD 平面ABE，再由平面ABE∩平面PDC=EF，在△PDC中利用性质得到EF CD，结合E为PC中点，逆推得F为PD中点.
■ 推导过程：
第1步（1）：连接AC交BD于点G，连接GE.因为四边形ABCD为平行四边形，所以G为AC的中点.又E为PC的中点，所以在△PAC中，由三角形中位线定理，得GE PA.【3分】
第2步（1）：因为PA 平面BDE，GE 平面BDE，且PA GE，根据线面平行判定定理，得PA 平面BDE.【2分】
第3步（2）：因为底面ABCD为平行四边形，所以AB CD.又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，根据线面平行判定定理，得CD 平面ABEF.【2分】
第4步（2）：已知平面ABEF∩平面PDC=EF，且CD 平面PDC，CD 平面ABEF，根据线面平行性质定理，得CD EF.【2分】
第5步（2）：在△PDC中，E为PC的中点，且EF CD，由三角形中位线逆定理，得F为PD的中点.【1分】
8.（解答）（12分）
如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面正方形 内一点（含边界），若 平面 ，求线段 长度的取值范围.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出正方体中点E，F为中点，P为侧面BCC B 内一点，满足FP 平面AEC.核心难点是确定P的轨迹.观察条件可知，若将平面AEC平移，可得与其平行的平面BFG（G为B C 中点），则线面平行转化为面面平行，P的轨迹即平面BFG与侧面BCC B 的交线段BG.求出线段BG的端点到F的距离，结合点到线段的距离计算最值，即可得FP长度的取值范围.
■ 推导过程：
第1步：取B C 的中点G，连接FG，BG，FB.在正方体中，易证AC FG，AE BG，且AC∩AE=A，FG∩BG=G，故平面AEC 平面BFG.
第2步：因为FP 平面AEC，且P在侧面BCC B 内（含边界），由面面平行性质，得点P在线段BG上运动.【3分】
第3步：在等腰△BFG中，FB=BG=，FG=.作BH⊥FG于H，由勾股定理得BH=.
第4步：设点F到线段BG的距离为d，由等面积法，，解得 .这是FP的最小值.【4分】
第5步：当P与B或G重合时，FP取最大值.故FP长度的取值范围是.【5分】
【易错警示】
学生容易忽视“P在边界上”这一条件，或误求最值时直接用端点距离而漏掉垂直距离的计算.求点到线段的最短距离，应先判断垂足是否落在线段内，此处由对称性可知垂足在中点.
【规律总结】
解决“满足线面平行的动点轨迹”问题，核心技巧是“面面平行法”：找到或构造一个与已知平面平行的平面，则动点轨迹为该平行平面与已知面的交线段.
三、线面平行性质定理的简单应用
9.（单选）（6分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN 平面PAD，则（ 　　）
A.MN PD
B.MN PA
C.MN AD
D.以上均有可能
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
条件是两点M，N分别在AC，PC上，且MN 平面PAD.看到线面平行，应立刻想到线面平行性质定理：过MN的平面（此处为平面PAC）与平面PAD的交线，必定与MN平行.因此关键是确定平面PAC与平面PAD的交线是哪条.平面PAC与平面PAD共享点P和A，故交线为PA.由性质定理直接得出MN PA.
■ 推导过程：
第1步：M在AC上，N在PC上，故MN 平面PAC.
第2步：又MN 平面PAD，由线面平行性质定理，MN平行于平面PAC与平面PAD的交线.
第3步：平面PAC∩平面PAD=PA.故MN PA.答案为B.
【规律总结】
“线面平行找交线”是性质定理应用的核心口诀：若直线l 平面α，要证l m，只需找到过l的平面β与α的交线，即为m.
10.（填空）（8分）
如图， 是棱长为1正方体 的棱 上的一点，且 平面 ， 为 的中点，则 与 的位置关系为____；线段 的长度为____.
【答案速览】 平行；
【深度解析】
■ 思路分析：
第一空问OE与BD 的位置关系，条件是BD 平面B CE.BD 与平面B CE的关系暗示使用线面平行的性质定理.连接BC 交B C于O（因正方体侧面为正方形，对角线交点即中点），则O既是BD 所在三角形的一边中点，又是所求直线OE的端点.利用性质定理可得BD OE.第二空求CE长度，由OE为中位线得出E是D C 中点，再用勾股定理在直角△ECC 中计算.
■ 推导过程：
第1步：连接BC ，交B C于点O.因为ABCD-A B C D 为正方体，侧面BCC B 为正方形，对角线互相平分，所以O为BC 的中点.
第2步：已知BD 平面B CE，BD 平面D BC ，平面D BC ∩平面B CE=OE.根据线面平行性质定理，得BD OE.
第3步：在△D BC 中，O为BC 中点，且OE BD ，由三角形中位线逆定理，得E为D C 的中点.
第4步：在Rt△ECC 中，CC =1，EC = D C = ，由勾股定理得CE=.
11.（解答）（10分）
如图，四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点.
（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证： 平面PAB；
（2）若 平面AEC，求证：E是PD中点.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问看到中点条件，自然想到构造平行四边形.取PA中点G，连接EG，可证四边形BFEG为平行四边形，从而通过线线平行证线面平行.
第（2）问是已知PB 平面AEC，要证E为PD中点.将PB和平面AEC的条件结合，利用线面平行性质定理得PB EH，再由平行四边形对角线性质得H为BD中点，最后用中位线逆定理证E为PD中点.
■ 推导过程：
第1步（1）：取PA中点G，连接BG，EG.在△PAD中，E，G分别为PD，PA的中点，由中位线定理得EG AD，且EG= AD.【2分】
第2步（1）：在 ABCD中，F为BC中点，且AD BC，AD=BC，得BF AD，且BF= AD.所以EG BF且EG=BF，四边形BFEG是平行四边形，得EF BG.【2分】
第3步（1）：EF 平面PAB，BG 平面PAB，由线面平行判定定理得EF 平面PAB.【1分】
第4步（2）：连接BD，交AC于H，连接EH.因为四边形ABCD是平行四边形，所以H为BD中点.
第5步（2）：PB 平面ACE，PB 平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EH，根据线面平行性质定理得PB EH.【2分】
第6步（2）：在△PBD中，H为BD中点，且EH PB，由中位线逆定理得E为PD中点.【3分】
四、线面平行与动点轨迹问题
12.（填空）（10分）
如图，在棱长为3的正方体 中， 在线段 上，且 ， 是侧面 上一点，且 平面 ，则线段 的最大值为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是正方体中满足线面平行的动点最值问题.条件给出固定比例点M和动点N在侧面CDD C 上，满足MN 平面A BD.解决此类问题的关键是通过构造与已知平面平行的平面来确定动点N的轨迹.在CD上取CE= CD，在DD 上取D F= DD ，连接ME，EF，可证平面MEF 平面A BD，从而动点N的轨迹即为线段EF，线段MN的最大值即为MF.利用坐标系或勾股定理计算MF的长度即可.
■ 推导过程：
第1步：在线段CD上取一点E，使得CE= CD，在线段DD 上取一点F，使得D F= DD ，连接ME，EF，CD .
第2步：因为，所以ME BD，EF CD .又A B CD ，所以EF A B.
第3步：因为ME 平面A BD，BD 平面A BD，且ME BD，所以ME 平面A BD.同理EF 平面A BD.
第4步：又ME∩EF = E，所以平面MEF 平面A BD.因为N在侧面CDD C 上，且MN 平面A BD，所以N的轨迹为线段EF.
第5步：计算ME=，MF=.所以线段MN的最大值为.
