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第六章 5.1 直线与平面垂直 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 忽视“两条相交直线”条件——证明线面垂直时，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线，漏掉“相交”条件是典型错误.
2. 线面位置关系判断缺乏反例意识——判断线面平行、垂直的命题时，常忽略“直线在平面内”或“直线与平面相交但不垂直”等反例情况.
3. 翻折问题中误判垂直关系的不变性——图形翻折过程中，某些看似垂直的关系可能不再成立，不能凭直观感觉判断，必须严格推理证明.
4. 混淆判定定理与性质定理——判定定理用于“证垂直”，性质定理用于“由垂直得性质”，二者方向相反，混淆将导致逻辑链断裂.
训练目标：
1. 能够准确复述并运用线面垂直的判定定理和性质定理解决基础证明题.
2. 能够辨析空间中“线线垂直、线面垂直、面面垂直”之间的转化关系，并识别常见逻辑错误的命题.
3. 能够运用线面垂直的性质定理，计算点到平面的距离或两条平行线间的距离.
4. 能够在翻折、动点轨迹等动态几何情境中，抓住不变的垂直关系进行综合分析.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5
D A,B,C B 见解析
6 7 8 9 10
C 12 A,B,C
11 12 13 14
见解析 C C 见解析
一、线面垂直的定义与性质
1.（单选）（5分）
若直线 垂直于平面 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 仅垂直平面 内的一条直线
B. 仅垂直平面 内与 相交的直线
C. 仅垂直平面 内的两条直线
D. 与平面 内的任意一条直线垂直
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题干直接考查“直线与平面垂直的定义”.看到“直线 垂直于平面 ”，应立即想到定义：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于该平面内的任意一条直线.将各选项与定义进行比对即可.
■ 推导过程：
第1步：回顾线面垂直的定义：如果直线 与平面 内的任何一条直线都垂直，则称直线 与平面 互相垂直.
第2步：选项A、B、C分别用“仅”“相交”“两条”等词对定义做了错误限制，均违背定义中“任意一条直线”的要求.
第3步：选项D与定义完全一致，故正确.
【易错警示】 初学者容易认为线面垂直只与平面内过垂足的直线垂直，从而误选A或B.必须牢记定义中“任意一条”的表述，这是线面垂直最根本的性质.
【规律总结】 解答定义辨析题的唯一依据是教材中的精确定义.将题设与定义逐字比对，但凡有一处不符即可判定为错误.
2.（多选）（5分）
若 ， 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题为（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
【答案速览】 A, B, C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考察线面垂直的判定与性质的综合运用.A选项利用判定定理进行传递，B选项是性质定理的直接应用，C选项需借助线面平行的性质来搭桥，D选项则需要构造反例来证伪.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 知 垂直于 内任意两条相交直线.因 ，故 也垂直于这两条直线，由判定定理得 .A正确.
第2步：分析B.垂直于同一平面的两条直线平行，此为线面垂直性质定理的直接应用.B正确.
第3步：分析C.由 ，可在 内找直线 使 .由 得 ，故 .C正确.
第4步：分析D.反例：在正方体中，取 为一条侧棱， 为底面，则 .取 为底面内一条直线，满足 ，但此时 ，而非 .D错误.
【易错警示】 D选项是典型易错点.学生常漏掉“直线可能在平面内”这一特殊情况.正方体是构造反例、排除错误选项的最佳模型.
【规律总结】 处理线面位置关系命题判断题的通法是“定理推理 + 反例验证”.肯定需严格证明，否定只需一个反例.
3.（填空）（5分）
在四棱锥 中，底面四边形ABCD为矩形， 平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上，若 ，，，则 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：目标是求线段 的长度.突破口是证明 ，使 成为直角三角形 斜边上的高.通过作辅助线 ，将垂直关系逐步传递.
■ 推导过程：
第1步：取 中点 ，连接 .由 为中点得 .
第2步：由 平面ABCD， 平面ABCD，得 .又 ，且 ，故 平面SAD.从而 平面SAD，得 .
第3步：已知 ，且 ，故 平面PEQ，得 .又 ，所以 .
第4步：在直角三角形 中，，斜边 .
第5步：由等面积法，，即 ，解得 .
【规律总结】 在立体几何中求线段长，常利用垂直关系构造直角三角形，再通过等面积法或勾股定理求解.反复运用线面垂直的判定与性质进行“垂直传递”是破题关键.
二、线面垂直的判定定理
4.（单选）（5分）
若m、n、l表示不同的直线，、 表示不同的平面，则下列推理正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题为单选题，需逐项判断空间位置关系推理的正误.正确选项B是线面垂直性质定理的直接表述.对于A、C、D选项，均可通过正方体中的反例予以排除.
■ 推导过程：
第1步：分析A.两条直线都与同一平面平行，它们可能相交（如正方体上底面两条相交直线）.A错误.
第2步：分析B.垂直于同一平面的两条直线平行，这是线面垂直的性质定理.B正确.
第3步：分析C.在空间中，垂直于同一直线的两直线可能相交（如正方体顶点处的三条互相垂直的棱）.C错误.
第4步：分析D.一条直线平行于两个平面，这两个平面可能相交（如正方体侧棱平行于两个相邻侧面）.D错误.
【易错警示】 C选项是平面几何定理向空间推广失效的典型陷阱.“垂直于同一直线的两直线平行”只在同一平面内成立.
【规律总结】 解答线面位置关系判断题，最有效的方法是“模型验证法”.将选项条件代入正方体或长方体模型中，往往能迅速找到反例.
5.（解答）（15分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面ABCD.
求证：
（1）AB//平面SCD；
（2）BC⊥平面SC D.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问证线面平行，关键是在平面SCD内找与AB平行的直线，正方形对边平行的性质直接指向 .第（2）问证线面垂直，需在平面SCD内找与BC垂直的两条相交直线.由 底面可得 ，由正方形可得 .
■ 推导过程：
（1）第1步：∵ 底面ABCD是正方形，∴ .第2步：又 ∵ 平面SCD， 平面SCD，∴ 平面SCD.【6分】
（2）第1步：∵ 底面ABCD， 底面ABCD，∴ .第2步：∵ 底面ABCD是正方形，∴ .第3步：又 ∵ ， 平面SCD，∴ 平面SCD.【9分】
【易错警示】 在证明（2）时，学生容易漏掉说明 （两直线相交）这一关键条件.使用线面垂直判定定理必须严格写明“两条相交直线”.
【规律总结】 证“线面平行”的通法是在面内找平行线；证“线面垂直”的通法是在面内找两条相交的垂线.这种“降维”转化是立体几何证明的核心思想.
三、常见几何体中的垂直关系
6.（单选）（5分）
若 ， 为两条直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则 与 相交
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考察“线面平行”和“线面垂直”混合条件下，两直线位置关系的判断.C选项是正确选项，其证明需要用到“若线面平行，则可在面内找平行线”这一重要性质来传递垂直关系.
■ 推导过程：
第1步：分析A. 与 可能平行也可能异面.反例：直线平行于它在平面内的投影，但与平面内不过投影点的线异面.A错误.
第2步：分析B. 与 平行、相交、异面均有可能.B错误.
第3步：分析C.由 ，可在 内找直线 使 .由 得 ，从而 .C正确.
第4步：分析D. 与 可能相交，也可能异面.D错误.
【规律总结】 连接线面平行与线线垂直的桥梁是“在面内找平行线”.这一技巧实现了“”，将空间位置关系的判定转化为平面内的问题.
7.（填空）（5分）
如图所示，已知 平面 ，，，则 ____
【答案速览】 12
【深度解析】
■ 思路分析：目标是求线段PC的长度.由 平面ABC可得 ， 为直角三角形.要求斜边PC，需先求直角边AC.AC在底面 中，已知两边及其夹角，适合用余弦定理求解.
■ 推导过程：
第1步：由 平面 ， 平面 ，得 ， 为直角三角形.
第2步：在 中，，，用余弦定理求 ：
.
第3步：在直角三角形 中，由勾股定理：
【规律总结】 空间线段求长的通用策略是“空间问题平面化”.先利用垂直关系找到直角三角形，再将其中的边转化为平面三角形的边进行求解.
8.（多选）（5分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列结论正确的是（ 　　）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
【答案速览】 A, B, C
【深度解析】
■ 思路分析：本题为递进式多选题，后一选项依赖前一选项的结论.推理的起点是“ 底面”和“”，通过反复运用线面垂直的判定和性质定理，逐层推导.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 平面ABC 得 ，又 ，且 ，故 平面PAB.A正确.
