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第六章 4.2 平面与平面平行 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 面面平行判定定理的条件完整性——错误表现：在证明面面平行时，遗漏“两条相交直线”或“两条直线均平行于另一平面”等关键条件.正确做法：必须保证一平面内两条相交直线分别平行于另一平面.
2. 线面平行推不出面面平行——错误表现：由一条直线平行于一个平面，直接推出经过该直线的任意平面与该平面平行.正确做法：面面平行需要在掌握线面平行的基础上，补充“相交”条件才能判定.
3. 面面平行性质中交线平行的应用——错误表现：多个平行平面被第三个平面所截时，混淆交线之间的平行关系.正确做法：明确两个平行平面分别与第三个平面的交线互相平行.
训练目标：
1. 能够准确辨析面面平行判定定理和性质定理的条件，识别常见错误命题.
2. 能够在正方体、三棱柱等常见几何体中，结合中位线、平行四边形性质证明线面平行与面面平行.
3. 能够运用面面平行性质定理判断截面形状、计算面积和线段比.
4. 能够综合运用线面平行、面面平行的判定与性质解决存在性探究和轨迹问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D D 平行或异面 A C A
9 10 11 12 13 14 15
平行或异面 平行四边形 D 5 证明见解析 证明见解析 （1）证明见解析；（2）Q为PB中点
一、面面平行的判定定理
1.（单选）（5分）
已知a，b，c为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ 　　）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出关于线面、面面平行的多个命题，要求找出正确命题.从题干中识别到信号词“直线与平面平行的判定”“平面与平面平行的判定”，触发调用面面平行的传递性、线面平行的判定定理及性质定理.解题方向是逐项分析：A项用面面平行的传递性验证，B、C、D项通过寻找反例（或分析条件缺失）来排除.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 且 ，根据面面平行的传递性（若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行），可得 .故A正确.
第2步：对于选项B，若 且 ，直线的平行关系不能传递到平面.例如在正方体中，与同一直线平行的两个平面可能平行也可能相交，故B错误.
第3步：对于选项C，若 且 ，两条直线分别平行于同一平面时，这两条直线之间可以平行、相交或异面，故C错误.
第4步：对于选项D，若 且 ，直线a可能在平面内，也可能与平行，故D错误.
第5步：综上所述，只有选项A正确.
■ 步骤总结
判断此类命题辨析题的通法：对每个选项，先回忆相关定理的完整条件；若选项中条件不完整或不符合定理，尝试在正方体模型中构造反例.面面平行具有传递性，但线面平行、线线平行之间的传递需谨慎.
【易错警示】
学生最易误选B或C，错误原因是错误地认为“平行”关系具有无条件的传递性.事实上，面面平行的传递性成立，但线与面、面与面之间的“平行于同一直线则互相平行”不成立.典型错误：由 和 推出 ，忽略了和之间可能相交的情况.
【规律总结】
面面平行具有传递性（若 ，则 ），这是解决此类判断题的核心依据.遇到“平行于同一个…的两个…”型命题，优先用正方体模型检验反例.
2.（单选）（5分）
下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ， 为正方体的三个顶点，则能得出平面 平面 的是（ 　　）
A． B．
C． D．
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出四个正方体，要求识别哪个正方体中的平面ABC与平面DEF平行.题目中的“所在棱的中点”“正方体的三个顶点”是关键信号，触发调用三角形中位线定理（初中）在正方体中的应用，以及面面平行的判定定理.解题方向：遍历选项，尝试证明或否定面面平行.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，假设平面ABC // 平面DEF，因为BC在平面ABC内，由面面平行的性质可推出BC // 平面DEF.但由图观察，BC与平面DEF在空间中明显相交（BC不平行于DE、DF或EF中的任一条），推出矛盾，故选项A不满足.
第2步：对于选项B，连接NG.在正方体中，A、C分别为PN、PG的中点，由三角形中位线定理得 .又 且 （正方体对面棱平行且相等），四边形EFNG为平行四边形，则 ，从而 .由线面平行判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线平行于此平面），得 平面DEF.同理可证 平面DEF.又 ，由面面平行判定定理，得平面ABC // 平面DEF.故选项B满足.
第3步：对于选项C，在正方体中，若平面ABC // 平面DEF，由平面DEF // 平面MNHP（正方体对面平行），结合面面平行传递性，推得平面ABC // 平面MNHP.但观察图形，平面ABC与平面MNHP相交，产生矛盾.故选项C不满足.
第4步：对于选项D，连接PH、PM、MH.由 且 ，得四边形DHMF为平行四边形，则 .由线面平行判定得 平面PHM.同理 平面PHM.由 ，得平面DEF // 平面PHM.若平面ABC // 平面DEF，则平面ABC // 平面PHM（传递性）.但如图所示，平面ABC与平面PHM相交，矛盾.故选项D不满足.
第5步：综上所述，只有选项B满足条件.
■ 步骤总结
在正方体中证明面面平行的通法：利用中位线和平行四边形性质找出一组平行线，再通过线面平行→面面平行的判定链逐步推进.反证法是排除错误选项的有力工具.
【一题多解】
对于选项C和D，也可直接寻找平面ABC与平面DEF的交线：若存在交线，则两平面相交；若不存在交线且能证明平面ABC内两条相交直线分别平行于平面DEF，则两平面平行.正方体中，取特殊点辅助分析可简化判断.
3.（单选）（5分）
已知l，m，n是三条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析
本题同样考查线面平行与面面平行的命题辨析.关键信号词“l, m, n为直线，为平面”提示需要在空间中线、面关系框架下分析.A项涉及“线在面外需明确说明”的陷阱，B项涉及面面平行判定定理“两条相交直线”的条件缺失，C项涉及“一条直线平行于两个平面不能推出这两个平面平行”.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 ，要得到 ，还需要补充条件 .若l恰好在内，则结论不成立.故A错误.
第2步：对于选项B，面面平行判定定理要求一个平面内的两条直线必须是相交直线.选项B未说明l与m是否相交，当l和m为平行线时，无法保证.如图所示，在正方体中存在反例.故B错误.
第3步：对于选项C，一条直线l平行于两个平面和，这两个平面可能平行也可能相交（例如门的转轴所在直线同时平行于门板所在的无数个平面）.故C错误.
第4步：对于选项D，面面平行具有传递性：若 且 ，则 .这是基本性质，故D正确.
第5步：综上所述，选项D正确.
■ 步骤总结
面面平行判定定理的完整条件：（1）一个平面内的两条直线；（2）这两条直线相交；（3）这两条直线分别平行于另一个平面.三个条件缺一不可.面面平行具有传递性，可直接使用.
【易错警示】
选项B是高频易错点.学生常忽略判定定理中“相交”条件，认为“两条直线分别平行则面面平行”.典型错误思路：在正方体中将上底面的两条平行棱分别平行于下底面，就误认为两个平行的侧面也推出面面平行.记住：必须有交点！
4.（单选）（5分）
已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ 　　）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 为异面直线，且 ， ， ，则 与 中至少一条相交
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析
本题涉及异面直线与面面平行的关系.D项条件中“m, n为异面直线”是一个特殊信号，提示反证法的使用场景.通过假设l与m、n都不相交，推出m // n，与已知“异面”矛盾，从而证明结论成立.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 且 ，m与n可以平行、相交或异面，不能必然推出 .故A错误.
第2步：对于选项B，若 且 ，平面与可以相交（例如门框所在直线同时平行于两面墙壁，但两面墙壁相交）.故B错误.
第3步：对于选项C，若 ， 且 ，直线m可能在平面内.故C错误.
第4步：对于选项D，已知m, n为异面直线，且 ，，.用反证法：假设直线l与m和n都不相交.因为 且l与m不相交，所以 （在同一平面内，不相交则平行）.同理，在平面内l与n不相交，则 .由平行公理（平行于同一直线的两直线平行），得 ，这与“m, n为异面直线”矛盾.故假设不成立，l必与m、n中至少一条相交.
第5步：综上所述，选项D正确.
■ 步骤总结
反证法在处理“异面直线”相关命题时尤为有效.当正面推导困难时，假设结论不成立，利用平面几何中的平行关系（同一平面内两条直线要么相交要么平行）推出与已知条件矛盾的结果，从而证明原结论.
【易错警示】
选项C中，学生容易遗漏“m可能在内”的情形.线面平行只能保证直线与平面无公共点，并不能保证直线不在另一个与之相交的平面内.这一陷阱与第1题B项类似.
5.（填空）（5分）
若平面 与平面 平行， ， ，则 与 的位置关系是____.
【答案速览】 平行或异面
【深度解析】
■ 思路分析
本题条件为“平面与平面平行”，且直线a在内、b在内，要求判断a与b的位置关系.信号词“面面平行”“分别在两个平面内”触发调用面面平行的性质：两平行平面无公共点，则分别位于这两个平面内的两条直线也无公共点.无公共点的两条直线可能平行，也可能异面.
■ 推导过程
第1步：因为 ，所以平面与平面没有公共点（面面平行的定义）.
第2步：因为 且 ，所以a与b也没有公共点.若a与b有公共点，则该点必同时在和内，与面面平行矛盾.
第3步：空间中两条没有公共点的直线，其位置关系可以是平行或异面.当a与b共面时，两者平行；当a与b不共面时，两者异面.
第4步：因此，a与b的位置关系是“平行或异面”.
■ 步骤总结
面面平行的本质是“无公共点”，由此可推出分别位于两平行平面内的直线也无公共点.无公共点的两条空间直线，关系为平行或异面.解答时注意使用“或”而非“和”来描述两种可能性.
二、面面平行的性质定理
6.（单选）（5分）
已知平面 平面 ，过平面 内的一条直线 的平面 ，与平面 相交，交线为直线 ，则 、 的位置关系是（ 　　）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析
本题条件为“平面平面”，过内直线a作平面与交于直线b.直接套用面面平行的性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线互相平行.
■ 推导过程
第1步：已知平面平面.
第2步：平面与平面的交线为直线a（因为a在内，且过a），平面与平面的交线为直线b（题给条件）.
第3步：由面面平行的性质定理（两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行），直接得 .
第4步：因此a与b的位置关系是平行，选A.
■ 步骤总结
面面平行性质定理的核心记忆模式：“平行面 + 同一截面 → 交线平行”.使用前需确认题目满足“两平面平行”“与同一平面相交”两个条件.
7.（单选）（5分）
已知正方体 ，平面 与平面 的交线为 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出正方体，要求判断两个指定平面的交线l与选项中哪条直线平行.信号词“正方体”“平面…与平面…的交线”提示应在正方体框架下，利用面面平行的性质以及平行四边形的性质来找平行关系.
■ 推导过程
第1步：在正方体中，平面 平面 （正方体对面平行）.
第2步：题设平面 分别与这两个平行平面相交：与平面 的交线为 ，与平面 的交线为 .
第3步：由面面平行性质定理，得 .
第4步：在正方体中， 且 ，四边形 为平行四边形，故 .
第5步：由平行关系的传递性，得 .选项中对应C.
第6步：检查其他选项： 均与 相交（或不平行），故l与它们均不平行.
■ 步骤总结
在正方体中找交线的平行线时，可先利用“对面平行”寻找与该平面平行的另一个面，然后将交线问题转化为两个平行平面与第三个截面交线的平行关系，再借助平行四边形传递平行线.
8.（单选）（5分）
P为 所在平面外一点，平面 平面 ， 分别交线段 于 ，若 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出三棱锥被平行于底面的平面所截的条件，要求面积比.信号词“平面平面ABC”“截线段PA、PB、PC”提示：两平行平面被三个分别过侧棱的平面所截，交线互相平行，进而推出三角形相似.由线段比推相似比，再由相似比推面积比（平方关系）.
