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8.3 实数及其简单运算
一、选择题（共9小题）
1．（2025秋 诸暨市期末）在实数：π，，，，1.1010010001…（小数点后每2个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2026 安徽二模）若实数p是满足的整数，则p的值可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2026 南京模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A．|﹣1| B．（﹣2）2 C．（﹣1）2015 D．
4．（2025秋 南湖区月考）对于实数a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个实数中最小的实数．如min{1，2，3}＝1，则min{2x，x+12，x+2}的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
5．（2026春 海淀区校级月考）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025秋 沭阳县校级期末）下列整数中，与的值最接近的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025秋 邓州市期末）在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣3 B． C． D．2
8．（2025秋 诸暨市期末）实数的整数部分为a，小数部分为b，则2a﹣b＝（　　）
A．10 B． C． D．
9．（2026春 迎泽区校级月考）下列各数中比﹣1.5大的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣π C．﹣2 D．
二、填空题（共9小题）
10．（2025秋 海州区期末）下列实数，，，3.1415926中，属于无理数的是　 　 ．
11．（2026 渝北区校级开学）若m为正整数，且满足，则m＝　 　 ．
12．（2026 芜湖二模）比较大小：　 　 3．（填“＞”、“＜”或“＝”）
13．（2026春 思明区校级月考）（1）的立方根是　 　 ．
（2）3的算术平方根是　 　 ．
（3）比较大小：7　 　 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
（4）的相反数是　 　 ．
14．（2026春 新城区校级月考）满足的整数x的值可以是　 　 ．（写出一个即可）
15．（2025秋 蓬莱区期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则　 　 ．
16．（2026 裕安区校级模拟）比较大小： 　 　 1（填写“＞”或“＜”）．
17．（2025秋 聊城月考）计算的结果为　 　 ．
18．（2025秋 宝山区期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+|a+c|﹣|c﹣b|的值等于 　 　 ．
三、解答题（共4小题）
19．（2025秋 合江县校级期末）计算：．
20．（2025秋 衡阳县期末）计算：．
21．（2026春 武汉月考）已知正数a的两个平方根分别是2x+1和x﹣4，且与互为相反数，求3a﹣b的平方根．
22．（2026春 昆明月考）计算：
（1）；
（2）．
一、选择题（共9小题）
1．【答案】C
【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：3是有理数，
无理数有：π，，1.1010010001…（小数点后每2个“1”之间依次多一个“0”），共3个，
故选：C．
2．【答案】C
【分析】通过比较平方数的大小估算出和的取值范围，再根据p是整数确定p的值即可．
【解答】解：∵9＜13＜16＜19＜25，
∴，，
∵，且p为整数，
∴．
故选：C．
3．【答案】C
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、|﹣1|＝1，不合题意；
B、（﹣2）2＝4，不合题意；
C、（﹣1）2015＝﹣1，符合题意；
D、|﹣2|＝2，不合题意，
故选：C．
4．【答案】C
【分析】根据题意，分别求出方程2x＝x+2，2x，x+2的解，据此进行比较即可．
【解答】解：由2x＝x+2得，
x＝2，
此时2x＝x+2＝4，
所以min{4，9，4}＝4；
由得，
，
则，x+2，
所以；
由得，
x＝4，
则6，2x＝8，
所以min{8，6，6}＝6，
因为，
所以min{2x，x+12，x+2}的最大值为6．
故选：C．
5．【答案】D
【分析】先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域．
【解答】解：先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域可得：
A、，对应点在2的位置，不在3～4之间，不符合题意；
B、42＝16、52＝25，16＜19＜25，对应点在4～5之间，不符合题意；
C、，且22＝4、32＝9，4＜6＜9，对应点在2～3之间，不符合题意；
D、33＝27、43＝64，27＜48＜64，对应点在3～4之间，符合题意．
故选：D．
