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10.2 消元——解二元一次方程组
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 宁德期末）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 包河区期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（　　）
A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8
3．（2025秋 亳州期末）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　）
A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0
4．（2025秋 贵州期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　）
A． B．
C． D．由②，得y＝2x+5
5．（2025秋 淮北期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．±2
6．（2025秋 鲁山县期末）若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　）
A．15 B．18 C．16 D．17
7．（2025秋 东城区校级期末）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①+②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（　　）
A．m＝n B．m n＝1 C．m+n＝1 D．m+n＝0
8．（2025春 阜城县期末）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（　　）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得y＝2x﹣5
二、填空题（共6小题）
9．（2026春 湛江校级月考）若实数m，n同时满足，则mn的值为　 　 ．
10．（2026 山东校级开学）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是　 　 ．
11．（2025秋 五华县期末）关于x、y的方程组，则x+y的值为　 　 ．
12．（2025秋 罗湖区校级期末）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：ad﹣bc，例如3×8﹣5×6＝﹣6．若1，3，则　 　 ．
13．（2025秋 海门区期末）若有理数a，b满足2a﹣b＝5，a﹣2b＝4，则代数式a﹣b的值为　 　 ．
14．（2025春 海宁市期末）若方程组的解是，则方程组的解是　 　 ．
三、解答题（共10小题）
15．（2026 新城区模拟）解方程组：．
16．（2025秋 安化县期末）解方程组：．
17．（2026春 晋江市校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（2026春 九龙坡区月考）解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．（2026 雁峰区校级开学）按要求解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
20．（2025秋 龙岗区校级期末）已知关于x，y的三个方程：①2x+y＝14；②3x＝18；③x+3y＝12．
（1）请从上述方程中任选两个，组成一个二元一次方程组　 　 ；
（2）求（1）中二元一次方程组的解．
21．（2025秋 深圳校级期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下：
第1步：①﹣②得x﹣y＝4③
第2步：③×3得3x﹣3y＝12④
第3步：①﹣④得x＝﹣3
第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7
所以原方程组的解为．
（1）你认为小明的做法从第　 　 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解法．
22．（2025秋 碑林区校级月考）分别利用代入消元法和加减消元法解方程组：．
23．（2025秋 太原期末）下面是小明求解二元一次方程组的部分过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：①×2，得2x+4y＝32．③…第1步 ③﹣②，得5y＝30．…第2步 解，得y＝6．…第3步 …
任务：
（1）小明的解法中，第1步方程变形的依据是　 　 ；
（2）小明的解法中，第2步的目的是消去未知数x．请你用消去未知数y的方法，求解这个方程组．
24．（2025秋 左权县期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：
整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法；
解：把x+y＝1看作整体代入①，得5×1﹣x＝3，解得x＝2．将x＝2代入②，得y＝﹣1，所以原方程组的解为． 这种把x+y＝1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．
请你利用“整体代入消元法”解方程组．
一、选择题（共8小题）
1．【答案】D