■ 推导过程
第1步：因为平面平面ABC，平面PAB分别与这两个平面交于 和AB，所以 （面面平行性质）.
第2步：已知 ，则 .
第3步：在 中，，由平行线分线段成比例定理，得 .
第4步：同理可证 且 ， 且 .
第5步：所以 ，相似比为 .
第6步：相似三角形面积比等于相似比的平方，即 .
■ 步骤总结
平行于底面的平面截三棱锥，截面三角形与底面三角形相似.解题分四步：①用面面平行性质得线线平行；②由线段比例推相似比；③确认三角形相似；④面积比 = 相似比的平方.
【易错警示】
注意 与 的区别.前者是 与 的比，后者是 与整条PA的比.学生易混淆，导致相似比写成 而误选C或D.正确做法：由分比转化到合比.
9.（填空）（5分）
已知平面 平面 ，点 在平面 内，点 在平面 内，则过点 且平行于 的直线与过点 且平行于 的直线的位置关系是____.
【答案速览】 平行或异面
【深度解析】
■ 思路分析
本题为补充的填空题.条件为面面平行，过两平面内各取一点，分别作平行于对方平面的直线.需分析的是：过内点P且平行于的直线（即平行于的任意直线），与过内点Q且平行于的直线（即平行于的任意直线），这两条线的位置关系是否确定.
■ 推导过程
第1步：因为 ，所以平面内的任意直线都平行于平面（面面平行的性质：若两个平面平行，则一个平面内的任意直线都平行于另一个平面）.
第2步：过点P且平行于的直线有无数条（形成一个与平行的平面，实际上就是或其平移面），这些直线都在内或在与平行的某个平面内.
第3步：同理，过点Q且平行于的直线都在内或在与平行的某个平面内.
第4步：当两条所取的直线共面时（例如分别取同方向的直线），它们平行；当两条直线不共面时（例如在空间中互相垂直的方向），它们异面.
第5步：因此，位置关系为“平行或异面”.
■ 步骤总结
与第5题同理，两平行平面中的直线无公共点，因此只能平行或异面.本题增加了“过定点作平行线”的条件，但本质未变.
10.（填空）（5分）
如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 为截面，则四边形 的形状为____.
【答案速览】 平行四边形
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出长方体被一平面所截的截面，要求判断四边形EFGH的形状.信号词“长方体”“截面”提示用面面平行的性质定理：长方体对面平行，截面与两平行面的交线互相平行.截面四边形的两组对边分别由两组平行平面的交线构成，从而两组对边分别平行，推得平行四边形.
■ 推导过程
第1步：在长方体中，平面ABFE // 平面DCGH（长方体对面平行）.
第2步：截面EFGH与平面ABFE的交线为EF，与平面DCGH的交线为HG.
第3步：由面面平行的性质定理，得 .
第4步：同理，平面ADHE // 平面BCGF，截面EFGH与它们的交线分别为EH和FG，得 .
第5步：四边形EFGH的两组对边分别平行，故为平行四边形.
■ 步骤总结
长方体（或正方体）被一个平面所截，截面的边由平面与长方体各个面的交线构成.利用对面平行的性质，可以确定截面四边形对边的平行关系.一般情况下，长方体被平面截得的四边形为平行四边形.
三、线面平行的判定与综合证明
11.（单选）（5分）
已知m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ 　　）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出线面平行的四种命题，要求学生判断正确选项.核心考点是线面平行判定定理的条件完整性.信号词“m、n是直线”“是平面”提示应围绕“线在面外、线平行于面内一直线”这一判定定理核心条件进行分析.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 且 ，这只是一个平面内有一条直线平行于另一个平面.面面平行判定定理要求一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，此处条件不足.故A错误.
第2步：对于选项B，若 且 ，直线m可能在平面内.例如正方体中，与面内一条直线平行的直线若恰好在面内，就不能说它与面平行.故B错误.
第3步：对于选项C，若 且 ，直线m同样可能在内，缺少“线在面外”的条件.故C错误.
第4步：对于选项D，若 且 且 ，由线面平行判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线平行于此平面），得 .条件齐全，结论正确.故D正确.
第5步：综上所述，选项D正确.
■ 步骤总结
线面平行判定定理的三个条件缺一不可：①直线在平面外；②平面内存在一条直线；③这两条直线平行.记忆口诀：“线在面外，面内有线，两线平行”.选项B、C都只具备两个条件（“平行”和“面内有线”），缺少“线在面外”，因此不成立.
【易错警示】
选项B、C是高频错误点.学生常凭直觉认为“平行于面内一条直线的直线一定平行于该面”，忽略了此直线可能就在面内.典型错误：在正方体中，，若说“因为 且 平面 ，所以 平面 ”，就犯了“线在面外条件缺失”的错误——实际上AB就在底面内，不在平面 外.
12.（填空）（5分）
如图，在正方体 中， 为 的中点， 为正方体棱的中点，则满足条件直线 平面 的点 的个数是____.
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析
本题要求在正方体各棱中点中，找出满足 平面 的点F（E为BC中点固定）.信号词“F为正方体棱的中点”“平面”提示需要构造与平面平行的辅助平面，该辅助平面包含点E，且其与正方体棱的交点即为满足条件的F.
■ 推导过程
第1步：取AB、、、、的中点，分别记为M、N、I、H、G.连接这些点形成一个六边形ENIHGM.
第2步：先证 平面 .在正方体中，（平行四边形的对边）.又N、E分别为和BC的中点，连接可得N、E在的中位线上，故 .由 平面 且 平面 ，得 平面 .
第3步：再证 平面 .E为BC中点，M为AB中点，得 .又 平面 且 平面 ，得 平面 .
第4步：由 ，得平面 平面 （面面平行判定定理）.
第5步：平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面平行.因此，只要F取在M、N、I、H、G这五个点中的任意一个，EF均在六边形面内，满足 平面 .
第6步：所以满足条件的点F共有5个.
■ 步骤总结
找满足“过定点E且与定平面平行的直线上的动点F”的问题，通法是构造过定点E且与目标平面平行的辅助平面.辅助平面与正方体各棱的交点（或与其他直线的交点）即为满足条件的点.本题中，构造六边形平面的关键在于先找到两条过E且与目标平面平行的直线（EM、EN）.
【规律总结】
“过定点构造平行于已知平面的平面”的方法：在已知平面内任选两条相交直线，过定点分别作这两条直线的平行线，这两条平行线确定的平面即为所求.这是面面平行判定定理的构造性应用.
13.（解答）（20分）
如图，在四棱锥 中， 是正方形， 分别是 的中点.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题是标准的递进式证明题：先证线面平行（第1问），再由线面平行推进到面面平行（第2问）.条件“E、F、G分别是PC、PD、BC的中点”明显提示使用三角形中位线定理.第1问需找到过AB且平行于面EFG内一条线的平行关系；第2问需找到面PAB内两条相交直线分别平行于面EFG.
■ 推导过程
（1）求证：直线 平面 .
第1步：因为E、F分别是PC、PD的中点，在 中，由三角形中位线定理得 .【3分】
第2步：因为ABCD是正方形，所以 .【2分】
第3步：由平行关系的传递性，得 .【1分】
第4步：又 平面EFG，且 平面EFG，由线面平行判定定理，得直线 平面EFG.【4分】
（2）求证：平面 平面 .
第1步：因为E、G分别是PC、BC的中点，在 中，由三角形中位线定理得 .【3分】
第2步：又 平面EFG，且 平面EFG，由线面平行判定定理，得直线 平面EFG.【3分】
第3步：由（1）已证直线 平面EFG.【1分】
第4步：在平面PAB中，，且AB、PB均平行于平面EFG.由面面平行判定定理（一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面），得平面 平面EFG.【3分】
■ 步骤总结
“线面平行→面面平行”递进证明是高中立体几何的经典题型.解题模板：第1问用中位线或平行四边形证出一组线线平行，再由线线平行得线面平行；第2问另找一条线，同样用中位线证线面平行，再结合第1问结论用面面平行判定定理.
14.（解答）（20分）
如图，已知四棱锥 中，底面 是正方形， 为侧棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）已知 为棱 上的点，若 平面 ，求证： 是 的中点.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题同样是递进证明题.第1问直接使用中位线证线面平行.第2问已知EF // 平面SAD及第1问的结论，需要综合运用线面平行与面面平行的性质来证明点F的位置.信号词“EF // 平面SAD”与已证的“EO // 平面SAD”结合，提示可通过面面平行性质推出AD // OF.
■ 推导过程
（1）求证： 平面 .
第1步：连接AC，设 .因为ABCD是正方形，所以O为AC和BD的中点.【3分】
第2步：在 中，O为AC中点，E为SC中点，由三角形中位线定理得 .【3分】
第3步：又 平面EDB， 平面EDB，由线面平行判定定理，得 平面EDB.【4分】
（2）求证：F是AB的中点.
第1步：由（1）可知 .因为 平面SAD， 平面SAD，所以 平面SAD（线面平行判定）.【3分】
第2步：已知 平面SAD.又 ，且 平面EOF，由面面平行判定定理，得平面 平面EOF.【3分】
第3步：由面面平行性质定理，两平行平面分别与底面ABCD相交，交线互相平行.平面SAD与底面ABCD的交线为AD，平面EOF与底面ABCD的交线为OF.所以 .【2分】
第4步：在 中，O为BD中点，且 （过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边），所以F为AB的中点.【2分】
■ 步骤总结
当已知多条线面平行关系时，可考虑将线面平行“升级”为面面平行（用面面平行判定定理），再利用面面平行性质推出新的线线平行关系.这就是“线面平行→面面平行→线线平行”的推理链，是立体几何综合证明的核心思维路径.
15.（解答）（15分）
如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面 平面 .
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）当Q为PB中点时，平面 平面
【深度解析】
■ 思路分析
本题第1问要求证MN // 平面PAD，由于MN本身不容易直接找到平面PAD内的平行线，信号词“M、N分别是AB、PC的中点”提示考虑构造过MN且与平面PAD平行的辅助平面.第2问在此基础上直接引出谁为Q时平面MNQ // 平面PAD.
■ 推导过程
（1）求证： 平面 .
第1步：取PB中点Q，连接MQ、NQ.【1分】
第2步：在 中，N为PC中点，Q为PB中点，由三角形中位线定理得 .【2分】
第3步：在平行四边形ABCD中，.由平行传递性，得 .【1分】
第4步：又 平面PAD， 平面PAD，由线面平行判定定理，得 平面PAD.【1分】
第5步：在 中，M为AB中点，Q为PB中点，由三角形中位线定理得 .同理可得 平面PAD.【1分】
第6步：由 ，且NQ、MQ均平行于平面PAD，由面面平行判定定理，得平面 平面PAD.【1分】
第7步：又 平面MNQ，由面面平行性质（一个平面内的任意直线都平行于另一个平面），得 平面PAD.【1分】
（2）确定点Q的位置.
第1步：由（1）的推导过程可知，当点Q恰好取为PB的中点时，我们有 且 .【3分】
第2步：由此得出 平面PAD， 平面PAD，且 ，由面面平行判定定理，得平面 平面PAD.【4分】
第3步：因此，点Q即为PB的中点.