B卷　能力提升（100分）
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D A，D B，C （1）见解析；（2）1 B
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B，C，D （1）（2）见解析；（3）存在， A，C，D （1）见解析；（2）；（3） （1）见解析；（2）；（3）
一、空间中平行关系的综合辨析
1.（单选）（6分）
已知 ， ， 是空间中不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A.若 ，则
B.若 与 异面，则至多有一条 与 ， 都垂直
C.若 ，则 一定平行于 和
D.若 ， ， ，则存在 同时垂直 ，
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目涉及空间中直线与平面的垂直和平行关系.这类题目可通过正方体模型，为每个选项的命题举反例来逐一验证.关键在于辨识命题中的条件和结论，看是否存在反例.
■ 推导过程：
第1步：对于A，在正方体ABCD-A B C D 中，令a=AB，b=BB ，c=CC ，满足a⊥b，b⊥c，但a c（AB C D ），故此推论不必然为垂直，且可能平行.故A错误.
第2步：对于B，令a=AB，b=A D 两直线异面，与它们都垂直的直线可以是所有与面ABB A 和面ADD A 垂直的直线，如BC，B C ，AD，A D 等，不止一条.故B错误.
第3步：对于C，令α为底面，β为顶面，b=BB ，满足α β，b⊥β.若c=BC，则c⊥b，但c α，不平行于α.故C错误.
第4步：对于D，若α⊥β，在β内取c的射影，总能构造一条同时垂直于它们的方向.故D正确.答案为D.
2.（单选）（6分）
如图，在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，则（ 　　）
A. 平面AED1
B. 平面AED1
C.点 在平面AED内
D.点 在平面AED内
【答案速览】 A，D
【深度解析】
■ 思路分析：
给出正方体中的中点G，E，F，判断线面位置关系.先根据正方体的性质找出平行关系：AD BC ，再结合中点条件判断EF与BC 、AD 的平行关系，从而确定直线是否在平面内.
■ 推导过程：
第1步：在正方体中，AD BC .E，F分别为BB ，B C 的中点，故EF BC .所以AD EF.
第2步：对于A，BC 与平面AED 的关系：AD 平面AED ，BC 不在平面AED 内，且BC AD ，由线面平行判定定理得BC 平面AED .故A正确.
第3步：对于B，EF AD ，且AD 平面AED ，E是BB 中点不在AD 上，所以EF可能在平面AED 内.连接A、D 、E，可知EF 平面AED （因EF过E且平行于面内直线AD ）.故B错误.
第4步：对于C，B不在平面AED 内，显然C 也不在.故C错误.
第5步：对于D，由第3步知EF在平面AED 内，故F在平面AED 内.选A，D.
二、线面平行判定定理的综合应用
3.（多选）（6分）
在下列底面为平行四边形的四棱锥中， 是四棱锥的顶点或棱的中点，则 平面ABC的有（ 　　）
A． B．
C． D．
【答案速览】 B，C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题需要判断四棱锥中M，N是否满足MN 平面ABC.核心方法是通过构造平行四边形或中位线，寻找与MN平行的、且位于平面ABC中的直线（或证明MN平行于与平面ABC平行的平面）.对每一个选项，尝试连接辅助线构造平行四边形，利用线面平行判定定理进行证明.若无法找到且能举出反例，则说明不平行.
■ 推导过程：
第1步（选项A）：取AE中点P，连接NP，PB.分析知NPBM为平行四边形，MN BP.但BP与平面ABC的交线不为MN，过B在平面NPBM内只能有一条平行MN的线，故此构造中MN不与平面ABC平行.A错误.
第2步（选项B）：取AB中点P，连接MP，PC.证得四边形MPCN为平行四边形，故MN PC.PC在平面ABC内，MN在平面ABC外，由线面平行判定定理得MN 平面ABC.B正确.
第3步（选项C）：同B构造，证得四边形PCNM为平行四边形，MN PC，PC 平面ABC，故MN 平面ABC.C正确.
第4步（选项D）：设FN∩AC=G，连接BH，BG.假设MN 平面ABC，则MN BG，但在平面MNF内过点B已有BH MN，这不可能.故D错误.答案为B，C.
【规律总结】
对于多选题中的“线面平行”判定，务必逐一用判定定理验证：必须找到面内一条直线与MN平行，且MN不在面内.若无法找到，则通常不平行.
4.（解答）（12分）
如图，在四棱锥 中，平面ADE 平面ABCE， ， 2CE， ， 为 的中点，点 在线段BD上， 平面ADE.
（1）证明： ；
（2）求 的值.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）1
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问证线线垂直，关键条件是面面垂直.由面面垂直性质定理，在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一面.这里等腰△ADE中有中点G，自然得到DG⊥AE，而AE恰为两垂直面的交线，从而推出DG⊥面ABCE，进而DG⊥AB.
第（2）问有两个条件：CP 平面ADE，以及AB=2CE且AB CE.目标是求BP/DP.看到CP 面ADE，结合中点F（AB中点）构造平行四边形AFCE得CF AE.由CF，CP都与面ADE平行，得面PFC 面ADE.接着用面面平行性质得PF AD，最后在△ABD中，由平行线分线段成比例定理，结合F为AB中点，推出P为BD中点，比值得1.
■ 推导过程：
第1步（1）：在△ADE中，DA=DE，G为AE中点，由等腰三角形三线合一得DG⊥AE.【2分】
第2步（1）：平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，DG 平面ADE，DG⊥AE.由面面垂直性质定理得DG⊥平面ABCE.【2分】
第3步（1）：AB 平面ABCE，故DG⊥AB.【2分】
第4步（2）：取AB中点F，连接CF，PF.因为AB CE，且CE= AB=AF，所以四边形AFCE是平行四边形.得CF AE.【2分】
第5步（2）：CF 平面ADE，AE 平面ADE，得CF 平面ADE.又已知CP 平面ADE，CF∩CP=C，故平面PFC 平面ADE.【2分】
第6步（2）：PF 平面PFC，所以PF 平面ADE.又平面ABD∩平面ADE=AD，PF 平面ABD，由线面平行性质定理得PF AD.【1分】
第7步（2）：在△ABD中，F为AB中点，PF AD，得P为BD中点，即BP/DP=1.【1分】
三、线面平行性质定理的综合应用
5.（单选）（6分）
已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A-BCD，E，F分别是棱AB，BC的中点， ， 为棱CD上的一点，且 平面AFQ，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.1
D.2
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
见到“折叠”和“DE 平面AFQ”，且E，F为棱的中点.中点和线面平行提示构造三角形重心及中位线.连接CE交AF于M，利用△ABC中AF、BE为中线，得M为重心，从而知线段比例.再用线面平行性质定理得DE QM，最后在△CDE中用平行线分线段成比例得出DQ/QC.
■ 推导过程：
第1步：连接CE，交AF于点M，连接QM.
第2步：因为DE 平面AFQ，DE 平面CDE，平面CDE∩平面AFQ=QM，由线面平行性质定理得DE QM.
第3步：在△ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，故AF，BE为中线，其交点M为△ABC的重心，故EM:MC=1:2.
第4步：在△CDE中，QM DE，由平行线分线段成比例定理得DQ:QC=EM:MC=1:2.答案为B.
【规律总结】
立体几何中涉及中点和比例的问题，常与三角形重心（中线交点）结合，性质为重心分中线长度为2:1.
6.（填空）（8分）
如图所示，在棱长为1的正方体 中，设 分别是线段 、 上的动点，若 平面 ，则线段MN长的最小值为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是在正方体中探求满足线面平行的动线段MN的最短长度.M，N分别在两条线段上运动.构造平行平面是核心思路：要使MN 面CC D D，只需MN始终位于一个与该面平行的平面内.过M作MG A D 交DD 于G，过N作NP A D 交C D 于P，则MGPN为平行四边形，问题转化为求GP的最小值，再利用坐标或二次函数求最值.
■ 推导过程：
第1步：过M作MG A D 交DD 于G，过N作NP A D 交C D 于P，连接PG.为使MN 平面CC D D，只需四边形MGPN为平行四边形，此时MG=NP.