第2步：由A结论 平面PAB，且 平面PAB，得 .在等腰直角三角形PAB中，D为PB中点，由三线合一得 .又 ，故 平面PBC.C正确.
第3步：由C结论 平面PBC，且 平面PBC，得 .B正确.
第4步：由A得 ，但BC与CD不平行，故PB不与CD垂直，从而PB不垂直于平面ADC.D错误.
【规律总结】 解递进式多选题，要坚持“顺藤摸瓜”的链式推理法.将前一个正确结论作为下一个推理的已知条件，逐步扩大“已知垂直关系”的范围.
9.（填空）（5分）
已知正方体 的棱长为3，则 到平面 的距离为 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：求点到平面距离，正方体背景下最直接的方法是向量法.通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，再代入点到平面距离公式.
■ 推导过程：
第1步：以B为原点，BC、BA、BB1为x、y、z轴建系.则 ，，，.
第2步：求平面 的法向量.，.设法向量 ，则 ，.取 ，得 .
第3步：，代入距离公式：
【规律总结】 向量法是求点面距的通法，其步骤为“建系→求坐标→算法向量→用公式”.当图形易于建系时，此法是首选.
10.（填空）（5分）
已知正方体 的棱长为2， 分别是 和 的中点.则两条平行线 和 间的距离为 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：目标是求两平行线 与 间的距离.观察到 ，且 平面 ，所以该平面内两平行线间的任何垂线段即为所求距离.问题的关键转化为求线段 的长度.
■ 推导过程：
第1步：连接AC、，分别交BD、于O、.设 .
第2步：由 且 底面得 .又 ，故 平面 .因 ，所以 即为所求距离.
第3步：计算.，.在直角三角形 中，由勾股定理：.
【规律总结】 求平行线间距离，通常化归为求点到直线的距离或线面距.本题巧妙利用了与两平行线均垂直的平面（平面 ），将空间距离转化为该平面内一线段的长度.
11.（解答）（15分）
四棱锥 的底面ABCD是边长为3的正方形， 是 的中点.
（1）证明： 平面MAC；
（2）若 在底面ABCD上的投影为底面中心，求直线BP到平面MAC的距离.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问是常规的线面平行证明，通过连接BD与AC的交点O，利用中位线定理证 .第（2）问将“线面距”转化为“点面距”，通过证明 平面MAC，得出距离即为线段BO的长度.
■ 推导过程：
（1）连接BD交AC于O，连接OM.∵ ABCD为正方形，∴ O为BD中点.又M为PD中点，∴ 在 中，OM // PB.∵ OM 平面MAC，PB 平面MAC，∴ PB // 平面MAC.【6分】
（2）由题意，M在底面的投影为中心O，即 平面ABCD.∴ .又ABCD为正方形，∴ .∵ 平面MAC，，∴ 平面MAC.由（1）知PB // 平面MAC，故BP到平面MAC的距离等于点B到平面MAC的距离，即为线段BO的长..【9分】
【规律总结】 求线面距的通用策略是将“线面距离”转化为“点面距离”.寻找到过该点且垂直于平面的垂线是解决问题的核心.
四、线面平行与垂直的易混辨析
12.（单选）（5分）
设 ， 为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，，则
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题集中考察线面平行与垂直判定定理和性质定理的精确条件.错误选项都遗漏了定理的关键前提.A项漏掉了线面平行时线线可能异面的情况，B项漏掉了“线可能在面内”的条件，D项使用面面垂直性质定理时遗漏了“直线必须在其中一个平面内”的前提.C项则需要利用线面平行的性质定理构造辅助线来证明.
■ 推导过程：
第1步：分析A.，，则 与 可能平行也可能异面.A错误.
第2步：分析B.，，结论 不成立，因为 也可能在 内.B错误.
第3步：分析C.由 ，可在 内作直线 使 .又 ，由定义得 .因 ，故 .C正确.
第4步：分析D.使用面面垂直的性质定理，必须满足“这条直线垂直于交线”且“这条直线在其中一个平面内”.选项D未说明 在 或 内，故错误.
【易错警示】 本题是“判定定理条件不全”型易错题的集大成者.精准记忆每个定理的所有前提条件，是解决此类问题的根本.
【规律总结】 辨析此类题，要“抠字眼”与“建模型”并举.将选项文字与定理原文逐字比对，同时在脑中构建正方体模型寻找反例.
13.（单选）（5分）
设 ， 是两个平面，， 是两条直线，则下列命题为假命题的是（ 　　）
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，，则
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：与上题类似，需找出四个复合命题中的假命题.A和B通过严谨的定理推证可判为真，D也可通过构造平行线来证真.而C选项再次考察了“直线可能在平面内”这一经典陷阱.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 ， 得 .又 ，故 .A为真命题.
第2步：分析B.若 ，则 或 .又 ，由面面垂直的判定得 .B为真命题.
第3步：分析C.若 ，，，结论是 或 .选项中没有排除 的情况，故不一定成立，为假命题.C符合题意.
第4步：分析D.若 ，，则 .又 ，则 内存在与 平行的直线垂直于 ，故 .D为真命题.
【易错警示】 C选项是“忽视线在面内”的又一道经典易错题.对于没有明确声明“直线在平面外”的线面平行结论，一定要警惕“线可能在面内”这个反例.
【规律总结】 判断此类命题，除了正向推导，更重要的是能敏锐识别出定理成立的所有必要条件.多思考“万一……会怎样”是培养这种批判性思维的有效途径.
五、综合探究
14.（解答）（15分）
如图，在三棱锥V-ABC中，VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M，D分别为AB，AV，BC的中点，BM，VO交于点F.
（1）证明：AB⊥平面VOC；
（2）在线段BM上是否存在一点E，使DE∥平面VOC？若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）存在，E为线段BM上靠近B的三等分点.
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，目标证 平面 ，利用等腰和等边三角形中的“三线合一”性质，找到 和 这两组线线垂直即可.第（2）问是存在性探究，先假设存在，再利用线面平行的性质定理将其转化为线线平行（），结合已知比例（重心）推算出E点位置.
■ 推导过程：
（1）证明：∵ AC=BC，O是AB中点，∴ .∵ 是等边三角形，O是AB中点，∴ .又 ∵ OC与OV在平面VOC内且交于O点，∴ 平面VOC.【6分】
（2）解：假设存在点E，使 平面VOC.连接CF. ∵ 平面BMC，平面BMC 平面VOC = CF， 由线面平行的性质定理，.在 中，D为BC中点，，∴ E为BF中点.又F是等边三角形VAB的重心，由重心性质 ，∴ .故存在满足条件的点E，它是线段BM上靠近B的三等分点.【9分】
【规律总结】 本题第（2）问是“存在性探究问题”的标准解法：假设存在→推理论证→确定属性→得出结论.核心工具是线面平行的性质定理，它将“线面平行”转化为“线线平行”，从而能在平面图形中利用比例关系确定位置.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5
B,D A,B,D 见解析 B,D A,C,D
6 7 8 9 10
C A,C,D B A,C,D
11 12 13 14
5； 见解析 见解析
一、线面垂直判定与性质的综合应用
1.（多选）（5分）
已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，且 ，，则
D. 若 ，，且 ，则
【答案速览】 B, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题为综合多选题.A选项中两线平行于同一平面，它们可能相交.B选项是面面平行的传递性，为真命题.C选项遗漏了判定定理中“两直线相交”的关键条件.D选项可通过“线面垂直的性质”和“面面垂直的定义”进行传递，其结论（两平面的法向量互相垂直）是正确的.
■ 推导过程：
第1步：分析A.反例：正方体上底面两条相交直线均平行于下底面.A错误.
第2步：分析B.面面平行的传递性： 且 ，则 .B正确.
第3步：分析C.面面平行的判定定理要求 与 必须相交.C错误.
第4步：分析D.由面面垂直的性质及法向量概念可知，若两平面垂直，则它们的法向量也垂直.D正确.
【规律总结】 解决此类问题，概念与定理的精准记忆是基础.对于像C选项这样遗漏关键条件的，要立即反应出反例模型.
2.（多选）（5分）
已知 ， 是不同的直线，， 是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ 　　）
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，，则
【答案速览】 A, B, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题重点考察线面平行性质定理（B选项）和垂直关系的转化（A、D选项）.C选项依然是考察“线可能在面内”这一经典易错点.B选项是一条重要推论，证明时需构造辅助平面.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 得 .又 ，由垂直关系的传递性得 .A正确.
