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湖南湘潭市2026届高三下学期学情检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知的内角的对边分别为，且，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．无法确定
5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
6．现有甲 乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ）
A．120种 B．96种 C．72种 D．60种
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19
A．该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”
B．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为27
C．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28
D．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．的取值范围为
C．若，则的最大值为
D．的最大值为
11．已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（ ）
A．关于直线对称
B．存在点，使得（为坐标原点）
C．为定值
D．
三、填空题
12．若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
13．已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为__________．
14．已知平面内有5个互不相等的单位向量．若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为__________．
四、解答题
15．如图，在正方体中，分别为的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
16．为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金．
(1)当时，求顾客可以获得奖金的概率；
(2)当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？
17．已知数列和满足．
(1)若，求的值；
(2)若，且恒成立，求的取值范围；
(3)设，若，证明：．
18．已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且的焦距为．
(1)求的方程．
(2)对于上的任意两点，定义：．
①若是右支上两个不同的点，证明：．
②若是右支上三个不同的点，且存在常数，使得，证明为定值，并求该定值（用表示）．
19．（1）求函数在上的最值．
（2）证明：．
（3）若，求的值．
参考答案
1．B
【详解】因为，
则．
2．C
【详解】.
3．D
【详解】由奇函数的性质可知，解得.
4．A
【详解】由结合正弦定理，可得，则，
则，则为钝角，故的形状是钝角三角形．
5．A
【详解】由题意知，，
令，得，
则的单调递减区间为．
对于A：当时，，A正确.
对于BCD：无满足条件，故BCD错误.
6．D
【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种；
若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种．
根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种．
7．B
【详解】因为，所以，则．
令，则，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
则，
则，即．故．
8．D
【详解】如图，设外接圆的圆心为，
因为都是等腰三角形，，，
所以，是的中点．
设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面．
过点作交的延长线于点．
设在平面内的射影为，连接，
因为二面角的大小为,
所以．
因为是等腰三角形，且，
所以，
所以
．
过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，
则,4，，
．
设，则由，可得，
解得，
故三棱锥外接球的表面积为．
9．AD
【详解】由题可知，该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”，A正确.
该城市这周PM2.5日平均浓度的数值按从小到大的顺序排列为，
因为，所以该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为26，极差为，B不正确，C不正确.
该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为，D正确.
10．ABD
【详解】选项，若，则显然；若，则，整理得，由，得，则，则正确．
选项,，由，得，则，则的取值范围为，正确．
选项,由，得，则，不正确．
选项,，当且仅当时，等号成立，正确．
11．ACD
【详解】对于A，由方程中互换后方程不变可得曲线关于直线对称，故A正确；
对于B，设，由，得，
当且仅当时，等号成立，
，从而，故B错误；
对于C，
，故4，是定值，故C正确；
由选项C可知，是以为焦点，4为长轴长，为焦距的椭圆，
是的内心，在上，
由三角形内角平分线定理得，变形得，
是的角平分线，则，令，
在中，，即，①
在中，，即，②
三点共线，则，
则，
将①除以②，可得，
，由等比性质，可得，
即，故D正确．
12．/
【详解】由，可得．当时，．
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以．
13．
【详解】如图，因为是的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点．
根据对称性，不妨令在第一象限．
因为是等腰直角三角形，所以．
过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，
则．又，
所以，即．
设，则，
则的离心率为．
14．
【详解】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量，不妨令，则．
若中有2个或3个向量与垂直，则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意．
若，均不与垂直，也不与垂直，则两两垂直，不符合平面向量的性质．
故中恰有1个向量同时与垂直，不妨令，则由题可知，从而，则，当且仅当与同向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件．
故的最大值为．
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）方法一：
连接，与交于点，则为的中点，连接，
是的中点，
，
又平面平面，
平面．
方法二：
在正方体中，显然两两垂直，则以为坐标原点，
所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，则，．
．
设平面的法向量为，
则由可得
令，得．
，
．
又平面，
平面．
（2）方法一：
不妨设正方体的棱长为2，
则由，分别为的中点，可得，
连接，则，
即为二面角的大小，
，则，
连接，则，
在中，，
则二面角的正弦值为．
方法二：
，设平面的法向量为，
则由可得，
令，得，
，
故二面角的正弦值为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）方法一，当时，记事件为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件为“顾客可以获得奖金”，
则．
方法二，由题可知，当时，若顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球，且他获得奖金的概率，
若顾客所选的箱子中有1个白球和3个红球，且他获得奖金的概率，
则当时，顾客可以获得奖金的概率.
（2）当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为，
且，
则.
当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为.
且，
则.
因为，
所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大.
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，
所以．
（2）因为，
所以，
则，
所以，
由恒成立，可得，
则，得，
则，即的取值范围为．
（3）证明：由，
可得，
则，
两式相减得．
由，得，
则．
由，得，
则，即．
18．(1)
(2)① 证明见解析；②证明见解析，该定值为
【详解】（1）由题可知，
解得，
则双曲线的方程为．
（2）①依题意可设直线的方程为．
由可得，
则，且，
，
所以
因为是右支上两个不同的点，所以．
又，所以．
则，
由，得，即，
则，故.
②设．由和①可得，
且则均在直线上．
若，则，的方程为，由可得，
则，因此
若，则的方程可化为，
由可得．
因为，所以上式可化为，
此时，且，
因此，
综上所述，为定值，且该定值为．
19．（1）最大值为，最小值为 ；（2）证明见解析；（3） ．
（1）解：由，得．
令，则．
因为，所以，则在上恒成立，则在上单调递减．
又，所以，即在上恒成立，则在上单调递减，
则在上的最大值为，最小值为．
（2）证明：．
因为，所以由（1）可知，，则．
又，所以，
则，故，．
（3）解：由题可知，．
令，则．
若，则，根据函数零点存在定理可知，，不符合题意，故．
同理可得．
令，则，
若，则，根据函数零点存在定理可知，，不符合题意，故．
综上所述，是原不等式成立的必要条件，下面证明当时，原不等式成立，即．
对于左侧不等式，
由，可得，且，
则由（2）可得，不等式成立．
对于右侧不等式，
设常数，令，
则．
令，
则．
由，可得，则，从而在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，则在上单调递增，所以．
令，满足，代入，即可得，不等式成立．
综上所述，．

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