第2步：设D G=m∈(0,1)，则可得PC =m，PD =1-m.
第3步：在直角△D GP中，MN=PG=.
第4步：.当m= 时取最小值 .
第5步：故MN≥.答案为.
【易错警示】
构造辅助线时容易找错平行对应点，导致平行四边形无法形成或MN不恒平行于目标面.关键是确保得到的四边形一组对边平行且相等在运动过程中恒成立.
【规律总结】
对于空间中的动线段最值问题，通过平行线构造平面图形，将空间距离转化为平面内两点距离，再利用函数或几何性质求最值.
7.（填空）（8分）
如图，在三棱锥 中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD 平面PEF，则 的值为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
看到“D，E为棱的中点”和“侧棱上的F满足AD 平面PEF”，应连接CD中点，发现与PE交于重心G，再由线面平行性质得AD FG，最终利用重心性质得出比例.
■ 推导过程：
第1步：连接CD，交PE于点G，连接FG.
第2步：因为AD 平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，由线面平行性质定理得AD FG.
第3步：D，E分别为PB，BC的中点，故PE，CD为△PBC的中线，交点G为重心，得DG:GC=1:2.
第4步：在△ADC中，AD FG，由平行线分线段成比例定理得AF:FC=DG:GC=1:2.答案为 .
四、线面平行与动点轨迹问题
8.（多选）（6分）
如图，已知棱长为2的正方体 ，点 为 的中点，点 为 的中点，点 为 的中点，则（ 　　）
A. 平面
B.直线 与直线 所成角的余弦值为
C.点 与点 到平面 的距离之比为2:1
D.以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
【答案速览】 B，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是正方体综合题，包含线面平行判定、异面直线所成角、距离比、球面交线等多个几何要素.采用逐个选项分析的方法，结合中位线、平行关系、距离转换（等体积思想/棱台思想）及球的截面性质来判断.
■ 推导过程：
第1步（A）：连接D A.因G，F为中点，得D A GF，故D A 面C FG.而D E与D A交于D ，故D E不平行于该面.A错.
第2步（B）：取BC中点H，连FH，则FH CD，所求角即∠C FH.由CD⊥面BCC B 得FH⊥面BCC B ，故FH⊥C H.计算得C F=3，cos∠C FH=2/3.B正确.
第3步（C）：D与D 到面C FG的距离，注意到G为DD 中点，故D，D 到面距离相等.点C，D可视为棱台DFG-CBC 的对应点，由相似比得C到面的距离是D的2倍，故C与D 距离比为2:1.C正确.
第4步（D）：以D 为球心，半径为√5的球面与侧面BCC B 的交线，转化为以C 为圆心，半径为1的四分之一圆弧，长度为π/2.D正确.答案为B，C，D.
【规律总结】
正（长）方体中的几何计算，优先建立空间直角坐标系或用纯几何方法（中位线、射影、等体积法）.距离比问题可寻找棱台或棱锥中的比例关系.
9.（解答）（12分）
如图，在正四棱锥 中， 分别是线段 的中点， 分别在线段 上，且 .
（1）证明： 四点共面；
（2）证明： 平面BDG；
（3）若点 在线段 上，且满足 ，试问侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问证四点共面，方法是证明连线平行.由中位线得PC OG，由线段成比例得PC EF，故EF OG，从而四点共面.
第（2）问直接用（1）的结论PC OG及线面平行判定定理即得.
第（3）问是存在性探究.要证BK 平面HAC，寻找或构造与平面HAC平行的平面（如构造MK HC，BM OH），利用面面平行性质推证BK 面HAC，进而求出比例.
■ 推导过程：
第1步（1）：连接OG.O，G分别是AC，PA中点，故PC OG.【1分】
第2步（1）：已知BE/BP=BF/BC，故PC EF.所以EF OG，O，G，E，F四点共面.【1分】
第3步（2）：由（1）得PC OG.PC 面BDG，OG 面BDG，故PC 面BDG.【2分】
第4步（3）：在PH上取点M，使HM=HD.连BM，作MK HC交PC于K，连BK.由HM=HD，BO=OD得BM OH.【2分】
第5步（3）：OH 面HAC，BM 面HAC，故BM 面HAC.同理MK 面HAC.BM∩MK=M，得面BMK 面HAC.【2分】
第6步（3）：BK 面BMK，故BK 面HAC.由HM=HD，PH=4HD，得PM:PH=3:4.【2分】
第7步（3）：因MK HC，得PK:PC=PM:PH=3:4.故存在点K满足，比值为3/4.【2分】
【规律总结】
立体几何探索性问题中，若无法直接找到线面平行，常通过构造面面平行来间接证明，这是重要的转化策略.参数求值多依赖平行线分线段成比例定理.
五、线面平行与空间几何量计算
10.（多选）（6分）
如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为4的正方形， ，则（ 　　）
A.异面直线 与 所成角的余弦值为
B.取 的中点为 ，过 三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为
C. 平面
D.点 到平面 的距离为
【答案速览】 A，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
这是一道直四棱柱综合题，涉及异面直线夹角、截面面积、线面平行、点面距离.计算量大，采取逐项求解策略：利用平移法找到异面直线所成角并用余弦定理求余弦；通过线面平行性质确定截面为菱形并计算面积；利用等体积法求点面距离.
■ 推导过程：
第1步（A）：A B CD ，异面直线A B与B D 所成角即∠CD B .在△CD B 中，CD =5，CB =5，B D =4√2.由余弦定理，.A正确.【2分】
第2步（B）：取BB 中点M，过A，M，C 作截面，交D D于中点N，截面为菱形AMC N.对角线AC =，MN=.截面面积= ×AC ×MN= ×√41×4√2=2√82≠73/4.B错误.【2分】
第3步（C）：A B CD ，A B 平面B D C，CD 平面B D C，由线面平行判定定理得A B 平面B D C.C正确.【1分】
第4步（D）：设点B 到面A BD 的距离为h，用等体积法，计算得h=12/5.D正确.【1分】答案为A，C，D.
【易错警示】
计算截面面积时，容易错误判断截面形状或算错对角线长度.务必先利用平行关系证明截面是平行四边形，再检验是否特殊（如菱形），利用对角线垂直的面积公式S= ·d ·d 计算.
【规律总结】
等体积法是求点到平面距离的常用方法，尤其适合三棱锥或可补为三棱锥的图形.
11.（解答）（12分）
如图，在四棱锥 中， ，M，N分别是 ， 的中点， ， .
（1）求证 平面 ；
（2）若 平面 ，求 的值；
（3）当 时，若 ， ， ，请在图中作出四棱锥 ABCD过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）；（3）
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问四棱锥中证线面平行，构建中位线或平行四边形.可取AB中点Q（或取PA中点R），构造面面平行或平行四边形推出平行，进而证线面平行.
第（2）问已知PB 平面ACE，求λ.由线面平行性质，连接BD交AC于O，得PB OE，再利用△PBD中平行线分线段成比例，结合AD=3BC推出BO:OD=BC:AD=1:3，得PE:ED=1:3，即λ=1/3.
第（3）问当λ=2时PE=2ED，结合向量推VE CD.又BC DF且相等得平行四边形，得BF CD，故VE BF，从而B，F，E，V共面即为截面.计算各边长即得周长.