■ 步骤总结
证明线面平行时，若不易直接找到面内的平行线，可通过构造“辅助平面”来间接证明：先证辅助平面平行于目标平面，再由辅助平面包含目标直线得到线面平行.这是“面面平行→线面平行”的迂回策略.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B A、B、C （1）证明见解析；（2）存在，F为OE中点 C C、D A、C、D
9 10 11 12 13 14 15
C A、B、C 证明见解析 （1）证明见解析，；（2） （1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
一、面面平行的判定定理
1.（单选）（5分）
已知 ， ， 是三个不同的平面， ， ，则“ ”是“ ”的（ 　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析
本题将面面平行与充要条件判断相结合.条件为 ，要求判断“”是“”的什么条件.需要分别验证充分性（由 能否推出 ）和必要性（由 能否推出 ）.
■ 推导过程
第1步：先验证必要性.若 ，且 ，由面面平行的性质定理（两个平行平面同时与第三个平面相交，交线互相平行），直接得 .所以必要性成立.
第2步：再验证充分性.若 ，即平面与、的交线平行，但与本身可能平行，也可能相交（例如，一本书打开，书脊所在平面同时与左右两页各交出一条互相平行的线，但左右两页却相交于书脊）.所以充分性不成立.
第3步：综上，“”是“”的必要非充分条件，选B.
■ 步骤总结
充要条件判断在立体几何中常见的考法是结合定理正向使用（证必要性）和反向举例（证非充分性）.必要性一般直接从定理得出；非充分性需要通过举反例（常用模型：打开的书本、相交的墙面）来推翻.
【易错警示】
学生容易误选C（充要条件），错误地认为由 可推出 .这是因为将“与同一平面相交且交线平行的两个平面”与“平行平面的性质”混淆了.记住：交线平行并不能反推出平面平行.
2.（单选）（5分）
已知直线 ， ，平面 ， ，则下列说法错误的是（ 　　）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
【答案速览】 A、B、C
【深度解析】
■ 思路分析
本题要求选出说法错误的选项（多选题），核心考查线面平行、面面平行判定定理的条件完整性.每个选项都需要逐一验证是否符合定理的全部条件.
■ 推导过程
第1步：选项A，由 且 ，直线m可能在平面内，也可能与平行.说法认为“则 ”是片面的，故A错误.
第2步：选项B，由 且 ，缺少“l与m相交”的条件.当l与m为平行线时，与可能相交，故说法错误.
第3步：选项C，由 且 ，这是两条分别在不同平面内的平行线，不能推出这两个平面平行（反例：两堵垂直墙壁的交线两旁各有一条平行于交线的直线，但两壁垂直），故说法错误.
第4步：选项D，由 且 ，条件完整：平面内两条相交直线l和m分别平行于平面.由面面平行判定定理，得 .说法正确.
第5步：综上，错误的是A、B、C.
■ 步骤总结
面面平行判定定理的使用可以概括为“两线、相交、分别平行”三步验证法.缺少“相交”条件（如选项B）是命题人最常设置的陷阱.
3.（填空）（6分）
四棱锥 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点 是棱 上一点， ，若 且满足 平面 ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出四棱锥及线段比例，要求由线面平行条件反求参数.信号词“平面ACE”“”提示需要在图形中构造平行关系，通过面面平行的性质和比例关系来求解参数.
■ 推导过程
第1步：连接BD交AC于点O，连接OE.因为ABCD是正方形，所以O为BD中点.
第2步：在线段PE上取点G，使得 .由 ，可推得 .
第3步：连接BG、FG.在 中，O为BD中点，G为DE上满足 的点，可推出 .
第4步：因为 平面ACE， 平面ACE，所以 平面ACE（线面平行判定）.
第5步：已知 平面ACE，又 ，所以平面BGF // 平面ACE（面面平行判定）.
第6步：由面面平行性质，平面PCD与平面ACE的交线为EC，平面PCD与平面BGF的交线为GF，所以 .
第7步：在 中，，所以 .
第8步：由 得 .
■ 步骤总结
由线面平行反求参数的通用思路：将已知的线面平行条件升级为面面平行（通过构造另一条与目标平面平行的直线），再利用面面平行性质推出线线平行，最后在三角形中用平行线分线段成比例求解参数.
4.（解答）（14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形.
（1）设 为 上靠近 的三等分点， 为 上靠近 的三等分点．求证： 平面 .
（2）设 是 上靠近点 的一个三等分点，试问：在 上是否存在一点 ，使 平面 成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）存在，F为OE中点，证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题第1问为比例线段下的线面平行证明，需构造辅助点形成平行四边形或中位线；第2问为存在性探究，需要逆向思考“若BF // 平面ACE，F应在何处”，通过中位线反向定位F.
■ 推导过程
（1）求证： 平面 .
第1步：在AD上取靠近A的三等分点G，连接MG、NG.【2分】
第2步：在 中，M为OA上靠近A的三等分点，G为AD上靠近A的三等分点，所以 .【2分】
第3步：由 平面OCD， 平面OCD，得 平面OCD.【1分】
第4步：同理，在梯形ABCD中，N为BC上靠近B的三等分点，G为AD上靠近A的三等分点，可推出 ，从而 平面OCD.【1分】
第5步：由 ，得平面 平面OCD.又 平面MNG，所以 平面OCD.【1分】
（2）判断在OD上是否存在一点F，使 平面ACE.
第1步：取OE中点F，连接BF、BD.设 ，连接PE.【2分】
第2步：在矩形ABCD中，P为BD中点.又E为OD上靠近D的三等分点，且F为OE中点，可推出E恰为FD的中点.【2分】
第3步：在 中，P为BD中点，E为FD中点，由中位线定理得 .【1分】
第4步：又 平面ACE， 平面ACE，所以 平面ACE.【1分】
第5步：故存在点F为OE中点，使 平面ACE成立.【1分】
■ 步骤总结
存在性探究问题的解题范式：先假设存在并设定点的位置（结合几何特征猜想中点、三等分点等特殊位置），再验证在该位置下目标条件成立.验证过程通常利用中位线、平行四边形等工具完成.
二、面面平行的性质定理
5.（单选）（5分）
已知棱长为4的正方体 ，点E是棱AB的中点，点F是棱 的中点，动点P在正方形 （包括边界）内运动，且 面 ，则 的长度范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体中面面平行性质与轨迹问题的综合.条件“面DEF”提示点P的轨迹在过且平行于面DEF的平面与面的交线上.需要先构造该平行平面，再在正方体表面求轨迹，最后计算线段长度范围.
■ 推导过程
第1步：取上靠近B的四等分点G，连接EG、FG.由E为AB中点、F为中点，得 .
第2步：取、中点H、J，取上靠近的四等分点I.连接、HI、IJ、.由正方体性质可证 ，进而 平面DEF.同理 平面DEF.
第3步：由 ，得平面 平面DEF.
第4步：因 平面DEF，且P在面（含边界）内运动，平面 面，故点P的轨迹为线段IJ.
第5步：利用等面积法求点D到IJ的距离d：，得 .
第6步：.
第7步：故PD的长度范围为 ，选C.
■ 步骤总结
立体几何轨迹问题的核心步骤：①构造过定点且与已知平面平行的辅助平面；②找出辅助平面与动点所在面的交线；③在所得线段或折线段上分析几何量的最值，常用等面积法、勾股定理等平面几何工具.
6.（多选）（6分）
在边长为1的正方体 中，点 是一个动点，且 平面 ，则线段 的长度可能是（ 　　）
A. 1 B. C. D.
【答案速览】 C、D
【深度解析】
■ 思路分析
本题是动点轨迹与线段长度范围的综合题.条件“平面”提示M的轨迹为过B且平行于平面的平面与正方体的交面，求出M的轨迹后，DM的长度范围即为点D到该轨迹上各点距离的范围.
■ 推导过程
第1步：由正方体性质，，所以 平面 .同理 平面 .
第2步：由 ，得平面 平面 .
第3步：若 平面 ，则BM在平面 内，从而 平面 .
第4步：动点M的轨迹即平面 在正方体内的部分（一个边长为 的正三角形区域）.
第5步：DM的最小值为点D到平面 的距离.正四面体 的棱长均为 ，计算可得D到平面 的距离 .
第6步：DM的最大值为点D到平面 各顶点的距离，即 .
第7步：所以 .在此范围内的选项有 和 ，故选C、D.
■ 步骤总结
动点到平面距离范围的求解步骤：①确定动点的轨迹平面（或区域）；②求定点到轨迹平面的距离（最小值）；③求定点到轨迹边界（顶点、棱）的距离（最大值）；④写出范围并匹配选项.
7.（多选）（6分）
如图正方体 ， 、 分别为 ， 的中点， 是线段 上的动点（包括端点），下列说法正确的是（ 　　）
A. 对于任意 点， 与平面 平行
B. 存在 点，使得 与平面 平行
C. 存在 点，使得直线 与直线 平行
D. 对于任意 点，直线 与直线 异面
【答案速览】 A、C、D
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体中动点M在定线段 上运动的多结论判断.四个选项涉及线面平行、线线平行和异面直线判定.解题策略：对每个选项，结合正方体的结构特征和线面位置关系逐一判定.
■ 推导过程
第1步：对于选项A.取 中点G，连接 、EG.可证四边形 为平行四边形，得 .同理 ，故 .进一步可证平面 平面BDF.因为M在线段 上，所以 平面 ，从而 平面BDF恒成立.A正确.
第2步：对于选项B.取 中点H，连接 、GH.可证平面 平面BDF.但 是从 出发到线段 上某点的连线，其方向不在平面 内.因此不存在M使 平面BDF.B错误.
第3步：对于选项C.连接CG、FG.可证四边形CDGF为平行四边形，得 .同理 ，则 .当点M与点E重合时，，所以 成立.C正确.
第4步：对于选项D.用反证法：假设存在点M使 与BF共面，则 平面 .但事实上M在线段 上， 与平面 无交点，矛盾.故对任意M点， 与BF始终异面.D正确.
第5步：综合，选A、C、D.
■ 步骤总结
正方体中动点问题的多结论判别，核心是构造平行平面和利用平行四边形找平行线.对于“恒成立”类选项，可通过证面面平行来证线面平行；对于“存在”类选项，可将动点置于端点或中点等特殊位置验证.
【易错警示】
此类多选题易在B和D之间出错.B项的典型错误：认为只要找到一个与平面BDF平行的平面，过且在其中的任何直线都平行于平面BDF，但忽略了并不在该平面内.D项中的异面判定需严格反证，不能仅凭直觉判断.
8.（填空）（5分）
如图所示，在棱长为2的正方体 中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若 平面 ，则P的轨迹长为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题与B卷第12题类似，是正方体表面上的轨迹问题.条件“平面”提示动点P的轨迹是过且与平面平行的平面与正方体表面的交线.需构造该平行平面，求出交线总长度.
■ 推导过程
第1步：取 、BC的中点分别为E、F，连接DE、DF、、、EM.
第2步：由M为AD中点，得 且 ，四边形 为平行四边形，则 .
第3步：又 且 ，四边形BMDF为平行四边形，则 ，从而 .
第4步：同理可证四边形 为平行四边形.由 及 平面 ，得 平面 .同理 平面 .
第5步：由 ，得平面 平面 .
第6步：动点P在正方体表面上运动且 平面 ，等价于P在过的平行面与正方体表面的交线上移动，其轨迹即平行四边形 的四条边.
第7步：计算轨迹长：，总长为 .
■ 步骤总结
与第12题同属一类，核心是构造过定点且与目标平面平行的平面，轨迹即为该辅助平面与动点所在面的交线.正方体中此类轨迹通常为平行四边形（或三角形、六边形），计算其周长即可得出轨迹长度.
9.（填空）（5分）
如图，在棱长为3的正方体 中， 在线段 上，且 ， 是侧面 上一点，且 平面 ，则线段 的最大值为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题动点N在侧面 上，满足 平面 （M为BC上定点）.需在侧面内寻找N的轨迹，轨迹为过M且平行于平面 的平面与侧面 的交线.求线段MN的最大值即求M到该交线两端点距离的较大值.