第2步：分析B.此即线面平行性质定理的推论.可由 和 ，通过构造交线推出 .B正确.
第3步：分析C. 可能平行于 ，也可能在 内.C错误.
第4步：分析D.由 且 得 .又 ，故 .D正确.
【易错警示】 B选项的结论非常有用，可作为小定理直接使用：“一条直线平行于两个相交平面，则这条直线平行于它们的交线”.C选项的反复出现说明其作为陷阱的重要性.
【规律总结】 对于复杂的命题判断，尤其是B选项需要构造辅助平面的，若考试时无法严格证明，可用身边的物品（书和笔）进行直观比划，帮助判断.
3.（解答）（14分）
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB⊥AD，，，，M,N分别是PD,BC的中点.
求证：
（1）AM//平面PBC；
（2）MN⊥BC.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，证线面平行.由“中点”自然联想到中位线，结合梯形背景，可构造平行四边形 ，从而推出 .第（2）问，证线线垂直 .由 和 可推出 且 ，从而 平面 ，得到 .
■ 推导过程：
（1）证明：取PC中点Q，连接MQ,BQ.∵ M为PD中点，∴ MQ // DC 且 .又由已知 AB // DC 且 ，∴ AB // MQ 且 AB=MQ.四边形ABQM为平行四边形，∴ AM // BQ.∵ AM 平面PBC，BQ 平面PBC，∴ AM // 平面PBC.【7分】
（2）证明：连接PN, DN, DB. ∵ PB=PC，N为BC中点，∴ .在直角梯形ABCD中，易求 .又已知DC=2，∴ .在等腰中，N为BC中点，∴ .∵ PN, DN 平面PDN，且 ，∴ 平面PDN.又 平面PDN，∴ .【7分】
【规律总结】 证明异面直线垂直的常用策略是“线面垂直法”，即证其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面.本题第（2）问逆用了此策略，证明了 垂直于 所在的平面 .
二、常见几何体与易错辨析
4.（多选）（5分）
已知直线a,b和平面α,β，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若a⊥b，a⊥α，则b⊥α
B. 若a / / b，a⊥α，则b⊥α
C. 若α⊥β，a α，则a⊥β
D. 若a⊥α，a β，α∩β=b，则a⊥b
【答案速览】 B, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题所有错误选项均可通过正方体模型构造反例排除.A选项，b可能平行于α或在α内.C选项，应用面面垂直判定定理缺少了“垂直于交线”这一关键条件.B选项是线面垂直性质的直接推论.D选项是线面垂直定义的应用.
■ 推导过程：
第1步：分析A.反例：a垂直于地面，b是地面内一条直线，满足a⊥b，a⊥地面，但b在地面内，不垂直于地面.A错误.
第2步：分析B.若a⊥α，则a是α的法向量.因a // b，故b也是α的法向量，所以b⊥α.B正确.
第3步：分析C.在两面垂直的条件下，必须在其中一个平面内且垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.C错误.
第4步：分析D.b是交线且b α，由a⊥α，根据线面垂直的定义，则a垂直于α内所有直线，故a⊥b.D正确.
【规律总结】 处理此类问题，最直观有效的方法是“模型验证法”.在正方体中，赋予a,b,α,β具体的线和面，往往能一眼看出命题的真伪.
5.（多选）（5分）
下列命题为真命题的有（ 　　）
A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等
B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若直线 上的三个点在平面 内，则
【答案速览】 A, C, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题是跨知识点的概念辨析题.A项是球体定义，D项是平面公理，均为直接表述.B项需运用线面位置关系进行逻辑反证.C项是前面反复出现的线面平行性质定理的重要推论.
■ 推导过程：
第1步：分析A.球体可由半圆绕直径旋转而成，是旋转体；球面上的点到球心的距离等于半径.A正确.
第2步：分析B.假设另一条直线与该平面不相交，则它平行于平面或在平面内.这与“一条直线与平面相交”的条件和“两直线平行”的公理矛盾.故另一条直线必定也与该平面相交.B错误.
第3步：分析C.这是线面平行性质的重要推论，证明过程已在前面题中详述.C正确.
第4步：分析D.若直线上有两个点在平面内，则整条直线就在平面内.三个点自然满足条件.D正确.
【规律总结】 本题B选项是典型的“反证法”应用.在判断位置关系时，假设不成立，然后推出矛盾，是严谨的数学逻辑方法.
6.（单选）（5分）
在三棱锥 中， 平面ABC， 是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为PA的中点，则当 的面积最大时，（ 　　）
A. 1
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题是立体几何与代数最值的综合题.首先要用垂直关系证明 ，确定 为直角三角形，且斜边CD为定长.用两边 表示面积，利用基本不等式得面积最大时 .最后在Rt△PBC中用等面积法求出 .
■ 推导过程：
第1步：证 .由 面ABC证 面PBC，再证 面PAB，得 .CD=3为定值（直角三角形PAC斜边上的中线）.
第2步：设 ，则 .面积 .当 时取等号.
第3步：此时在Rt△PBC中，，设 ，则 .由等面积 ，代入线段长解出 .
【规律总结】 求解“几何背景下的最值问题”，步骤是：先用立体几何定理找出几何量的等量或不等量关系，再设变量建立目标函数，最后用代数方法（基本不等式、二次函数等）求解最值.
7.（多选）（6分）
在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，则下列说法正确的有（ 　　）
A. 若点 为线段 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 若点 为线段 上的动点（含端点），则 的最小值为
C. 若点 为线段 的中点，则平面AMP与正方形 的交线长为
D. 若点 在正方形 内（含边界），且 ，则 的轨迹长度为
【答案速览】 A, C, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题是正方体背景下的多结论综合题，覆盖求异面直线角、空间最短路径、截面交线及动点轨迹.A选项用平移法求角，B选项将侧面展开求“蚂蚁爬行”最短路径，C选项通过延展平面找交线，D选项用垂直关系定位轨迹平面.
■ 推导过程：
第1步（A）：取BC中点E，连接ME,OE.平移BB1为ME，则 为所求角.计算得 ，.A正确.
第2步（B）：将面BCC1B1沿BC展开与底面ABCD共面.此时 的最小值即为线段 的长度.计算展开后D到M'的距离为 ，非 .B错误.
第3步（C）：在面BCC1B1内延长MP交BC于H，连接HA交CD于T，则PT为交线.利用相似比算出PT长度为 .C正确.
第4步（D）：先利用线面垂直证出 平面 .取AD、DD1中点K,V，则平面KVM // 平面AB1D1.故Q的轨迹为交线段KV，长度为 .D正确.
8.（填空）（5分）
如图，在棱长均为4的正四棱锥 中，，若过点 且垂直于棱 的平面分别交棱 于点 ，则五边形 的面积为 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目的关键是作出并分析截面.首先利用垂直关系及比例，确定F,I是VB,VD的中点，进而推得G,H也是AB,AD的中点.这样截面五边形就明确了，被分割成一个等腰三角形和一个矩形.分别计算面积相加即可.
■ 推导过程：
第1步：由VC⊥截面得VC⊥EI.在Rt△VEI中，VE=1，∠EVI=60°，求出VI=2，故I为VD中点.同理F为VB中点.
第2步：证明当G,H为AB,AD中点时，截面同时过F,I,E，从而截面被确定.可证四边形IFGH为矩形（GH // FI，IH ⊥ GH）.
第3步：计算各部分面积.，，等腰△EFI底边FI上的高为1.∴ .矩形IFGH面积 .
第4步：五边形总面积为 .
【规律总结】 计算截面面积，关键在于“先定位，再定形，后定量”.即先根据条件找到截面与各棱的交点，确定多边形的具体形状和各边的比例，再将其分割为熟悉的图形计算面积.
三、空间角与垂直关系
9.（单选）（5分）
如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为AB的中点，则异面直线SA与CD所成角为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：求异面直线所成角，首选“平移法”.取AB中点D，连接CD，则SA与CD的夹角转化为求 .通过圆锥的性质和线面垂直，可证得 是一个等腰直角三角形，从而角为 .
■ 推导过程：
第1步：取AB中点O，连CO.由C,O为中点得CO // SA.故异面直线所成角等于 .