■ 推导过程：
第1步（1）：取AB中点Q，连MQ，NQ.由AD BC，N，Q为中点得NQ AD，又M为PB中点得MQ PA.MQ∩NQ=Q，得面MNQ 面PAD，故MN 面PAD.【4分】
第2步（2）：连BD交AC于O，连OE.PB 面ACE，PB 面PBD，面PBD∩面ACE=OE，得PB OE.【2分】
第3步（2）：△PBD中，PE:ED=BO:OD.在底面梯形ABCD中，AD BC，AD=3BC，得BO:OD=BC:AD=1:3.故PE:ED=1:3，即λ=1/3.【3分】
第4步（3）：λ=2时PE=2ED，由相似得VE CD.底面中BC DF且BC=DF，四边形BCDF为平行四边形，BF CD.故VE BF，V，E，F，B共面得截面.【1分】
第5步（3）：VE= CD=8，EF= PA=3，BF=CD=12.在△PBC中，PB=PC=9，BC=3，用余弦定理算得cos∠PCB=1/6.V在PC上且CV=3，用余弦定理算BV=.【1分】
第6步（3）：截面周长为8+3+12+ = 23+.【1分】
六、空间平行关系的综合探究
12.（解答）（12分）
如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面正方形 内一点（含边界），且满足 平面 .
（1）求证：平面 平面 （其中 为 的中点）；
（2）试确定点 在侧面 内的轨迹，并求该轨迹的长度；
（3）在（2）的条件下，当线段 的长度最小时，求三棱锥 的体积.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）轨迹长度为 ；（3）体积为
【深度解析】
■ 思路分析：
题目与前卷有相同模型，但设问改为：证面面平行，求轨迹长度，及求三棱锥体积.第（1）问取B C 中点G，证AC FG，AE BG，由面面平行判定定理即得证平面AEC 平面BFG.第（2）问则是利用面面平行性质，得P的轨迹为侧面BCC B 内的交线段BG，直接计算其长度.第（3）问在（2）条件下，当FP最小时，FP为F到BG的垂线段，求得最小FP长和相应BP长，最后用锥体体积公式即可.
■ 推导过程：
第1步（1）：取B C 中点G，连FG，BG，FB.由正方体性质和平移，知AC FG，AE BG.【3分】
第2步（1）：AC，AE 面AEC，FG，BG 面BFG，且AC∩AE=A，FG∩BG=G，根据面面平行判定定理，平面AEC 平面BFG.【3分】
第3步（2）：由（1）知平面AEC与平行平面BFG平行，而FP 面AEC，P在侧面BCC B 内，故P的轨迹即为平面BFG与侧面BCC B 的交线段BG.【2分】
第4步（2）：在矩形BCC B 中，BG=，即轨迹长度为√5.【1分】
第5步（3）：当FP⊥BG时，线段FP最小，此时用等面积法求得最小FP=3√5/5，相应BP=.【1分】
第6步（3）：，其中h为F到面BCC B 的距离，即为正方体棱长2.【1分】
第7步（3）：.故体积=.【1分】
【规律总结】
面面平行是求解线面平行动态问题的“升维”策略，能将点的轨迹限制在两条平面的交线上，化繁为简.求三棱锥体积的关键是合理选择底面和高，往往将动点所在的面视为底面，不变的垂直距离作为高.第六章 4.1 直线与平面平行 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 误认为线面平行则线平行于面内任意直线——线面平行的性质定理只能得出该线与过该线的平面与已知平面的交线平行，并非面内所有直线.
2. 判定定理条件遗漏——判定线面平行需同时满足“线在面外、线在面内、线线平行”三个条件，缺一不可.
3. 混淆判定定理与性质定理的使用场景——判定定理用于证线面平行，性质定理用于由线面平行得线线平行，证明时不可混淆方向.
4. 几何图形中点、线位置关系误判——在复杂图形中，易将异面直线误判为平行，或将线误判在平面内，需紧扣公理与定理严格推证.
训练目标：
1. 能够准确辨析线面平行的定义、判定定理和性质定理的条件与结论，识别真伪命题.
2. 能够在具体几何体中正确运用三角形中位线、平行四边形的性质等构造平行关系，规范书写线面平行的证明过程.
3. 能够利用线面平行的性质定理，推导出线线平行，并结合比例关系、三角形重心等知识求解线段比值或长度.
4. 能够在较复杂情境中（如动点轨迹、存在性探究）综合运用判定与性质定理，分析动点位置及几何量的最值.
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A卷　基础巩固（100分）
一、直线与平面平行的定义辨析
1.（单选）（6分）
下列命题中，正确的是（ 　　）
A.若直线a与平面α平行，则a平行于α内的任何直线
B.若两直线a，b都与平面α平行，则a b
C.若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则a b
D.若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与l平行
2.（单选）（6分）
下列命题一定正确的是（ 　　）
A.一条直线和一个点确定一个平面
B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D.若直线 与平面 平行，则直线 与平面 内任意一条直线都没有公共点
3.（单选）（6分）
已知l、m是不重合的两条直线， 、 是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ 　　）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ，则
二、线面平行判定定理的简单应用
4.（填空）（8分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 上的动点，当 ____ 时， 平面 .
5.（单选）（6分）
若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（ 　　）
A.平行
B.相交
C.AC在此平面内
D.平行或相交
6.（多选）（6分）
已知 是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，在下列说法正确的是（ 　　）
A.若l α，α β，则l β
B.若α β，m α，则m β
C.若l α，m α，则l m
D.若α β = l，m l，则m至少与α，β中一个平行
7.（解答）（10分）
如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
（1）求证：PA 平面BDE；
（2）求证：F为PD的中点.
8.（解答）（12分）
如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面正方形 内一点（含边界），若 平面 ，求线段 长度的取值范围.
三、线面平行性质定理的简单应用
9.（单选）（6分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN 平面PAD，则（ 　　）
A.MN PD
B.MN PA
C.MN AD
D.以上均有可能
10.（填空）（8分）
如图， 是棱长为1正方体 的棱 上的一点，且 平面 ， 为 的中点，则 与 的位置关系为____；线段 的长度为____.
11.（解答）（10分）
如图，四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点.
（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证： 平面PAB；
（2）若 平面AEC，求证：E是PD中点.
四、线面平行与动点轨迹问题
12.（填空）（10分）
如图，在棱长为3的正方体 中， 在线段 上，且 ， 是侧面 上一点，且 平面 ，则线段 的最大值为____.
B卷　能力提升（100分）
一、空间中平行关系的综合辨析
1.（单选）（6分）
已知 ， ， 是空间中不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A.若 ，则
B.若 与 异面，则至多有一条 与 ， 都垂直
C.若 ，则 一定平行于 和
D.若 ， ， ，则存在 同时垂直 ，
2.（单选）（6分）
如图，在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，则（ 　　）
A. 平面AED1
B. 平面AED1
C.点 在平面AED内
D.点 在平面AED内
二、线面平行判定定理的综合应用
3.（多选）（6分）
在下列底面为平行四边形的四棱锥中， 是四棱锥的顶点或棱的中点，则 平面ABC的有（ 　　）
A． B．
C． D．
4.（解答）（12分）
如图，在四棱锥 中，平面ADE 平面ABCE， ， 2CE， ， 为 的中点，点 在线段BD上， 平面ADE.
（1）证明： ；
（2）求 的值.
三、线面平行性质定理的综合应用
5.（单选）（6分）
已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A-BCD，E，F分别是棱AB，BC的中点， ， 为棱CD上的一点，且 平面AFQ，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.1
D.2
6.（填空）（8分）
如图所示，在棱长为1的正方体 中，设 分别是线段 、 上的动点，若 平面 ，则线段MN长的最小值为____.
7.（填空）（8分）
如图，在三棱锥 中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD 平面PEF，则 的值为____.
四、线面平行与动点轨迹问题
8.（多选）（6分）
如图，已知棱长为2的正方体 ，点 为 的中点，点 为 的中点，点 为 的中点，则（ 　　）
A. 平面
B.直线 与直线 所成角的余弦值为
C.点 与点 到平面 的距离之比为2:1
D.以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
9.（解答）（12分）
如图，在正四棱锥 中， 分别是线段 的中点， 分别在线段 上，且 .