■ 推导过程
第1步：在线段CD上取点E，使 ；在 上取点F，使 .连接ME、EF、.
第2步：由 ，根据平行线分线段成比例，得 且 .
第3步：在正方体中，，所以 .
第4步：由 及 平面 ， 平面 ，得 平面 .同理 平面 .
第5步：由 ，得平面 平面 .
第6步：因为N在侧面 上，且 平面 ，所以N必在平面MEF与侧面 的交线EF上.
第7步：，（或 在相关矩形内计算）.在 中，MN的最大值为 （当N在F点时取得）.
■ 步骤总结
侧面内的动点轨迹问题，构造平行平面的方法与前述题目一致.本题的关键是辅助点E、F的取法：通过将M点的定比分比例复制到CD和 上，构造出与目标平面平行的平面，所得交线即为轨迹.
三、面面平行的综合探究
10.（多选）（6分）
如图，正方体 的棱长为1， ， ， 分别为线段 上的动点（不含端点），
① 异面直线 与 所成角可以为
② 当 为中点时，存在点 ， 使直线 与平面 平行
③ 当 ， 为中点时，平面 截正方体所得的截面面积为
④ 存在点 ，使点 与点 到平面 的距离相等
则上述结论正确的是（ 　　）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体中多个动点（E、F、G）的多结论综合判断，涉及异面直线所成角、线面平行、截面面积和点面距离.需逐一验证结论.
■ 推导过程
第1步：对于结论①.，与AF的夹角即为 .当F与C重合时 ；当F不与C重合时，，故 .结论①错误.
第2步：对于结论②.当G为 中点时，取E、F分别为BC、的中点.取 中点M，连接 、MG.可证 ，，从而平面 平面AEF.又 平面 ，所以 平面AEF.结论②正确.
第3步：对于结论③.当E、F均为中点时，连接 、、AE.截面为等腰梯形 .计算上底 ，下底 ，腰高可算得，代入梯形面积公式得 .结论③正确.
第4步：对于结论④.要使C和G到平面AEF的距离相等，需EF经过GC的中点.但当E、F为中点时，无满足条件的G存在.结论④错误.
第5步：综合，②③正确，选C.
■ 步骤总结
多动点综合判断题的解题策略：逐条验证.当结论涉及“存在”时，可尝试将动点取为特殊位置（中点、端点）直观判断；当涉及“定量计算”时，利用正方体的长度和面积公式直接计算.构造平行平面是证明线面平行的核心工具.
11.（多选）（6分）
如图，矩形 中， 为 的中点， 为 的中点， 交 于点 ，将 沿直线 翻折到 ，连接 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列命题中正确的是（ 　　）
A. 翻折过程中，始终有平面 平面
B. 翻折过程中， 的长是定值
C. 若 ，则
D. 存在某个位置，使得
【答案速览】 A、B、C
【深度解析】
■ 思路分析
本题是翻折问题中的多结论判断，涉及面面平行的恒成立性（翻折过程中不变）、线段长的定值性、垂直关系以及垂直关系的存在性.翻折问题的关键在于区分“变”与“不变”的量.
■ 推导过程
第1步：对于选项A.E、F为BC、AD中点，CF交DE于H，H为ED中点（由平行四边形CEFD易得）.在翻折过程中，FG为 的中位线的一部分，FG始终平行于AP（AP即AE翻折后的位置）.又GH始终平行于PE，所以FG和GH始终分别平行于平面PAE.由 ，平面GFC始终平行于平面PAE.A正确.
第2步：对于选项B. 中，（翻折过程中PAE形状不变，角度为定值），（定值），（定值）.由余弦定理，CG为定值.B正确.
第3步：对于选项C.若 ，在矩形中有 ，所以 ，即 .翻折前AE已垂直于ED，翻折后此垂直关系被保留在与ED的关系中（需注意翻折过程中ED的位置不变，AE变成AP，但是原始图形的性质）.C正确.
第4步：对于选项D.在翻折过程中，（原始图形中 翻折得来），所以 .在同一平面GFC内，GC不可能垂直于GF（因为 不可能为90°）.由 ，得GC不可能垂直于AP.D错误.
第5步：综上，选A、B、C.
■ 步骤总结
翻折问题的分析要领：①区分“折前折后不变”的量（长度、角度）；②关注折痕垂直关系（折痕两侧对应点连线被折痕垂直平分）；③判定平行关系时可利用平行四边形和中位线；④判定垂直关系时利用直角三角形性质或余弦定理.
12.（填空）（6分）
在棱长为2的正方体 中，点E、F分别是棱BC， 的中点，P是侧面四边形 内（不含边界）一点，若 平面AEF，则线段 长度的取值范围是____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体内侧面上的动点轨迹与线段长度范围问题.条件“ 平面AEF”（E、F为棱中点）提示P的轨迹在过且平行于平面AEF的平面与侧面 的交线上.
■ 推导过程
第1步：取 、 的中点M、N，连接 、MN、.
第2步：因为E、F分别是BC、的中点，所以 .由线面平行判定得 平面AEF.
第3步：由 且 ，四边形 为平行四边形，得 .从而 平面AEF.
第4步：由 ，得平面 平面AEF.
第5步：因为 平面AEF且P在侧面 内，平面 侧面 ，所以点P的轨迹为线段MN（不含端点M、N，因为P在侧面内部不含边界）.
第6步：在等腰 中，，.底边MN上的高为 .
第7步：当P为MN中点时， 取得最小值 ；当P趋近于M或N时， 趋近于 （但不含端点）.故取值范围为 .
■ 步骤总结
与第5、8、9题属同一类轨迹问题.求线段长度的取值范围，需先确定轨迹（通常为线段），再分析定点到线段上各点距离的最值：最小值一般为垂线段长，最大值在线段端点处取得.
13.（解答）（12分）
如图，在三棱柱 中， 为 的中点，设平面 与底面 的交线为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 .
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题是棱柱中的平行关系证明.第1问用中位线证线面平行；第2问结合面面平行性质（平面 平面ABC）和面面平行的判定，证明交线l与平面 的关系.
■ 推导过程
（1）证明： 平面 .
第1步：连接 与 交于点O，连接OM.【2分】
第2步：在三棱柱中，侧面 为平行四边形，O为 的中点.【1分】
第3步：又点M为 的中点，在 中，OM为中位线，则 .【1分】
第4步：因为 平面 ， 平面 ，由线面平行判定定理，得 平面 .【2分】
（2）证明： 平面 .
第1步：在三棱柱中，上底面 下底面ABC.【2分】
第2步：平面 与下底面ABC的交线为l，与上底面 的交线为 .由面面平行的性质定理，得 .【2分】
第3步：因为 平面 ，且 平面 ，由线面平行判定定理，得 平面 .【2分】
■ 步骤总结
棱柱中证明线面平行的常用策略：①利用侧面平行四边形对角线互相平分找中点，构造中位线；②利用上下底面平行这一基本性质，结合面面平行性质定理推导交线平行，再转证线面平行.
14.（解答）（14分）
如图，在三棱柱 中，已知点 分别在 上，且 经过 的重心，点 分别是 的中点，且 四点共面.
（1）求证： ，并求 的值；
（2）求三棱锥 与多面体 的体积之比.
【答案速览】 （1）证明见解析，；（2）
【深度解析】
■ 思路分析
本题综合考查面面平行性质、三角形重心性质以及体积计算.第1问求GH与EF的位置关系及比值，需利用面面平行性质（）和中位线（）得平行关系，再用重心性质（）求比值.第2问利用相似三角形面积比及棱柱棱锥体积公式求体积比.
■ 推导过程
（1）求证 ，并求 的值.
第1步：因为平面 平面ABC，且平面BCHG与两平行平面分别交于HG和BC，由面面平行的性质定理，得 .【2分】
第2步：在 中，E、F分别是AB、AC的中点，由三角形中位线定理得 ，且 .【1分】
第3步：由平行传递性，得 .【1分】
第4步：因为 经过 的重心，根据重心性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1），有 .【1分】
第5步：又 ，所以 .结合第2步 ，得 .【2分】
（2）求三棱锥 与多面体 的体积之比.
第1步：设三棱柱的高为h，底面ABC的面积为S.【1分】
第2步：因为E、F为AB、AC中点，所以 .【1分】
第3步：三棱锥 的体积 .【2分】
第4步：三棱柱 的体积 .【1分】
第5步：多面体 的体积 .【1分】
第6步：所求体积比为 .【1分】
■ 步骤总结
三棱锥体积问题的常用公式：三棱锥体积 = 底面积 高.当几何体可视为“大几何体减去小几何体”时，采用补体法求体积.面积比与线段比的转换是本题的关键.
15.（解答）（16分）
如图，已知多面体 的底面 为直角梯形，四边形 为矩形，且平面 平面 ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当异面直线 与 所成角取最大时，求 ；
（3）设 ， 为 的中点，求证： 平面 .
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题为组合体（直角梯形+矩形）中的综合题.第1问证面面平行，使用线面平行判定定理分别证AF // 平面CDE和AB // 平面CDE，再结合面面平行判定定理.第2问求异面直线所成角取最大值时DE的长，关键是找到异面直线BF与CE所成角的平面角（通过平移），再用余弦定理或基本不等式求最大值对应的DE.第3问改为证明线面平行（AN // 平面BDF）.
■ 推导过程
（1）证明：平面 平面 .
第1步：由ADEF为矩形得 .【1分】
第2步： 平面CDE， 平面CDE，由线面平行判定定理得 平面CDE.【1分】
第3步：同理，由 ， 平面CDE， 平面CDE，得 平面CDE.【1分】
第4步：，AB、AF均在平面ABF内，由面面平行判定定理得平面 平面CDE.【2分】
（2）当异面直线 与 所成角取最大时，求DE.
第1步：取CD中点M，连接BM、EM.由 且 ，得四边形ABMD为平行四边形，所以 .【1分】
第2步： 即为异面直线BF与CE所成角的平面角（通过平移BF至EM）.【1分】
第3步：设 .在相关直角三角形中，用余弦定理：.【2分】
第4步：，当且仅当 时取等（运用基本不等式）.【1分】
第5步： 取最小值时角最大，故当 时，异面直线BF与CE所成角取最大.【1分】
（3）求证： 平面 .
第1步：连接BD、AC交于点O，连接OF.由ABCD为直角梯形（需根据第1问结论和题目条件进一步得出相关平行关系，此处给出概要证明路径）.【1分】
第2步：通过构造平行四边形和中位线，证明 （N为CF中点，O为底面相关线段中点）.【2分】
第3步：由 平面BDF， 平面BDF，根据线面平行判定定理，得 平面BDF.【2分】
■ 步骤总结
组合体中的面面平行证明：分别寻找两条在不同平面内的相交直线，利用矩形、梯形等平面图形的性质转化为线线平行.第2问中异面直线所成角的最值问题，一般采用余弦定理或向量数量积公式表达角的余弦，再用基本不等式求最值.第六章 4.2 平面与平面平行 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 面面平行判定定理的条件完整性——错误表现：在证明面面平行时，遗漏“两条相交直线”或“两条直线均平行于另一平面”等关键条件.正确做法：必须保证一平面内两条相交直线分别平行于另一平面.
2. 线面平行推不出面面平行——错误表现：由一条直线平行于一个平面，直接推出经过该直线的任意平面与该平面平行.正确做法：面面平行需要在掌握线面平行的基础上，补充“相交”条件才能判定.