第2步：由圆锥性质及O为AB中点，可证 平面SAB.因 平面SAB，故 ， 为直角三角形.
第3步：设圆锥母线长为2，则 .计算底面中OD的长度为1.
第4步：在Rt△OCD中，，故 .
【规律总结】 “平移法”是求异面直线所成角的不二法门.通常利用三角形的中位线或平行四边形的对边进行平移构造，将空间角转化为平面角，再在三角形中求解.
四、综合探究与压轴突破
10.（多选）（6分）
如图1，已知矩形ABCD中，，，E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如图2的四棱锥 ，点F是线段 上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当F为线段 中点时， 平面
B.
C. 不存在点F，使CF⊥平面ABD'
D. 当F为线段 中点时，过点A,E,F的截面交 于点M，则
【答案速览】 A, C, D
【深度解析】
■ 思路分析：翻折问题要抓住翻折前后位置关系的“变”与“不变”.A选项利用面面平行证线面平行；B选项可通过反证法并结合计算推出矛盾；C选项同样用反证法可发现与几何事实不符；D选项需延长交线，利用平行线分线段成比例进行计算.
■ 推导过程：
第1步：分析A.取AB中点N，连FN,CN.易证平面CFN // 平面AD'E，故CF // 平面AD'E.A正确.
第2步：分析B.假设BD'⊥AE，取AE中点O，推出AE⊥平面D'OB，则AE⊥OB，进而要求BE=AB.但实际BE=√2，AB=2，矛盾.故假设不成立，B错误.
第3步：分析C.假设CF⊥平面ABD'，则CF⊥AB.又BC⊥AB，故AB⊥平面BCD'，则AB⊥BD'.在直角三角形ABD'中，AB=2, AD'=1, 斜边BD'=√3，直角边AD'第4步：分析D.延长AE,BC交于H，连接FH交CD'于M.由E,C为中点得C为BH中点.F为BD'中点时，FC // D'H.由平行线分线段成比例得CM:MD' = FC:D'H = 1:2.故D'M=2CM.D正确.
【易错警示】 翻折问题最大的易错点是凭直观感觉判断位置关系（如误认为BD'⊥AE可能成立），必须通过严格的逻辑或计算推理来验证.
【规律总结】 解决翻折问题，核心是“抓住不变性，推演可变性”.翻折棱两侧的线段长度和平面内图形的形状不变，以此为出发点，结合新的空间结构去分析各元素位置关系.
11.（填空）（5分）
如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面 ，一条直角边AC在平面 内，另一条直角边BC长为 且 ，若平面 上存在点 ，使得 的面积为 ，则线段 长度的最小值为 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：在面面垂直背景下求动点距离最小值.首先根据面面垂直的性质，得到 ，在直角三角形BCP中，CP的最小值取决于BP的最小值.将BP用 的面积和角 表示，利用正弦函数的有界性即可求出BP的最小值，进而得CP的最小值.
■ 推导过程：
第1步：由平面ABC⊥α，AC为交线，BC⊥AC且BC 平面ABC，得BC⊥平面α.又CP α，得BC⊥CP.所以 ，BC2 = 1/3为定值，求CPmin等价于求BPmin.
第2步：在Rt△ABC中，BC=√3/3, ∠BAC=π/6，得 .
第3步：设 .由 列方程，解得 .
第4步：当 即 时，.代入第1步得 .
【规律总结】 动点最值问题的解题通法是“函数思想”.分析动点所在的约束条件（本题为面积恒定），用同一个变量（本题为 ）表示目标线段和条件中的量，建立目标线段关于该变量的函数，然后用代数方法求函数最值.
12.（填空）（5分）
已知正四棱锥 的所有棱长都为6，点 在侧棱 上，过点 且垂直于 的平面截该棱锥，得到截面多边形 ，则 的边数至多为____， 的面积的最大值为 ____
【答案速览】 5；
【深度解析】
■ 思路分析：这是高难度的动态截面问题.首先发现当E为SC中点F时，截面是与SC垂直的三角形BDF.当E在SF之间时，截面为与平面BDF平行的五边形，边数最多为5.引入比例参数 ，将五边形面积表达为关于 的二次函数，求其最大值.
■ 推导过程：
第1步：取SC中点F，易证SC⊥平面BDF.当截面过E且//平面BDF时，截得五边形.由对称性，最大面积在此时取得，故边数至多5.
第2步：设 .五边形由等腰△EMP和矩形PMNQ组成.
第3步：用表示各边.，.△EMP的腰 ，顶角∠PEM与∠DFB相等，其正弦值为 .
第4步：计算面积 .
第5步：二次函数求最值，当 时，.
13.（解答）（15分）
已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，，，点 在线段 上.
（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值；
（3）证明：存在点 ，使得 平面 ，并求 的值.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）；（3）
【深度解析】
■ 思路分析：本题是在组合几何体背景下，综合考查线面平行、二面角求法及存在性探究的压轴题.（1）利用中位线证平行四边形得线面平行；（2）严格按照“定义法”作二面角的平面角，通过证明和计算求正切值；（3）是存在性问题与最值/定位的结合.先假设线面垂直，得到 （天然成立）和 ，从而将问题转化为平面矩形内的一个比例计算问题.
■ 推导过程：
（1）证明：设AC∩BD=O，连OE.∵ O为AC中点，M为EF中点，在矩形ACEF中有OA // EM且OA=EM.∴ 四边形AOEM为平行四边形，AM // OE.又AM 平面BDE，OE 平面BDE，∴ AM // 平面BDE.【4分】
（2）解：在平面ADF内作AS⊥DF于S，连BS.可证AB⊥平面ADF，由三垂线定理得BS⊥DF，故∠ASB为二面角A-DF-B的平面角.在Rt△ADF中，AD=2, AF=1, DF=√5.由等面积 AS = 2/√5.在Rt△ASB中，tan∠ASB = AB/AS = 2 / (2/√5) = √5.【5分】
（3）证明：假设存在M使AM⊥平面BDF，则必有AM⊥OF.连OF交AM于N.因面面垂直已证BD⊥平面ACEF，故BD⊥AM天然成立.问题转化为在EF上找M使AM⊥OF.通过证明△AOF∽△NOA和△MNF∽△ANO，建立比例式解出MF=√2/2.故 .所以 .【6分】
【易错警示】 第（2）问求二面角时，作、证、算三步缺一不可.学生容易漏掉证明“BS⊥DF”这一环节.第（3）问容易忽略“BD⊥AM恒成立”这一天然优势，导致无从下手.
14.（解答）（15分）
如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是正方形，，E为侧棱PD上的点，且 .
（1）证明：PD⊥AC；
（2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面ACE？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）存在，
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，证线线垂直.由 和正方形性质，可证 平面PBD，从而得到 .第（2）问，存在性探究.先假设存在，则过BF的平面与平面ACE平行.通过构造与平面ACE平行的平面（取点G等），利用面面平行的性质定理，将空间比例关系转化为平面内的比例，最终求得 .
■ 推导过程：
（1）证明：连接BD交AC于点O.在正方形ABCD中，，.∵ ，O为AC中点，∴ .又 ，PO,BD 平面PBD，∴ 平面PBD.又 平面PBD，∴ .【6分】
（2）解：侧棱PC上存在点F满足条件.在PE上取点G，使GE=ED，由PE=3ED得 PG:PE=2:3.连接BG,FG.易证 BG // OE，从而BG // 平面ACE.又由BF // 平面ACE，得平面BGF // 平面ACE.由面面平行的性质，平面PCD与这两平行平面的交线互相平行，即 GF // EC.所以 PF:PC = PG:PE = 2:3.故 PC/PF = 3/2.【9分】
【规律总结】 对于“过某点作某面的平行线”或“探究是否存在某点满足线面平行”，其通法是“构造面面平行”.利用面面平行的性质定理，可以方便地将复杂的线面位置关系转化为平面内简单的平行线等比例问题.第六章 5.1 直线与平面垂直 课时同步练习（A+B卷）
卷首导学
核心易错点：
1. 忽视“两条相交直线”条件——证明线面垂直时，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线，漏掉“相交”条件是典型错误.
2. 线面位置关系判断缺乏反例意识——判断线面平行、垂直的命题时，常忽略“直线在平面内”或“直线与平面相交但不垂直”等反例情况.
3. 翻折问题中误判垂直关系的不变性——图形翻折过程中，某些看似垂直的关系可能不再成立，不能凭直观感觉判断，必须严格推理证明.
