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平行线中的拐点问题
一、选择题（共8小题）
1．（2025 如皋市校级自主招生）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180°
C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
2．（2024秋 晋中校级期末）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
3．（2025春 兴宁市校级期中）如图，AB∥CD，PG平分∠FPE，∠CFP+∠FPH＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024春 海门区期中）如图，AB∥CD，P为直线AB、CD之间一点，∠BAP的平分线与∠DCP邻补角的角平分线所在直线交于点Q，则∠P与∠Q之间的关系为（　　）
A．∠P＝∠Q B．∠P+∠Q＝180°
C．2∠P+∠Q＝180° D．∠P+2∠Q＝180°
5．（2024春 沙坪坝区校级期末）如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　）
A． B．180°﹣α C． D．90°+α
6．（2024秋 灯塔市期中）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，若AB＝27，AD：BD＝2：1，则AF的长是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．（2024 沅江市三模）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°，则∠2为（　　）
A．60° B．40° C．30° D．20°
8．（2025 肃南县校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 宁江区校级期末）为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 　 　 ．
10．（2025春 旺苍县校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：
①GE∥MP；
②∠EFN＝135°；
③∠BEF＝75°；
④∠AEG＝∠PMN．
其中正确的结论有 　 　 （写出所有正确结论的序号）．
11．（2025春 通化期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　 　 °．
12．（2025春 泸州期末）如图，E线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大18°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝18°．其中正确结论的序号是 　 　 ．
13．（2025春 拱墅区校级期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝　 　 °，∠EMN﹣∠MNF＝　 　 °．
14．（2025 盐山县二模）如图，AB∥CD，∠1＝105°，∠2＝65°，则∠3＝　 　 ．
15．（2024春 嘉祥县期末）如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论：
①∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②∠EPF＝2∠M；
③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM；
④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．
其中正确的结论是 　 　 （填写序号）．
16．（2025春 厦门校级期中）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；
②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；
③∠FPH＝∠GPH；
④若∠BEP＞∠DFP，则，
其中结论正确的是 　 　 （填序号）．
三、解答题（共5小题）
17．（2025秋 白银期末）【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B ∠C的度数．
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系．
18．（2025春 兰州期中）【阅读思考】如图①，已知AB∥ED，探究∠B、∠E、∠BCE之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE．
证明过程如下：
如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B＝∠1．
∵AB∥ED，AB∥CF，
∴DE∥CF，
∴∠E＝∠2，
∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE．
（1）【理解应用】如图②，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（2）【拓展探索】如图③，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC，若∠ABC＝n°，则∠BED度数为多少？（用含n的代数式表示）
19．（2025春 赣州期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　 　 ；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；
已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．
①如图2，求∠AEC的度数；
②如图3，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．
20．（2025春 无棣县期末）（1）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．若与互为相反数，求的值；
（2）已知：如图，CA是∠ECD的角平分线，过点A作∠FAB＝∠ECA，CA与DF交于点B．求证：∠F＝∠D．
21．（2025春 光山县期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°．
（1）【操作发现】
如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　 　 °；
（2）【探索证明】
如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数．
一、选择题（共8小题）
1．【答案】C
此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
2．【答案】C
分别过E、F作GE∥AB，FH∥CD，再根据平行线的性质可以得到解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，
∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，
与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF），
∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，
∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
3．【答案】C
由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误：
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG
＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG
＝∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，故④正确；
∵∠BEP﹣∠DFP＝∠EPH﹣∠FPH＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH＝∠GPH+∠GPH＝2∠GPH，
∴2为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
4．【答案】D
过点P作PG∥AB，利用猪脚模型可得：∠APC＝∠EAP+∠PCF，再利用平行线的性质可得∠BAQ＝∠1，然后利用三角形的外角性质可得∠Q＝∠1﹣∠HCQ，再根据对顶角相等可得∠4＝∠HCQ，从而可得∠Q＝∠BAQ﹣∠4，最后利用角平分线的定义可得∠4∠FCP，∠BAQ∠BAP（180°﹣∠EAP），从而利用等量代换进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点P作PG∥AB，
∴∠2＝∠EAP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠3＝∠PCF，
∵∠APC＝∠2+∠3，
∴∠APC＝∠EAP+∠PCF，
∵AB∥CD，
∴∠BAQ＝∠1，
∵∠1是△CHQ的一个外角，
∴∠Q＝∠1﹣∠HCQ，
∵∠4＝∠HCQ，
∴∠Q＝∠BAQ﹣∠4，
∵AQ平分∠BAP，CM平分∠FCP，
∴∠4∠FCP，∠BAQ∠BAP（180°﹣∠EAP），
∴∠Q（180°﹣∠EAP）∠FCP
＝90°∠EAP∠FCP
＝90°（∠EAP+∠FCP）
＝90°∠APC，
∴2∠Q＝180°﹣∠APC，
∴∠APC+2∠Q＝180°，
故选：D．
5．【答案】C
设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB，先利用角平分线的定义可得：∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND，然后利用猪脚模型可得：∠MEN＝∠BMD+∠DNE（∠BMH+∠GND），再利用平行线的性质可得∠BMH＝∠DQH，最后利用三角形的外角性质可得∠H＝∠DQH﹣∠DNH，从而可得∠H＝∠BMH﹣180°+∠GND，进而可得∠BMH+∠GND＝180°+α，再进行计算即可解答．
【解答】解：设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB，
∴∠BMD＝∠MEP，
∵AB∥CD，
∴EP∥CD，
∴∠PEN＝∠DNE，
∵MD平分∠BMH，NE平分∠GND，
∴∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND，
∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN
＝∠BMD+∠DNE
∠BMH∠GND
（∠BMH+∠GND），
∵AB∥CD，
∴∠BMH＝∠DQH，
∵∠DQH是△NQH的一个外角，
∴∠H＝∠DQH﹣∠DNH，
∴∠H＝∠BMH﹣（180°﹣∠GND）＝∠BMH﹣180°+∠GND，
∵∠H＝α，
∴∠BMH+∠GND＝180°+∠H＝180°+α，
∴∠MEN（∠BMH+∠GND）＝90°，
故选：C．
6．【答案】C
根据DE∥BC得出，再根据EF∥CD得出，即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，AD：BD＝2：1，
∴，
∵AB＝27，
∴，
解得：AD＝18，
∵EF∥CD，
∴，
∵AB＝18，
∴，
解得：AF＝12，
故选：C．
7．【答案】D
延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长FG交CD于点E，
∵∠FGH是△EGH的一个外角，
∴∠FGH＝∠2+∠3＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2+∠1＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝60°﹣40°＝20°，
故选：D．
8．【答案】C
首先根据平行线的性质得出∠A＝60°，再根据平角的定义求出∠AEF＝110°，最后再根据三角形的外角定理可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°
∵∠2＝70°，
∴∠AEF＝180°﹣∠2＝110°，
∴∠3＝∠A+∠AEF＝30°+110°＝140°．
故选：C．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】30°．
延长DC交AE于点F，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFC＝80°，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数．
【解答】解：延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
10．【答案】①③④．
由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K，先求解∠KEG＝45°，从而可判断③④，于是可得答案．
【解答】解：由题意得：
∠GEF＝60°，∠GFE＝30°，∠EGF＝90°＝∠MPN，∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPG＝∠EGP＝90°，
∴EG∥PM，故①符合题意；
∵∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180° 30°＝150°，故②不符合题意；
如图，延长FG交AB于K，
∵AB∥CD，
∴∠GKE＝∠PNM＝45°，
∴∠KEG＝90° 45°＝45°，
∴∠BEF＝180° 45° 60°＝75°，∠AEG＝∠PMN＝45°，故③④符合题意；
综上：符合题意的有①③④
故答案为：①③④．
11．【答案】20．
过点E作直线MN∥AB，则AB∥MN∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°，易得∠AEM+∠CEM＝∠2，则∠1＝∠AEM＝∠2﹣∠CEM，代入计算即可求解．