3. 面面平行性质中交线平行的应用——错误表现：多个平行平面被第三个平面所截时，混淆交线之间的平行关系.正确做法：明确两个平行平面分别与第三个平面的交线互相平行.
训练目标：
1. 能够准确辨析面面平行判定定理和性质定理的条件，识别常见错误命题.
2. 能够在正方体、三棱柱等常见几何体中，结合中位线、平行四边形性质证明线面平行与面面平行.
3. 能够运用面面平行性质定理判断截面形状、计算面积和线段比.
4. 能够综合运用线面平行、面面平行的判定与性质解决存在性探究和轨迹问题.
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A卷　基础巩固（100分）
一、面面平行的判定定理
1.（单选）（5分）
已知a，b，c为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（ 　　）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
2.（单选）（5分）
下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ， 为正方体的三个顶点，则能得出平面 平面 的是（ 　　）
A． B．
C． D．
3.（单选）（5分）
已知l，m，n是三条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
4.（单选）（5分）
已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ 　　）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 为异面直线，且 ， ， ，则 与 中至少一条相交
5.（填空）（5分）
若平面 与平面 平行， ， ，则 与 的位置关系是____.
二、面面平行的性质定理
6.（单选）（5分）
已知平面 平面 ，过平面 内的一条直线 的平面 ，与平面 相交，交线为直线 ，则 、 的位置关系是（ 　　）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定
7.（单选）（5分）
已知正方体 ，平面 与平面 的交线为 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
8.（单选）（5分）
P为 所在平面外一点，平面 平面 ， 分别交线段 于 ，若 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
9.（填空）（5分）
已知平面 平面 ，点 在平面 内，点 在平面 内，则过点 且平行于 的直线与过点 且平行于 的直线的位置关系是____.
10.（填空）（5分）
如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 为截面，则四边形 的形状为____.
三、线面平行的判定与综合证明
11.（单选）（5分）
已知m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ 　　）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
12.（填空）（5分）
如图，在正方体 中， 为 的中点， 为正方体棱的中点，则满足条件直线 平面 的点 的个数是____.
13.（解答）（20分）
如图，在四棱锥 中， 是正方形， 分别是 的中点.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
14.（解答）（20分）
如图，已知四棱锥 中，底面 是正方形， 为侧棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）已知 为棱 上的点，若 平面 ，求证： 是 的中点.
15.（解答）（15分）
如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面 平面 .
B卷　能力提升（100分）
一、面面平行的判定定理
1.（单选）（5分）
已知 ， ， 是三个不同的平面， ， ，则“ ”是“ ”的（ 　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要
2.（单选）（5分）
已知直线 ， ，平面 ， ，则下列说法错误的是（ 　　）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
3.（填空）（6分）
四棱锥 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点 是棱 上一点， ，若 且满足 平面 ，则 ____.
4.（解答）（14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形.
（1）设 为 上靠近 的三等分点， 为 上靠近 的三等分点．求证： 平面 .
（2）设 是 上靠近点 的一个三等分点，试问：在 上是否存在一点 ，使 平面 成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由.
二、面面平行的性质定理
5.（单选）（5分）
已知棱长为4的正方体 ，点E是棱AB的中点，点F是棱 的中点，动点P在正方形 （包括边界）内运动，且 面 ，则 的长度范围为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（多选）（6分）
在边长为1的正方体 中，点 是一个动点，且 平面 ，则线段 的长度可能是（ 　　）
A. 1 B. C. D.
7.（多选）（6分）
如图正方体 ， 、 分别为 ， 的中点， 是线段 上的动点（包括端点），下列说法正确的是（ 　　）
A. 对于任意 点， 与平面 平行
B. 存在 点，使得 与平面 平行
C. 存在 点，使得直线 与直线 平行
D. 对于任意 点，直线 与直线 异面
8.（填空）（5分）
如图所示，在棱长为2的正方体 中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若 平面 ，则P的轨迹长为____.
9.（填空）（5分）
如图，在棱长为3的正方体 中， 在线段 上，且 ， 是侧面 上一点，且 平面 ，则线段 的最大值为____.
三、面面平行的综合探究
10.（多选）（6分）
如图，正方体 的棱长为1， ， ， 分别为线段 上的动点（不含端点），
① 异面直线 与 所成角可以为
② 当 为中点时，存在点 ， 使直线 与平面 平行
③ 当 ， 为中点时，平面 截正方体所得的截面面积为
④ 存在点 ，使点 与点 到平面 的距离相等
则上述结论正确的是（ 　　）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
11.（多选）（6分）
如图，矩形 中， 为 的中点， 为 的中点， 交 于点 ，将 沿直线 翻折到 ，连接 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列命题中正确的是（ 　　）
A. 翻折过程中，始终有平面 平面
B. 翻折过程中， 的长是定值
C. 若 ，则
D. 存在某个位置，使得
12.（填空）（6分）
在棱长为2的正方体 中，点E、F分别是棱BC， 的中点，P是侧面四边形 内（不含边界）一点，若 平面AEF，则线段 长度的取值范围是____.
13.（解答）（12分）
如图，在三棱柱 中， 为 的中点，设平面 与底面 的交线为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 .
14.（解答）（14分）
如图，在三棱柱 中，已知点 分别在 上，且 经过 的重心，点 分别是 的中点，且 四点共面.
（1）求证： ，并求 的值；
（2）求三棱锥 与多面体 的体积之比.
15.（解答）（16分）
如图，已知多面体 的底面 为直角梯形，四边形 为矩形，且平面 平面 ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当异面直线 与 所成角取最大时，求 ；
（3）设 ， 为 的中点，求证： 平面 .
参考答案与详解
A卷答案速查表
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D D 平行或异面 A C A
9 10 11 12 13 14 15
平行或异面 平行四边形 D 5 证明见解析 证明见解析 （1）证明见解析；（2）Q为PB中点
B卷答案速查表
1 2 3 4 5 6 7 8
B A、B、C （1）证明见解析；（2）存在，F为OE中点 C C、D A、C、D
9 10 11 12 13 14 15
C A、B、C 证明见解析 （1）证明见解析，；（2） （1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
A卷　基础巩固（100分）
一、面面平行的判定定理
1.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出关于线面、面面平行的多个命题，要求找出正确命题.从题干中识别到信号词“直线与平面平行的判定”“平面与平面平行的判定”，触发调用面面平行的传递性、线面平行的判定定理及性质定理.解题方向是逐项分析：A项用面面平行的传递性验证，B、C、D项通过寻找反例（或分析条件缺失）来排除.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 且 ，根据面面平行的传递性（若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行），可得 .故A正确.
第2步：对于选项B，若 且 ，直线的平行关系不能传递到平面.例如在正方体中，与同一直线平行的两个平面可能平行也可能相交，故B错误.
第3步：对于选项C，若 且 ，两条直线分别平行于同一平面时，这两条直线之间可以平行、相交或异面，故C错误.
第4步：对于选项D，若 且 ，直线a可能在平面内，也可能与平行，故D错误.
第5步：综上所述，只有选项A正确.
■ 步骤总结
判断此类命题辨析题的通法：对每个选项，先回忆相关定理的完整条件；若选项中条件不完整或不符合定理，尝试在正方体模型中构造反例.面面平行具有传递性，但线面平行、线线平行之间的传递需谨慎.
【易错警示】
学生最易误选B或C，错误原因是错误地认为“平行”关系具有无条件的传递性.事实上，面面平行的传递性成立，但线与面、面与面之间的“平行于同一直线则互相平行”不成立.典型错误：由 和 推出 ，忽略了和之间可能相交的情况.
【规律总结】
面面平行具有传递性（若 ，则 ），这是解决此类判断题的核心依据.遇到“平行于同一个…的两个…”型命题，优先用正方体模型检验反例.
2.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出四个正方体，要求识别哪个正方体中的平面ABC与平面DEF平行.题目中的“所在棱的中点”“正方体的三个顶点”是关键信号，触发调用三角形中位线定理（初中）在正方体中的应用，以及面面平行的判定定理.解题方向：遍历选项，尝试证明或否定面面平行.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，假设平面ABC // 平面DEF，因为BC在平面ABC内，由面面平行的性质可推出BC // 平面DEF.但由图观察，BC与平面DEF在空间中明显相交（BC不平行于DE、DF或EF中的任一条），推出矛盾，故选项A不满足.
第2步：对于选项B，连接NG.在正方体中，A、C分别为PN、PG的中点，由三角形中位线定理得 .又 且 （正方体对面棱平行且相等），四边形EFNG为平行四边形，则 ，从而 .由线面平行判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线平行于此平面），得 平面DEF.同理可证 平面DEF.又 ，由面面平行判定定理，得平面ABC // 平面DEF.故选项B满足.
第3步：对于选项C，在正方体中，若平面ABC // 平面DEF，由平面DEF // 平面MNHP（正方体对面平行），结合面面平行传递性，推得平面ABC // 平面MNHP.但观察图形，平面ABC与平面MNHP相交，产生矛盾.故选项C不满足.
第4步：对于选项D，连接PH、PM、MH.由 且 ，得四边形DHMF为平行四边形，则 .由线面平行判定得 平面PHM.同理 平面PHM.由 ，得平面DEF // 平面PHM.若平面ABC // 平面DEF，则平面ABC // 平面PHM（传递性）.但如图所示，平面ABC与平面PHM相交，矛盾.故选项D不满足.
第5步：综上所述，只有选项B满足条件.
■ 步骤总结
在正方体中证明面面平行的通法：利用中位线和平行四边形性质找出一组平行线，再通过线面平行→面面平行的判定链逐步推进.反证法是排除错误选项的有力工具.
【一题多解】
对于选项C和D，也可直接寻找平面ABC与平面DEF的交线：若存在交线，则两平面相交；若不存在交线且能证明平面ABC内两条相交直线分别平行于平面DEF，则两平面平行.正方体中，取特殊点辅助分析可简化判断.
3.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析
本题同样考查线面平行与面面平行的命题辨析.关键信号词“l, m, n为直线，为平面”提示需要在空间中线、面关系框架下分析.A项涉及“线在面外需明确说明”的陷阱，B项涉及面面平行判定定理“两条相交直线”的条件缺失，C项涉及“一条直线平行于两个平面不能推出这两个平面平行”.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 ，要得到 ，还需要补充条件 .若l恰好在内，则结论不成立.故A错误.
第2步：对于选项B，面面平行判定定理要求一个平面内的两条直线必须是相交直线.选项B未说明l与m是否相交，当l和m为平行线时，无法保证.如图所示，在正方体中存在反例.故B错误.
第3步：对于选项C，一条直线l平行于两个平面和，这两个平面可能平行也可能相交（例如门的转轴所在直线同时平行于门板所在的无数个平面）.故C错误.
第4步：对于选项D，面面平行具有传递性：若 且 ，则 .这是基本性质，故D正确.
第5步：综上所述，选项D正确.
■ 步骤总结
面面平行判定定理的完整条件：（1）一个平面内的两条直线；（2）这两条直线相交；（3）这两条直线分别平行于另一个平面.三个条件缺一不可.面面平行具有传递性，可直接使用.
【易错警示】
选项B是高频易错点.学生常忽略判定定理中“相交”条件，认为“两条直线分别平行则面面平行”.典型错误思路：在正方体中将上底面的两条平行棱分别平行于下底面，就误认为两个平行的侧面也推出面面平行.记住：必须有交点！
4.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析
本题涉及异面直线与面面平行的关系.D项条件中“m, n为异面直线”是一个特殊信号，提示反证法的使用场景.通过假设l与m、n都不相交，推出m // n，与已知“异面”矛盾，从而证明结论成立.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 且 ，m与n可以平行、相交或异面，不能必然推出 .故A错误.