4. 混淆判定定理与性质定理——判定定理用于“证垂直”，性质定理用于“由垂直得性质”，二者方向相反，混淆将导致逻辑链断裂.
训练目标：
1. 能够准确复述并运用线面垂直的判定定理和性质定理解决基础证明题.
2. 能够辨析空间中“线线垂直、线面垂直、面面垂直”之间的转化关系，并识别常见逻辑错误的命题.
3. 能够运用线面垂直的性质定理，计算点到平面的距离或两条平行线间的距离.
4. 能够在翻折、动点轨迹等动态几何情境中，抓住不变的垂直关系进行综合分析.
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A卷　基础巩固（100分）
一、线面垂直的定义与性质
1.（单选）（5分）
若直线 垂直于平面 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 仅垂直平面 内的一条直线
B. 仅垂直平面 内与 相交的直线
C. 仅垂直平面 内的两条直线
D. 与平面 内的任意一条直线垂直
2.（多选）（5分）
若 ， 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题为（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
3.（填空）（5分）
在四棱锥 中，底面四边形ABCD为矩形， 平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上，若 ，，，则 ____
二、线面垂直的判定定理
4.（单选）（5分）
若m、n、l表示不同的直线，、 表示不同的平面，则下列推理正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
5.（解答）（15分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面ABCD.
求证：
（1）AB//平面SCD；
（2）BC⊥平面SCD.
三、常见几何体中的垂直关系
6.（单选）（5分）
若 ， 为两条直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则 与 相交
7.（填空）（5分）
如图所示，已知 平面 ，，，则 ____
8.（多选）（5分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列结论正确的是（ 　　）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
9.（填空）（5分）
已知正方体 的棱长为3，则 到平面 的距离为 ____
10.（填空）（5分）
已知正方体 的棱长为2， 分别是 和 的中点.则两条平行线 和 间的距离为 ____
11.（解答）（15分）
四棱锥 的底面ABCD是边长为3的正方形， 是 的中点.
（1）证明： 平面MAC；
（2）若 在底面ABCD上的投影为底面中心，求直线BP到平面MAC的距离.
四、线面平行与垂直的易混辨析
12.（单选）（5分）
设 ， 为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，，则
13.（单选）（5分）
设 ， 是两个平面，， 是两条直线，则下列命题为假命题的是（ 　　）
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，，则
五、综合探究
14.（解答）（15分）
如图，在三棱锥V-ABC中，VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M，D分别为AB，AV，BC的中点，BM，VO交于点F.
（1）证明：AB⊥平面VOC；
（2）在线段BM上是否存在一点E，使DE∥平面VOC？若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由.
B卷　能力提升（100分）
一、线面垂直判定与性质的综合应用
1.（多选）（5分）
已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，且 ，，则
D. 若 ，，且 ，则
2.（多选）（5分）
已知 ， 是不同的直线，， 是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ 　　）
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，，则
3.（解答）（14分）
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB⊥AD，，，，M,N分别是PD,BC的中点.
求证：
（1）AM//平面PBC；
（2）MN⊥BC.
二、常见几何体与易错辨析
4.（多选）（5分）
已知直线a,b和平面α,β，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若a⊥b，a⊥α，则b⊥α
B. 若a / / b，a⊥α，则b⊥α
C. 若α⊥β，a α，则a⊥β
D. 若a⊥α，a β，α∩β=b，则a⊥b
5.（多选）（5分）
下列命题为真命题的有（ 　　）
A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等
B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若直线 上的三个点在平面 内，则
6.（单选）（5分）
在三棱锥 中， 平面ABC， 是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为PA的中点，则当 的面积最大时，（ 　　）
A. 1
B.
C.
D.
7.（多选）（6分）
在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，则下列说法正确的有（ 　　）
A. 若点 为线段 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 若点 为线段 上的动点（含端点），则 的最小值为
C. 若点 为线段 的中点，则平面AMP与正方形 的交线长为
D. 若点 在正方形 内（含边界），且 ，则 的轨迹长度为
8.（填空）（5分）
如图，在棱长均为4的正四棱锥 中，，若过点 且垂直于棱 的平面分别交棱 于点 ，则五边形 的面积为 ____
三、空间角与垂直关系
9.（单选）（5分）
如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为AB的中点，则异面直线SA与CD所成角为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
四、综合探究与压轴突破
10.（多选）（6分）
如图1，已知矩形ABCD中，，，E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如图2的四棱锥 ，点F是线段 上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当F为线段 中点时， 平面
B.
C. 不存在点F，使CF⊥平面ABD'
D. 当F为线段 中点时，过点A,E,F的截面交 于点M，则
11.（填空）（5分）
如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面 ，一条直角边AC在平面 内，另一条直角边BC长为 且 ，若平面 上存在点 ，使得 的面积为 ，则线段 长度的最小值为 ____
12.（填空）（5分）
已知正四棱锥 的所有棱长都为6，点 在侧棱 上，过点 且垂直于 的平面截该棱锥，得到截面多边形 ，则 的边数至多为____， 的面积的最大值为 ____
13.（解答）（15分）
已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，，，点 在线段 上.
（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值；
（3）证明：存在点 ，使得 平面 ，并求 的值.
14.（解答）（15分）
如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是正方形，，E为侧棱PD上的点，且 .
（1）证明：PD⊥AC；
（2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面ACE？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案与详解
A卷答案速查表
1 2 3 4 5
D A,B,C B 见解析
6 7 8 9 10
C 12 A,B,C
11 12 13 14
见解析 C C 见解析
B卷答案速查表
1 2 3 4 5
B,D A,B,D 见解析 B,D A,C,D
6 7 8 9 10
C A,C,D B A,C,D
11 12 13 14
5； 见解析 见解析
A卷　基础巩固（100分）
一、线面垂直的定义与性质
1.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题干直接考查“直线与平面垂直的定义”.看到“直线 垂直于平面 ”，应立即想到定义：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于该平面内的任意一条直线.将各选项与定义进行比对即可.
■ 推导过程：
第1步：回顾线面垂直的定义：如果直线 与平面 内的任何一条直线都垂直，则称直线 与平面 互相垂直.
第2步：选项A、B、C分别用“仅”“相交”“两条”等词对定义做了错误限制，均违背定义中“任意一条直线”的要求.
第3步：选项D与定义完全一致，故正确.
【易错警示】 初学者容易认为线面垂直只与平面内过垂足的直线垂直，从而误选A或B.必须牢记定义中“任意一条”的表述，这是线面垂直最根本的性质.
【规律总结】 解答定义辨析题的唯一依据是教材中的精确定义.将题设与定义逐字比对，但凡有一处不符即可判定为错误.
2.（5分）
【答案速览】 A, B, C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考察线面垂直的判定与性质的综合运用.A选项利用判定定理进行传递，B选项是性质定理的直接应用，C选项需借助线面平行的性质来搭桥，D选项则需要构造反例来证伪.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 知 垂直于 内任意两条相交直线.因 ，故 也垂直于这两条直线，由判定定理得 .A正确.
第2步：分析B.垂直于同一平面的两条直线平行，此为线面垂直性质定理的直接应用.B正确.
第3步：分析C.由 ，可在 内找直线 使 .由 得 ，故 .C正确.
第4步：分析D.反例：在正方体中，取 为一条侧棱， 为底面，则 .取 为底面内一条直线，满足 ，但此时 ，而非 .D错误.
【易错警示】 D选项是典型易错点.学生常漏掉“直线可能在平面内”这一特殊情况.正方体是构造反例、排除错误选项的最佳模型.
【规律总结】 处理线面位置关系命题判断题的通法是“定理推理 + 反例验证”.肯定需严格证明，否定只需一个反例.
3.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：目标是求线段 的长度.突破口是证明 ，使 成为直角三角形 斜边上的高.通过作辅助线 ，将垂直关系逐步传递.
■ 推导过程：
第1步：取 中点 ，连接 .由 为中点得 .
第2步：由 平面ABCD， 平面ABCD，得 .又 ，且 ，故 平面SAD.从而 平面SAD，得 .
第3步：已知 ，且 ，故 平面PEQ，得 .又 ，所以 .
第4步：在直角三角形 中，，斜边 .
第5步：由等面积法，，即 ，解得 .
【规律总结】 在立体几何中求线段长，常利用垂直关系构造直角三角形，再通过等面积法或勾股定理求解.反复运用线面垂直的判定与性质进行“垂直传递”是破题关键.