【解答】解：如图，过点E作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°，
∵∠AEM+∠CEM＝∠2，
∴∠AEM＝∠2﹣∠CEM＝55°﹣35°＝20°，
∴∠1＝∠AEM＝20°．
故答案为：20．
12．【答案】①②④．
根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；若GK∥CD，则∠AGK＝∠EAD，又AD∥BC，∠B＝∠EAD，而无条件能证明∠AGK＝∠B，故③错误；根据∠FGA的余角比∠DGH大18°，即90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝18°，又因为∠FGA＝∠DGH，则90°﹣2∠FGA＝18°，即可得∠FGA＝∠DGH＝36°，设∠AGM＝α，∠MGK＝β，得到∠AGK＝α+β，根据角平分线的定义即可得到∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，即36°+α＝β+α+β，即可求得β＝18°，即∠MGK＝18°，故④正确．
【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK＝∠CKG，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠AGK＝∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
若GK∥CD，则∠AGK＝∠EAD，
又∵AD∥BC，∠B＝∠EAD，而无条件能证明∠AGK＝∠B，
故③错误；
∵∠FGA的余角比∠DGH大18°，
∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝18°，
∵∠FGA＝∠DGH，
∴90°﹣2∠FGA＝18°，
∴∠FGA＝∠DGH＝36°，
设∠AGM＝α，∠MGK＝β，
∴∠AGK＝α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK＝∠AGK＝α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM＝∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，
∴36°+α＝β+α+β，
∴β＝18°，
∴∠MGK＝18°，故④正确，
故答案为：①②④．
13．【答案】260；40．
过点O作OG∥AB，易得AB∥OG∥CD，过点M作MK∥AB，由∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，结合∠EOF＝100°，得到∠BEO+∠DFO＝260°，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，由∠BEO+∠DFO＝260°，可求x﹣y＝40°，进而求解．
【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点 N作NH∥CD，如图：
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
BEO+∠DFO＝260°；
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝40°，
∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°，
故答案为：260；40．
14．【答案】40°．
过E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，再通过对顶角的性质，邻补角的性质，平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠3＝∠5，∠4+∠EFB＝180°，
∵∠1＝∠EFB＝105°，
∴∠4＝75°，
∵∠2+∠4+∠5＝180°，∠2＝65°，
∴∠5＝40°，
∴∠3＝∠5＝40°，
故答案为：40°．
15．【答案】①②④．
作PQ∥AB，证出PQ∥CD，由内错角相等可得①正确；同理可证∠M＝∠AEM+∠CFM，再根据角平分线的定义，可得②正确；若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，再由平行线的性质和角平分线的定义可得∠AEP＝∠PFH，因为∠CFP与∠PFH不一定相等，所以∠AEM与∠CFM不一定相等，判断③不正确；由FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，得到∠MFN＝90°，即∠N+∠M＝90°，即可判断④正确．
【解答】解：①：作PQ∥AB，
∴∠AEP＝∠EPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CFP＝∠FPQ，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故①正确；
同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM，
∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP，
∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM，
∴∠AEP+∠CFP＝2（∠AEM+∠CFM），
即∠EPF＝2∠M，故②正确；
设AB交NF于点H，
若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，
∵AB∥CD，
∴∠AHF＝∠HFD，
∵FN平分∠PFD，
∴∠HFD＝∠PFH，
∴∠AEP＝∠PFH，
若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP，
∵∠CFP与∠PFH不一定相等，
∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故③不正确；
∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，
∴∠MFN＝90°，
∴∠N+∠M＝90°，
∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM，
∴∠M＝∠PEM+∠PFM，
∴∠N+∠PEM+∠PFM＝90°，
∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故④正确．
故答案为：①②④．
16．【答案】①②④．
由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，即∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠BEP﹣∠DFP
＝∠EPH﹣∠FPH
＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH
＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH
＝∠GPH+∠GPH
＝2∠GPH，
∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】（1）∠EAB；∠DAC；180°；
（2）∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，理由见解答．
（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答；
（2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC＝∠C，
∵∠BEC＝80°，
∴∠BEF+∠FEC＝80°，
∴180°﹣∠B+∠C＝80°，
∴∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，
理由：过点P作PE∥CD，
∴∠D＝∠DPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠B＝∠BPE，
∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
18．【答案】（1）∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（2）．
（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）过点E作EF∥AB，由角平分线的定义求得，∠CDE＝25°，再由平行线的性质求得，∠CDE＝25°，进一步计算即可求解．
【解答】解：（1）如图②，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°；
（2）如图③，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝50°，
∴，，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴，∠CDE＝∠DEF＝25°，
∴．
故答案为：．
19．【答案】（1）57°；
（2）∠1+∠2＝∠3，理由见解答过程；
（3）①∠AEC＝53°；
②∠AEC＝143°．
（1）利用平行线性质和三角形内角和定理求解；
（2）利用平行线性质和三角形内角和定理计算推理说明；
（3）①利用角平分线性质和平行线的性质求解即可；
②利用角平分线性质和平行线的性质，与①求解过程相似，不同的是用到了同旁内角互补．
【解答】解：（1）∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝∠1+∠2＝23°+34°＝57°；
故答案为：57°；
（2）∠1+∠2＝∠3，理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3；
（3）①如图2，
∵l1∥l2，
∴EF∥l2，
∵l1∥l2，
∴∠BCD＝∠α，
∵∠α＝74°，
∴∠BCD＝74°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD∠BCD74°＝37°，
∵EF∥l2，
∴∠FEC＝∠ECD＝37°，
同理可求∠AEF＝16°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝53°；
②过点E作EF∥l1，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB∠BAD148°＝74°，
∠ECD∠BCD74°＝37°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，
∴∠AEC的度数为143°．
20．【答案】（1）﹣1；
（2）证明见解析．
（1）根据已知条件，列出关于x的方程，解方程求出x，再代入所求式子进行计算即可；
（2）先根据角平分线的定义求出∠ECA＝∠ACD，再根据∠FAB＝∠ECA，证明∠A＝∠DCA，然后根据平行线的判定证明AF∥DC，再根据平行线的性质求出结论即可．
【解答】（1）解：∵与互为相反数，
∴2x+4+5﹣3x＝0，
﹣x+9＝0，
﹣x＝﹣9，
x＝9，
∴；
（2）证明：∵CA是∠ECD的角平分线，
∴∠ECA＝∠ACD，
∵∠FAB＝∠ECA，
∴∠A＝∠DCA，
∴AF∥DC，
∴∠D＝∠F．
21．【答案】（1）35°；
（2）1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由见解答；
（3）射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30°．
（1）过点C作直线a的平行线CD，根据平行线的性质可得∠1+∠2＝90°，从而可得∠1＝35°；
（2）过点B作直线a的平行线BE，根据平行线的性质可得∠2＝180°﹣∠ABE，∠CBE＝∠1，由已知∠ABC＝60°，故∠ABE＝60°﹣∠1，从而有∠2＝180°﹣（60°﹣∠1）＝120°+∠1；
（3）根据点A始终在直线BD的上方可知，分两种情况：①边BC在直线BD上方时，∠CBD+∠1+∠ABC＝180°，从而可得∠CBD＝20°，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°，②边BC再直线BD的下方，此时∠1+∠ABC﹣∠CBD＝180°，从而可得∠CBD＝30°，射线BA与直线所夹锐角的度数为30°．
【解答】解：（1）如题1，过点C作直线a的平行线CF，
∵a∥b，
∴CF∥a∥b，
∴∠2＝∠ACF，∠1＝∠BCF，
∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝35°，
故答案为：35°；
（2）∠1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由如下：
如图2，过点B作直线a的平行线BE，
∵a∥b，
∴BE∥a∥b，
∴∠2+∠ABE＝180°，∠1＝∠CBE，
∵∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∴∠2+60°﹣∠1＝180°，
即∠2＝120°+∠1；
（3）由题意可知，分两种情况：
①当边BC在直线BD上方时，如图3，
射线BA与直线所夹锐角为∠2，
∵∠1+∠ABC+∠CBD＝180°，
∠1＝5∠CBD，
∴6∠CBD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝20°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝80°，
即射线BA与直线所夹锐角的度数为80°，
②当边BC再直线BD的下方时，如图4，
射线BA与直线所夹锐角为∠2，
∵∠1+∠ABD＝180°，∠1＝5∠CBD，
∴5∠CBD+∠ABD＝180°，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ABD＝30°，
即射线BA与直线所夹锐角的度数为30°，
综上所述，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30°.

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