第2步：对于选项B，若 且 ，平面与可以相交（例如门框所在直线同时平行于两面墙壁，但两面墙壁相交）.故B错误.
第3步：对于选项C，若 ， 且 ，直线m可能在平面内.故C错误.
第4步：对于选项D，已知m, n为异面直线，且 ，，.用反证法：假设直线l与m和n都不相交.因为 且l与m不相交，所以 （在同一平面内，不相交则平行）.同理，在平面内l与n不相交，则 .由平行公理（平行于同一直线的两直线平行），得 ，这与“m, n为异面直线”矛盾.故假设不成立，l必与m、n中至少一条相交.
第5步：综上所述，选项D正确.
■ 步骤总结
反证法在处理“异面直线”相关命题时尤为有效.当正面推导困难时，假设结论不成立，利用平面几何中的平行关系（同一平面内两条直线要么相交要么平行）推出与已知条件矛盾的结果，从而证明原结论.
【易错警示】
选项C中，学生容易遗漏“m可能在内”的情形.线面平行只能保证直线与平面无公共点，并不能保证直线不在另一个与之相交的平面内.这一陷阱与第1题B项类似.
5.（5分）
【答案速览】 平行或异面
【深度解析】
■ 思路分析
本题条件为“平面与平面平行”，且直线a在内、b在内，要求判断a与b的位置关系.信号词“面面平行”“分别在两个平面内”触发调用面面平行的性质：两平行平面无公共点，则分别位于这两个平面内的两条直线也无公共点.无公共点的两条直线可能平行，也可能异面.
■ 推导过程
第1步：因为 ，所以平面与平面没有公共点（面面平行的定义）.
第2步：因为 且 ，所以a与b也没有公共点.若a与b有公共点，则该点必同时在和内，与面面平行矛盾.
第3步：空间中两条没有公共点的直线，其位置关系可以是平行或异面.当a与b共面时，两者平行；当a与b不共面时，两者异面.
第4步：因此，a与b的位置关系是“平行或异面”.
■ 步骤总结
面面平行的本质是“无公共点”，由此可推出分别位于两平行平面内的直线也无公共点.无公共点的两条空间直线，关系为平行或异面.解答时注意使用“或”而非“和”来描述两种可能性.
二、面面平行的性质定理
6.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析
本题条件为“平面平面”，过内直线a作平面与交于直线b.直接套用面面平行的性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线互相平行.
■ 推导过程
第1步：已知平面平面.
第2步：平面与平面的交线为直线a（因为a在内，且过a），平面与平面的交线为直线b（题给条件）.
第3步：由面面平行的性质定理（两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行），直接得 .
第4步：因此a与b的位置关系是平行，选A.
■ 步骤总结
面面平行性质定理的核心记忆模式：“平行面 + 同一截面 → 交线平行”.使用前需确认题目满足“两平面平行”“与同一平面相交”两个条件.
7.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出正方体，要求判断两个指定平面的交线l与选项中哪条直线平行.信号词“正方体”“平面…与平面…的交线”提示应在正方体框架下，利用面面平行的性质以及平行四边形的性质来找平行关系.
■ 推导过程
第1步：在正方体中，平面 平面 （正方体对面平行）.
第2步：题设平面 分别与这两个平行平面相交：与平面 的交线为 ，与平面 的交线为 .
第3步：由面面平行性质定理，得 .
第4步：在正方体中， 且 ，四边形 为平行四边形，故 .
第5步：由平行关系的传递性，得 .选项中对应C.
第6步：检查其他选项： 均与 相交（或不平行），故l与它们均不平行.
■ 步骤总结
在正方体中找交线的平行线时，可先利用“对面平行”寻找与该平面平行的另一个面，然后将交线问题转化为两个平行平面与第三个截面交线的平行关系，再借助平行四边形传递平行线.
8.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出三棱锥被平行于底面的平面所截的条件，要求面积比.信号词“平面平面ABC”“截线段PA、PB、PC”提示：两平行平面被三个分别过侧棱的平面所截，交线互相平行，进而推出三角形相似.由线段比推相似比，再由相似比推面积比（平方关系）.
■ 推导过程
第1步：因为平面平面ABC，平面PAB分别与这两个平面交于 和AB，所以 （面面平行性质）.
第2步：已知 ，则 .
第3步：在 中，，由平行线分线段成比例定理，得 .
第4步：同理可证 且 ， 且 .
第5步：所以 ，相似比为 .
第6步：相似三角形面积比等于相似比的平方，即 .
■ 步骤总结
平行于底面的平面截三棱锥，截面三角形与底面三角形相似.解题分四步：①用面面平行性质得线线平行；②由线段比例推相似比；③确认三角形相似；④面积比 = 相似比的平方.
【易错警示】
注意 与 的区别.前者是 与 的比，后者是 与整条PA的比.学生易混淆，导致相似比写成 而误选C或D.正确做法：由分比转化到合比.
9.（5分）
【答案速览】 平行或异面
【深度解析】
■ 思路分析
本题为补充的填空题.条件为面面平行，过两平面内各取一点，分别作平行于对方平面的直线.需分析的是：过内点P且平行于的直线（即平行于的任意直线），与过内点Q且平行于的直线（即平行于的任意直线），这两条线的位置关系是否确定.
■ 推导过程
第1步：因为 ，所以平面内的任意直线都平行于平面（面面平行的性质：若两个平面平行，则一个平面内的任意直线都平行于另一个平面）.
第2步：过点P且平行于的直线有无数条（形成一个与平行的平面，实际上就是或其平移面），这些直线都在内或在与平行的某个平面内.
第3步：同理，过点Q且平行于的直线都在内或在与平行的某个平面内.
第4步：当两条所取的直线共面时（例如分别取同方向的直线），它们平行；当两条直线不共面时（例如在空间中互相垂直的方向），它们异面.
第5步：因此，位置关系为“平行或异面”.
■ 步骤总结
与第5题同理，两平行平面中的直线无公共点，因此只能平行或异面.本题增加了“过定点作平行线”的条件，但本质未变.
10.（5分）
【答案速览】 平行四边形
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出长方体被一平面所截的截面，要求判断四边形EFGH的形状.信号词“长方体”“截面”提示用面面平行的性质定理：长方体对面平行，截面与两平行面的交线互相平行.截面四边形的两组对边分别由两组平行平面的交线构成，从而两组对边分别平行，推得平行四边形.
■ 推导过程
第1步：在长方体中，平面ABFE // 平面DCGH（长方体对面平行）.
第2步：截面EFGH与平面ABFE的交线为EF，与平面DCGH的交线为HG.
第3步：由面面平行的性质定理，得 .
第4步：同理，平面ADHE // 平面BCGF，截面EFGH与它们的交线分别为EH和FG，得 .
第5步：四边形EFGH的两组对边分别平行，故为平行四边形.
■ 步骤总结
长方体（或正方体）被一个平面所截，截面的边由平面与长方体各个面的交线构成.利用对面平行的性质，可以确定截面四边形对边的平行关系.一般情况下，长方体被平面截得的四边形为平行四边形.
三、线面平行的判定与综合证明
11.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出线面平行的四种命题，要求学生判断正确选项.核心考点是线面平行判定定理的条件完整性.信号词“m、n是直线”“是平面”提示应围绕“线在面外、线平行于面内一直线”这一判定定理核心条件进行分析.
■ 推导过程
第1步：对于选项A，若 且 ，这只是一个平面内有一条直线平行于另一个平面.面面平行判定定理要求一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，此处条件不足.故A错误.
第2步：对于选项B，若 且 ，直线m可能在平面内.例如正方体中，与面内一条直线平行的直线若恰好在面内，就不能说它与面平行.故B错误.
第3步：对于选项C，若 且 ，直线m同样可能在内，缺少“线在面外”的条件.故C错误.
第4步：对于选项D，若 且 且 ，由线面平行判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线平行于此平面），得 .条件齐全，结论正确.故D正确.
第5步：综上所述，选项D正确.
■ 步骤总结
线面平行判定定理的三个条件缺一不可：①直线在平面外；②平面内存在一条直线；③这两条直线平行.记忆口诀：“线在面外，面内有线，两线平行”.选项B、C都只具备两个条件（“平行”和“面内有线”），缺少“线在面外”，因此不成立.
【易错警示】
选项B、C是高频错误点.学生常凭直觉认为“平行于面内一条直线的直线一定平行于该面”，忽略了此直线可能就在面内.典型错误：在正方体中，，若说“因为 且 平面 ，所以 平面 ”，就犯了“线在面外条件缺失”的错误——实际上AB就在底面内，不在平面 外.
12.（5分）
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析
本题要求在正方体各棱中点中，找出满足 平面 的点F（E为BC中点固定）.信号词“F为正方体棱的中点”“平面”提示需要构造与平面平行的辅助平面，该辅助平面包含点E，且其与正方体棱的交点即为满足条件的F.
■ 推导过程
第1步：取AB、、、、的中点，分别记为M、N、I、H、G.连接这些点形成一个六边形ENIHGM.
第2步：先证 平面 .在正方体中，（平行四边形的对边）.又N、E分别为和BC的中点，连接可得N、E在的中位线上，故 .由 平面 且 平面 ，得 平面 .
第3步：再证 平面 .E为BC中点，M为AB中点，得 .又 平面 且 平面 ，得 平面 .
第4步：由 ，得平面 平面 （面面平行判定定理）.
第5步：平面ENIHGM内的任意一条直线都与平面平行.因此，只要F取在M、N、I、H、G这五个点中的任意一个，EF均在六边形面内，满足 平面 .
第6步：所以满足条件的点F共有5个.
■ 步骤总结
找满足“过定点E且与定平面平行的直线上的动点F”的问题，通法是构造过定点E且与目标平面平行的辅助平面.辅助平面与正方体各棱的交点（或与其他直线的交点）即为满足条件的点.本题中，构造六边形平面的关键在于先找到两条过E且与目标平面平行的直线（EM、EN）.
【规律总结】
“过定点构造平行于已知平面的平面”的方法：在已知平面内任选两条相交直线，过定点分别作这两条直线的平行线，这两条平行线确定的平面即为所求.这是面面平行判定定理的构造性应用.
13.（20分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题是标准的递进式证明题：先证线面平行（第1问），再由线面平行推进到面面平行（第2问）.条件“E、F、G分别是PC、PD、BC的中点”明显提示使用三角形中位线定理.第1问需找到过AB且平行于面EFG内一条线的平行关系；第2问需找到面PAB内两条相交直线分别平行于面EFG.
■ 推导过程
（1）求证：直线 平面 .
第1步：因为E、F分别是PC、PD的中点，在 中，由三角形中位线定理得 .【3分】
第2步：因为ABCD是正方形，所以 .【2分】
第3步：由平行关系的传递性，得 .【1分】
第4步：又 平面EFG，且 平面EFG，由线面平行判定定理，得直线 平面EFG.【4分】
（2）求证：平面 平面 .
第1步：因为E、G分别是PC、BC的中点，在 中，由三角形中位线定理得 .【3分】
第2步：又 平面EFG，且 平面EFG，由线面平行判定定理，得直线 平面EFG.【3分】
第3步：由（1）已证直线 平面EFG.【1分】
第4步：在平面PAB中，，且AB、PB均平行于平面EFG.由面面平行判定定理（一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面），得平面 平面EFG.【3分】
■ 步骤总结
“线面平行→面面平行”递进证明是高中立体几何的经典题型.解题模板：第1问用中位线或平行四边形证出一组线线平行，再由线线平行得线面平行；第2问另找一条线，同样用中位线证线面平行，再结合第1问结论用面面平行判定定理.