二、线面垂直的判定定理
4.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题为单选题，需逐项判断空间位置关系推理的正误.正确选项B是线面垂直性质定理的直接表述.对于A、C、D选项，均可通过正方体中的反例予以排除.
■ 推导过程：
第1步：分析A.两条直线都与同一平面平行，它们可能相交（如正方体上底面两条相交直线）.A错误.
第2步：分析B.垂直于同一平面的两条直线平行，这是线面垂直的性质定理.B正确.
第3步：分析C.在空间中，垂直于同一直线的两直线可能相交（如正方体顶点处的三条互相垂直的棱）.C错误.
第4步：分析D.一条直线平行于两个平面，这两个平面可能相交（如正方体侧棱平行于两个相邻侧面）.D错误.
【易错警示】 C选项是平面几何定理向空间推广失效的典型陷阱.“垂直于同一直线的两直线平行”只在同一平面内成立.
【规律总结】 解答线面位置关系判断题，最有效的方法是“模型验证法”.将选项条件代入正方体或长方体模型中，往往能迅速找到反例.
5.（15分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问证线面平行，关键是在平面SCD内找与AB平行的直线，正方形对边平行的性质直接指向 .第（2）问证线面垂直，需在平面SCD内找与BC垂直的两条相交直线.由 底面可得 ，由正方形可得 .
■ 推导过程：
（1）第1步：∵ 底面ABCD是正方形，∴ .第2步：又 ∵ 平面SCD， 平面SCD，∴ 平面SCD.【6分】
（2）第1步：∵ 底面ABCD， 底面ABCD，∴ .第2步：∵ 底面ABCD是正方形，∴ .第3步：又 ∵ ， 平面SCD，∴ 平面SCD.【9分】
【易错警示】 在证明（2）时，学生容易漏掉说明 （两直线相交）这一关键条件.使用线面垂直判定定理必须严格写明“两条相交直线”.
【规律总结】 证“线面平行”的通法是在面内找平行线；证“线面垂直”的通法是在面内找两条相交的垂线.这种“降维”转化是立体几何证明的核心思想.
三、常见几何体中的垂直关系
6.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题考察“线面平行”和“线面垂直”混合条件下，两直线位置关系的判断.C选项是正确选项，其证明需要用到“若线面平行，则可在面内找平行线”这一重要性质来传递垂直关系.
■ 推导过程：
第1步：分析A. 与 可能平行也可能异面.反例：直线平行于它在平面内的投影，但与平面内不过投影点的线异面.A错误.
第2步：分析B. 与 平行、相交、异面均有可能.B错误.
第3步：分析C.由 ，可在 内找直线 使 .由 得 ，从而 .C正确.
第4步：分析D. 与 可能相交，也可能异面.D错误.
【规律总结】 连接线面平行与线线垂直的桥梁是“在面内找平行线”.这一技巧实现了“”，将空间位置关系的判定转化为平面内的问题.
7.（5分）
【答案速览】 12
【深度解析】
■ 思路分析：目标是求线段PC的长度.由 平面ABC可得 ， 为直角三角形.要求斜边PC，需先求直角边AC.AC在底面 中，已知两边及其夹角，适合用余弦定理求解.
■ 推导过程：
第1步：由 平面 ， 平面 ，得 ， 为直角三角形.
第2步：在 中，，，用余弦定理求 ：
.
第3步：在直角三角形 中，由勾股定理：
【规律总结】 空间线段求长的通用策略是“空间问题平面化”.先利用垂直关系找到直角三角形，再将其中的边转化为平面三角形的边进行求解.
8.（5分）
【答案速览】 A, B, C
【深度解析】
■ 思路分析：本题为递进式多选题，后一选项依赖前一选项的结论.推理的起点是“ 底面”和“”，通过反复运用线面垂直的判定和性质定理，逐层推导.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 平面ABC 得 ，又 ，且 ，故 平面PAB.A正确.
第2步：由A结论 平面PAB，且 平面PAB，得 .在等腰直角三角形PAB中，D为PB中点，由三线合一得 .又 ，故 平面PBC.C正确.
第3步：由C结论 平面PBC，且 平面PBC，得 .B正确.
第4步：由A得 ，但BC与CD不平行，故PB不与CD垂直，从而PB不垂直于平面ADC.D错误.
【规律总结】 解递进式多选题，要坚持“顺藤摸瓜”的链式推理法.将前一个正确结论作为下一个推理的已知条件，逐步扩大“已知垂直关系”的范围.
9.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：求点到平面距离，正方体背景下最直接的方法是向量法.通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，再代入点到平面距离公式.
■ 推导过程：
第1步：以B为原点，BC、BA、BB1为x、y、z轴建系.则 ，，，.
第2步：求平面 的法向量.，.设法向量 ，则 ，.取 ，得 .
第3步：，代入距离公式：
【规律总结】 向量法是求点面距的通法，其步骤为“建系→求坐标→算法向量→用公式”.当图形易于建系时，此法是首选.
10.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：目标是求两平行线 与 间的距离.观察到 ，且 平面 ，所以该平面内两平行线间的任何垂线段即为所求距离.问题的关键转化为求线段 的长度.
■ 推导过程：
第1步：连接AC、，分别交BD、于O、.设 .
第2步：由 且 底面得 .又 ，故 平面 .因 ，所以 即为所求距离.
第3步：计算.，.在直角三角形 中，由勾股定理：.
【规律总结】 求平行线间距离，通常化归为求点到直线的距离或线面距.本题巧妙利用了与两平行线均垂直的平面（平面 ），将空间距离转化为该平面内一线段的长度.
11.（15分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问是常规的线面平行证明，通过连接BD与AC的交点O，利用中位线定理证 .第（2）问将“线面距”转化为“点面距”，通过证明 平面MAC，得出距离即为线段BO的长度.
■ 推导过程：
（1）连接BD交AC于O，连接OM.∵ ABCD为正方形，∴ O为BD中点.又M为PD中点，∴ 在 中，OM // PB.∵ OM 平面MAC，PB 平面MAC，∴ PB // 平面MAC.
【6分】
（2）由题意，M在底面的投影为中心O，即 平面ABCD.∴ .又ABCD为正方形，∴ .∵ 平面MAC，，∴ 平面MAC.由（1）知PB // 平面MAC，故BP到平面MAC的距离等于点B到平面MAC的距离，即为线段BO的长..【9分】
【规律总结】 求线面距的通用策略是将“线面距离”转化为“点面距离”.寻找到过该点且垂直于平面的垂线是解决问题的核心.
四、线面平行与垂直的易混辨析
12.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题集中考察线面平行与垂直判定定理和性质定理的精确条件.错误选项都遗漏了定理的关键前提.A项漏掉了线面平行时线线可能异面的情况，B项漏掉了“线可能在面内”的条件，D项使用面面垂直性质定理时遗漏了“直线必须在其中一个平面内”的前提.C项则需要利用线面平行的性质定理构造辅助线来证明.
■ 推导过程：
第1步：分析A.，，则 与 可能平行也可能异面.A错误.
第2步：分析B.，，结论 不成立，因为 也可能在 内.B错误.
第3步：分析C.由 ，可在 内作直线 使 .又 ，由定义得 .因 ，故 .C正确.
第4步：分析D.使用面面垂直的性质定理，必须满足“这条直线垂直于交线”且“这条直线在其中一个平面内”.选项D未说明 在 或 内，故错误.
【易错警示】 本题是“判定定理条件不全”型易错题的集大成者.精准记忆每个定理的所有前提条件，是解决此类问题的根本.
【规律总结】 辨析此类题，要“抠字眼”与“建模型”并举.将选项文字与定理原文逐字比对，同时在脑中构建正方体模型寻找反例.
13.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：与上题类似，需找出四个复合命题中的假命题.A和B通过严谨的定理推证可判为真，D也可通过构造平行线来证真.而C选项再次考察了“直线可能在平面内”这一经典陷阱.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 ， 得 .又 ，故 .A为真命题.
第2步：分析B.若 ，则 或 .又 ，由面面垂直的判定得 .B为真命题.
第3步：分析C.若 ，，，结论是 或 .选项中没有排除 的情况，故不一定成立，为假命题.C符合题意.
第4步：分析D.若 ，，则 .又 ，则 内存在与 平行的直线垂直于 ，故 .D为真命题.
【易错警示】 C选项是“忽视线在面内”的又一道经典易错题.对于没有明确声明“直线在平面外”的线面平行结论，一定要警惕“线可能在面内”这个反例.
