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湖南长沙市长郡中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
4．设，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
5．已知函数为奇函数，则（ ）
A．-2 B．0 C．-3 D．-1
6．若事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，若，使得有解，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则有两组解
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．（为外接圆的半径）
10．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知正方体的棱长为2，球为其内切球，球为其外接球，点P是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．球与球的体积之比为
B．点P到球表面的距离的最小值为
C．若在正方体内部放置两个相互外切的球，两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与正方体的三个面相切，则这两个球的体积之和的最小值为
D．分别以正方体的四个顶点A，C，，为球心，为半径作四个球，记这四个球的公共部分为几何体Ω，几何体Ω内能容纳的最大球的表面积为
三、填空题
12．的展开式中的系数是________．（用数字作答）
13．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______.
14．已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求面积的最大值.
16．已知等差数列及其前项和满足，.数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为上一点.
(1)证明：平面；
(2)若∥平面，求二面角的余弦值.
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
19．已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标；
(3)在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】集合，所以.
2．A
【详解】法一：，所以；
法二：两边同时取模，
即，所以.
3．B
【详解】根据抛物线的定义，是其准线，
因为的准线方程为，
所以，解得.
4．D
【详解】两边同时除以，得到，
，
当且仅当，即，时等号成立.
5．C
【详解】若，则，
所以，
所以，，.
6．A
【详解】，代入，得到，
又因为，
所以.
7．A
【详解】当时，，所以只需要，使得，
即，，，
即关于的方程，，在上有解，
首先，，其次要使得最小，则需最小，最大，即当，时，最小，
故所求最小值为.
8．C
【详解】对求导得，再对求导得，
令，得，可以得到的对称中心的横坐标为，
又，的对称中心为，
表示将的图象向右平移a个单位长度，
向上平移b个单位长度，因为为偶函数，只需要将对称中心移至原点即可，
所以，，故.
9．ABD
【详解】对A，由正弦定理得，
所以或，故有两组解，故A正确；
对B，三角形中大边对大角，因为，则，再由正弦定理可知，故B正确；
对C，若，则或者，即或者，
所以为等腰三角形或者直角三角形，故C错误；
对D，由正弦定理和面积公式，
可知，故D正确.
10．BC
【详解】因为，所以，所以.
故，又，所以，
所以，
而，所以n取值是6或7时，取最大.
11．ACD
【详解】因为正方体棱长为2，所以其内切球半径为1，外接球半径为，
根据球的体积公式可知球与球的体积之比为，故A正确；
P为球内一点，则P到球表面上的最小距离是半径，故B错误；
设这两个与正方体三个面相切的球半径分别是r，R，
它们的球心在正方体的体对角线上，且球心距离为，
球心到对应正方体顶点的距离分别是和，
则，解得，
两球的体积之和
，
利用基本不等式可知当时，体积之和最小，故C正确；
如图，三棱锥是正四面体，四个球公共部分几何体Ω的中心是正四面体的中心，也就是正方体的中心O，
最大的球是内切球，也就是中心O到四个球面的距离，则最大球的半径，
故最大球的表面积，故D正确.
12．15
【详解】的展开式通项公式为，
令，则，
所以的展开式中的系数是．
13．
【详解】由题可知函数在上单调递增，则，
参变分离得到，令，.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时取最大值，所以.
即实数a的取值范围为.
14．
【详解】，，类似可得，
，
当且仅当时等号成立.
15．(1)，，.
(2).
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，.
故函数的单调递增区间为，
（2）由，，
又因为，所以，所以，即.
因为，根据基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以，所以面积的最大值为.
16．(1)，.
(2).
【详解】（1）数列是等差数列，设公差为，
因为，所以，
又，，解得，，
所以.
当时，，因为
所以，
当时，由题设得，满足上式，所以.
（2）由（1）可知，，所以，
所以，①
所以，②
①-②可得，
所以.
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）法一：如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，
因为是正三角形，，则，
又为的中点，所以，
又底面四边形为菱形，，
所以是等边三角形，所以，
因为，平面，平面，所以平面.
又平面，进而，
同理可得，
因为，平面，平面，所以平面
法二：设，连接，则，在点相互平分，
又在菱形中，，
是正三角形，则，
而，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
作交于点M，则平面，
因为底面四边形为菱形，，，所以，
因为是正三角形，，所以，
在中，，
又因为在中，，
所以，
所以点M与点A重合，即平面.
（2）因为∥平面，平面，且平面平面，则∥，
由于O为的中点，所以E为的中点，
如图，分别以，所在直线为x，y轴，过O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，
由（1）可知，
所以，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
.
由图可知，二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.
18．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
又，所以.
所以曲线在处的切线方程为.
（2）（i），求导得，
因为有两个极值点，所以在上有两个不相等的根，
又，则只需要解得，
所以实数的取值范围为.
（ii）因为，且是方程的根，
所以且，
则，
令，，则，
令，则，令，解得，
因为在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以使得函数在上单调递增，在上单调递减，且.
故函数的最大值为
，即得证.
19．(1)
(2)证明见解析，
(3).
【详解】（1）依题意可知
解得，，，
所以椭圆的标准方程是.
（2）设，，，
当直线与轴不重合时，设直线的方程为，
联立化简得，
且，，①
又，直线的方程为，
令，解得，
将①代入可得，所以定点为，
当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点，
所以直线过轴上的定点.
（3）当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况.
两直线交于，，
因为，，
所以，
所以，
.
所以.
又因为，所以 .

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