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：，
①+②解得：x＝2，
x＝2代入①中解得：y＝1，
∴方程组的解为：，
故选：D．
2．【答案】D
【分析】把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解．
【解答】解：两方程相加得得，2x+2y＝8﹣a，
∴，
∵x、y互为相反数，
∴，
∴a＝8，
故选：D．
3．【答案】A
【分析】通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式．
【解答】解：，
由②得，y＝2x，
把y＝2x代入①得，kx+2x＝5，
（k+2）x＝5，
解得：，
∴，
∴方程组的解为，
∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解，
∴和均为正整数，
即k+2是5和10的正公约数，
5和10的正公约数有1和5，
∴k+2＝1或k+2＝5，
∴k＝﹣1或k＝3，
当k＝﹣1时，﹣k2+1＝﹣（﹣1）2+1＝﹣1+1＝0，
当k＝3时，﹣k2+1＝﹣32+1＝﹣9+1＝﹣8，
∴﹣k2+1的值为0或﹣8．
故选：A．
4．【答案】D
【分析】将两个方程变形后进行判断即可．
【解答】解：由①得：x或y，
则A，B均不符合题意；
由②得：y＝2x﹣5或x，
则C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
5．【答案】B
【分析】将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算a+b即可解答．
【解答】解：将方程组的解 ，代入第一个方程：，
∴，
16﹣9b＝25，
∴﹣9b＝9，
∴b＝﹣1．
代入第二个方程：，
∴，
8a+3＝﹣5，
∴a＝﹣1．
∴a+b＝﹣1+（﹣1）＝﹣2．
故选：B．
6．【答案】D
【分析】根据题意得，解三元一次方程组即可求得k的值．
【解答】解：由题意得，
①+③得：4x＝4k+11④，
①×6+②得：20x＝25k﹣30，即4x＝5k﹣6⑤，
⑤﹣④得：k＝17，
故选：D．
7．【答案】D
【分析】两方程相加后消去y，需y的系数之和为0，据此进行分析，即可作答．
【解答】解：，
①+②得：6x+（m+n）y＝1，
又∵①+②可直接消去未知数y，
∴m+n＝0．
故选：D．
8．【答案】D
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组，尽量选择两个方程中系数的绝对值是1的未知数，然后用另一个未知数表示出这个未知数．
【解答】解：观察可知，由②得y＝2x﹣5代入后化简比较容易．
故选：D．
二、填空题（共6小题）
9．【答案】．
【分析】先将化简为m﹣2|n|＝3，再分情况求出m＝5，n＝﹣1，代入mn求值即可．
【解答】解：若实数m，n同时满足，则：
∵，
∴m﹣2|n|＝3，
则m﹣2|n|＝3，|m|﹣2n＝7，
当m＞0，n＞0时，，无解；
当m＞0，n＜0时，，解得：，符合题意；
当m＜0，n＞0时，，解得：，与n＞0矛盾，故无解；
当m＜0，n＜0时，，无解；
综上，m＝5，n＝﹣1，则．
10．【答案】﹣1
【分析】先利用代入消元法解二元一次方程组，得出x，y的值，再根据x与y互为相反数，得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程求出a值即可．
【解答】解：，
把②代入①，得y+4+2y＝a﹣1，
解得：，
把代入②，得，
∵x与y互为相反数，
∴，
去分母，得a+7+a﹣5＝0，
∴2a＝﹣2，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．【答案】﹣4．
【分析】通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出x+y的值．
【解答】解：关于x、y的方程组，
将方程组中的两个方程相加，得3x+3y＝﹣12，即x+y＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．【答案】2．
【分析】由新定义可得方程组：，利用加减消元法解方程组求出x，y的值．再由新定义运算得出：3x﹣2y，把x，y的值代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴可得方程组：，
①×3，得6x﹣3y＝3③，
③﹣②，得2x＝0，
∴x＝0，
把x＝0代入①，得0﹣y＝1，
∴y＝﹣1．
∴．
故答案为：2．
13．【答案】3．
【分析】已知两等式左右两边相加，变形即可得到a﹣b的值．
【解答】解：将2a﹣b＝5，a﹣2b＝4，相加得：2a﹣b+a﹣2b＝9，
即3a﹣3b＝9，
解得a﹣b＝3．
故答案为：3．
14．【答案】．
【分析】根据方程组的解是，得从而得到（5a1+5a2）+（2b1+2b2）＝c2+c1，将方程组两式相加，得（5a1+5a2）x+（2b1+2b2）y＝6（c2+c1）＝6（5a1+5a2）+6（2b1+2b2）比较系数解得即可．
【解答】解：由题意可得：，
故（5a1+5a2）+（2b1+2b2）＝c2+c1，
将方程组两式相加，
得（5a1+5a2）x+（2b1+2b2）y＝6（c2+c1）＝6（5a1+5a2）+6（2b1+2b2），
比较系数，得．
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
15．【答案】．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①+②得：6x＝12，
解得：x＝2，