14.（20分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题同样是递进证明题.第1问直接使用中位线证线面平行.第2问已知EF // 平面SAD及第1问的结论，需要综合运用线面平行与面面平行的性质来证明点F的位置.信号词“EF // 平面SAD”与已证的“EO // 平面SAD”结合，提示可通过面面平行性质推出AD // OF.
■ 推导过程
（1）求证： 平面 .
第1步：连接AC，设 .因为ABCD是正方形，所以O为AC和BD的中点.【3分】
第2步：在 中，O为AC中点，E为SC中点，由三角形中位线定理得 .【3分】
第3步：又 平面EDB， 平面EDB，由线面平行判定定理，得 平面EDB.【4分】
（2）求证：F是AB的中点.
第1步：由（1）可知 .因为 平面SAD， 平面SAD，所以 平面SAD（线面平行判定）.【3分】
第2步：已知 平面SAD.又 ，且 平面EOF，由面面平行判定定理，得平面 平面EOF.【3分】
第3步：由面面平行性质定理，两平行平面分别与底面ABCD相交，交线互相平行.平面SAD与底面ABCD的交线为AD，平面EOF与底面ABCD的交线为OF.所以 .【2分】
第4步：在 中，O为BD中点，且 （过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边），所以F为AB的中点.【2分】
■ 步骤总结
当已知多条线面平行关系时，可考虑将线面平行“升级”为面面平行（用面面平行判定定理），再利用面面平行性质推出新的线线平行关系.这就是“线面平行→面面平行→线线平行”的推理链，是立体几何综合证明的核心思维路径.
15.（15分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）当Q为PB中点时，平面 平面
【深度解析】
■ 思路分析
本题第1问要求证MN // 平面PAD，由于MN本身不容易直接找到平面PAD内的平行线，信号词“M、N分别是AB、PC的中点”提示考虑构造过MN且与平面PAD平行的辅助平面.第2问在此基础上直接引出谁为Q时平面MNQ // 平面PAD.
■ 推导过程
（1）求证： 平面 .
第1步：取PB中点Q，连接MQ、NQ.【1分】
第2步：在 中，N为PC中点，Q为PB中点，由三角形中位线定理得 .【2分】
第3步：在平行四边形ABCD中，.由平行传递性，得 .【1分】
第4步：又 平面PAD， 平面PAD，由线面平行判定定理，得 平面PAD.【1分】
第5步：在 中，M为AB中点，Q为PB中点，由三角形中位线定理得 .同理可得 平面PAD.【1分】
第6步：由 ，且NQ、MQ均平行于平面PAD，由面面平行判定定理，得平面 平面PAD.【1分】
第7步：又 平面MNQ，由面面平行性质（一个平面内的任意直线都平行于另一个平面），得 平面PAD.【1分】
（2）确定点Q的位置.
第1步：由（1）的推导过程可知，当点Q恰好取为PB的中点时，我们有 且 .【3分】
第2步：由此得出 平面PAD， 平面PAD，且 ，由面面平行判定定理，得平面 平面PAD.【4分】
第3步：因此，点Q即为PB的中点.
■ 步骤总结
证明线面平行时，若不易直接找到面内的平行线，可通过构造“辅助平面”来间接证明：先证辅助平面平行于目标平面，再由辅助平面包含目标直线得到线面平行.这是“面面平行→线面平行”的迂回策略.
B卷　能力提升（100分）
一、面面平行的判定定理
1.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析
本题将面面平行与充要条件判断相结合.条件为 ，要求判断“”是“”的什么条件.需要分别验证充分性（由 能否推出 ）和必要性（由 能否推出 ）.
■ 推导过程
第1步：先验证必要性.若 ，且 ，由面面平行的性质定理（两个平行平面同时与第三个平面相交，交线互相平行），直接得 .所以必要性成立.
第2步：再验证充分性.若 ，即平面与、的交线平行，但与本身可能平行，也可能相交（例如，一本书打开，书脊所在平面同时与左右两页各交出一条互相平行的线，但左右两页却相交于书脊）.所以充分性不成立.
第3步：综上，“”是“”的必要非充分条件，选B.
■ 步骤总结
充要条件判断在立体几何中常见的考法是结合定理正向使用（证必要性）和反向举例（证非充分性）.必要性一般直接从定理得出；非充分性需要通过举反例（常用模型：打开的书本、相交的墙面）来推翻.
【易错警示】
学生容易误选C（充要条件），错误地认为由 可推出 .这是因为将“与同一平面相交且交线平行的两个平面”与“平行平面的性质”混淆了.记住：交线平行并不能反推出平面平行.
2.（5分）
【答案速览】 A、B、C
【深度解析】
■ 思路分析
本题要求选出说法错误的选项（多选题），核心考查线面平行、面面平行判定定理的条件完整性.每个选项都需要逐一验证是否符合定理的全部条件.
■ 推导过程
第1步：选项A，由 且 ，直线m可能在平面内，也可能与平行.说法认为“则 ”是片面的，故A错误.
第2步：选项B，由 且 ，缺少“l与m相交”的条件.当l与m为平行线时，与可能相交，故说法错误.
第3步：选项C，由 且 ，这是两条分别在不同平面内的平行线，不能推出这两个平面平行（反例：两堵垂直墙壁的交线两旁各有一条平行于交线的直线，但两壁垂直），故说法错误.
第4步：选项D，由 且 ，条件完整：平面内两条相交直线l和m分别平行于平面.由面面平行判定定理，得 .说法正确.
第5步：综上，错误的是A、B、C.
■ 步骤总结
面面平行判定定理的使用可以概括为“两线、相交、分别平行”三步验证法.缺少“相交”条件（如选项B）是命题人最常设置的陷阱.
3.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题给出四棱锥及线段比例，要求由线面平行条件反求参数.信号词“平面ACE”“”提示需要在图形中构造平行关系，通过面面平行的性质和比例关系来求解参数.
■ 推导过程
第1步：连接BD交AC于点O，连接OE.因为ABCD是正方形，所以O为BD中点.
第2步：在线段PE上取点G，使得 .由 ，可推得 .
第3步：连接BG、FG.在 中，O为BD中点，G为DE上满足 的点，可推出 .
第4步：因为 平面ACE， 平面ACE，所以 平面ACE（线面平行判定）.
第5步：已知 平面ACE，又 ，所以平面BGF // 平面ACE（面面平行判定）.
第6步：由面面平行性质，平面PCD与平面ACE的交线为EC，平面PCD与平面BGF的交线为GF，所以 .
第7步：在 中，，所以 .
第8步：由 得 .
■ 步骤总结
由线面平行反求参数的通用思路：将已知的线面平行条件升级为面面平行（通过构造另一条与目标平面平行的直线），再利用面面平行性质推出线线平行，最后在三角形中用平行线分线段成比例求解参数.
4.（14分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）存在，F为OE中点，证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题第1问为比例线段下的线面平行证明，需构造辅助点形成平行四边形或中位线；第2问为存在性探究，需要逆向思考“若BF // 平面ACE，F应在何处”，通过中位线反向定位F.
■ 推导过程
（1）求证： 平面 .
第1步：在AD上取靠近A的三等分点G，连接MG、NG.【2分】
第2步：在 中，M为OA上靠近A的三等分点，G为AD上靠近A的三等分点，所以 .【2分】
第3步：由 平面OCD， 平面OCD，得 平面OCD.【1分】
第4步：同理，在梯形ABCD中，N为BC上靠近B的三等分点，G为AD上靠近A的三等分点，可推出 ，从而 平面OCD.【1分】
第5步：由 ，得平面 平面OCD.又 平面MNG，所以 平面OCD.【1分】
（2）判断在OD上是否存在一点F，使 平面ACE.
第1步：取OE中点F，连接BF、BD.设 ，连接PE.【2分】
第2步：在矩形ABCD中，P为BD中点.又E为OD上靠近D的三等分点，且F为OE中点，可推出E恰为FD的中点.【2分】
第3步：在 中，P为BD中点，E为FD中点，由中位线定理得 .【1分】
第4步：又 平面ACE， 平面ACE，所以 平面ACE.【1分】
第5步：故存在点F为OE中点，使 平面ACE成立.【1分】
■ 步骤总结
存在性探究问题的解题范式：先假设存在并设定点的位置（结合几何特征猜想中点、三等分点等特殊位置），再验证在该位置下目标条件成立.验证过程通常利用中位线、平行四边形等工具完成.
二、面面平行的性质定理
5.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体中面面平行性质与轨迹问题的综合.条件“面DEF”提示点P的轨迹在过且平行于面DEF的平面与面的交线上.需要先构造该平行平面，再在正方体表面求轨迹，最后计算线段长度范围.
■ 推导过程
第1步：取上靠近B的四等分点G，连接EG、FG.由E为AB中点、F为中点，得 .
第2步：取、中点H、J，取上靠近的四等分点I.连接、HI、IJ、.由正方体性质可证 ，进而 平面DEF.同理 平面DEF.
第3步：由 ，得平面 平面DEF.
第4步：因 平面DEF，且P在面（含边界）内运动，平面 面，故点P的轨迹为线段IJ.
第5步：利用等面积法求点D到IJ的距离d：，得 .
第6步：.
第7步：故PD的长度范围为 ，选C.
■ 步骤总结
立体几何轨迹问题的核心步骤：①构造过定点且与已知平面平行的辅助平面；②找出辅助平面与动点所在面的交线；③在所得线段或折线段上分析几何量的最值，常用等面积法、勾股定理等平面几何工具.
6.（6分）
【答案速览】 C、D
【深度解析】
■ 思路分析
本题是动点轨迹与线段长度范围的综合题.条件“平面”提示M的轨迹为过B且平行于平面的平面与正方体的交面，求出M的轨迹后，DM的长度范围即为点D到该轨迹上各点距离的范围.
■ 推导过程
第1步：由正方体性质，，所以 平面 .同理 平面 .
第2步：由 ，得平面 平面 .
第3步：若 平面 ，则BM在平面 内，从而 平面 .
第4步：动点M的轨迹即平面 在正方体内的部分（一个边长为 的正三角形区域）.
第5步：DM的最小值为点D到平面 的距离.正四面体 的棱长均为 ，计算可得D到平面 的距离 .
第6步：DM的最大值为点D到平面 各顶点的距离，即 .
第7步：所以 .在此范围内的选项有 和 ，故选C、D.
■ 步骤总结
动点到平面距离范围的求解步骤：①确定动点的轨迹平面（或区域）；②求定点到轨迹平面的距离（最小值）；③求定点到轨迹边界（顶点、棱）的距离（最大值）；④写出范围并匹配选项.
7.（6分）
【答案速览】 A、C、D
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体中动点M在定线段 上运动的多结论判断.四个选项涉及线面平行、线线平行和异面直线判定.解题策略：对每个选项，结合正方体的结构特征和线面位置关系逐一判定.
■ 推导过程
第1步：对于选项A.取 中点G，连接 、EG.可证四边形 为平行四边形，得 .同理 ，故 .进一步可证平面 平面BDF.因为M在线段 上，所以 平面 ，从而 平面BDF恒成立.A正确.
第2步：对于选项B.取 中点H，连接 、GH.可证平面 平面BDF.但 是从 出发到线段 上某点的连线，其方向不在平面 内.因此不存在M使 平面BDF.B错误.
第3步：对于选项C.连接CG、FG.可证四边形CDGF为平行四边形，得 .同理 ，则 .当点M与点E重合时，，所以 成立.C正确.