（1）证明： 四点共面；
（2）证明： 平面BDG；
（3）若点 在线段 上，且满足 ，试问侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
五、线面平行与空间几何量计算
10.（多选）（6分）
如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为4的正方形， ，则（ 　　）
A.异面直线 与 所成角的余弦值为
B.取 的中点为 ，过 三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为
C. 平面
D.点 到平面 的距离为
11.（解答）（12分）
如图，在四棱锥 中， ，M，N分别是 ， 的中点， ， .
（1）求证 平面 ；
（2）若 平面 ，求 的值；
（3）当 时，若 ， ， ，请在图中作出四棱锥 ABCD过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长.
六、空间平行关系的综合探究
12.（解答）（12分）
如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面正方形 内一点（含边界），且满足 平面 .
（1）求证：平面 平面 （其中 为 的中点）；
（2）试确定点 在侧面 内的轨迹，并求该轨迹的长度；
（3）在（2）的条件下，当线段 的长度最小时，求三棱锥 的体积.
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6
D D A A B，D
7 8 9 10 11 12
证明见解析 B 平行； 证明见解析
B卷
1 2 3 4 5 6
D A，D B，C （1）见解析；（2）1 B
7 8 9 10 11 12
B，C，D （1）（2）见解析；（3）存在， A，C，D （1）见解析；（2）；（3） （1）见解析；（2）；（3）
A卷　基础巩固（100分）
一、直线与平面平行的定义辨析
1.（6分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目问的是空间中直线与平面平行的正确命题.看到“直线a与平面α平行”这个条件，应联想到线面平行的定义（直线与平面无公共点）和相关性质（线面平行则线平行于过线的面与已知面的交线）.解题方向是用线面平行的定义和性质，结合反例法，逐一检验选项，排除错误命题.
■ 推导过程：
第1步：对于选项A，若直线a与平面α平行，根据线面平行性质，a可平行于α内过a的平面与α的交线，但a可能与α内其他直线异面（无公共点也不平行），不一定平行于任何直线.故A错误.
第2步：对于选项B，两直线a，b都与平面α平行，可以在α外不同位置，它们可以平行、相交或异面.故B错误.
第3步：对于选项C，若a α，b在α内，则a与b可能异面.b不一定是交线，所以a不一定平行于b.故C错误.
第4步：对于选项D，若l α，在α内存在一条直线m与l平行（线面平行性质定理），而平面内与m平行的直线有无数条（平行线的传递性），这些直线都与l平行.故D正确.答案为D.
【易错警示】
学生易误选A，认为“线面平行则线平行于面内所有直线”，这是将线面平行与线线平行的概念混淆.线面平行只保证线与面内“某一方向”的直线平行，不保证与所有直线平行.避免错误的办法是牢记线面平行性质定理的准确表述：若a α，a在β内，α∩β=l，则a l.
【规律总结】
判断空间中平行关系的命题正误，常用“反例法”：构造一个符合条件但结论不成立的例子（如正方体或长方体中的特例），即可否定全称命题.
2.（6分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
看到四个选项分别考查平面的确定、线面平行的性质、线线垂直与平行的关系，需要调用平面的基本性质（不共线三点确定一个平面）、线面平行的定义（无公共点）.解题方向是逐一用反例法或直接依据定义判断.
■ 推导过程：
第1步：对于A，一条直线和该直线外一点确定一个平面，若点在直线上则不能确定唯一平面.故A错误.
第2步：对于B，两条平行线中的一条平行于一个平面，另一条可能与平面平行，也可能在平面内.故B错误.
第3步：对于C，空间中垂直于同一条直线的两条直线，它们的位置关系可以是平行、相交或异面.故C错误.
第4步：对于D，若l α，由线面平行定义，l与α无公共点，则l与α内任意一条直线都没有公共点.故D正确.答案为D.
【易错警示】
学生易误判B：习惯将平面几何的结论（平行于同一直线的两直线平行）直接迁移到立体几何中，忽略了线与面的包含关系.空间中的平行关系必须考虑线与面的相对位置.
3.（6分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出了涉及面面交线、线面平行、线面垂直的符号命题，看到“l m”且m在面α内，想到线面平行的判定定理：若面外一直线平行于面内一直线，则该线与面平行.解题方向是严格依据定理的条件与结论逐一判断.
■ 推导过程：
第1步：对于A，由α∩β=l，知l在β内；由m α，l m，知m不交β（因m平行于β内的l且m不在β内），满足线面平行判定条件，故m β.A正确.
第2步：对于B，l α，m β，α β，则l与m无公共点，但可能平行也可能异面，不一定平行.B错误.
第3步：对于C，α∩β=l，m α，m⊥l，这只说明m垂直于交线，不能推出α⊥β（面面垂直的判定需线面垂直）.C错误.
第4步：对于D，l⊥m，m α，l可以在α内，可以与α斜交，无法推出l⊥α.D错误.答案为A.
二、线面平行判定定理的简单应用
4.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
条件是四棱锥底面为平行四边形，E是PC上的动点，要求当PA 平面BDE时PE与PC的比值.看到“PA 平面BDE”，应想到线面平行性质定理：若PA平行于平面BDE，又PA在平面PAC内，且平面PAC∩平面BDE=OE（O为AC中点），则PA OE.由此将线面平行转化为线线平行，利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过中位线逆推，得到E为PC中点，从而求出比值.
■ 推导过程：
第1步：设AC∩BD = O，因为底面ABCD是平行四边形，对角线互相平分，所以O是AC的中点.
第2步：若PA 平面BDE，且PA 平面PAC，平面PAC∩平面BDE = OE，根据线面平行性质定理，得PA OE.
第3步：在△PAC中，O是AC的中点，且OE PA，由三角形中位线逆定理，得E是PC的中点，即PE = EC.
第4步：因此PE = PC.故当PE = PC时，PA 平面BDE.答案为.
【规律总结】
“中点找中点”是立体几何平行证明的常用策略.当遇到“过某点证平行”的问题时，可优先考虑构造以该点为中位线的三角形.
5.（6分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
看到三条线段不在同一平面内，过它们的中点作平面，求证该平面与第四条线段的位置关系.中点条件强烈暗示三角形中位线定理.解题方向是构造多个三角形，利用中位线得到线线平行，再通过线面平行判定定理得出结论.
■ 推导过程：
第1步：设AB，BC，CD的中点分别为E，F，G，H，它们确定一个平面（记为α）.连接EF.
第2步：在△ABC中，E是AB中点，F是BC中点，由三角形中位线定理得EF AC.
第3步：EF在平面α内，AC在平面α外，且EF AC，根据线面平行判定定理，得AC 平面α.故选A.
6.（6分）
【答案速览】 B，D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目考查面面平行、线面平行条件下的线线、线面关系.需要调用面面平行的定义（两平面无公共点，则一平面内的任意直线都平行于另一平面）和线面平行的判定与性质.解题方向是结合图形（可借助正方体模型）逐一判断，用反例法排除错误选项.
■ 推导过程：
第1步：对于A，若l α，α β，则l可能在β内.如正方体中，上底面内的一条线平行于下底面，但它不一定平行于前面.故A错误.
第2步：对于B，若α β，m α，由面面平行定义，m与β无公共点，故m β.B正确.
第3步：对于C，l α，m α，则l与m可能平行、相交或异面.如正方体上底面的两条相交线都与下底面平行.C错误.
第4步：对于D，α∩β=l，m l，若m不在α内，则m α；若m不在β内，则m β；若m同时含于α和β，则m与l重合，不矛盾.故m至少与α，β中一个平行.D正确.答案为B，D.
【易错警示】
学生易认为“两个平面平行，分别在两平面内的两条直线一定平行”，忽略了异面的可能.避免此错误的关键是牢记面面平行只保证无公共点，不保证所有线都同向.
【规律总结】
对于空间位置关系的多选题，可心中构建正方体模型，将符号语言转为图形语言，逐一举反例验证.