【规律总结】 判断此类命题，除了正向推导，更重要的是能敏锐识别出定理成立的所有必要条件.多思考“万一……会怎样”是培养这种批判性思维的有效途径.
五、综合探究
14.（15分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）存在，E为线段BM上靠近B的三等分点.
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，目标证 平面 ，利用等腰和等边三角形中的“三线合一”性质，找到 和 这两组线线垂直即可.第（2）问是存在性探究，先假设存在，再利用线面平行的性质定理将其转化为线线平行（），结合已知比例（重心）推算出E点位置.
■ 推导过程：
（1）证明：∵ AC=BC，O是AB中点，∴ .∵ 是等边三角形，O是AB中点，∴ .又 ∵ OC与OV在平面VOC内且交于O点，∴ 平面VOC.【6分】
（2）解：假设存在点E，使 平面VOC.连接CF. ∵ 平面BMC，平面BMC 平面VOC = CF， 由线面平行的性质定理，.在 中，D为BC中点，，∴ E为BF中点.又F是等边三角形VAB的重心，由重心性质 ，∴ .故存在满足条件的点E，它是线段BM上靠近B的三等分点.【9分】
【规律总结】 本题第（2）问是“存在性探究问题”的标准解法：假设存在→推理论证→确定属性→得出结论.核心工具是线面平行的性质定理，它将“线面平行”转化为“线线平行”，从而能在平面图形中利用比例关系确定位置.
B卷　能力提升（100分）
一、线面垂直判定与性质的综合应用
1.（5分）
【答案速览】 B, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题为综合多选题.A选项中两线平行于同一平面，它们可能相交.B选项是面面平行的传递性，为真命题.C选项遗漏了判定定理中“两直线相交”的关键条件.D选项可通过“线面垂直的性质”和“面面垂直的定义”进行传递，其结论（两平面的法向量互相垂直）是正确的.
■ 推导过程：
第1步：分析A.反例：正方体上底面两条相交直线均平行于下底面.A错误.
第2步：分析B.面面平行的传递性： 且 ，则 .B正确.
第3步：分析C.面面平行的判定定理要求 与 必须相交.C错误.
第4步：分析D.由面面垂直的性质及法向量概念可知，若两平面垂直，则它们的法向量也垂直.D正确.
【规律总结】 解决此类问题，概念与定理的精准记忆是基础.对于像C选项这样遗漏关键条件的，要立即反应出反例模型.
2.（5分）
【答案速览】 A, B, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题重点考察线面平行性质定理（B选项）和垂直关系的转化（A、D选项）.C选项依然是考察“线可能在面内”这一经典易错点.B选项是一条重要推论，证明时需构造辅助平面.
■ 推导过程：
第1步：分析A.由 得 .又 ，由垂直关系的传递性得 .A正确.
第2步：分析B.此即线面平行性质定理的推论.可由 和 ，通过构造交线推出 .B正确.
第3步：分析C. 可能平行于 ，也可能在 内.C错误.
第4步：分析D.由 且 得 .又 ，故 .D正确.
【易错警示】 B选项的结论非常有用，可作为小定理直接使用：“一条直线平行于两个相交平面，则这条直线平行于它们的交线”.C选项的反复出现说明其作为陷阱的重要性.
【规律总结】 对于复杂的命题判断，尤其是B选项需要构造辅助平面的，若考试时无法严格证明，可用身边的物品（书和笔）进行直观比划，帮助判断.
3.（14分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，证线面平行.由“中点”自然联想到中位线，结合梯形背景，可构造平行四边形 ，从而推出 .第（2）问，证线线垂直 .由 和 可推出 且 ，从而 平面 ，得到 .
■ 推导过程：
（1）证明：取PC中点Q，连接MQ,BQ.∵ M为PD中点，∴ MQ // DC 且 .又由已知 AB // DC 且 ，∴ AB // MQ 且 AB=MQ.四边形ABQM为平行四边形，∴ AM // BQ.∵ AM 平面PBC，BQ 平面PBC，∴ AM // 平面PBC.【7分】
（2）证明：连接PN, DN, DB. ∵ PB=PC，N为BC中点，∴ .在直角梯形ABCD中，易求 .又已知DC=2，∴ .在等腰中，N为BC中点，∴ .∵ PN, DN 平面PDN，且 ，∴ 平面PDN.又 平面PDN，∴ .【7分】
【规律总结】 证明异面直线垂直的常用策略是“线面垂直法”，即证其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面.本题第（2）问逆用了此策略，证明了 垂直于 所在的平面 .
二、常见几何体与易错辨析
4.（5分）
【答案速览】 B, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题所有错误选项均可通过正方体模型构造反例排除.A选项，b可能平行于α或在α内.C选项，应用面面垂直判定定理缺少了“垂直于交线”这一关键条件.B选项是线面垂直性质的直接推论.D选项是线面垂直定义的应用.
■ 推导过程：
第1步：分析A.反例：a垂直于地面，b是地面内一条直线，满足a⊥b，a⊥地面，但b在地面内，不垂直于地面.A错误.
第2步：分析B.若a⊥α，则a是α的法向量.因a // b，故b也是α的法向量，所以b⊥α.B正确.
第3步：分析C.在两面垂直的条件下，必须在其中一个平面内且垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.C错误.
第4步：分析D.b是交线且b α，由a⊥α，根据线面垂直的定义，则a垂直于α内所有直线，故a⊥b.D正确.
【规律总结】 处理此类问题，最直观有效的方法是“模型验证法”.在正方体中，赋予a,b,α,β具体的线和面，往往能一眼看出命题的真伪.
5.（5分）
【答案速览】 A, C, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题是跨知识点的概念辨析题.A项是球体定义，D项是平面公理，均为直接表述.B项需运用线面位置关系进行逻辑反证.C项是前面反复出现的线面平行性质定理的重要推论.
■ 推导过程：
第1步：分析A.球体可由半圆绕直径旋转而成，是旋转体；球面上的点到球心的距离等于半径.A正确.
第2步：分析B.假设另一条直线与该平面不相交，则它平行于平面或在平面内.这与“一条直线与平面相交”的条件和“两直线平行”的公理矛盾.故另一条直线必定也与该平面相交.B错误.
第3步：分析C.这是线面平行性质的重要推论，证明过程已在前面题中详述.C正确.
第4步：分析D.若直线上有两个点在平面内，则整条直线就在平面内.三个点自然满足条件.D正确.
【规律总结】 本题B选项是典型的“反证法”应用.在判断位置关系时，假设不成立，然后推出矛盾，是严谨的数学逻辑方法.
6.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题是立体几何与代数最值的综合题.首先要用垂直关系证明 ，确定 为直角三角形，且斜边CD为定长.用两边 表示面积，利用基本不等式得面积最大时 .最后在Rt△PBC中用等面积法求出 .
■ 推导过程：
第1步：证 .由 面ABC证 面PBC，再证 面PAB，得 .CD=3为定值（直角三角形PAC斜边上的中线）.
第2步：设 ，则 .面积 .当 时取等号.
第3步：此时在Rt△PBC中，，设 ，则 .由等面积 ，代入线段长解出 .
【规律总结】 求解“几何背景下的最值问题”，步骤是：先用立体几何定理找出几何量的等量或不等量关系，再设变量建立目标函数，最后用代数方法（基本不等式、二次函数等）求解最值.
7.（6分）
【答案速览】 A, C, D
【深度解析】
■ 思路分析：本题是正方体背景下的多结论综合题，覆盖求异面直线角、空间最短路径、截面交线及动点轨迹.A选项用平移法求角，B选项将侧面展开求“蚂蚁爬行”最短路径，C选项通过延展平面找交线，D选项用垂直关系定位轨迹平面.
■ 推导过程：
第1步（A）：取BC中点E，连接ME,OE.平移BB1为ME，则 为所求角.计算得 ，.A正确.
第2步（B）：将面BCC1B1沿BC展开与底面ABCD共面.此时 的最小值即为线段 的长度.计算展开后D到M'的距离为 ，非 .B错误.
第3步（C）：在面BCC1B1内延长MP交BC于H，连接HA交CD于T，则PT为交线.利用相似比算出PT长度为 .C正确.
第4步（D）：先利用线面垂直证出 平面 .取AD、DD1中点K,V，则平面KVM // 平面AB1D1.故Q的轨迹为交线段KV，长度为 .D正确.