6．【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数，进而得到1的大小即可．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，而16＜17＜25，
∴45，
又∵4.52＝20.25＞17，
∴44.5，
∴4+11＜4.5+1，
即51＜5.5，
∴1更接近整数5，
故选：D．
7．【答案】C．
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣32，
∴最大的数是：．
故选：C．
8．【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到1的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，而16＜17＜25，
∴45，
∴4﹣11＜5﹣1，
即31＜4，
∴1的整数部分a＝3，小数部分b1﹣34，
∴2a﹣b＝64＝10，
故选：A．
9．【答案】A．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．∵|﹣1|＝1，|﹣1.5|＝1.5，1＜1.5，∴﹣1＞﹣1.5，故符合题意；
B．∵|﹣π|＝π，|﹣1.5|＝1.5，π＞1.5，∴﹣π＜﹣1.5，故不符合题意；
C．∵|﹣2|＝2，|﹣1.5|＝1.5，2＞1.5，∴﹣2＜﹣1.5，故不符合题意；
D．1.5，故不符合题意；
故选：A．
二、填空题（共9小题）
10．【答案】．
【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：4是有理数，
无理数有：，
故答案为：．
11．【答案】6．
【分析】先确定的取值范围，再确定正整数m的值．
【解答】解：∵，
∴，
∵m为正整数，且满足，
∴m＝6．
故答案为：6．
12．【答案】＞
【分析】将2和3化为二次根式，然后比较被开方数即可比较大小
【解答】解：∵2，3，而
∴2，
故答案为“＞”．
13．【答案】（1）；
（2）；
（3）＞；
（4）．
【分析】（1）根据立方根的定义计算；
（2）根据算术平方根的定义计算；
（3）根据49＞47得，即可判断；
（4）先判断的正负，再求它的相反数．
【解答】解：（1）的立方根是．
故答案为：；
（2）3的算术平方根是．
故答案为：；
（3）∵49＞47，
∴，即．
故答案为：＞；
（4）∵5＞4，
∴，即，
∴，
∴的相反数是．
故答案为：2．
14．【答案】0（答案不唯一）．
【分析】先估算出无理数的大致取值范围，再找出落在给定范围内的整数，任选一个作答即可．
【解答】解：∵．
∵，且x为整数，
∴满足条件的整数x为﹣2，﹣1，0，1，2．
故答案为：0（答案不唯一）．
15．【答案】﹣2b．
【分析】由数轴得a＜0、0＜b＜1，利用、及a﹣b＜0去掉根号与绝对值，再合并化简．
【解答】解：由数轴得a＜0，0＜b＜1，
∴，，|a﹣b|＝b﹣a（a﹣b＜0），
则原式＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣b+a＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
16．【答案】＜
【分析】估算出的大小，即可判断出所求．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴34，
∴1，
故答案为：＜
17．【答案】．
【分析】分别计算负指数幂、绝对值、立方根和零指数幂，再结合有理数运算法则进行加减运算．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
18．【答案】﹣2a．
【分析】由数轴可得a＜0＜c＜b，|a|＞|c|，进而根据有理数的运算法则得b﹣a＞0，a+c＜0，c﹣b＜0，再绝对值的性质化简即可求解．
【解答】解：由数轴可得，b﹣a＞0，a+c＜0，c﹣b＜0，
∴|b﹣a|+|a+c|﹣|c﹣b|
＝b﹣a+（﹣a﹣c）﹣（b﹣c）
＝b﹣a﹣a﹣c﹣b+c
＝﹣2a，
故答案为：﹣2a．
三、解答题（共4小题）
19．【答案】2．
【分析】先化简绝对值，计算算术平方根、立方根及乘方，再计算加减法．
【解答】解：
＝3﹣4（﹣2）+4
＝3﹣4+（﹣1）+4
＝2．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据有理数的乘方、算术平方根、零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可．
【解答】解：
＝﹣1+2+1
＝﹣1+2+1﹣2
．
21．【答案】±5．
【分析】利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是2x+1和x﹣4，
∴2x+1+x﹣4＝0，
解得：x＝1．
∴2x+1＝3，x﹣4＝﹣3，
∴a＝9；
∵与互为相反数，
∴1+2b+1﹣3b＝0，
解得：b＝2．
当a＝9，b＝2时，
3a﹣b＝3×9﹣2＝27﹣2＝25，
则3a﹣b的平方根为±±5．
22．【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先去括号并计算开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣9+6﹣5×（﹣1）
＝﹣9+6+5
＝2；
（2）原式
．

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