7.（10分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问证PA 平面BDE，条件有“底面为平行四边形”“E为PC中点”，这些是中点找中位线的强烈信号.应连接底面矩形的对角线交点（中点），构造△PAC的中位线GE，从而得到PA GE，用线面平行判定定理完成证明.
第（2）问由平面ABE与棱PD交于点F，证F为PD中点.条件提示使用线面平行的性质：由AB CD得出CD 平面ABE，再由平面ABE∩平面PDC=EF，在△PDC中利用性质得到EF CD，结合E为PC中点，逆推得F为PD中点.
■ 推导过程：
第1步（1）：连接AC交BD于点G，连接GE.因为四边形ABCD为平行四边形，所以G为AC的中点.又E为PC的中点，所以在△PAC中，由三角形中位线定理，得GE PA.【3分】
第2步（1）：因为PA 平面BDE，GE 平面BDE，且PA GE，根据线面平行判定定理，得PA 平面BDE.【2分】
第3步（2）：因为底面ABCD为平行四边形，所以AB CD.又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，根据线面平行判定定理，得CD 平面ABEF.【2分】
第4步（2）：已知平面ABEF∩平面PDC=EF，且CD 平面PDC，CD 平面ABEF，根据线面平行性质定理，得CD EF.【2分】
第5步（2）：在△PDC中，E为PC的中点，且EF CD，由三角形中位线逆定理，得F为PD的中点.【1分】
8.（12分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出正方体中点E，F为中点，P为侧面BCC B 内一点，满足FP 平面AEC.核心难点是确定P的轨迹.观察条件可知，若将平面AEC平移，可得与其平行的平面BFG（G为B C 中点），则线面平行转化为面面平行，P的轨迹即平面BFG与侧面BCC B 的交线段BG.求出线段BG的端点到F的距离，结合点到线段的距离计算最值，即可得FP长度的取值范围.
■ 推导过程：
第1步：取B C 的中点G，连接FG，BG，FB.在正方体中，易证AC FG，AE BG，且AC∩AE=A，FG∩BG=G，故平面AEC 平面BFG.
第2步：因为FP 平面AEC，且P在侧面BCC B 内（含边界），由面面平行性质，得点P在线段BG上运动.【3分】
第3步：在等腰△BFG中，FB=BG=，FG=.作BH⊥FG于H，由勾股定理得BH=.
第4步：设点F到线段BG的距离为d，由等面积法，，解得 .这是FP的最小值.【4分】
第5步：当P与B或G重合时，FP取最大值.故FP长度的取值范围是.【5分】
【易错警示】
学生容易忽视“P在边界上”这一条件，或误求最值时直接用端点距离而漏掉垂直距离的计算.求点到线段的最短距离，应先判断垂足是否落在线段内，此处由对称性可知垂足在中点.
【规律总结】
解决“满足线面平行的动点轨迹”问题，核心技巧是“面面平行法”：找到或构造一个与已知平面平行的平面，则动点轨迹为该平行平面与已知面的交线段.
三、线面平行性质定理的简单应用
9.（6分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
条件是两点M，N分别在AC，PC上，且MN 平面PAD.看到线面平行，应立刻想到线面平行性质定理：过MN的平面（此处为平面PAC）与平面PAD的交线，必定与MN平行.因此关键是确定平面PAC与平面PAD的交线是哪条.平面PAC与平面PAD共享点P和A，故交线为PA.由性质定理直接得出MN PA.
■ 推导过程：
第1步：M在AC上，N在PC上，故MN 平面PAC.
第2步：又MN 平面PAD，由线面平行性质定理，MN平行于平面PAC与平面PAD的交线.
第3步：平面PAC∩平面PAD=PA.故MN PA.答案为B.
【规律总结】
“线面平行找交线”是性质定理应用的核心口诀：若直线l 平面α，要证l m，只需找到过l的平面β与α的交线，即为m.
10.（8分）
【答案速览】 平行；
【深度解析】
■ 思路分析：
第一空问OE与BD 的位置关系，条件是BD 平面B CE.BD 与平面B CE的关系暗示使用线面平行的性质定理.连接BC 交B C于O（因正方体侧面为正方形，对角线交点即中点），则O既是BD 所在三角形的一边中点，又是所求直线OE的端点.利用性质定理可得BD OE.第二空求CE长度，由OE为中位线得出E是D C 中点，再用勾股定理在直角△ECC 中计算.
■ 推导过程：
第1步：连接BC ，交B C于点O.因为ABCD-A B C D 为正方体，侧面BCC B 为正方形，对角线互相平分，所以O为BC 的中点.
第2步：已知BD 平面B CE，BD 平面D BC ，平面D BC ∩平面B CE=OE.根据线面平行性质定理，得BD OE.
第3步：在△D BC 中，O为BC 中点，且OE BD ，由三角形中位线逆定理，得E为D C 的中点.
第4步：在Rt△ECC 中，CC =1，EC = D C = ，由勾股定理得CE=.
11.（10分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问看到中点条件，自然想到构造平行四边形.取PA中点G，连接EG，可证四边形BFEG为平行四边形，从而通过线线平行证线面平行.
第（2）问是已知PB 平面AEC，要证E为PD中点.将PB和平面AEC的条件结合，利用线面平行性质定理得PB EH，再由平行四边形对角线性质得H为BD中点，最后用中位线逆定理证E为PD中点.
■ 推导过程：
第1步（1）：取PA中点G，连接BG，EG.在△PAD中，E，G分别为PD，PA的中点，由中位线定理得EG AD，且EG= AD.【2分】
第2步（1）：在 ABCD中，F为BC中点，且AD BC，AD=BC，得BF AD，且BF= AD.所以EG BF且EG=BF，四边形BFEG是平行四边形，得EF BG.【2分】
第3步（1）：EF 平面PAB，BG 平面PAB，由线面平行判定定理得EF 平面PAB.【1分】
第4步（2）：连接BD，交AC于H，连接EH.因为四边形ABCD是平行四边形，所以H为BD中点.
第5步（2）：PB 平面ACE，PB 平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EH，根据线面平行性质定理得PB EH.【2分】
第6步（2）：在△PBD中，H为BD中点，且EH PB，由中位线逆定理得E为PD中点.【3分】
四、线面平行与动点轨迹问题
12.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是正方体中满足线面平行的动点最值问题.条件给出固定比例点M和动点N在侧面CDD C 上，满足MN 平面A BD.解决此类问题的关键是通过构造与已知平面平行的平面来确定动点N的轨迹.在CD上取CE= CD，在DD 上取D F= DD ，连接ME，EF，可证平面MEF 平面A BD，从而动点N的轨迹即为线段EF，线段MN的最大值即为MF.利用坐标系或勾股定理计算MF的长度即可.
■ 推导过程：
第1步：在线段CD上取一点E，使得CE= CD，在线段DD 上取一点F，使得D F= DD ，连接ME，EF，CD .
第2步：因为，所以ME BD，EF CD .又A B CD ，所以EF A B.
第3步：因为ME 平面A BD，BD 平面A BD，且ME BD，所以ME 平面A BD.同理EF 平面A BD.
第4步：又ME∩EF = E，所以平面MEF 平面A BD.因为N在侧面CDD C 上，且MN 平面A BD，所以N的轨迹为线段EF.
第5步：计算ME=，MF=.所以线段MN的最大值为.
B卷　能力提升（100分）
一、空间中平行关系的综合辨析
1.（6分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目涉及空间中直线与平面的垂直和平行关系.这类题目可通过正方体模型，为每个选项的命题举反例来逐一验证.关键在于辨识命题中的条件和结论，看是否存在反例.
■ 推导过程：
第1步：对于A，在正方体ABCD-A B C D 中，令a=AB，b=BB ，c=CC ，满足a⊥b，b⊥c，但a c（AB C D ），故此推论不必然为垂直，且可能平行.故A错误.