8.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目的关键是作出并分析截面.首先利用垂直关系及比例，确定F,I是VB,VD的中点，进而推得G,H也是AB,AD的中点.这样截面五边形就明确了，被分割成一个等腰三角形和一个矩形.分别计算面积相加即可.
■ 推导过程：
第1步：由VC⊥截面得VC⊥EI.在Rt△VEI中，VE=1，∠EVI=60°，求出VI=2，故I为VD中点.同理F为VB中点.
第2步：证明当G,H为AB,AD中点时，截面同时过F,I,E，从而截面被确定.可证四边形IFGH为矩形（GH // FI，IH ⊥ GH）.
第3步：计算各部分面积.，，等腰△EFI底边FI上的高为1.∴ .矩形IFGH面积 .
第4步：五边形总面积为 .
【规律总结】 计算截面面积，关键在于“先定位，再定形，后定量”.即先根据条件找到截面与各棱的交点，确定多边形的具体形状和各边的比例，再将其分割为熟悉的图形计算面积.
三、空间角与垂直关系
9.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：求异面直线所成角，首选“平移法”.取AB中点D，连接CD，则SA与CD的夹角转化为求 .通过圆锥的性质和线面垂直，可证得 是一个等腰直角三角形，从而角为 .
■ 推导过程：
第1步：取AB中点O，连CO.由C,O为中点得CO // SA.故异面直线所成角等于 .
第2步：由圆锥性质及O为AB中点，可证 平面SAB.因 平面SAB，故 ， 为直角三角形.
第3步：设圆锥母线长为2，则 .计算底面中OD的长度为1.
第4步：在Rt△OCD中，，故 .
【规律总结】 “平移法”是求异面直线所成角的不二法门.通常利用三角形的中位线或平行四边形的对边进行平移构造，将空间角转化为平面角，再在三角形中求解.
四、综合探究与压轴突破
10.（6分）
【答案速览】 A, C, D
【深度解析】
■ 思路分析：翻折问题要抓住翻折前后位置关系的“变”与“不变”.A选项利用面面平行证线面平行；B选项可通过反证法并结合计算推出矛盾；C选项同样用反证法可发现与几何事实不符；D选项需延长交线，利用平行线分线段成比例进行计算.
■ 推导过程：
第1步：分析A.取AB中点N，连FN,CN.易证平面CFN // 平面AD'E，故CF // 平面AD'E.A正确.
第2步：分析B.假设BD'⊥AE，取AE中点O，推出AE⊥平面D'OB，则AE⊥OB，进而要求BE=AB.但实际BE=√2，AB=2，矛盾.故假设不成立，B错误.
第3步：分析C.假设CF⊥平面ABD'，则CF⊥AB.又BC⊥AB，故AB⊥平面BCD'，则AB⊥BD'.在直角三角形ABD'中，AB=2, AD'=1, 斜边BD'=√3，直角边AD'第4步：分析D.延长AE,BC交于H，连接FH交CD'于M.由E,C为中点得C为BH中点.F为BD'中点时，FC // D'H.由平行线分线段成比例得CM:MD' = FC:D'H = 1:2.故D'M=2CM.D正确.
【易错警示】 翻折问题最大的易错点是凭直观感觉判断位置关系（如误认为BD'⊥AE可能成立），必须通过严格的逻辑或计算推理来验证.
【规律总结】 解决翻折问题，核心是“抓住不变性，推演可变性”.翻折棱两侧的线段长度和平面内图形的形状不变，以此为出发点，结合新的空间结构去分析各元素位置关系.
11.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：在面面垂直背景下求动点距离最小值.首先根据面面垂直的性质，得到 ，在直角三角形BCP中，CP的最小值取决于BP的最小值.将BP用 的面积和角 表示，利用正弦函数的有界性即可求出BP的最小值，进而得CP的最小值.
■ 推导过程：
第1步：由平面ABC⊥α，AC为交线，BC⊥AC且BC 平面ABC，得BC⊥平面α.又CP α，得BC⊥CP.所以 ，BC2 = 1/3为定值，求CPmin等价于求BPmin.
第2步：在Rt△ABC中，BC=√3/3, ∠BAC=π/6，得 .
第3步：设 .由 列方程，解得 .
第4步：当 即 时，.代入第1步得 .
【规律总结】 动点最值问题的解题通法是“函数思想”.分析动点所在的约束条件（本题为面积恒定），用同一个变量（本题为 ）表示目标线段和条件中的量，建立目标线段关于该变量的函数，然后用代数方法求函数最值.
12.（5分）
【答案速览】 5；
【深度解析】
■ 思路分析：这是高难度的动态截面问题.首先发现当E为SC中点F时，截面是与SC垂直的三角形BDF.当E在SF之间时，截面为与平面BDF平行的五边形，边数最多为5.引入比例参数 ，将五边形面积表达为关于 的二次函数，求其最大值.
■ 推导过程：
第1步：取SC中点F，易证SC⊥平面BDF.当截面过E且//平面BDF时，截得五边形.由对称性，最大面积在此时取得，故边数至多5.
第2步：设 .五边形由等腰△EMP和矩形PMNQ组成.
第3步：用表示各边.，.△EMP的腰 ，顶角∠PEM与∠DFB相等，其正弦值为 .
第4步：计算面积 .
第5步：二次函数求最值，当 时，.
13.（15分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）；（3）
【深度解析】
■ 思路分析：本题是在组合几何体背景下，综合考查线面平行、二面角求法及存在性探究的压轴题.（1）利用中位线证平行四边形得线面平行；（2）严格按照“定义法”作二面角的平面角，通过证明和计算求正切值；（3）是存在性问题与最值/定位的结合.先假设线面垂直，得到 （天然成立）和 ，从而将问题转化为平面矩形内的一个比例计算问题.
■ 推导过程：
（1）证明：设AC∩BD=O，连OE.∵ O为AC中点，M为EF中点，在矩形ACEF中有OA // EM且OA=EM.∴ 四边形AOEM为平行四边形，AM // OE.又AM 平面BDE，OE 平面BDE，∴ AM // 平面BDE.【4分】
（2）解：在平面ADF内作AS⊥DF于S，连BS.可证AB⊥平面ADF，由三垂线定理得BS⊥DF，故∠ASB为二面角A-DF-B的平面角.在Rt△ADF中，AD=2, AF=1, DF=√5.由等面积 AS = 2/√5.在Rt△ASB中，tan∠ASB = AB/AS = 2 / (2/√5) = √5.【5分】
（3）证明：假设存在M使AM⊥平面BDF，则必有AM⊥OF.连OF交AM于N.因面面垂直已证BD⊥平面ACEF，故BD⊥AM天然成立.问题转化为在EF上找M使AM⊥OF.通过证明△AOF∽△NOA和△MNF∽△ANO，建立比例式解出MF=√2/2.故 .所以 .【6分】
【易错警示】 第（2）问求二面角时，作、证、算三步缺一不可.学生容易漏掉证明“BS⊥DF”这一环节.第（3）问容易忽略“BD⊥AM恒成立”这一天然优势，导致无从下手.
14.（15分）
【答案速览】 （1）证明见解析；（2）存在，
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，证线线垂直.由 和正方形性质，可证 平面PBD，从而得到 .第（2）问，存在性探究.先假设存在，则过BF的平面与平面ACE平行.通过构造与平面ACE平行的平面（取点G等），利用面面平行的性质定理，将空间比例关系转化为平面内的比例，最终求得 .
■ 推导过程：
（1）证明：连接BD交AC于点O.在正方形ABCD中，，.∵ ，O为AC中点，∴ .又 ，PO,BD 平面PBD，∴ 平面PBD.又 平面PBD，∴ .【6分】
（2）解：侧棱PC上存在点F满足条件.在PE上取点G，使GE=ED，由PE=3ED得 PG:PE=2:3.连接BG,FG.易证 BG // OE，从而BG // 平面ACE.又由BF // 平面ACE，得平面BGF // 平面ACE.由面面平行的性质，平面PCD与这两平行平面的交线互相平行，即 GF // EC.所以 PF:PC = PG:PE = 2:3.故 PC/PF = .【9分】
【规律总结】 对于“过某点作某面的平行线”或“探究是否存在某点满足线面平行”，其通法是“构造面面平行”.利用面面平行的性质定理，可以方便地将复杂的线面位置关系转化为平面内简单的平行线等比例问题.

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