①﹣②得：4y＝﹣4，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
16．【答案】．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
①+②，得3x＝6，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得2﹣y＝1，
解得y＝1，
所以方程组的解是．
17．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
把①代入②，得5x﹣（3x﹣2）＝6，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝3×2﹣2＝4，
所以方程组的解是；
（2），
①×4，得28x+12y＝16③，
②×3，得15x＝12y＝27④，
③+④，得43x＝43，
解得x＝1，
把x＝1代入①，得7+3y＝4，
解得y＝﹣1，
所以方程组的解是．
18．【答案】（1）x；
（2）．
【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解；
（2）先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
2（x﹣1）＝6﹣（3x+1），
2x﹣2＝6﹣3x﹣1，
2x+3x＝6﹣1+2，
5x＝7，
x；
（2），
整理得，
①﹣②，得11y＝﹣11，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②，得x﹣（﹣1）＝6，
解得x＝5，
所以原方程组的解是．
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）代入消元法：将y＝4x﹣9代入2x+3y＝1，消去y求出x，再代入y＝4x﹣9求y．
（2）加减消元法：将3x+2y＝5两边乘2得6x+4y＝10，与2x﹣4y＝14相加消去y求出x，再代入3x+2y＝5求y．
【解答】解：（1），
将②代入①得2x+3（4x﹣9）＝1，
整理得：14x＝28，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得y＝4×2﹣9＝﹣1，
∴；
（2），
①×2+②，得3x×2+2y×2+2x﹣4y＝5×2+14，
整理得：8x＝24，
解得x＝3，
将x＝3代入②，得2×3﹣4y＝14，
解得y＝﹣2，
∴．
20．【答案】（1）（或或
（2）．
【分析】（1）选取①②，①③，②③，即可组成二元一次方程组；
（2）选取①②，②③利用代入消元法解方程组，选择①③用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）组成的二元一次方程组为或或；
故答案为：（或或）；
（2），
由②得：x＝6，
把x＝6代入①得：2×6+y＝14，
解得：y＝2，
∴原方程组的解为；
，
由③×2﹣①得：5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+3×2＝12，
解得：x＝6，
∴原方程组的解为；
，
由②得：x＝6，
把x＝6代入③得：6+3y＝12，
解得：y＝2，
∴原方程组的解为，
综上，方程组的解为．
21．【答案】（1）1；
（2）①﹣②得x+y＝4③，
③×3得3x+3y＝12④，
①+④得7x＝21，
解得x＝3，
将x＝3代入③得3+y＝4，即y＝1，
所以原方程组的解为．
【分析】（1）根据解方程组的过程判断即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）小明的做法从第1步开始出现错误；
故答案为：1；
（2），
①﹣②得x+y＝4③，③×3得3x+3y＝12④，
①+④得7x＝21，
解得x＝3，
将x＝3代入③得3+y＝4，即y＝1，
所以原方程组的解为．
22．【答案】．
【分析】利用代入消元法和加减消元法解方程组即可．
【解答】解：，
方法一：将②代入①得：3x﹣4＝5，
解得：x＝3，
将x＝3代入②得：3+2y＝1，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为；
方法二：①+②×4得：3x＝9，
解得：x＝3，
将x＝3代入②得：3+2y＝1，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为．
23．【答案】（1）等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）；（2）．
【分析】（1）根据等式的性质求解即可；
（2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步求解即可．
【解答】解：（1）等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）．
故答案为：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）；
（2），
②×2，得4x﹣2y＝4④，
①+④，得5x＝20，
解得：x＝4，
将x＝4代入①，
得4+2y＝16，
解得：y＝6，
∴原方程组的解是．
24．【答案】．
【分析】先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解．
【解答】解：方程组整理得，
由②得3x﹣4y＝10③，
将③整体代入，得，
解得：x＝﹣2，
将x＝﹣2代入③，得3×（﹣2）﹣4y＝10，
解得：y＝﹣4，
∴原方程组的解为．

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