第2步：对于B，令a=AB，b=A D 两直线异面，与它们都垂直的直线可以是所有与面ABB A 和面ADD A 垂直的直线，如BC，B C ，AD，A D 等，不止一条.故B错误.
第3步：对于C，令α为底面，β为顶面，b=BB ，满足α β，b⊥β.若c=BC，则c⊥b，但c α，不平行于α.故C错误.
第4步：对于D，若α⊥β，在β内取c的射影，总能构造一条同时垂直于它们的方向.故D正确.答案为D.
2.（6分）
【答案速览】 A，D
【深度解析】
■ 思路分析：
给出正方体中的中点G，E，F，判断线面位置关系.先根据正方体的性质找出平行关系：AD BC ，再结合中点条件判断EF与BC 、AD 的平行关系，从而确定直线是否在平面内.
■ 推导过程：
第1步：在正方体中，AD BC .E，F分别为BB ，B C 的中点，故EF BC .所以AD EF.
第2步：对于A，BC 与平面AED 的关系：AD 平面AED ，BC 不在平面AED 内，且BC AD ，由线面平行判定定理得BC 平面AED .故A正确.
第3步：对于B，EF AD ，且AD 平面AED ，E是BB 中点不在AD 上，所以EF可能在平面AED 内.连接A、D 、E，可知EF 平面AED （因EF过E且平行于面内直线AD ）.故B错误.
第4步：对于C，B不在平面AED 内，显然C 也不在.故C错误.
第5步：对于D，由第3步知EF在平面AED 内，故F在平面AED 内.选A，D.
二、线面平行判定定理的综合应用
3.（6分）
【答案速览】 B，C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题需要判断四棱锥中M，N是否满足MN 平面ABC.核心方法是通过构造平行四边形或中位线，寻找与MN平行的、且位于平面ABC中的直线（或证明MN平行于与平面ABC平行的平面）.对每一个选项，尝试连接辅助线构造平行四边形，利用线面平行判定定理进行证明.若无法找到且能举出反例，则说明不平行.
■ 推导过程：
第1步（选项A）：取AE中点P，连接NP，PB.分析知NPBM为平行四边形，MN BP.但BP与平面ABC的交线不为MN，过B在平面NPBM内只能有一条平行MN的线，故此构造中MN不与平面ABC平行.A错误.
第2步（选项B）：取AB中点P，连接MP，PC.证得四边形MPCN为平行四边形，故MN PC.PC在平面ABC内，MN在平面ABC外，由线面平行判定定理得MN 平面ABC.B正确.
第3步（选项C）：同B构造，证得四边形PCNM为平行四边形，MN PC，PC 平面ABC，故MN 平面ABC.C正确.
第4步（选项D）：设FN∩AC=G，连接BH，BG.假设MN 平面ABC，则MN BG，但在平面MNF内过点B已有BH MN，这不可能.故D错误.答案为B，C.
【规律总结】
对于多选题中的“线面平行”判定，务必逐一用判定定理验证：必须找到面内一条直线与MN平行，且MN不在面内.若无法找到，则通常不平行.
4.（12分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）1
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问证线线垂直，关键条件是面面垂直.由面面垂直性质定理，在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一面.这里等腰△ADE中有中点G，自然得到DG⊥AE，而AE恰为两垂直面的交线，从而推出DG⊥面ABCE，进而DG⊥AB.
第（2）问有两个条件：CP 平面ADE，以及AB=2CE且AB CE.目标是求BP/DP.看到CP 面ADE，结合中点F（AB中点）构造平行四边形AFCE得CF AE.由CF，CP都与面ADE平行，得面PFC 面ADE.接着用面面平行性质得PF AD，最后在△ABD中，由平行线分线段成比例定理，结合F为AB中点，推出P为BD中点，比值得1.
■ 推导过程：
第1步（1）：在△ADE中，DA=DE，G为AE中点，由等腰三角形三线合一得DG⊥AE.【2分】
第2步（1）：平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，DG 平面ADE，DG⊥AE.由面面垂直性质定理得DG⊥平面ABCE.【2分】
第3步（1）：AB 平面ABCE，故DG⊥AB.【2分】
第4步（2）：取AB中点F，连接CF，PF.因为AB CE，且CE= AB=AF，所以四边形AFCE是平行四边形.得CF AE.【2分】
第5步（2）：CF 平面ADE，AE 平面ADE，得CF 平面ADE.又已知CP 平面ADE，CF∩CP=C，故平面PFC 平面ADE.【2分】
第6步（2）：PF 平面PFC，所以PF 平面ADE.又平面ABD∩平面ADE=AD，PF 平面ABD，由线面平行性质定理得PF AD.【1分】
第7步（2）：在△ABD中，F为AB中点，PF AD，得P为BD中点，即BP/DP=1.【1分】
三、线面平行性质定理的综合应用
5.（6分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
见到“折叠”和“DE 平面AFQ”，且E，F为棱的中点.中点和线面平行提示构造三角形重心及中位线.连接CE交AF于M，利用△ABC中AF、BE为中线，得M为重心，从而知线段比例.再用线面平行性质定理得DE QM，最后在△CDE中用平行线分线段成比例得出DQ/QC.
■ 推导过程：
第1步：连接CE，交AF于点M，连接QM.
第2步：因为DE 平面AFQ，DE 平面CDE，平面CDE∩平面AFQ=QM，由线面平行性质定理得DE QM.
第3步：在△ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，故AF，BE为中线，其交点M为△ABC的重心，故EM:MC=1:2.
第4步：在△CDE中，QM DE，由平行线分线段成比例定理得DQ:QC=EM:MC=1:2.答案为B.
【规律总结】
立体几何中涉及中点和比例的问题，常与三角形重心（中线交点）结合，性质为重心分中线长度为2:1.
6.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是在正方体中探求满足线面平行的动线段MN的最短长度.M，N分别在两条线段上运动.构造平行平面是核心思路：要使MN 面CC D D，只需MN始终位于一个与该面平行的平面内.过M作MG A D 交DD 于G，过N作NP A D 交C D 于P，则MGPN为平行四边形，问题转化为求GP的最小值，再利用坐标或二次函数求最值.
■ 推导过程：
第1步：过M作MG A D 交DD 于G，过N作NP A D 交C D 于P，连接PG.为使MN 平面CC D D，只需四边形MGPN为平行四边形，此时MG=NP.
第2步：设D G=m∈(0,1)，则可得PC =m，PD =1-m.
第3步：在直角△D GP中，MN=PG=.
第4步：.当m= 时取最小值 .
第5步：故MN≥.答案为.
【易错警示】
构造辅助线时容易找错平行对应点，导致平行四边形无法形成或MN不恒平行于目标面.关键是确保得到的四边形一组对边平行且相等在运动过程中恒成立.
【规律总结】
对于空间中的动线段最值问题，通过平行线构造平面图形，将空间距离转化为平面内两点距离，再利用函数或几何性质求最值.
7.（8分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
看到“D，E为棱的中点”和“侧棱上的F满足AD 平面PEF”，应连接CD中点，发现与PE交于重心G，再由线面平行性质得AD FG，最终利用重心性质得出比例.
■ 推导过程：
第1步：连接CD，交PE于点G，连接FG.
第2步：因为AD 平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，由线面平行性质定理得AD FG.
第3步：D，E分别为PB，BC的中点，故PE，CD为△PBC的中线，交点G为重心，得DG:GC=1:2.
第4步：在△ADC中，AD FG，由平行线分线段成比例定理得AF:FC=DG:GC=1:2.答案为 .
四、线面平行与动点轨迹问题
8.（6分）
【答案速览】 B，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是正方体综合题，包含线面平行判定、异面直线所成角、距离比、球面交线等多个几何要素.采用逐个选项分析的方法，结合中位线、平行关系、距离转换（等体积思想/棱台思想）及球的截面性质来判断.