第4步：对于选项D.用反证法：假设存在点M使 与BF共面，则 平面 .但事实上M在线段 上， 与平面 无交点，矛盾.故对任意M点， 与BF始终异面.D正确.
第5步：综合，选A、C、D.
■ 步骤总结
正方体中动点问题的多结论判别，核心是构造平行平面和利用平行四边形找平行线.对于“恒成立”类选项，可通过证面面平行来证线面平行；对于“存在”类选项，可将动点置于端点或中点等特殊位置验证.
【易错警示】
此类多选题易在B和D之间出错.B项的典型错误：认为只要找到一个与平面BDF平行的平面，过且在其中的任何直线都平行于平面BDF，但忽略了并不在该平面内.D项中的异面判定需严格反证，不能仅凭直觉判断.
8.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题与B卷第12题类似，是正方体表面上的轨迹问题.条件“平面”提示动点P的轨迹是过且与平面平行的平面与正方体表面的交线.需构造该平行平面，求出交线总长度.
■ 推导过程
第1步：取 、BC的中点分别为E、F，连接DE、DF、、、EM.
第2步：由M为AD中点，得 且 ，四边形 为平行四边形，则 .
第3步：又 且 ，四边形BMDF为平行四边形，则 ，从而 .
第4步：同理可证四边形 为平行四边形.由 及 平面 ，得 平面 .同理 平面 .
第5步：由 ，得平面 平面 .
第6步：动点P在正方体表面上运动且 平面 ，等价于P在过的平行面与正方体表面的交线上移动，其轨迹即平行四边形 的四条边.
第7步：计算轨迹长：，总长为 .
■ 步骤总结
与第12题同属一类，核心是构造过定点且与目标平面平行的平面，轨迹即为该辅助平面与动点所在面的交线.正方体中此类轨迹通常为平行四边形（或三角形、六边形），计算其周长即可得出轨迹长度.
9.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题动点N在侧面 上，满足 平面 （M为BC上定点）.需在侧面内寻找N的轨迹，轨迹为过M且平行于平面 的平面与侧面 的交线.求线段MN的最大值即求M到该交线两端点距离的较大值.
■ 推导过程
第1步：在线段CD上取点E，使 ；在 上取点F，使 .连接ME、EF、.
第2步：由 ，根据平行线分线段成比例，得 且 .
第3步：在正方体中，，所以 .
第4步：由 及 平面 ， 平面 ，得 平面 .同理 平面 .
第5步：由 ，得平面 平面 .
第6步：因为N在侧面 上，且 平面 ，所以N必在平面MEF与侧面 的交线EF上.
第7步：，（或 在相关矩形内计算）.在 中，MN的最大值为 （当N在F点时取得）.
■ 步骤总结
侧面内的动点轨迹问题，构造平行平面的方法与前述题目一致.本题的关键是辅助点E、F的取法：通过将M点的定比分比例复制到CD和 上，构造出与目标平面平行的平面，所得交线即为轨迹.
三、面面平行的综合探究
10.（6分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体中多个动点（E、F、G）的多结论综合判断，涉及异面直线所成角、线面平行、截面面积和点面距离.需逐一验证结论.
■ 推导过程
第1步：对于结论①.，与AF的夹角即为 .当F与C重合时 ；当F不与C重合时，，故 .结论①错误.
第2步：对于结论②.当G为 中点时，取E、F分别为BC、的中点.取 中点M，连接 、MG.可证 ，，从而平面 平面AEF.又 平面 ，所以 平面AEF.结论②正确.
第3步：对于结论③.当E、F均为中点时，连接 、、AE.截面为等腰梯形 .计算上底 ，下底 ，腰高可算得，代入梯形面积公式得 .结论③正确.
第4步：对于结论④.要使C和G到平面AEF的距离相等，需EF经过GC的中点.但当E、F为中点时，无满足条件的G存在.结论④错误.
第5步：综合，②③正确，选C.
■ 步骤总结
多动点综合判断题的解题策略：逐条验证.当结论涉及“存在”时，可尝试将动点取为特殊位置（中点、端点）直观判断；当涉及“定量计算”时，利用正方体的长度和面积公式直接计算.构造平行平面是证明线面平行的核心工具.
11.（6分）
【答案速览】 A、B、C
【深度解析】
■ 思路分析
本题是翻折问题中的多结论判断，涉及面面平行的恒成立性（翻折过程中不变）、线段长的定值性、垂直关系以及垂直关系的存在性.翻折问题的关键在于区分“变”与“不变”的量.
■ 推导过程
第1步：对于选项A.E、F为BC、AD中点，CF交DE于H，H为ED中点（由平行四边形CEFD易得）.在翻折过程中，FG为 的中位线的一部分，FG始终平行于AP（AP即AE翻折后的位置）.又GH始终平行于PE，所以FG和GH始终分别平行于平面PAE.由 ，平面GFC始终平行于平面PAE.A正确.
第2步：对于选项B. 中，（翻折过程中PAE形状不变，角度为定值），（定值），（定值）.由余弦定理，CG为定值.B正确.
第3步：对于选项C.若 ，在矩形中有 ，所以 ，即 .翻折前AE已垂直于ED，翻折后此垂直关系被保留在与ED的关系中（需注意翻折过程中ED的位置不变，AE变成AP，但是原始图形的性质）.C正确.
第4步：对于选项D.在翻折过程中，（原始图形中 翻折得来），所以 .在同一平面GFC内，GC不可能垂直于GF（因为 不可能为90°）.由 ，得GC不可能垂直于AP.D错误.
第5步：综上，选A、B、C.
■ 步骤总结
翻折问题的分析要领：①区分“折前折后不变”的量（长度、角度）；②关注折痕垂直关系（折痕两侧对应点连线被折痕垂直平分）；③判定平行关系时可利用平行四边形和中位线；④判定垂直关系时利用直角三角形性质或余弦定理.
12.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析
本题是正方体内侧面上的动点轨迹与线段长度范围问题.条件“ 平面AEF”（E、F为棱中点）提示P的轨迹在过且平行于平面AEF的平面与侧面 的交线上.
■ 推导过程
第1步：取 、 的中点M、N，连接 、MN、.
第2步：因为E、F分别是BC、的中点，所以 .由线面平行判定得 平面AEF.
第3步：由 且 ，四边形 为平行四边形，得 .从而 平面AEF.
第4步：由 ，得平面 平面AEF.
第5步：因为 平面AEF且P在侧面 内，平面 侧面 ，所以点P的轨迹为线段MN（不含端点M、N，因为P在侧面内部不含边界）.
第6步：在等腰 中，，.底边MN上的高为 .
第7步：当P为MN中点时， 取得最小值 ；当P趋近于M或N时， 趋近于 （但不含端点）.故取值范围为 .
■ 步骤总结
与第5、8、9题属同一类轨迹问题.求线段长度的取值范围，需先确定轨迹（通常为线段），再分析定点到线段上各点距离的最值：最小值一般为垂线段长，最大值在线段端点处取得.
13.（12分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题是棱柱中的平行关系证明.第1问用中位线证线面平行；第2问结合面面平行性质（平面 平面ABC）和面面平行的判定，证明交线l与平面 的关系.
■ 推导过程
（1）证明： 平面 .
第1步：连接 与 交于点O，连接OM.【2分】
第2步：在三棱柱中，侧面 为平行四边形，O为 的中点.【1分】
第3步：又点M为 的中点，在 中，OM为中位线，则 .【1分】
第4步：因为 平面 ， 平面 ，由线面平行判定定理，得 平面 .【2分】
（2）证明： 平面 .
第1步：在三棱柱中，上底面 下底面ABC.【2分】
第2步：平面 与下底面ABC的交线为l，与上底面 的交线为 .由面面平行的性质定理，得 .【2分】
第3步：因为 平面 ，且 平面 ，由线面平行判定定理，得 平面 .【2分】
■ 步骤总结
棱柱中证明线面平行的常用策略：①利用侧面平行四边形对角线互相平分找中点，构造中位线；②利用上下底面平行这一基本性质，结合面面平行性质定理推导交线平行，再转证线面平行.
14.（14分）
【答案速览】 （1）证明见解析，；（2）
【深度解析】
■ 思路分析
本题综合考查面面平行性质、三角形重心性质以及体积计算.第1问求GH与EF的位置关系及比值，需利用面面平行性质（）和中位线（）得平行关系，再用重心性质（）求比值.第2问利用相似三角形面积比及棱柱棱锥体积公式求体积比.
■ 推导过程
（1）求证 ，并求 的值.
第1步：因为平面 平面ABC，且平面BCHG与两平行平面分别交于HG和BC，由面面平行的性质定理，得 .【2分】
第2步：在 中，E、F分别是AB、AC的中点，由三角形中位线定理得 ，且 .【1分】
第3步：由平行传递性，得 .【1分】
第4步：因为 经过 的重心，根据重心性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1），有 .【1分】
第5步：又 ，所以 .结合第2步 ，得 .【2分】
（2）求三棱锥 与多面体 的体积之比.
第1步：设三棱柱的高为h，底面ABC的面积为S.【1分】
第2步：因为E、F为AB、AC中点，所以 .【1分】
第3步：三棱锥 的体积 .【2分】
第4步：三棱柱 的体积 .【1分】
第5步：多面体 的体积 .【1分】
第6步：所求体积比为 .【1分】
■ 步骤总结
三棱锥体积问题的常用公式：三棱锥体积 = 底面积 高.当几何体可视为“大几何体减去小几何体”时，采用补体法求体积.面积比与线段比的转换是本题的关键.
15.（16分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【深度解析】
■ 思路分析
本题为组合体（直角梯形+矩形）中的综合题.第1问证面面平行，使用线面平行判定定理分别证AF // 平面CDE和AB // 平面CDE，再结合面面平行判定定理.第2问求异面直线所成角取最大值时DE的长，关键是找到异面直线BF与CE所成角的平面角（通过平移），再用余弦定理或基本不等式求最大值对应的DE.第3问改为证明线面平行（AN // 平面BDF）.
■ 推导过程
（1）证明：平面 平面 .
第1步：由ADEF为矩形得 .【1分】
第2步： 平面CDE， 平面CDE，由线面平行判定定理得 平面CDE.【1分】
第3步：同理，由 ， 平面CDE， 平面CDE，得 平面CDE.【1分】
第4步：，AB、AF均在平面ABF内，由面面平行判定定理得平面 平面CDE.【2分】
（2）当异面直线 与 所成角取最大时，求DE.
第1步：取CD中点M，连接BM、EM.由 且 ，得四边形ABMD为平行四边形，所以 .【1分】
第2步： 即为异面直线BF与CE所成角的平面角（通过平移BF至EM）.【1分】
第3步：设 .在相关直角三角形中，用余弦定理：.【2分】
第4步：，当且仅当 时取等（运用基本不等式）.【1分】
第5步： 取最小值时角最大，故当 时，异面直线BF与CE所成角取最大.【1分】
（3）求证： 平面 .
第1步：连接BD、AC交于点O，连接OF.由ABCD为直角梯形（需根据第1问结论和题目条件进一步得出相关平行关系，此处给出概要证明路径）.【1分】
第2步：通过构造平行四边形和中位线，证明 （N为CF中点，O为底面相关线段中点）.【2分】
第3步：由 平面BDF， 平面BDF，根据线面平行判定定理，得 平面BDF.【2分】
■ 步骤总结
组合体中的面面平行证明：分别寻找两条在不同平面内的相交直线，利用矩形、梯形等平面图形的性质转化为线线平行.第2问中异面直线所成角的最值问题，一般采用余弦定理或向量数量积公式表达角的余弦，再用基本不等式求最值.

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