■ 推导过程：
第1步（A）：连接D A.因G，F为中点，得D A GF，故D A 面C FG.而D E与D A交于D ，故D E不平行于该面.A错.
第2步（B）：取BC中点H，连FH，则FH CD，所求角即∠C FH.由CD⊥面BCC B 得FH⊥面BCC B ，故FH⊥C H.计算得C F=3，cos∠C FH=2/3.B正确.
第3步（C）：D与D 到面C FG的距离，注意到G为DD 中点，故D，D 到面距离相等.点C，D可视为棱台DFG-CBC 的对应点，由相似比得C到面的距离是D的2倍，故C与D 距离比为2:1.C正确.
第4步（D）：以D 为球心，半径为√5的球面与侧面BCC B 的交线，转化为以C 为圆心，半径为1的四分之一圆弧，长度为π/2.D正确.答案为B，C，D.
【规律总结】
正（长）方体中的几何计算，优先建立空间直角坐标系或用纯几何方法（中位线、射影、等体积法）.距离比问题可寻找棱台或棱锥中的比例关系.
9.（12分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问证四点共面，方法是证明连线平行.由中位线得PC OG，由线段成比例得PC EF，故EF OG，从而四点共面.
第（2）问直接用（1）的结论PC OG及线面平行判定定理即得.
第（3）问是存在性探究.要证BK 平面HAC，寻找或构造与平面HAC平行的平面（如构造MK HC，BM OH），利用面面平行性质推证BK 面HAC，进而求出比例.
■ 推导过程：
第1步（1）：连接OG.O，G分别是AC，PA中点，故PC OG.【1分】
第2步（1）：已知BE/BP=BF/BC，故PC EF.所以EF OG，O，G，E，F四点共面.【1分】
第3步（2）：由（1）得PC OG.PC 面BDG，OG 面BDG，故PC 面BDG.【2分】
第4步（3）：在PH上取点M，使HM=HD.连BM，作MK HC交PC于K，连BK.由HM=HD，BO=OD得BM OH.【2分】
第5步（3）：OH 面HAC，BM 面HAC，故BM 面HAC.同理MK 面HAC.BM∩MK=M，得面BMK 面HAC.【2分】
第6步（3）：BK 面BMK，故BK 面HAC.由HM=HD，PH=4HD，得PM:PH=3:4.【2分】
第7步（3）：因MK HC，得PK:PC=PM:PH=3:4.故存在点K满足，比值为3/4.【2分】
【规律总结】
立体几何探索性问题中，若无法直接找到线面平行，常通过构造面面平行来间接证明，这是重要的转化策略.参数求值多依赖平行线分线段成比例定理.
五、线面平行与空间几何量计算
10.（6分）
【答案速览】 A，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
这是一道直四棱柱综合题，涉及异面直线夹角、截面面积、线面平行、点面距离.计算量大，采取逐项求解策略：利用平移法找到异面直线所成角并用余弦定理求余弦；通过线面平行性质确定截面为菱形并计算面积；利用等体积法求点面距离.
■ 推导过程：
第1步（A）：A B CD ，异面直线A B与B D 所成角即∠CD B .在△CD B 中，CD =5，CB =5，B D =4√2.由余弦定理，.A正确.【2分】
第2步（B）：取BB 中点M，过A，M，C 作截面，交D D于中点N，截面为菱形AMC N.对角线AC =，MN=.截面面积= ×AC ×MN= ×√41×4√2=2√82≠73/4.B错误.【2分】
第3步（C）：A B CD ，A B 平面B D C，CD 平面B D C，由线面平行判定定理得A B 平面B D C.C正确.【1分】
第4步（D）：设点B 到面A BD 的距离为h，用等体积法，计算得h=12/5.D正确.【1分】答案为A，C，D.
【易错警示】
计算截面面积时，容易错误判断截面形状或算错对角线长度.务必先利用平行关系证明截面是平行四边形，再检验是否特殊（如菱形），利用对角线垂直的面积公式S= ·d ·d 计算.
【规律总结】
等体积法是求点到平面距离的常用方法，尤其适合三棱锥或可补为三棱锥的图形.
11.（12分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）；（3）
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问四棱锥中证线面平行，构建中位线或平行四边形.可取AB中点Q（或取PA中点R），构造面面平行或平行四边形推出平行，进而证线面平行.
第（2）问已知PB 平面ACE，求λ.由线面平行性质，连接BD交AC于O，得PB OE，再利用△PBD中平行线分线段成比例，结合AD=3BC推出BO:OD=BC:AD=1:3，得PE:ED=1:3，即λ=1/3.
第（3）问当λ=2时PE=2ED，结合向量推VE CD.又BC DF且相等得平行四边形，得BF CD，故VE BF，从而B，F，E，V共面即为截面.计算各边长即得周长.
■ 推导过程：
第1步（1）：取AB中点Q，连MQ，NQ.由AD BC，N，Q为中点得NQ AD，又M为PB中点得MQ PA.MQ∩NQ=Q，得面MNQ 面PAD，故MN 面PAD.【4分】
第2步（2）：连BD交AC于O，连OE.PB 面ACE，PB 面PBD，面PBD∩面ACE=OE，得PB OE.【2分】
第3步（2）：△PBD中，PE:ED=BO:OD.在底面梯形ABCD中，AD BC，AD=3BC，得BO:OD=BC:AD=1:3.故PE:ED=1:3，即λ=1/3.【3分】
第4步（3）：λ=2时PE=2ED，由相似得VE CD.底面中BC DF且BC=DF，四边形BCDF为平行四边形，BF CD.故VE BF，V，E，F，B共面得截面.【1分】
第5步（3）：VE= CD=8，EF= PA=3，BF=CD=12.在△PBC中，PB=PC=9，BC=3，用余弦定理算得cos∠PCB=1/6.V在PC上且CV=3，用余弦定理算BV=.【1分】
第6步（3）：截面周长为8+3+12+ = 23+.【1分】
六、空间平行关系的综合探究
12.（12分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）轨迹长度为 ；（3）体积为
【深度解析】
■ 思路分析：
题目与前卷有相同模型，但设问改为：证面面平行，求轨迹长度，及求三棱锥体积.第（1）问取B C 中点G，证AC FG，AE BG，由面面平行判定定理即得证平面AEC 平面BFG.第（2）问则是利用面面平行性质，得P的轨迹为侧面BCC B 内的交线段BG，直接计算其长度.第（3）问在（2）条件下，当FP最小时，FP为F到BG的垂线段，求得最小FP长和相应BP长，最后用锥体体积公式即可.
■ 推导过程：
第1步（1）：取B C 中点G，连FG，BG，FB.由正方体性质和平移，知AC FG，AE BG.【3分】
第2步（1）：AC，AE 面AEC，FG，BG 面BFG，且AC∩AE=A，FG∩BG=G，根据面面平行判定定理，平面AEC 平面BFG.【3分】
第3步（2）：由（1）知平面AEC与平行平面BFG平行，而FP 面AEC，P在侧面BCC B 内，故P的轨迹即为平面BFG与侧面BCC B 的交线段BG.【2分】
第4步（2）：在矩形BCC B 中，BG=，即轨迹长度为√5.【1分】
第5步（3）：当FP⊥BG时，线段FP最小，此时用等面积法求得最小FP=3√5/5，相应BP=.【1分】
第6步（3）：，其中h为F到面BCC B 的距离，即为正方体棱长2.【1分】
第7步（3）：.故体积=.【1分】
【规律总结】
面面平行是求解线面平行动态问题的“升维”策略，能将点的轨迹限制在两条平面的交线上，化繁为简.求三棱锥体积的关键是合理选择底面和高，往往将动点所在的面视为底面，不变的垂直距离作为高.

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